人教版高中物理必修一第11讲：力的合成与分解(教师版)——十里堡陈曦

F1
F 2 F
O
F1
F2
F
O
第10讲力的合成与分解
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1.理解合分力与力的合成和力的分解的概念。

2.掌握利用平行四边形定则求合力和分力的方法。

3．理解多个力求合力时，常常先分解再合成，知道常见的两种分解力的方法。

一、合力和分力
如果一个力作用在物体上，它产生的效果跟几个力共同作用在物体上产生的效果相同，这个力就叫做那几个力的合力，而那几个力叫做这个力的分力。

二、共点力和平行四边形法则
（1）共点力
几个力如果都作用在物体的同一点上，或者它们的作用线相交于同一点，这几个力叫共点力。

（2）平行四边形定则：两个互成角度的力的合力，可以用表示这两个力的有向线段为邻边，作平行四边形，它的对角线就表示合力的大小及方向，这是矢量合成的普遍法则。

说明：求两个互成角度的力的合力，可以用表示这两个力的线段为邻边作平行四边形，它的对角线就表示合力的大小和方向.
说明:①矢量的合成与分解都遵从平行四边形定则（可简化成三角形定则）
②力的合成和分解实际上是一种等效替代.
③由三角形定则还可以得到一个有用的推论:如果n个力首尾相接组成一个封闭多边形，则这n个力的合力为零.
④在分析同一个问题时，合矢量和分矢量不能同时使用.也就是说，在分析问题时，考虑了合矢量就不能再考虑分矢量；考虑了分矢量就不能再考虑合矢量.
⑤矢量的合成分解，一定要认真作图.在用平行四边形定则时，分矢量和合矢量要画成带箭头的实线，平行四边形的另外两个边必须画成虚线.各个矢量的大小和方向一定要画得合理.
三、力的合成
（1）力的合成：求几个已知力的合力，叫做力的合成。

（2）根据力的平行四边形定则可得出以下几个结论:
①共点的两个力(F1、F2)的合力(F)的大小，与它们的夹角(θ)有关；θ越大，合力越小；θ越小，合力越大.F1与F2同向时合力最大；F1与F2反向时合力最小，合力的取值范围是:
｜F1- F2｜≤F≤｜F1+ F2｜
②合力可能比分力大，也可能比分力小，也可能等于某一分力.
③共点的三个力，如果任意两个力的合力最小值小于或等于第三个力，那么这三个共点力的合力可能等于零.
四、力的分解
（1）力的分解：求一个已知力的分力叫力的分解.
已知一个力的大小和方向，求它的两个分力。

据平行四边形定则知，这种情况下可以作出无数个符合条件的平行四边形，即对一已知力分解，含有无数个解，但如果再加以下条件，情况就不一样了，下面讨论：
（1）已知两个分力的方向时，有唯一解，如图所示。

（2）已知一个分力的大小和方向，力的分解有唯一解，如图所示，只能作出一个平行四边形。

（3）已知两个分力的大小，力的分解可能有两个解，如图所示，可作出两个平行四边形。

（4）已知一个分力的方向与另一个分力的大小，如图所示，则：当时，有唯一解，如图甲所示；当时，无解，如图乙所示；当时，存在两个解，如图丙所示；当时，存在一个解，如图丁所示。

总结：如图所示，已知力F的一个分力沿OA方向，另一个分力大小为。

我们可以以合力F的末端为圆心，以分力的长度为半径作圆弧，各种情况均可由图表示出来。

(2) 求分力的方法
（1）直角三角形法。

对物体进行受力分析，对其中的某力按效果或需要分解，能构成直角三角形的，可直接应用直角三角形边、角的三角函数关系求解，方便快捷。

（2）正交分解法。

①以力的作用点为原点作直角坐标系，标出轴和y轴，如果这时物体处于平衡状态，则两轴的方向可根据方便自己选择。

②将与坐标轴不重合的力分解成x轴方向和y轴方向的两个分力，并在图上标明，用符号，和
表示。

③在图上标出力与x轴或力与y轴的夹角，然后列出、的数学表达式，如：F与x轴夹角为，
则，与两轴重合的力就不需要分解了。

④列出x轴方向上的各分力的合力和y轴方向上的各分力的合力的两个方程，然后再求解。

（3）相似三角形法。

对物体进行受力分析，根据题意对其中的某力分解，找出与力的矢量三角形相似的几何三角形，用相似三角形对应边的比例关系求解。

（4）动态矢量三角形（动态平衡）法。

所谓动态平衡问题是指通过控制某些物理量，使物体的状态发生缓慢变化，而在这个过程中物体又始终处于一系列的平衡状态，利用图解法解决此类问题方便快捷。

例1：(日照市2014学年高一上学期期中)物体同时受到同一平面内三个共点力的作用，下列几组力的合力可能为零的是()
A．1N、6N、8N B．3N、6N、4N
C．1N、2N、10N D．5N、5N、5N
答案：BD
解析：求其中某个力介于另两个力合力范围里，而且合力范围里两力大小的和与差之间，只有B、D 正确。

例2如图（1）所示，重物的重量为G，轻细线AO与BO的A、B端是固定的，平衡时AO是水平的，BO与竖直方向的夹角为，AO的拉力，和BO的拉力大小是（）
A B. C. D.
解析：(1)选取O点为研究对象，其受力如图（2）所示，O点受到三个力的作用：物体对O的拉力，大小为G，AO绳子的拉力，BO绳子的拉力。

（2）
解法一：重力G的作用效果是拉紧两根绳子，拉绳子的力应该沿着绳子方向，如图（3）所示，将重力G沿两根绳子的方向分解为和，在直角三角形中，由几何知识得：，。

由于重物静止，任何方向的合力均为零，所以有，。

解法二：把拉力的作用效果看作是竖直向上平衡重力和水平向右拉绳子的，如图（4）所示，可将沿水平和竖直两个方向分解为和，由几何知识得，。

答案：B、D。

例3两个共点力的合力为F，如果它们之间的夹角θ固定不变，使其中一个力增大，则() A．合力F一定增大
B．合力F的大小可能不变
C．合力F可能增大，也可能减小
D．当0°<θ<90°时，合力F可能减小
答案：BC
解析：作出物体A 受力如图21所示，由平衡条件
Fy ＝Fsinθ＋F1sinθ－mg ＝0①
Fx ＝Fcosθ－F2－F1cosθ＝0②
由①②式分别得F ＝mg sinθ
－F1③ F ＝F22cosθ＋mg 2sinθ
④ 要使两绳都能绷直，则有F1≥0⑤
F2≥0⑥
由③⑤式得F 有最大值Fmax ＝
mg sinθ＝4033N. 由④⑥式得F 有最小值Fmin ＝mg 2sinθ＝2033
N 综合得F 的取值范围2033N≤F≤403
3N. 答案：2033N≤F≤403
3N
例6．（西城区期末）如图所示，用不可伸长的轻绳AC 和BC 吊起一质量不计的沙袋，绳AC 和BC 与天花板的夹角分别为60°和30°．现缓慢往沙袋中注入沙子．重力加速度g 取10m/s2．
（1）当注入沙袋中沙子的质量m=10kg 时，求绳AC 和BC 上的拉力大小FAC 和FBC ．
（2）若AC 能承受的最大拉力为150N ，BC 能承受的最大拉力为100N ，为使绳子不断裂，求注入沙袋中沙子质量的最大值M ．
解答： 解：装置受力图如图，运用合成法，
（1）重物对结点的拉力等于重物的重力：T=mg ，
由几何知识：FAC=mgcos30°=mg=86.5N
FBC=mgsin30°=mg=50N
（2）因为=，F AC max=150N F BC max=100N所以AC更容易被拉断
F AC max=Mg=150N
所以：M=10kg
基础演练
1（2014秋•朝阳区期末）有两个大小分别为3N和4N的共点力，它们合力的大小可能是（）A．0 B．4N C．8N D．12N
答案：B
2．（2014•白下区校级模拟）两个物体A和B，质量分别为M和m，用跨过定滑轮的轻绳相连，A 静止于水平地面上，如图所示．不计摩擦，A对绳的作用力的大小与地面对A的作用力的大小分别为（）
A．mg，（M﹣m）g B．mg，Mg C．（M﹣m）g，Mg D．（M+m）g，（M﹣m）g
答案：A
3．关于几个力与其合力，下列说法正确的是()
A．合力的作用效果跟原来那几个力共同作用产生的效果相同
B．合力与原来那几个力同时作用在物体上
C．合力的作用可以替代原来那几个力的作用
D．求几个力的合力遵循平行四边形定则
答案：ACD
4．两个力F1和F2间的夹角为θ，两个力的合力为F.以下说法正确的是()
A．若F1和F2大小不变，θ角越小，合力F就越大
B．合力F总比分力中的任何一个力都大
C．如果夹角不变，F1大小不变，只要F2增大，合力F就必然增大
D．合力F可能比分力中的任何一个力都小
答案：AD
5．两个共点力的大小均为8 N，如果要使这两个力的合力大小也是8 N，则这两个共点力间的夹角应为()
A ．30°
B ．60°
C ．90°
D ．120°
答案：D
6．大小分别是30 N 和25 N 的两个力，同时作用在一个物体上，对于合力F 大小的估计最恰当的是
( )
A ．F ＝55 N
B ．25 N≤F≤30 N
C ．25 N≤F≤55 N
D ．5 N≤F≤55 N
答案：D
7大小分别为5 N 、7 N 和9 N 的三个力合成，其合力F 大小的范围为( )
A ．2 N≤F≤20 N
B ．3 N≤F≤21 N
C ．0≤F≤20 N
D ．0≤F≤21 N
答案：D
8.如图3－4－10所示，一木块放在水平桌面上，在水平方向共受到F1、F2和摩擦力作用，木块处于静止状态，其中F1＝10 N ，F2＝2 N ．若撤去F1，则木块在水平方向受到的合力为( )
A ．10 N ，方向向右
B ．6 N ，方向向右
C ．2 N ，方向向左
D ．零
答案：D
9、两大小相等的共点力，当它们间夹角为90o 时，合力为F ，则当它们间夹
角为120°时，合力大小为( ) A. 2F B. F C.2F D. 22F
答案：D
10.如图所示，表示五个共点力的有向线段恰分别构成正六边形的两条邻边和三条对角线．已知F1＝10 N ，这五个共点力的合力大小为( )
A ．0
B ．30 N
C ．60 N
D ．90 N
答案：C
巩固提高
1. 一光滑均匀小球用细绳拴住悬挂靠在光滑的竖直墙上，小球受到三个力作用，重力G ，绳的拉力F ，墙对球的支持力，如图所示，对于这三个力，根据作用效果进行分解，下列说法正确的是（ ）
A. G 可沿F 和
两个力的反方向进行分解 B. F 可沿G 和
两个力的反方向进行分解 C.
可沿G 和F 两个力的方向进行分解 D. 以上三种分解方法均可以
2物体静止于光滑水平面上，力F作用于物体上的O点，现要使合力沿着OO′方向，如图所示，则必须同时再加一个力F′，如F和F′均在同一水平面上，则这个力的最小值为（）
A. B. C. D.
3. 生活中的物理知识无处不在，如图是我们衣服上的拉链的一部分，在把拉链拉开的时候，我们可以看到有一个三角形的东西在两链中间运动，使很难直接分开的拉链很容易地拉开，关于其中的物理原理以下说法正确的是
A. 在拉开拉链的时候，三角形的物体增大了分开两拉链的力
B. 拉开拉链的时候，三角形的物体只是为了将拉链分开并没有增大拉力
C. 拉开拉链时，三角形的物体增大了分开拉链的力，但合上拉链时减小了合上的力
D. 以上说法都不正确
4. 水平地面上的物体受重力G和水平作用力F保持静止，如图所示，现在使作用力F保持大小不
变，方向沿逆时针方向缓缓转过，而物体始终保持静止，则在这个过程中，物体对地面的正压力和地面给物体的摩擦力的变化情况是（）
A. 不变
B. 先变小后变大
C. 先变小后变大
D. 先变大后变小
5. 如图所示，质量为m的物体在恒力F作用下沿天花板上做匀速直线运动，物体与天花板间动摩擦因数为，则物体受到摩擦力的大小为（）
A. B.
C. D.
6. 三段不可伸长的OA，OB，OC能承受的最大拉力相同，它们共同悬挂一重物，如图所示，其中OB是水平的，A端B端固定，若逐渐增加C端所挂物体的质量，则最先断的绳（）
A. 必定是OA
B. 必定是OB
C. 必定是OC
D. 可能是OB，也可能是OC
7. 如图所示，光滑小球被竖直挡板挡住而静止于斜面上，小球重力为G，斜面倾角为，求小球对斜面的压力和小球对挡板的压力。

8. 如图所示，在倾角为的粗糙斜面上放一物体，重力为G，现在用与斜面底边平行的力
推物体，物体恰能做匀速直线运动，则：（1）物体与斜面之间的动摩擦因数是多少？（2）物体的运动方向与底边成多大角度？
答案1. A、B 2. B 3. A 4. B、C 5. B、C 6 . A 7.
8. 解：（1）物体在平行斜面方向一共受三个力的作用，一是使物体下滑的力；二是推力；三是滑动摩擦力，因为和F是相互垂直的，所以这两个力的合力为。

此力方向与底边成，如图所示，又因为，F，三个力的合力为零，所以与的大小相等、方向相反。

而
，①
②
将②式及代入①式可得。

（2）因为滑动摩擦力的方向与物体相对运动的方向相反，所以物体运动的方向与一致，即与底边成，如图所示。

1、水平横梁的一端A插在墙壁内，另一端装有一小滑轮B.一轻绳的一端C固定于墙壁上，另一端
跨过滑轮后悬挂一质量m
＝10 kg的重物，∠CBA
＝30°，则滑轮受到绳子的作用力为
A．50 N B．50 3 N C．100 N D．100 3 N
答案：C
2．作用在同一物体上的三个力，它们的大小都等于5 N，任意两个相邻力之间的夹
角都是120°，如图3－4－7所示，则这三个力合力为________；若去掉Fl，而F2、
F3不变，则F2、F3的合力大小为________，方向为________
图3－4－7图3－4－8
答案：0N，5N,与F1相反
3．六个共点力的大小分别为F、2F、3F、4F 、5F、6F，相互之间夹角均为60°，如图3－4－8所示，则它们的合力大小是________，方向________，
答案：6F与5F相同
4．在研究两个共点力合成的实验中得到如图3－4－9所示的合力F与两个分力的夹角的关系图，问：（1）两个分力的大小各是多少?
（2）合力的变化范围是多少?
答案（1）8 N 6 N
（2）2 N≤F≤14 N
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5．设有三个力同时作用在质点P上，它们的大小和方向相当于正六边形两条边和一条对角线，如图所示，这三个力中最小的力的大小为F，则这三个力的合力等于()
A．3F B．4F C．5F D．6F
答案：A
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1．（2014秋•朝阳区期末）如图所示，一个质量为m的均匀光滑球放在倾角为θ的斜面上，并被斜面上一个竖直挡板挡住，处于平衡状态，则（）
A．球对斜面的压力大小为mgcosθ
B ．球对斜面的压力大小为
C．球对档板的压力大小为mgsinθ
D．球对档板的压力大小为mgtanθ
2、如图所示，在倾角为θ的斜面上，放着一个质量为m 的光滑小球，球被竖直的木板挡住，则球对木板的压力为( )
A.mgcosθ
B.mgtanθ
C.mg/cosθ
D.mg/tanθ
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3、如图所示，质量为m 的物体悬挂在轻质的支架上，斜梁OB 与竖直方向的夹角为θ。

设水平横梁OA 和斜梁OB 作用于O 点的弹力分别为F1和F2。

以下结果正确的是（）
A 1sin F mg θ=
B 1
sin mg F θ= C 2cos F mg θ= D
2cos mg F θ= 4、如图所示，在倾角为θ的固定光滑斜面上，质量为m 的物体受外力F1和F2的作用，F1方向水平向右，F2方向竖直向上，若物体静止在斜面上，则下列关系正确的是（）
m g F sin m g cos F sin F .A 221≤=+，θθθ
m g F sin m g sin F cos F .B 221≤=+，θθθm g F sin m g cos F -sin F .C 221≤=，θθθ m g F sin m g sin F -cos F .D 221≤=，θθθ
5如图所示，质量均为m 的A 和B 两球，用两根长度均为l 的轻绳悬挂，两球间夹一劲度系数为k 的轻弹簧，平衡后两线之间的夹角为60°，如图所示．则弹簧被压缩的长度是( )
A ．3 mg/k
B ．3 mg/2k
C ．3 mg/3k
D ．23mg/3k
6如图所示，用一水平力推一静止在斜面上的木块，在F 由零不断增大，而木块一直保持静止的情况下，则（）
物体所受合力增大
物体所受合力不变
物体对斜面的压力增大
斜面对物体的摩擦力增大
答案：1D 2.B 3.D 4.B 5.C 6.BC
F 1。