偏微分方程的三类边界条件-Read
偏微分方程的定解条件与解的存在唯一性
偏微分方程的定解条件与解的存在唯一性偏微分方程（Partial Differential Equation, 简称PDE）是数学领域中的重要研究对象，广泛应用于物理学、工程学、金融学等领域。
在求解偏微分方程时，我们需要考虑定解条件，以确保解的存在和唯一性。
本文将探讨偏微分方程的定解条件，并讨论解的存在唯一性。
一、偏微分方程的定解条件在求解偏微分方程之前，我们需要明确的是问题的定解条件。
定解条件是指在区域Ω上关于未知函数u及其偏导数的附加条件。
常见的定解条件包括初始条件和边界条件。
1. 初始条件（Initial Condition）初始条件是在区域Ω的某个子集Ω₀上给定的函数值及其偏导数，常用符号表示为u(x, t₀) = g(x, t₀)，其中g(x, t₀)为已知函数，t₀为给定的初始时间。
2. 边界条件（Boundary Condition）边界条件是在区域Ω的边界上给定的函数值及其偏导数，常用符号表示为u(x, t) = f(x, t)，其中f(x, t)为已知函数。
在一些情况下，还需要考虑特殊的边界条件，如周期性边界（Periodic Boundary Conditions）和运动边界（Moving Boundary Conditions）等。
二、解的存在唯一性偏微分方程的解的存在唯一性是指在给定的定解条件下，方程是否有解以及解是否唯一。
1. 解的存在性对于某些偏微分方程，我们可以通过适当的数学工具（如变分法、分离变量法、线性化等）证明其存在解。
然而，并非所有的偏微分方程都具备解的存在性，存在着某些无解的情况。
因此，对于求解偏微分方程问题，我们需要首先考虑其解的存在性。
2. 解的唯一性在一些情况下，即使偏微分方程存在解，其解也不一定是唯一的。
对于线性偏微分方程，我们可以通过使用变分法或利用极大模原理来证明解的唯一性。
而非线性偏微分方程的唯一性则比较复杂，通常需要借助于更加深入的分析和数学工具。
初始条件与边界条件
§1.3
定解问题的提法
初始条件和边界条件都称为定解条件。 定解问题是指偏微分方程和相应定解条件的结合体。 偏微分方程和相应初始条件构成的定解问题称为初 值问题或者柯西(Cauchy)问题。
ut a 2uxx 0 u |t 0 ( x ) ( x , t 0) ( x )
dSdt k
u ，其中 n
k 为热传导系数.
所以当物体与外界有热交换时，相应的边界条件 为
u k h(u u1 ) S , n S
即
u n u u1 S , S
其中 h / k .
注1
在上面给出的边界条件中， fi i 1, 2, 3 都是定义 在边界S上（通常也依赖于t）的已知函数。
L[ui ] f i ， i 1,2,, n
（或定解条件 B[ui ] g i ） ，
则 u c i ui 满足方程
i 1
n
L[u] c i f i
i 1
n
（或定解条件 B[u] c i g i ） ， 其中ci 为任意常数。
i 1
n
例 非齐次波动方程的Cauchy问题
热传导问题：初始条件是指开始传热的时刻物体 温度的分布情况。若以 f(M) 表示 t =0 时物体内 一点M的温度，则热传导问题的初始条件可以表 示为
u M , t |t 0 f M .
泊松方程和拉普拉斯方程：描述稳恒状态，与时 间无关，所以不提初始条件。
注意：
不同类型的方程，相应初值条件的个数不同。 关于t的n阶偏微分方程，要给出n个初始条件。 初始条件给出的应是整个系统的初始状态，而 非系统中个别点的初始状态。
二阶 线性偏微分方程的定解条件
1在具体的研究中，要考查对象所处的环境和历史，则环境条件历史就是就是边界条件，历史就是初始条件。
一、初始条件(关于时间)对于随时间而发展变化的问题，必须考虑以前的一些状态，先前某个时刻的运动状态，即初始条件例：对于扩散、热传导问题，初始状态指的是研究的物理量U的初始分布：),,(),,,(0z y x t z y x u t ϕ==对于振动过程，不能仅仅给出初始位移：,,,,,z x t z x u ==)()(0y y t ϕ还必须有速度：),,(),,,(0z y x t z y x u t t ψ==2方程是二阶微分方程需要两个初始条件初始条件的个数跟方程是二阶微分方程，需要两个初始条件。
初始条件的个数跟方程的阶数相对应。
初始条件给出的是整体的状态，而不是某个点的状态！y例：长为l 的两端固定的弦，中点然后放手振动初始X 0l/2h 拉开距离h ，然后放手振动，初始时刻就是放手的瞬间，则初始速度x X=0x=l/2显然为零0),(0==t t t x u 状态，而不是中点一个点！初始位移应该是整个弦的位移状态，而不是中点个点⎧==)/2(,x l h t x u ]2/,0[l x ∈ht x u t ==0),(⎩⎨−))(/2()(0x l l h t ],2/[l l x ∈3如果没有初始条件，即在输运过程中，只由于初始时刻的不均匀分布引起的输运叫作自由输运。
随着时间的进行，输运过程逐渐自由输运随着时间的进行输运过程逐渐弱化，消失。
在振动过程中，只由于初始偏离或初始速度引起的振动叫在振动过程中只由于初始偏离或初始速度引起的振动叫自由振动经历足够长时间后，初始条件引起的自由运输或者自由振动衰减到可以认为消失，而系统的输运或者振动仅仅由于周期性外源或外力引起的，此时，我们可以忽略初始条件！性外源或外力引起的此时我们可以忽略初始条件！另外，在稳定场问题中（静电场、稳定浓度分布、稳定另外，在稳定场问题中（静电场稳定浓度分布稳定温度分布、无旋稳恒电流场、无旋稳恒流动），物理量恒定，所以根本就没有初始条件问题!4二、边界条件（关于空间边界）周围环境的影响体现为边界上的物理状况周围环境的影响体现为边界上的物理状况－－边界条件线性边界条件，数学上分为三类：第一类边界条件：直接给出边界上所研究物理量的数值。
《边界条件教程》课件
Dirichlet边界条件是一种常见的边界条件，它指定了函数在边界上的值。
详细描述
在解决偏微分方程时，常常会遇到各种边界条件。其中，Dirichlet边界条件规定 了函数在边界上的取值，即要求函数在边界上达到特定的值。这种边界条件通常 用于控制流动、热传导等问题，以确保物理现象的合理性和实际意义。
Neumann边界条件
总结词
Neumann边界条件规定了函数在边界上的导数值。
详细描述
与Dirichlet边界条件不同，Neumann边界条件关注的是函数在边界上的导数。这种边界条件通常用于描述物理 现象的流出或流入，例如流体流动、热传导等。在解决偏微分方程时，Neumann边界条件可以确保物理量的连 续性和自然边界条件。
在有限差分法中实现边界条件
1 2 3
反射边界条件
在有限差分法中，对于反射边界，可以通过设置 边界上的网格点与相邻网格点的物理量相等来实 现。
吸收边界条件
对于吸收边界，可以通过设置边界上的网格点物 理量与相邻网格点物理量相同，但方向相反来实 现。
周期性边界条件
对于周期性边界条件，可以通过设置边界上的网 格点物理量与相邻网格点物理量相同来实现。
解的误差分析
评估边界条件对解的误差的影响，了解误差来源和误差传播机制。
解的敏感性和鲁棒性
分析边界条件对解的敏感性和鲁棒性的影响，了解解的稳定性和可 靠性。
05 边界条件的实际应用
在流体动力学中的应用
总结词
描述边界条件在流体动力学中的重要性及应用。
详细描述
在流体动力学中，边界条件是描述流体与固体边界相互作用的关键因素。它们 决定了流体在边界上的行为，如流动速度、压力和温度等。边界条件的应用范 围广泛，包括航空航天、船舶、汽车和能源等领域。
偏微分方程的Boundary条件构造方法
偏微分方程的Boundary条件构造方法偏微分方程是研究自然界和人工现象的重要工具。
Boundary条件是定解问题的一部分，它描述的是在边界上的条件，常常是问题的关键所在。
对于偏微分方程来说，Boundary条件的确定会对问题的解产生很大的影响。
本文将介绍几种Boundary条件的构造方法。
一、第一类Boundary条件第一类Boundary条件是指在边界上对解的函数值进行限制，通常是一个已知的函数值。
这种Boundary条件也被称为Dirichlet 条件，它在数学建模中很常见。
以一维的抛物方程为例，其Dirichlet条件可以表示为：$$u(0,t)=g_1(t)\\u(1,t)=g_2(t)$$其中，$u(x,t)$表示自变量为$y$和$t$的解函数，$g_1(t)$和$g_2(t)$代表已知的函数值。
这种Boundary条件的构造方法很简单，只需要通过对物理情境的分析，找到边界上的限制条件即可。
二、第二类Boundary条件第二类Boundary条件是指在边界上对解的函数值和导数进行限制，通常是一个已知的函数值和一个导数值。
这种Boundary条件也被称为Neumann条件，它通常出现在类似热传导方程的问题中。
以二维的拉普拉斯方程为例，其Neumann条件可以表示为：$$\frac{\partial u}{\partial n}(x,y)=f(x,y)$$其中，$\frac{\partial u}{\partial n}(x,y)$表示解函数$u(x,y)$在法向$n$方向上的导数值，$f(x,y)$表示已知的导数值。
这种Boundary条件的构造方法比第一类条件要复杂一些，通常需要通过对物理情境的分析，考虑到量的守恒原理来确定其导数值。
三、第三类Boundary条件第三类Boundary条件是指在边界上对解的线性组合进行限制，通常是两个已知组合的函数值。
这种Boundary条件也被称为Robin条件，常常出现在非定常问题中。
偏微分方程中的边界条件与初始条件
偏微分方程中的边界条件与初始条件在偏微分方程的求解过程中，边界条件和初始条件是非常重要的。
边界条件定义了方程在空间边界上的行为，而初始条件则规定了方程在时间初始时刻的状态。
这两个条件的正确选择和准确给定对于得到准确的解是至关重要的。
一、边界条件的选择和应用在偏微分方程中，边界条件通常指定在空间边界上。
根据不同的问题和方程形式，可以有不同类型的边界条件。
1. Dirichlet 边界条件：Dirichlet 边界条件指定了方程解在边界上的具体数值。
例如，在一个热传导问题中，可以通过指定边界上的温度值来应用Dirichlet 边界条件。
2. Neumann 边界条件：Neumann 边界条件指定了方程解在边界上的法向导数。
例如，在一个扩散问题中，可以通过指定物质的流量或粒子的扩散速率来应用Neumann边界条件。
3. Robin 边界条件：Robin 边界条件是一种将 Dirichlet 边界条件和Neumann 边界条件结合在一起的条件形式。
它通常用于描述具有热传导和对流作用的问题。
在实际问题中，选取合适的边界条件需要根据问题的物理特性进行合理的选择。
对于特定的问题，可能需要根据实际情况进行数值模拟或实验来确定最合适的边界条件。
二、初始条件的选择和应用初始条件是指在时间初始时刻系统状态的描述。
在时间发展过程中，系统的状态随着时间的推移而变化，初始条件的准确给定对于求解偏微分方程的初值问题非常重要。
对于偏微分方程中的初始条件，一般需要给定系统在时间初始时刻的值或概率分布。
例如，在一个传热问题中，可以通过给定系统在时间初始时刻的温度分布来应用初始条件。
同样，初始条件的选择和给定需要根据具体问题的特性进行合理的确定。
在实际应用中，初始条件的准确性和合理性会直接影响到模拟结果的可靠性和有效性。
三、边界条件与初始条件的影响边界条件和初始条件的选择和应用直接影响着偏微分方程求解结果的准确性和可靠性。
不恰当或不准确的边界条件和初始条件可能导致解的不合理或不符合实际的情况。
数学物理方法三类边界条件
数学物理方法三类边界条件
在数学物理中，常常会遇到需要考虑边界条件的问题。
根据不同的情况，可以将数学物理方法中的边界条件分为三类，第一类边界条件、第二类边界条件和第三类边界条件。
1. 第一类边界条件（Dirichlet边界条件）：
第一类边界条件是指在边界上给定了物理量的具体值。
例如，在一个热传导问题中，可以给定边界上的温度值。
在一个波动方程中，可以给定边界上的振幅值。
这类边界条件可以用数学上的等式或函数来表示。
2. 第二类边界条件（Neumann边界条件）：
第二类边界条件是指在边界上给定了物理量的导数。
例如，在一个热传导问题中，可以给定边界上的热流密度（即温度梯度）。
在一个波动方程中，可以给定边界上的振幅的导数。
这类边界条件可以用数学上的导数来表示。
3. 第三类边界条件（Robin边界条件）：
第三类边界条件是指在边界上给定了物理量的线性组合，其中既包括物理量的值，也包括物理量的导数。
例如，在一个热传导问题中，可以给定边界上的热流密度和温度的线性组合。
这类边界条件可以用数学上的线性组合来表示。
需要注意的是，以上分类只是一种常见的方式，具体问题中的边界条件可能会有其他形式。
此外，边界条件的选择和应用也取决于所研究的具体物理问题和数学模型。
在实际问题中，根据边界条件的具体形式，可以选择合适的数学方法和技巧来求解。
偏微分方程边界条件
偏微分方程边界条件嘿，朋友们！今天咱们来聊聊偏微分方程里那超级有趣（嗯，有趣得就像在迷宫里找宝藏一样）的边界条件。
你要是把偏微分方程想象成一个神秘的大城堡，那边界条件可就是这个城堡的大门和围墙啦。
边界条件就像是数学世界里的魔法规则。
比如说，狄利克雷边界条件，这就像是给城堡的墙上画了一幅固定的画，规定好了边界上的值必须是某个特定的东西，就像告诉城堡的边界“你呀，只能长成我规定的这个模样，不能乱变”，这是不是有点像给一个调皮的孩子立下了超级严格的家规呢？再说说诺伊曼边界条件，这个呀，就像是给城堡的边界规定了一个进出的流量。
我总觉得它像是城堡大门的门卫，严格控制着哪些东西可以进来，哪些东西可以出去，而且这个流量还得按照特定的数学规则来，就好像门卫只让穿特定颜色衣服的人进出一样夸张。
有时候边界条件还会像一群爱捣乱的小精灵。
在一些复杂的物理问题里，这些边界条件一会儿这样，一会儿那样，让你感觉就像在和一群狡猾的小动物斗智斗勇。
你以为你抓住了这个边界条件的小尾巴，结果它又从另外一个地方冒出来给你捣乱。
而且呀，边界条件还像时尚界的潮流。
不同的学科领域，就像不同的时尚风格，会有不同的边界条件流行。
在流体力学里，它是一种样子，到了热传导里，又变成了另外一种样子，就像在时尚舞台上，今天流行的是宽松的衣服，明天就变成了紧身的风格。
不过呢，可别小看这些边界条件。
要是没有它们，偏微分方程这个大城堡就像是没有了框架，会散架成一团乱麻的。
它们就像拼图的边缘部分，虽然只是一部分，但要是没有它们，整个拼图就拼不起来啦。
当我们在解偏微分方程的时候，就像是在解一个超级复杂的谜题，而边界条件就是这个谜题的重要线索。
它们有时候很直白地告诉你答案的一部分，有时候又很含蓄，需要你去揣摩它们的心思，就像和一个神秘的朋友交流一样。
在数学的海洋里，偏微分方程边界条件就像那些独特的海怪，看起来有点吓人，但一旦你了解了它们，就会发现它们超级有趣。
它们是数学世界里独特的存在，就像独角兽在传说中的地位一样独特。
一阶线性偏微分方程求解例题
一阶线性偏微分方程求解例题
CH1典型方程和定解条件
【内容提要】
方程的建立(步骤:确定物理量;微元法建立等式;化简得方程) 主要方法：微元法；
泛定方程:
波动方程(双曲型)：
弦振动方程：
传输线方程：
电磁场方程:
热传导方程/扩散方程（抛物型）:
导热杆（无热源），
导热片（无热源）
稳恒方程(椭圆型):
Poisson方程：
Laplace方程：
2.定解条件：初始条件及边界条件
边界条件(1)第一类边界条件(Dirichlet条件):
(2)第二类边界条件(Neumann条件):
(3)第三类边界条件(Robin条件):
3.定解问题的提法：
4.线性偏微分方程的基本性质
（1）.线性迭加原理
(2.)齐次化原理（冲量原理）
Duhamel原理：设是方程的解，
(是方程的解。
【典型习题】
1：长为的均匀杆，侧面绝缘,一端温度为零，另一端有恒定热流进入（即单位时间内通过单位截面积流入的热量为），杆的初始温度分布是，试写出相应的定解问题
解：初始条件：，杆的初始温度分布是，
边界条件：由杆的一端温度为零
，杆的另一端有恒定热流q，）（Fourier实验定律
故定解问题为：
该定解问题为齐次方程第二类非齐次边界条件的混合问题
3：长为的弦两端固定，开始时在受冲量的作用，试写出相应的定解问题
解：设弦的两端为：，由题意有
弦的振动方程为
边界条件为：
初始条件为：
在点，取小段（是无穷小量），
由冲量定理有，(冲量=动量改变量)；
∴
于是，
故定解问题为
该定解问题为齐次方程第一类齐次边界条件的混合问。
三类边界条件可以统一地写成
定解问题问题的分类数学物理方程（泛定方程）加上相应的定解条件一起构成了定解问题。
根据定解条件的不同，又可以把定解问题分为三类：初值问题：定解条件仅有初值条件；边值问题：定解条件仅有边值条件；混合问题：定界条件有初值条件也有边值条件。
35分离变量理论(,)(,)(,)(,)(,)0xx yy x y a x y u b x y u c x y u d x y u e x y u ++++=考察如下两变量的二阶线性齐次偏微分方程：试确定方程如下形式的解：()()u X x Y y =将该解代入方程可得：aX Y bXY cX Y dXY eXY ′′′′′′++++=8有界弦的自由振动问题（齐次方程的混合问题）研究两端固定的均匀弦的自由振动，即定解问题：()()()()()()()()()20, 0,0,0, ,00;,0, ,0, 0.tt xx t u a u x l t u t u l t t u x x u x x x l ϕψ⎧=<<>⎪==≥⎨⎪==≤≤⎩在求解常微分方程时，通常的做法是先求出方程的通解，然后利用给定条件确定通解中的积分常数。
对于如上定解问题，这中做法一般情况下是行不通的。
原因在于通常很难求出偏微分方程的通解。
解决这一问题的办法是直接求满足定解条件的特解。
10相应地，边界条件变为：()()()()()()()()0000,00,0u t X T t u l t X l l t X X T ==⎫⎪⇒⎬===⎧=⎪⎭⎪⎨⎪⎩这样就得到如下常微分方程：()()''000, 0X X X X l λ−=⎧⎪⎨==⎪⎩该常微分方程的解依λ的取值不同而不同，需要讨论。
15本征值问题在求解方程过程中，我们遇到如下问题：()()''000, 0X X X X l λ−=⎧⎪⎨==⎪⎩通过讨论我们知道，仅当λ＞0，且为某些特定值时该方程有非平庸解。
基于COMSOL平台——如何设置偏微分方程边界条件
基于COMSOL平台——如何设置偏微分方程边界条件假设你在模拟这样的情况：载荷移动时横跨不同的网格单元和边界。
这时你只希望对一部分几何边界施加边界条件或只在特定条件下施加。
在本篇博客文章中，我们将讨论如何利用COMSOL Multiphysics 灵活处理这类特殊情况。
边界条件的分类对偏微分方程进行数学处理时，会遇到狄氏、纽曼和洛平这三类边界条件。
狄氏条件用于指定要求解的变量；纽曼条件用于指定通量，也就是因变量的梯度；洛平条件结合了前两类边界条件，用于指定变量及其梯度之间的关系。
下表列举了这三类边界条件用于不同物理场的几个示例以及对应的物理解释。
在使用有限元方法时，这三类边界条件会对求解问题的矩阵结构产生不同的影响。
纽曼条件纽曼条件是“载荷”，出现在方程组右侧。
在COMSOL Multiphysics 的方程视图中，这类边界条件显示为弱贡献。
纽曼条件纯粹是方程组右侧附加的贡献，因此可以包含以下变量的任何函数：时间、坐标或参数值。
我们来看一个传热问题，其中半径为的圆形热源沿x轴方向以速度移动。
其强度分布呈抛物线形，峰值为。
此载荷的数学描述可以是很明显，移动载荷不可能有域边界，甚至不可能存在一个始终适合载荷分布的网格。
我们可以在该表达式中直接输入载荷分布本身。
因为有两处会用到径向坐标变量，所以将其定义成变量是一个好方法。
移动热源的完整输入如下图所示。
描述移动热源的参数。
描述移动热源的局部径向坐标相对于当前中心的变量。
输入热通量。
下方动画显示的是采用上述数据进行瞬态仿真后的结果。
假定该问题关于yz平面对称，则载荷实际施加到了半圆形的移动热源上。
热源沿条块移动时温度分布的动画。
狄氏条件当给定狄氏条件时，因变量就指定了，所以无须对其求解。
我们可以从问题中删除这一类自由度方程。
因此狄氏条件会改变刚度矩阵的结构。
在COMSOL Multiphysics 的方程视图中，这类条件显示为约束。
假定要将移动点的温度指定为刚好450 K，这或许有点刻意，但是能表现出纽曼条件和狄氏条件之间的一个重要区别。
偏微分方程
第二节定解条件与定解问题数学院朱郁森常见的定解条件有初始条件和边界条件。
初始条件：用来说明初始状态的条件边界条件：用来说明边界约束情况的条件湖南大学数学院朱郁森一、弦振动方程的定解条件2,tt xx u a u =0,0.x l t <<>1、初始条件0(),t u x ϕ==0(),t t u x ψ==2、边界条件第一类可控制端点即端点的位移按已知规律变化。
则1(),x ug t ==2().x lug t ==特别地固定端边界条件第二类在边界上给定力设弦两端所受的横向外力分别为1(),G t 2().G t 而弦两端所受张力的横向分量分别为(0,),(,).x x Tu t Tu l t −又因弦的两端在横向方向受力平衡，所以有1(0,)()0,x Tu t G t +=2(,)()0,x Tu l t G t −+=12(0,)(),(,)(),x x u t g t u l t g t ==则相应的边界条件为其中1212()()(),(),G t G t g t g t T T=−=湖南大学数学院朱郁森特别地(0,)0,(,)0,x x u t u l t ==自由端边界条件第三类在边界上作弹性联结张力的横向分量弹性恢复力0x =x l=(0,)x Tu t (,)x Tu l t −11[(0,)()]k u t t θ−−22[(,)()]k u l t t θ−−于是有11(0,)[(0,)()]0,x Tu t k u t t θ−−=22(,)[(,)()]0,x Tu l t k u l t t θ−−−=11(0,)(0,)(),x u t u t g t σ−=22(,)(,)(),x u l t u l t g t σ+=其中1212112212,,()()(),().k k T Tk t k t g t g t T Tσσθθ===−=则相应的边界条件为例1长为l 的弦两端固定，开始时把弦在距O点处拉起来，拉起的高度为h （适当地小），然后轻轻放开让它振动，试写出描述其振动的方程与定解条件。
偏微分方程及其求解实例ppt课件
(hn1-2.*h(k,n)+h(k,n-1))./dr.^2);
end plot(r(3:n)./ra,p(k,3:n).*theta.*2./rb)
h hi1 hi1 r i 2r
2h hi1 2hi hi1
r 2
r 2
i
P
1 rb 4
1
r
h r
2h r 2
偏微分方程的求解实例2:
2u A x2
2u B
xy
C
2u y 2
D u x
E u y
Fu
f
x,
y,u,
u x
,
u y
(1) 导热方程:
u 2u
t x2 (2) 拉普拉斯方程: 如稳态静电场和稳态温度分布模型
2u 2u 0
x2 y2
(3) 波动方程: 一维弦振动模型
2u 2 2u
t 2
x2
偏微分方程的边界条件
function PDE1Dd_CrankNicolson % 使用Crank-Nicolson有限差分方法求解一维动态传
热模型
c1 = 100; c2 = 0; a = 10; b = 8; alpha = 2; n = 6; m = 8; U = CrankNicolson(@ic,c1,c2,a,b,alpha,n,m)
h t 3 9c
9c
h3 h33
4h r 4
3
h5 4h4
6h3 4h2 r 4
h1
h t
n
V
r i 2r
2h hi1 2hi hi1
r 2
r 2
i
3h r 3
hi2
2hi1 2hi1 2r 3
(高等数学)偏微分方程
第十四章 偏微分方程物理、力学、工程技术和其他自然科学经常提出大量的偏微分方程问题.由于实践的需要和一些数学学科（如泛函分析，计算技术）的发展，促进了偏微分方程理论的发展，使它形成一门内容十分丰富的数学学科.本章主要介绍一阶偏微分方程、线性方程组及二阶线性偏微分方程的理论.在二阶方程中，叙述了极值原理、能量积分及惟一性定理.阐明了一些解的性质和物理意义，介绍典型椭圆型、双曲型、抛物型方程的常用解法：分离变量法，基本解，格林方法,黎曼方法,势位方法及积分变换法.最后，扼要地介绍了有实用意义的数值解法：差分方法和变分方法.§1 偏微分方程的一般概念与定解问题[偏微分方程及其阶数] 一个包含未知函数的偏导数的等式称为偏微分方程.如果等式不止一个，就称为偏微分方程组.出现在方程或方程组中的最高阶偏导数的阶数称为方程或方程组的阶数.[方程的解与积分曲面] 设函数u 在区域D 内具有方程中所出现的各阶的连续偏导数，如果将u 代入方程后，能使它在区域D 内成为恒等式，就称u 为方程在区域D 中的解，或称正规解. ),,,(21n x x x u u = 在n +1维空间),,,,(21n x x x u 中是一曲面，称它为方程的积分曲面. [齐次线性偏微分方程与非齐次线性偏微分方程] 对于未知函数和它的各阶偏导数都是线性的方程称为线性偏微分方程.如()()()()y x f u y x c yuy x b x u y x a ,,,,=+∂∂+∂∂就是线性方程.在线性方程中，不含未知函数及其偏导数的项称为自由项，如上式的f (x,y ).若自由项不为零，称方程为非齐次的.若自由项为零，则称方程为齐次的.[拟线性方程与半线性方程] 如果一个方程，对于未知函数的最高阶偏导数是线性的，称它为拟线性方程.如()()()()()()0,,,,,,,,,,,,22222122211=+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂∂+∂∂u y x c y uu y x b x u u y x a yu u y x a y x u u y x a x u u y x a就是拟线性方程，在拟线性方程中，由最高阶偏导数所组成的部分称为方程的主部.上面方程的主部为()()()22222122211,,,,,,yuu y x a y x u u y x a x u u y x a ∂∂+∂∂∂+∂∂如果方程的主部的各项系数不含未知函数，就称它为半线性方程.如()()()()0,,,,,,2222=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂y yu y x d x y u y x c yu y x b x u y x a就是半线性方程.[非线性方程] 不是线性也不是拟线性的方程称为非线性方程.如1)()1(222=∂∂+∂∂+yux u u就是一阶非线性偏微分方程.[定解条件] 给定一个方程，一般只能描写某种运动的一般规律，还不能确定具体的运动状态，所以把这个方程称为泛定方程.如果附加一些条件（如已知开始运动的情况或在边界上受到外界的约束）后，就能完全确定具体运动状态，称这样的条件为定解条件.表示开始情况的附加条件称为初始条件，表示在边界上受到约束的条件称为边界条件.[定解问题] 给定了泛定方程（在区域D 内）和相应的定解条件的数学物理问题称为定解问题.根据不同定解条件，定解问题分为三类.1︒ 初值问题 只有初始条件而没有边界条件的定解问题称为初值问题或柯西问题. 2︒ 边值问题 只有边值条件而没有初始条件的定解问题称为边值问题.3︒ 混合问题 既有边界条件也有初始条件的定解问题称为混合问题（有时也称为边值问题）.[定解问题的解] 设函数u 在区域D 内满足泛定方程，当点从区域D 内趋于给出初值的超平面或趋于给出边界条件的边界曲面时，定解条件中所要求的u 及它的导数的极限处处存在而且满足相应的定解条件，就称u 为定解问题的解.[解的稳定性] 如果定解条件的微小变化只引起定解问题的解在整个定义域中的微小变化，也就是解对定解条件存在着连续依赖关系，那末称定解问题的解是稳定的.[定解问题的适定性] 如果定解问题的解存在与惟一并且关于定解条件是稳定的，就说定解问题的提法是适定的.§2 一阶偏微分方程一、 柯西-柯娃列夫斯卡娅定理[一阶偏微分方程的通解] 一阶偏微分方程的一般形式 是0),,,,,,,,(2121=∂∂∂∂∂∂nn x ux u x u u x x x F或()0,,,,,,,211=n n p p p u x x F ，其中()n i x up ii ,,2,1 =∂∂=如解出p 1，可得：p 1 = f (x 1 , x 2 ,…, x n , u , p 2 ,…, p n )当方程的解包含某些“任意元素”(指函数)，如果适当选取“任意元素”时，可得方程的任意解(某些“奇异解”除外)，则称这样的解为通解.在偏微分方程的研究中，重点在于确定方程在一些附加条件(即定解条件)下的解，而不在于求通解.[一阶方程的柯西问题]()()⎪⎩⎪⎨⎧==∂∂=n x x n n x x u p p u x x x f x u,,|,,,,,,,22211011 ϕ 称为柯西问题，式中),,(2n x x ϕ为已知函数，对柯西问题有如下的存在惟一性定理.[柯西－柯娃列夫斯卡娅定理] 设 f ( x 1 , x 2 ,, x n , u , p 2 ,, p n ) 在点 ( x 10 , x 20 ,, x n 0 , u 0 , p 20 ,, p n 0 ) 的某一邻域内解析，而),,(2n x x ϕ在点( x 20 ,, x n 0 ) 的某邻域内解析，则柯西问题在点 ( x 10 ,, x n 0 ) 的某一邻域内存在着惟一的解析解.这个定理应用的局限性较大，因它要求f 及初始条件都是解析函数，一般的定解问题未必能满足这种条件.对高阶方程也有类似定理.二、 一阶线性方程1． 一阶齐次线性方程[特征方程∙特征曲线∙初积分(首次积分)] 给定一阶齐次线性方程在有些书中写作0),,,,,,,,,(121=∂∂∂∂∂∂nn x u x u t u u x x x t F()()0,,,,,,211211=∂∂++∂∂nn n n x u x x x a x u x x x a (1) 式中a i 为连续可微函数，在所考虑的区域内的每一点不同时为零(下同).方程组()n i ix x x a tx ,,,d d 21 = ( i = 1,2,, n ) 或()()()n n n n n x x x a x x x x a x x x x a x ,,,d ,,,d ,,,d 2121222111 === (2)称为一阶齐次线性偏微分方程的特征方程.如果曲线l : x i = x i (t ) ( i =1,2,, n )满足特征方程(2)，就称曲线l 为一阶齐次线性方程的特征曲线.如果函数ψ ( x 1 , x 2 ,, x n )在特征曲线),,2,1()(n i t x x i i ==上等于常数，即ψ ( x 1(t ) , x 2(t ) ,, x n (t ) ) = c就称函数ψ ( x 1, x 2,, x n )为特征方程(2)的初积分(首次积分). [齐次方程的通解]1o 连续可微函数u = ψ ( x 1, x 2,, x n ) 是齐次线性方程(1)的解的充分必要条件是： ψ ( x 1, x 2,, x n )是这个方程的特征方程的初积分.2o 设ψi ( x 1 , x 2 ,, x n ) ( i = 1,2,, n 1-) 是特征方程(2)在区域D 上连续可微而且相互独立的初积分(因此在D 内的每一点，矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂---n n n n n n x x x x x x x x x 121112221212111ψψψψψψψψψ 的秩为n 1-) ，则u = ω ( ψ1 ( x 1 , x 2 ,, x n ) ,, ψn -1 ( x 1 , x 2 ,, x n ) )是一阶齐次线性方程(1)的通解，其中ω为n 1-个变量的任意连续可微函数. [柯西问题] 考虑方程的柯西问题()()⎪⎩⎪⎨⎧==∂∂==∑n x x ni i n i x x u x u x x x a ,,|0,,,2121011 ϕ 式中ϕ ( x2 ,, x n )为已知的连续可微函数.设ψi ( x 1 , x 2 ,, x n ) ( i = 1,2,, n 1-) 为特征方程的任意n 1-个相互独立的初积分，引入参变量 i ψ (1,,2,1-=n i )，从方程组()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===--120112201212011,,,,,,,,,n n n n n x x x x x x x x x ψψψψψψ 解出x 2 ,, x n 得()()⎪⎩⎪⎨⎧==--12112122,,,,,,n n nn x x ψψψωψψψω 则柯西问题的解为u = ϕ ( ω2 ( ψ1 , ψ2 ,, ψn -1 ) ,, ωn ( ψ1 , ψ2 ,, ψn -1 ) )2． 非齐次线性方程它的求解方法与拟线性方程相同.三、 一阶拟线性方程一阶拟线性方程为()()∑==∂∂ni n i n i u x x x R x uu x x x a 12121,,,,,,,, 其中a i 及R 为x 1 , x 2 ,, x n , u 的连续可微函数且不同时为零. [一阶拟线性方程的求解和它的特征方程]()()⎪⎩⎪⎨⎧===u x x x R t un i u x x x a t x n n i i,,,,d d ),,2,1(,,,,d d 2121 或()()()u x x R uu x x a x u x x a x n n n n n ,,,d ,,,d ,,,d 11111 ===为原拟线性方程的特征方程.如果曲线l : x i = x i (t ) ( i =1,2,, n ) , u = u (t ) 满足特征方程，则称它为拟线性方程的特征曲线.设 ψi ( x 1 ,, x n ,u ) ( i = 1,2,, n ) 为特征方程的n 个相互独立的初积分，那末对于任何连续可微函数ω，ω ( ψ1 ( x 1,, x n , u ) , ψ2 ( x 1,, x n , u ) ,, ψn ( x 1,, x n , u ) ) = 0都是拟线性方程的隐式解.[柯西问题] 考虑方程的柯西问题()()()⎪⎩⎪⎨⎧==∂∂==∑n x x ni n i ni x x u u x x x R x u u x x x a ,,|,,,,,,,,212121011 ϕ ϕ为已知的连续可微函数.设 ψ1 ( x 1 , x 2 ,, x n , u ) ,, ψn ( x 1 , x 2 ,, x n , u ) 为特征方程的n 个相互独立的初积分，引入参变量 n ψψψ,,,21 , 从()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===nn n n n u x x x u x x x u x x x ψψψψψψ,,,,,,,,,,,,2012201212011解出 x 2 ,, x n , u()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===n n n n n u x x ψψψωψψψωψψψω,,,,,,,,,21212122 则由()()()()()()()0,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,2121221221121=-≡n n n n n n u x x x u x x x u x x x V ψψψωψψψωϕψψω给出柯西问题的隐式解.四、 一阶非线性方程[完全解·通解·奇异解] 一阶非线性方程的一般形式为()()n i x up p p p u x x x F ii n n ,,2,10,,,,,,,,2121 =∂∂== 若一阶偏微分方程的解包含任意n 个独立的常数，则称这样的解为完全解(全积分). 若V ( x 1, x 2 ,, x n , u , c 1 , c 2,, c n ) = 0为方程的完全解，从()n i c VV i,,2,10,0 ==∂∂= 消去c i ，若得一个解，则称它为方程的奇异解(奇积分).以两个独立变量为例说明完全解与通解、奇异解的关系，设方程()yzq x z p q p z y x F ∂∂=∂∂==,,0,,,,有完全解V (x ,y ,z ,a ,b )=0 ( a ,b 为任意常数),则方程等价于从方程组()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂+∂∂=∂∂+∂∂=0,00,,,,q z Vy V p z V x V b a z y x V 消去a ,b 所得的方程.利用常数变易法把a ,b 看作x , y 的函数，将V (x ,y ,z ,a ,b )=0求关于x , y 的偏导数，得00=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂+∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂+∂∂ybb V y a a V q z V y V xbb V x a a V p z V x V那末0,0=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂yb b V y a a V x b b V x a a V 与V=0联立可确定a ,b .有三种情况：1︒ 0≡∂∂≡∂∂bVa V ，将其与V (x ,y ,z ,a ,b )=0联立可确定不含任意常数的奇异解. 2︒ 如0=∂∂=∂∂=∂∂=∂∂yb x b y a x a ，即回到完全解. 3︒ 当0/,0/≡∂∂≡∂∂b Va V 时，必有()()0,,=∂∂y x b a ，这时，如果不属于情形2︒ ，则a 与b 存在函数关系：b=ω(a )，这里ω为任意可微函数，并从方程V (x ,y ,z ,a ,b )=0和()∂∂∂∂ωV a Vba +'=0消去a ,b ，可确定方程的通解.定理 偏微分方程的任何解包含在完全解内或通解内或奇异解内. [特征方程·特征带·特征曲线·初积分] 在一阶非线性方程：()F x x x u p p p n n 12120,,,,,,,, =中，设F 对所有变量的二阶偏导数存在且连续，称()n i uFp x F t p p F p t u p Ft x i i i ni iii i ,,2,1)(d d d d ,1 =∂∂+∂∂-=∂∂=∂∂=∂∂∑=或u F p x F p u F p x F p p Fp up F x p F xp F x n nnni i i nn ∂∂+∂∂-==∂∂+∂∂-=∂∂=∂∂==∂∂=∂∂∑=d d d d d d 11112211为非线性方程的特征方程.设特征方程的解为x i =x i (t ), u=u (t ), p i =p i (t ) (i =1,2,…,n )称它为非线性方程的特征带.在x 1,x 2,, x n ,u 空间的曲线x i =x i (t ), u=u (t ) (i=1,2,…,n )称为非线性方程的特征曲线.如果函数()n n p p p u x x x G ,,,,,,,,2121 在特征方程的任一解x i =x i (t ) (i =1,2,, n ), u=u (t ), p i =p i (t ) (i =1,2,, n )上等于常数，即()()()()()()()()G x t x t x t u t p t p t p t C n n 1212,,,,,,,, =那末函数()n n p p p u x x x G ,,,,,,,,2121 称为特征方程的初积分.[求完全解的拉格朗日－恰比方法] 考虑两个变量的情况.对于方程F (x ,y ,z ,p ,q )=0，选择使雅可比式()()0,,≠∂∂q p G F 的一个初积分G (x ,y ,z ,p ,q ).解方程组()()F x y z p q G x y z p q a,,,,,,,,==⎧⎨⎪⎩⎪0(a 为任意常数) 得p (x ,y ,z ,a )及q (x ,y ,z ,a ).则方程d z=p d x+q d y的通解V (x ,y ,z ,a ,b )=0(b 是积分d z=p d x+q d y 出现的任意常数)就是方程F (x ,y ,z ,p ,q )=0的完全解.例 求方程()z p q x y 22222+=+的完全解.解 方程的特征方程为()()()qy x z y qp q p z x p q p z z q z y p z x 22222222222d 22d 2d 2d 2d +-=+-=+== 这里成立zpxx p z z p d d d =+ 所以特征方程的一个初积分为z 2p 2 －x 2 .解方程组 ()()z p q x y z p x a22222222+-+=-=⎧⎨⎪⎩⎪ (a 为任意常数) 得 p a x zq y az=+=-22, 积分微分方程dz a x zdx y azdy =++-22 得完全解z x x a y y a a x x a y y ab 22222=++-++++-+ln(b 为任意常数)[某些容易求完全解的方程] 1︒ 仅含p ,q 的方程F (p ,q )=0G =p 是特征方程的一个初积分.从F (p ,q )=0与p=a (a 为任意常数)得q=ψ(a )，积分d z=a d x+ψ(a )d y得完全解z=ax+ψ(a )y+b (b 为任意常数)2︒ 不显含x ,y 的方程F (z ,p ,q )=0 特征方程为zFqqz F p p q F q p F p z q F y p F x ∂∂-=∂∂-=∂∂+∂∂=∂∂=∂∂d d d d d 因此q d p-p d q =0，显然G qp=为一个初积分，由F (z ,p ,q )=0，q=pa (a 为任意常数)解得p=ψ(z ,a ).于是由d z=ψ(z ,a )d x+a ψ(z ,a )d y得()⎰++=b ay x a z z,d ψ (b 为任意常数)可确定完全解.3︒ 变量分离形式的方程()f x p i i i i n,=∑=10特征方程为n n n n i i iin n n x f p x f p p f p z p f x p f x ∂∂-==∂∂-=∂∂=∂∂==∂∂∑=d d d d d 1111111 可取初积分G i =f i (x i ,p i ) , (i =1,2,, n ).从f i (x i ,p i )=a i (i =1,2,, n )解出p i =ϕi (x i ,a i )得完全解()∑⎰=+=ni i i i i b x a x z 1d ,ϕ式中a i ,b 为任意常数，且a i i n=∑=10.[克莱罗方程] 方程()z p x f p p p i i n i n=+=∑121,,,称为克莱罗方程，其完全解为()z c x f c c c i i n i n=+=∑121,,,对c i 微分得x fc i i=-∂∂ (i =1,2,…,n ) 与完全解的表达式联立消去c i 即得奇异解.例 求方程z －xp －yq －pq =0的完全解和奇异解. 解 这是克莱罗方程，它的完全解是z=ax+by+ab对a,b 微分，得x=－b,y=－a ，消去a ,b 得奇异解z=－xy[发甫方程] 方程P (x,y,z )d x+Q (x,y,z )d y+R (x,y,z )d z=0 (1)称为发甫方程，如果P,Q,R 二次连续可微并满足适当条件，那末方程可积分.如果可积分成一关系式时，则称它为完全可积.1︒ 方程完全可积的充分必要条件 当且仅当P,Q,R 满足条件0)()()(=∂∂-∂∂+∂∂-∂∂+∂∂-∂∂yP x Q R x R z P Q z Q y R P (2) 时，存在一个积分因子μ(x,y,z )，使d U 1=μ(P d x+Q d y+R d z )从而方程的通解为U 1(x,y,z )=c特别，当0,0,0=∂∂-∂∂=∂∂-∂∂=∂∂-∂∂yP x Q x R z P z Q y R 时，存在一个函数U (x,y,z )满足 zU R y U Q x U P ∂∂=∂∂=∂∂=,,从而 d U=P d x+Q d y+R d z 所以方程的通解为U (x,y,z )=c所以完全可积的发甫方程的通解是一单参数的曲面族.定理 设对于发甫方程(1)在某区域D 上的完全可积条件(2)成立，则对D 内任一点M (x,y,z )一定有方程的积分曲面通过，而且只有一个这样的积分曲面通过. 2︒ 方程积分曲面的求法设完全可积条件(2)成立.为了构造积分曲面，把z 看成x,y 的函数(设R (x,y,z )≠0)，于是原方程化为y RQ x R P z d d d --=由此得方程组()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≡-=∂∂≡-=∂∂4,,3,,11z y x Q R Q y z z y x P R P xz发甫方程(1)与此方程组等价.把方程(3)中的y 看成参变量，积分后得一个含有常数 c 的通解 ()cy x z ~;,ϕ= 然后用未知函数()~cy 代替常数 c ，将()()z x y c y =ϕ,;~代入方程(4)，在完全可积的条件下，可得()~cy 的一个常微分方程，其通解为 ()()~,cy y c =ψ c 为任意常数，代回()()z x y cy =ϕ,;~中即得发甫方程的积分曲面 z=ϕ(x,y,ψ(y,c ))由于发甫方程关于x,y,z 的对称性，在上面的讨论中，也可把x 或y 看成未知函数，得到同样的结果.例 求方程yz d x+2xz d y+xy d z=0的积分曲面族.解 容易验证完全可积条件成立，显然存在一个积分因子μ=1xyz，用它乘原方程得 0d d 2d =++zz y y x x 积分后得积分曲面族xy 2z=c也可把方程化为等价的方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=∂∂-=∂∂y z yz x z xz 2 把y 看成参变量，积分xzx z -=∂∂得通解 zx c= 用未知函数()~cy 代替 c ，将()y c zx ~=代入方程y z y z 2-=∂∂得 ()()yy cy y c ~2d ~d -= 积分后有()~cy c y =2所以原方程的积分曲面族是xy 2z=c五、 一阶线性微分方程组[一阶线性偏微分方程组的一般形式] 两个自变量的一阶线性方程组的形式是()n i F u C x u B t u A i n j j ij n j n j jij j ij ,,2,10111 ==++∂∂+∂∂∑∑∑=== 或()n i f u b x u a t u i n j j ij n j j ij i,,2,1011 ==++∂∂+∂∂∑∑== (1) 其中A ij ,B ij ,C ij ,F i ,a ij ,b ij ,f i 是(x,t )的充分光滑函数. [特征方程·特征方向·特征曲线]⎩⎨⎧=≠==-j i j i t xa ij ij ij ,1,0,0)d d det(δδ称为方程组(1)的特征方程.在点(x,t )满足特征方程的方向txd d 称为该点的特征方向.如果一条曲线l ，它上面的每一点的切线方向都和这点的特征方向一致，那末称曲线l 为特征曲线. [狭义双曲型方程与椭圆型方程] 如果区域D 内的每一点都存在n 个不同的实的特征方向，那末称方程组在D 内为狭义双曲型的.如果区域D 内的每一点没有一个实的特征方向，那末称方程组在D 内为椭圆型的. [狭义双曲型方程组的柯西问题] 1︒ 化方程组为标准形式——对角型因为det(a ij -δij λ)=0有n 个不同的实根λ1(x,t ) ,, λn (x,t )，不妨设),(),(),(21t x t x t x n λλλ<<<那末常微分方程()()n i t x txi ,,2,1,d d ==λ 的积分曲线l i (i =1,2,…,n )就是方程组(1)的特征曲线. 方程()()aijk ij k i i n-==∑λδλ1的非零解(λk (1) ,, λk (n ))称为对应于特征方向λk 的特征矢量. 作变换()()n i u v nj jj i i ,,2,11==∑=λ可将方程组化为标准形式——对角型()()()()n i t x v t x a x v t x t v i nj j ij ii i ,,2,1,,,1=+=∂∂+∂∂∑=βλ 所以狭义双曲型方程组可化为对角型，而一般的线性微分方程组(1)如在区域D 内通过未知函数的实系数可逆线性变换可化为对角型的话，(此时不一定要求 λi 都不相同)，就称这样的微分方程组在D 内为双曲型的. 2︒ 对角型方程组的柯西问题 考虑对角型方程组的柯西问题()()()()()()n i x x v t x v t x a x v t x tv i inj i j ij i i i,,2,10,,,,1 =⎪⎩⎪⎨⎧=+=∂∂+∂∂∑=ϕβλ ϕi (x )是[a,b ]上的连续可微函数.设αij ,βi ,λi 在区域D 内连续可微，在D 内可得相应的积分方程组()()()n i tv x t x v il i n j j ij i i i ,,2,1d ,~1 =⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⎰∑=βαϕ 式中 l i 为第i 条特征曲线l i 上点(x,t )与点(x i ,0)之间的一段，(x i ,0)为l i与x 轴上[a,b ]的交点.上式可以更确切地写为()()[]()[]()[]()[]⎰∑⎭⎬⎫⎩⎨⎧+⋅+==t n j i i i j i ij i i i t x x t x x v t x x a t x x t x v 01d ,,,,,,,,,0,,,τττβττττϕ(i =1,2,, n )式中x i =x i (x ︒,t ︒,t )为过点(x ︒,t ︒)的第i 条特征曲线，利用逐次逼近法可解此积分方程.为此令()()()[]()()()()[]()[]()()[]()[]()()()()[]()[]()()[]()[]()n i t x x t x x v t x x a t x x t x v n i t x x t x x v t x x a t x x t x v n i t x x t x v i i tnj i k j i ij i i k ii i tnj i j i ij i i ii i i ,,2,1d ,,,,,,,,,0,,,,,2,1d ,,,,,,,,,0,,,,,2,10,,,}{}{01101010=+⋅+==+⋅+===⎰∑⎰∑=-=τττβττττϕτττβττττϕϕ序列{v i (k )} (k =0,1,2 ,)一致收敛于积分方程的连续可微解v i (x,t ) (i =1,2,, n )，这个v i (x,t )也就是对角型方程组的柯西问题的解.设在区域D 内对角型方程组的柯西问题的解存在，那末解与初值有下面的关系：(i) 依赖区间：过D 中任意点M (x,t )作特征曲线l 1,l n ，交x 轴于B,A ，称区间[A,B ]为M 点的依赖区间(图14.1(a ))，解在M 点的值由区间[A,B ]的初值确定而与[A,B ]外的初值无关. (ii) 决定区域：过点A,B 分别作特征曲线l n ,l 1,称l n ,l 1 与区间[A,B ]围成的区域D 1为区间[A,B ]的决定区域(图14.1(b ))，在区域D 1中解的值完全由[A,B ]上的初值决定.(iii) 影响区域：过点A,B 分别作特征曲线l 1,l n ，称l 1,l n 与[A,B ]围成的区域D 2为区间[A,B ]的影响区域(图14.1(c )).特别当区间[A,B ]缩为一点A 时，A 点的影响区域为D 3(图14.1(d )).在区域D 2中解的值受[A,B ]上的初值影响，而在区域D 2外的解的值则不受[A,B ]上的初值影响.图14.1[线性双曲型方程组的边值问题] 以下列线性方程组来说明：()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<++=∂∂+∂∂++=∂∂+∂∂2122221111λλλλc v b u a x v t v c v b u a xu t u (1) 1︒ 第一边值问题(广义柯西问题) 设在平面(x,t )上给定曲线段⋂AB ，它处处不与特征方向相切.过A,B 分别引最左和最右的特征曲线l 1及l 2.要求函数u (x,t ),v (x,t )在⋂AB ，l 1及l 2围成的闭区域D 上满足方程组，且在⋂AB 上取给定的函数值(图14.2(a )).2︒ 第二边值问题(古沙问题) 设l 1是过P 点的第一族特征线，l 2是第二族特征线，在l 1的一段PA 上给定v (x,t )的数值，在l 2的一段PB 上给定u (x,t )的数值，过A 点作第二族特征线，过B 点作第一族特征线相交于Q .求在闭区域PAQB 上方程组的解(图14.2(b )).3︒ 第三边值问题 设AB 为非特征曲线的曲线弧，AC 为一特征线弧，且在AB 与AC 之间不存在过A 点的另外特征曲线,过C 点作第二族特征线与过B 点的第一族特征线交于E 点，在AC 上给定v (x,t )的数值，在AB 上给定u (x,t )的数值，求ACEBA 所围成的闭区域D 上的方程组的解(图14.2(c)).图14.2[边值问题的近似解——特征线法] 以上定解问题，可用逐步逼近法求解，也可用特征线法求解的近似值.以第一边值问题为例说明.在曲线AB 上取n 个分点A 1,A 2,, A n ，并记A 为A 0，B 为A n +1，过A 0按A 0的第二特征方向作直线与过A 1按A 1的第一特征方向作直线相交于B 0；过A 1按A 1第二特征方向作直线与过A 2按A 2的第一特征方向作直线相交于B 1 ,最后得到B n (图14.3).用如下的近似公式来确定方程组(1)的解u (x,t ),v (x,t )在B i (i =0,1,2,…,n )的数值：()()()()()()(){}()[]()()()()()()(){}()[]u B u A B A a A u A b A v A c A A v B v A B A a A u A b A v A c A A i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i -=++⨯+-=++⨯+⎧⎨⎪⎩⎪+++++++--11111111112122212121211λλ图14.3于是在一个三角形网格的节点上得到u,v 的数值.再经过适当的插值，当n 相当大，A i 、A i +1的距离相当小时，就得到所提问题的足够近似的解.[特殊形式的拟线性方程组——可化约系统] 一般的拟线性方程组的问题比较复杂，目前研究的结果不多，下面介绍一类特殊形式的拟线性方程组——可化约系统.如果方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂0022221111x v D t v C x u B tu A xv D t v C x u B t uA 中所有的系数只是u,v 的函数，称它为可化约系统. 考虑满足条件()()0,,≠∂∂t x v u 的方程组的解u=u (x,t ),v=v (x,t ).x,t 可以表示成u,v 的函数，且()()()()()()()()v u t x u t x v v u t x u x t v v u t x v tx u v u t x v x t u ,,,,,,,,,,∂∂∂∂=∂∂∂∂∂∂-=∂∂∂∂∂∂-=∂∂∂∂∂∂=∂∂ 原方程化为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂+∂∂-∂∂-∂∂=∂∂+∂∂-∂∂-∂∂0022221111u t D u x C v t B vx A ut D u x C v t B v xA 这是关于自变量u,v 的线性方程组.这样就把求拟线性方程组满足()()0,,≠∂∂t x v u 的解，化为解线性方程组的问题.而此线性方程组满足条件()()0,,≠∂∂v u t x 的解，在(x,t )平面上的象即为原来拟线性方程组的解.§3 二阶偏微分方程一、 二阶偏微分方程的分类、标准形式与特征方程考虑二阶偏微分方程()0),,,,,,(111,2=∂∂∂∂+∂∂∂∑=nnnj i j i ij x u x u u x x F y x u x a (1) 式中a ij (x )=a ij (x 1,x 2,…,x n )为x 1,x 2,…,x n 的已知函数.[特征方程·特征方向·特征曲面·特征平面·特征锥面]代数方程()01,=∑=nj i jiijaa x a称为二阶方程(1)的特征方程；这里a 1,a 2,…,a n 是某些参数，且有012≠∑=ni i a .如果点x ︒=(x 1︒,x 2︒,…,x n ︒)满足特征方程，即()01,o =∑=nj i jiijaa x a则过x ︒的平面()01o=-∑=nk kk k x x a 的法线方向l :(a 1,a 2,…,a n )称为二阶方程的特征方向；如果一个(n 1-)维曲面，其每点的法线方向都是特征方向，则称此曲面为特征曲面；过一点的(n 1-)维平面，如其法线方向为特征方向，则称这个平面为特征平面，在一点由特征平面的包络组成的锥面称为特征锥面.[n 个自变量方程的分类与标准形式] 在点P (x 1︒,x 2︒,…,x n ︒)，根据二次型()∑=nj i jinijaa x x x a 1,o o 2o 1,,, (a i 为参量)的特征根的符号，可将方程分为四类：(i) 特征根同号，都不为零，称方程在点P 为椭圆型.(ii) 特征根都不为零，有n 1-个具有同一种符号 ，余下一个符号相反，称方程在点P 为双曲型.(iii) 特征根都不为零，有m n -个具有同一种符号(n >m >1)，其余m 个具有另一种符号，称方程在点P 为超双曲型.(iv) 特征根至少有一个是零，称方程在点P 为抛物型.若在区域D 内每一点方程为椭圆型，双曲型或抛物型，则分别称方程在区域D 内是椭圆型、双曲型或抛物型.在点P 作自变量的线性变换可将方程化为标准形式：椭圆型：∑==+∂∂ni ix u1220Φ双曲型：∑==+∂∂-∂∂n i ix ux u 22120Φ超双曲型：()10112222>>=+∂∂-∂∂∑∑=+=m n x ux u m i nm i ii Φ抛物型：()00122>=+∂∂∑-=m x umn i iΦ 式中Φ为不包含二阶导数的项.[两个自变量方程的分类与标准形式] 方程的一般形式为0,,,,222222122211=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂+∂∂+∂∂∂+∂∂y u x u u y x F y u a y x u a x u a (2) a 11,a 12,a 22为x ,y 的二次连续可微函数，不同时为零. 方程a 11d y 22-a 12d x d y +a 22d x 2=0称为方程(2)的特征方程.特征方程的积分曲线称为二阶方程(2)的特征曲线. 在某点P (x 0,y 0)的邻域D 内，根据Δ=a 122－a 11a 12的符号将方程分类： 当Δ>0时，方程为双曲型； 当Δ=0时，方程为抛物型； 当Δ<0时，方程为椭圆型.在点P 的邻域D 内作变量替换，可将方程化为标准形式：（i ） 双曲型：因Δ>0，存在两族实特征曲线11),(c y x =ϕ，22),(c y x =ϕ，作变换),(1y x ϕξ=，),(2y x ϕη=和,,ηηξ-=+=s t s 方程化为标准形式),,,,(2222tus u u t s t u s u ∂∂∂∂=∂∂-∂∂Φ或),,,,(12ηξηξΦηξ∂∂∂∂=∂∂∂uu u u （ii ） 抛物型: 因Δ=0，只存在一族实的特征曲线c y x =),(ϕ，取二次连续可微函数),(y x ψ，使0),(),(≠∂∂y x ψϕ，作变换),(y x ϕξ=，),(y x ψη=，方程化为标准形式),,,,(222ηξηξΦη∂∂∂∂=∂∂uu u u （iii ） 椭圆型：因Δ<0，不存在实特征曲线，设c y x i y x y x =+=),(),(),(21ϕϕϕ为11221121212d d a a a a a x y -+=的积分，y x ϕϕ,不同时为零，作变量替换),(1y x ϕξ=，),(2y x ϕη=,方程化为标准形式),,,,(32222ηξηξΦηξ∂∂∂∂=∂∂+∂∂uu u u u二、 极值原理·能量积分·定解问题的惟一性定理椭圆型方程、抛物型方程的极值原理及双曲型方程的能量守恒原理是相应方程的解所具有的最基本性质之一，在定解问题的研究中起着重要的作用. [椭圆型方程的极值原理与解的惟一性定理]1︒ 极值原理 设D 为n 维欧氏空间E n 的有界区域，S 是D 的边界，在D 内考虑椭圆型方程()()()()x x x x f u c x ub x x u a Lu ni i i n j i j i ij =+∂∂+∂∂∂≡∑∑==11,2式中a ij (x ),b i (x ),c (x ),f (x )在D 上连续，c (x )≤0且二次型()∑=nj i j i ij a a a 1,x 正定，即存在常数μ>0，对任意x D ∈和任意的a i 有()∑∑==≥ni i nj i jiija aa a 121,μx定理1 设u (x )为D 内椭圆型方程的解，它在D 内二次连续可微，在D 上连续，且不是常数，如f (x )≤0（或f (x )≥0），则u (x )不能在D 的内点取非正最小值（或非负最大值）. 如果过边界S 上的任一点P 都可作一球，使它在P 点与S 相切且完全包含在区域D 内，则有 定理2 设u (x )为椭圆型方程在D 内二次连续可微，在D 上连续可微的解，且不是常数，并设f (x )≤0（或f (x )≥0）.若u (x )在边界S 上某点M 处取非正最小值（或非负最大值），只要外法向导数错误！未定义书签。
三类边界条件推导
3. 第三类边界条件： 又称混合边界条件， 它给出了未知函数和它的法线方向上的导数的线 性组合在边界上的值。 对弦的一维振动问题，即已知端点处弦的位移（引起弹性支撑的力）和所受的垂直于弦 线的外力。 对 x 0 ，即弦的左端：
弦对支撑外力的垂直分量为： T
u ，由胡克定律知： x u T x 0 ku x 0 f 0 (t) x
三类边界条件的推导
边界条件是弦在两个端点处的状态或受到的约束情况，一般有三种： 1. 第一类边界条件：已知未知函数在边界上的值 gi (t ) ，即端点处弦的位移：
u(0, t ) g1 (t ) ， u(l , t ) g2 (t )
当 gi (t ) 0 时，表示在端点处弦是固定的。 2. 第二类边界条件： 已知未知函数在边界上法向导数的值， 即端点处弦所受到的垂直于弦 的外力 f (t ) ： 对 x 0 ，即弦的左端：
弦的张力在垂直方向的分量为： T sin ，根据牛顿第二定律，有：
T sin x0 T
对于 x l ，即弦的右端：
u x
x 0
f 0 (t )
同理可得：
T sin xl T
u x
x l
fl (t )
特别地，当 fi (t ) 0 时，表示弦在两端不受约束作用，即可以自由滑动，适应于自 由端的情形。
设
k f (t ) ， v(t ) ，可以得到，弹性支撑条件下，弦振动的边界条件为： T T u ( u ) x0 v(t ) x
对于 x l ，即弦的右端：
弦对支撑外力的垂直分量为： T 此时得到的弦振动的边界条件为：
u u ，由胡克定律知 T x x
偏微分方程的三类边界条件-Read
偏微分方程的三类边界条件：第一类边界条件(Drichlet 条件)：在边界上指定场函数的分布形式，即φφ=S第二类边界条件（Neumann 条件）：在边界上指定场函数沿边界外法线方向的偏导数，即：q nS=∂∂φ 或 q n z n y n x Sz y x =∂∂+∂∂+∂∂)(φφφ 其中x n 、y n 、z n 为边界外法向的方向余弦，q 为定义在边界上的已知函数。
第三类边界条件（Robbin 条件/混合边界条件）：在边界上指定场函数本身以及场函数沿边界外法线方向的偏导数的线性组合，即f n k h Sn=∂∂+)(φφ 其中022≠+n k h ，当h=0，n k q f =，为第二类边界条件；当0=n k 时，φh f =,为第一类边界条件。
有限元法主要用于求解偏微分方程。
由于偏微分方程在实际应用中很难获得解析解（用一个算式来表示的解），因而通常使用其得数值解（某些离散节点上的解）代替有限元分析的步骤：（详见《有限元方法概论》第三章）1． 将给定求解域（在我们的应用中可以将其认为是个空间区域）离散为一个预先设计的有限个单元（二维的单元通常为矩形或三角形，三维为立方体或四面体）的集合： 用有限元在给定域中划分有限元网格（网格由单元的顶点和边构成）；将结点（顶点）与单元编号；形成解此问题所需的几何性质。
2． 推导网格中所有典型单元的单元方程式：对典型单元建立给定微分方程的变分方程式；假定因变量u 具有以下形式：∑==ni ii a u 1ϕ，并将其代入前面的变分方程式，获得如下单元方程式：[]{}{}eeeF u k=；推导单元插值函数，并计算单元矩阵。
其中单元近似函数的推导是先假设)()()(x c x u e iii ϕ∑=，然后将此式代入单元边界条件中（假设场函数满足结点上的场函数/场函数梯度值），求出i c 用边界结点的场函数/场函数的梯度表示的表达式，再将i c 的表达式代回u(x)的表达式，对节点上场函数的系数进行归并，获得以节点上场函数)(e i u /梯度值)(e i p 为未知系数，)(e iu的系数为)(e iϕ的一个方程，此方程即为单元方程。
三维非稳态导热微分方程 三类边界条件
三维非稳态导热微分方程三类边界条件
三维非稳态导热微分方程是描述物体在空间中的温度分布和随时间变化的偏微分方程。
其一般形式为：
∂u/∂t = α(x) ∇²u
其中，u(x,t) 表示在空间位置x 和时间t 处的温度，α(x) 是位置相关的热扩散率。
三类边界条件
在求解三维非稳态导热微分方程时，需要考虑以下三类边界条件：
1.恒温边界条件
恒温边界条件是指在边界上的温度保持恒定，即：
u(x,t) = constant
这种边界条件适用于与外界进行热交换的表面，如环境温度、加热器或冷却器等。
2.热流边界条件
热流边界条件是指在边界上施加一定的热流，即：
-α(x) ∂u/∂n = q(x,t)
其中，n 是边界的外法线方向，q(x,t) 是单位面积上的热流。
这种边界条件适用于表面传热系数已知的情况。
3.绝热边界条件
绝热边界条件是指在边界上没有热交换发生，即：
-α(x) ∂u/∂n = 0
这种边界条件适用于没有热交换的表面，如绝热材料。
第三类边界条件
第三类边界条件边界条件是科学计算中非常重要的一部分，它指定了计算区域边界上的物理条件。
在数值模拟和计算机模拟等领域中，边界条件对计算的准确性和可靠性有着至关重要的影响。
科学计算中，通常将边界条件分为三类：第一类边界条件、第二类边界条件和第三类边界条件。
在本文中，我们将主要介绍第三类边界条件。
第三类边界条件是指，具有一定量的边界值的常微分方程问题。
该类型的边界条件通常涉及未知数的导数，例如，一条弦的弦振动问题中，边界条件涉及弦的两个端点的位置和速度。
在这种情况下，边界条件通常被称为Neumann条件。
边界条件在计算程序中的实现是非常关键的。
数值计算方法和算法本身需要满足边界条件的要求，才能得出准确和可靠的结果。
第三类边界条件的实现相对来说比较复杂，需要考虑许多因素。
其中包括问题的物理特性、计算程序所采用的数值算法、以及计算区域的边界条件的类型和数量等等。
在实际应用中，第三类边界条件通常以以下方式给出：$\frac{\partial u}{\partial x}|_{x=a} = g_1$其中，$u(x)$是未知函数，$g_1$和$g_2$分别是$x=a$和$x=b$处的边界值。
上面的方程描述了一个关于$u$的偏微分方程和一些边界条件。
但是，第三类边界条件还需要满足额外的条件，才能够完全解决问题。
例如，在弦振动问题中，我们需要从物理上考虑，弦的两端点是固定的，无法振动，这意味着函数在两个端点处的导数必须为零。
我们可以通过添加额外的边界条件，如下所示：这个条件通常被称为Dirichlet条件。
通过这种方式，我们可以在边界条件中添加一些常量，以更好地描述问题的物理特性。
在实践中，计算程序的选择也非常重要。
在解决第三类边界条件的问题时，需要评估可用的计算资源，选择能够提供最高准确性和精度的计算程序。
这可能意味着选择复杂的方法和算法，其中包括适当的数值计算和数值拟合，以及稳定和高效的解决方法。
在本文中，我们已经介绍了第三类边界条件的一些重要概念和注意事项。
三类边界条件热传导方程扩散方程
c J D( ) x
菲克第二定律：当扩散处于非稳态时，各点的浓度随时间而改变，通常的 扩散过程大都是非稳态扩散，菲克从物质的平衡关系着手，建立了第二个微 分方程式。
2.1热传导方程与扩散方程
在扩散方向上取体积元 ，Ax, J x , J x x 分别 表示流入体积元及流出体积元的扩散通量，则 在 t 时间内，体积元中扩散物质的积累量为：
only. ted with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2 其中： k 热传导系数 Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 拉普拉斯算子，在二维 笛卡尔空间上
2 2 2 x y 2 u 标量场，比如温度场等 g、f 已知函数 G 有界连通区域 连通区域的边界
x方向通过 x
处截面所迁移的物质的量 m
c m A t x
即：
Evaluation only. dmfor .NET c ted with Aspose.Slides D( ) 3.5 Client Profile 5.2 Adt x Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.
注：负号是因为热量总是从温度高的一侧流向低的一侧。 在物体 G 内任取一个封闭曲面 从 t1 时刻到 t 2 时刻流进闭曲面
Q
t2
t1
u dS dt. k ( x, y, z ) n
，它所包围的区域记为 的全部热量为：
t 2 温度从 在时间间隔 t 1， 的热量是：
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偏微分方程的三类边界条件-Read
偏微分方程的三类边界条件：第一类边界条件(Drichlet 条件)：在边界上指定场函数的分布形式，即φφ=S第二类边界条件（Neumann 条件）：在边界上指定场函数沿边界外法线方向的偏导数，即：q nS=∂∂φ 或 q n z n y n x Sz y x =∂∂+∂∂+∂∂)(φφφ 其中x n 、y n 、z n 为边界外法向的方向余弦，q 为定义在边界上的已知函数。
第三类边界条件（Robbin 条件/混合边界条件）：在边界上指定场函数本身以及场函数沿边界外法线方向的偏导数的线性组合，即f n k h Sn=∂∂+)(φφ 其中022≠+n k h ，当h=0，n k q f =，为第二类边界条件；当0=n k 时，φh f =,为第一类边界条件。
有限元法主要用于求解偏微分方程。
由于偏微分方程在实际应用中很难获得解析解（用一个算式来表示的解），因而通常使用其得数值解（某些离散节点上的解）代替有限元分析的步骤：（详见《有限元方法概论》第三章）1． 将给定求解域（在我们的应用中可以将其认为是个空间区域）离散为一个预先设计的有限个单元（二维的单元通常为矩形或三角形，三维为立方体或四面体）的集合： 用有限元在给定域中划分有限元网格（网格由单元的顶点和边构成）；将结点（顶点）与单元编号；形成解此问题所需的几何性质。
2． 推导网格中所有典型单元的单元方程式：对典型单元建立给定微分方程的变分方程式；假定因变量u 具有以下形式：∑==ni ii a u 1ϕ，并将其代入前面的变分方程式，获得如下单元方程式：[]{}{}eeeF u k=；推导单元插值函数，并计算单元矩阵。
其中单元近似函数的推导是先假设)()()(x c x u e iii ϕ∑=，然后将此式代入单元边界条件中（假设场函数满足结点上的场函数/场函数梯度值），求出i c 用边界结点的场函数/场函数的梯度表示的表达式，再将i c 的表达式代回u(x)的表达式，对节点上场函数的系数进行归并，获得以节点上场函数)(e i u /梯度值)(e i p 为未知系数，)(e iu的系数为)(e iϕ的一个方程，此方程即为单元方程。
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偏微分方程的三类边界条件：第一类边界条件(Drichlet 条件)：在边界上指定场函数的分布形式，即φφ=S第二类边界条件（Neumann 条件）：在边界上指定场函数沿边界外法线方向的偏导数，即：q nS=∂∂φ 或 q n z n y n x Sz y x =∂∂+∂∂+∂∂)(φφφ 其中x n 、y n 、z n 为边界外法向的方向余弦，q 为定义在边界上的已知函数。
第三类边界条件（Robbin 条件/混合边界条件）：在边界上指定场函数本身以及场函数沿边界外法线方向的偏导数的线性组合，即f n k h Sn=∂∂+)(φφ 其中022≠+n k h ，当h=0，n k q f =，为第二类边界条件；当0=n k 时，φh f =,为第一类边界条件。
有限元法主要用于求解偏微分方程。
由于偏微分方程在实际应用中很难获得解析解（用一个算式来表示的解），因而通常使用其得数值解（某些离散节点上的解）代替有限元分析的步骤：（详见《有限元方法概论》第三章）1． 将给定求解域（在我们的应用中可以将其认为是个空间区域）离散为一个预先设计的有限个单元（二维的单元通常为矩形或三角形，三维为立方体或四面体）的集合： 用有限元在给定域中划分有限元网格（网格由单元的顶点和边构成）；将结点（顶点）与单元编号；形成解此问题所需的几何性质。
2． 推导网格中所有典型单元的单元方程式：对典型单元建立给定微分方程的变分方程式；假定因变量u 具有以下形式：∑==ni ii a u 1ϕ，并将其代入前面的变分方程式，获得如下单元方程式：[]{}{}eeeF u k=；推导单元插值函数，并计算单元矩阵。
其中单元近似函数的推导是先假设)()()(x c x u e iii ϕ∑=，然后将此式代入单元边界条件中（假设场函数满足结点上的场函数/场函数梯度值），求出i c 用边界结点的场函数/场函数的梯度表示的表达式，再将i c 的表达式代回u(x)的表达式，对节点上场函数的系数进行归并，获得以节点上场函数)(e i u /梯度值)(e i p 为未知系数，)(e iu的系数为)(e iϕ的一个方程，此方程即为单元方程。
)(e i ϕ为单元插值函数，∑=M i e i e i u1)()(ϕ为单元内场函数的近似表达式。
3． 将单元方程式集合起来，获得整个问题的方程式：法1：通过建立单元节点与整体节点之间的关系，将单元方程中的单元节点全部用整体节点表示，并通过补0的方式，将单位方程扩充为整体形式（扩充到系统方程的维数）。
最后将经过扩充的单位方程的整体形式相加，最终获得整体方程。
法2：[]{})(1)()(e i Ne e i eu u Iδδ∑=＝0， （1）其中{}[]{}{}{})()()()()()(21)(e Tii e Ti e i e F u u K u u I e e e -=（2）将（2）式代入（1）式得：0)(111)()(=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∑∑∑===e i ne Mi M j e i e i ij u F u k δ 利用单元节点与整体节点的关系将单元节点写为整体节点以及i U δ的系数应全为0（因为变分可是任意值）即可推出系统方程。
4． 引入问题的边界条件：系统方程中的未知数一般有两种：一种是节点处的场函数值（即i U ），另一类是节点处场函数的梯度值（即e i p ）。
如不通过某种方法消去一些未知数，则系统方程不可解。
第一类未知数可通过边界条件消去几个，第二类未知数一般只有边界节点处未知，中间节点处一般可由物理意义推出），如此系统方程可解。
5． 解系统方程。
6． 结果的后处理：当已经通过系统方程解出了各节点处场函数的值与场函数的梯度值之后，我们可通过单元内场函数的近似函数推出单元内任意一点的场函数表达式。
梯度定理Fdsn z n j n i Fds n dxdydz z F z y F j x F i Fdxdydz dxdydz F grad z y x )()()(++==∂∂+∂∂+∂∂=∇=⎰⎰⎰⎰⎰ΓΓΩΩΩ散度定理dsG n G n G n Gds n dxdydz z G y G x G Gdxdydz dxdydz G div z z y y x x z y x )()()(++=⋅=∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇=⎰⎰⎰⎰⎰ΓΓΩΩΩ 其中n 表示区域Ω的外表面Γ上的外法向单位矢量，),cos(n x n x ＝，),cos(n y n y＝，),cos(n z n z ＝推论⎰⎰⎰ΩΩΓ+∇-=∇FGds n Fdxdydz G Gdxdydz F)(）（Gds nFGdxdydz F Gdxdydz F ⎰⎰⎰ΩΩΓ∂∂-∇⋅∇=∇-)(2其中zn y n x n n n z y x ∂∂+∂∂+∂∂=∇⋅=∂∂关于二次二维偏微分方程的解研究对象：0)()(0022211211=-+∂∂+∂∂∂∂-∂∂+∂∂∂∂f u a yu a x u a y y u a x u a x －变分公式推导：利用梯度定理以及等效积分法则可将上式化为：0)()()()(0021211211=-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂∂∂⎰⎰ΓΩds vq dxdy vf vu a y ua x u a y v y u a x u a x v e e n(3)其中)()(21211211yua x u a n y u a x u a n q y x n ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=，y x n n 、为边界Γ上的法向量在x 、y 轴上的分量。
设j jj u u ϕ∑=其中i ϕ满足：ij j j i y x δϕ=),(1),(=∑j jii y xϕ将u 的表达式代入（3）式并将（3）式中的v 用i ϕ代替，得：)()()()()(10021211211=--⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂∂∂⎰⎰∑⎰ΓΩ=Ωds q dxdy f u dxdy f a y a x a y y a x a x i n i j nj i j i j j i j j i e e e ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ或)()(1)(e i e j nj e ijF u K=∑= （4）其中⎰Ω⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂∂∂=)(0021211211)()()(e dxdy f a y a x a y y a x a x Ki j i j j ij j i e ijϕϕϕϕϕϕϕϕϕ （5）ds q dxdy f F i n i e i e e ϕϕ⎰⎰ΓΩ+=)()()( （6）插值函数：插值函数与单元的性质有关，二维有限元分析中主要使用三角形单元或矩形单元。
三节点三角形单元的差值函数：设y c x c c y x u 321),(++=，则u 的表达式必须满足 i i i i i y c x c c y x u u 321),(++== （5） 其中i u 代表三角形的三个顶点，节点逆时针编号。
则可解出：[])()()(211221331132233211y x y x u y x y x u y x y x u A c e-+-+-=[])()()(212131323212y y u y y u y y u A c e-+-+-= [])()()(211233122311x x u x x u x x u A c e-+-+-=其中e A 为三角形的面积)()()(2122131132332y x y x y x y x y x y x A e -+-+-=将i c 的表达式代入（5）式，可得三节点三角形得插值函数为：)(21)(y x A i i i ee i γβαϕ++=i=1,2,3 （6） j k k j i y x y x -=α k j i y y -=β j k i x x -=γ k j i ≠≠三节点三角形单元的单元矩阵的计算： 可将（5）式写成四个基本矩阵[]αβS与矩阵[]S 之和：[][][][][][]S a S a S a S a S a K Te 002222122112121111)(++++=其中dxdy xx s j i ij∂∂∂∂=⎰Ωϕϕ11 d x d y y x s j i ij ∂∂∂∂=⎰Ωϕϕ12 d x d y y y s j i ij ∂∂∂∂=⎰Ωϕϕ22dxdy s j i ij ϕϕ⎰Ω=令dxdy f f e i e i⎰Ω=)()(ϕ ds q Q e i n e i ⎰Γ=)()(ϕ利用（6）式可计算出：j i ij A s ββ4111=j i ij A s γβ4112= j i ij A s γγ4122= []{y x As i j j i i j j i j i ij )()(41γαγαβαβααα++++= ⎭⎬⎫⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++++++∑∑∑===3131312222)(12))(9(12)9(121i i i j i i i j j i i i j i i y y A y x y x A x x A A γγβγβγββ 因为32A y x i i i =++γβα 则3)(fA f e i = 从而由三角形三顶点坐标可获得单元方程边界积分的计算：ds s q Q e i e n e i e )()()()()(ϕ⎰Γ= 当)(e Γ的一部分不与域的边界重合时，此积分为0。
当)(e Γ的一部分与域的边界重合时，在这部分)(e Γ上一般)(e n q 和)()(s e i ϕ为已知，此积分能够计算。
单位矩阵的组装：系统系数矩阵[]K 的元素∑=ee nmij kk )(（当i ，j 对应的系统节点处于同一个单元内时，n 、m 为系统节点i 、j 在单元e 内对应的单位节点。
）；0=ij k （当i 、j 不在一个单元内时） 系统方程的[]F 向量的第i 个分量∑=ee ni FF )((其中i 为第i 个系统节点，n 为第i 个系统节点在单元e 内所对应的单元节点号。
)漫射方程有限元求解的过程稳态漫射方程：()()()()()z y x S z z y x y z y x x z y x D z y x a ,,,,,,,,,,222222=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂Φ∂+∂Φ∂+∂Φ∂-Φμ ()'31s a D μμ+=()g s s -=1'μμ边界条件：()()()()()0,,,,,,,,2,,=Φ∇⋅'+Φz y x z y x v D n n z y x A z y x ()Ω∂∈z y x ,,()()()R R n n z y x A -+='11,,,, n n n R 0636.06681.07099.04399.112+++-≈--测量方程：()()()()n n z y x A z y x z y x z y x v D z y x Q 'Φ=Φ∇⋅-=,,,,2,,,,),,(),,( ()Ω∂∈z y x ,,)(2∇-=D B a μ对漫射方程进行变分：()()()()()()()()⎰⎰ΩΩψ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂Φ∂+∂Φ∂+∂Φ∂ψ-Φψdxdydzz y x S z y x dxdydz z z y x y z y x x z y x z y x D z y x z y x a ,,,,,,,,,,,,,,,,222222μ))(21(∇⋅+=V AD G对上式分步积分得：()()()()()()()()()()()()()()⎰⎰⎰ΩΩ∂Ωψ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂Φ∂+∂Φ∂+∂Φ∂ψ-⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂Φ∂∂ψ∂+∂Φ∂∂ψ∂+∂Φ∂∂ψ∂+Φψdxdydzz y x S z y x dsn z z y x n y z y x n x z y x z y x D z z y x z z y x y z y x y z y x x z y x x z y x D z y x z y x z y x a ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,μ将边界条件带入上式得：()()()()()()()()()()()()()⎰⎰⎰ΩΩ∂Ωψ='Φψ+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂Φ∂∂ψ∂+∂Φ∂∂ψ∂+∂Φ∂∂ψ∂+Φψdxdydzz y x S z y x dsn n z y x A z y x z y x dxdydz z z y x z z y x y z y x y z y x x z y x x z y x D z y x z y x a ,,,,,,,,2,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,μ将上式写为()()()()[]()()()()()⎰⎰⎰ΩΩ∂Ωψ='Φψ+Φ∇⋅ψ∇+Φψdxdydzz y x S z y x dsn n z y x A z y x z y x dxdydz z y x z y x D z y x z y x a ,,,,,,,,2,,,,,,,,,,,,μ在一个单元中令()()∑=≈ΦTk k k z y x z y x 1,,,,ϕφ ()Ω∈z y x ,, 其中kφ为在单元的第k个节点上的Φ值，k ϕ为单元的第k 个插值函数。