固体物理学中两种边界条件的对比
边界条件的类型
边界条件的类型一、边界条件的类型嘿，小伙伴们！今天咱们来唠唠边界条件的类型这个事儿哈。
那啥是边界条件呢？简单来说，就是在解决一些物理、数学或者工程问题的时候，在研究区域的边界上所需要满足的一些条件啦。
咱先说说第一类边界条件，这也叫狄利克雷边界条件哦。
想象一下，就像是在一个大的区域里面，边界上的值是给定好的。
比如说，在研究热传导问题的时候，在物体的边界上，温度是已经知道的数值，这个数值就像是一个固定的标准，不管里面怎么变，边界上就是这个数，是不是很神奇呢？接着呢，就是第二类边界条件啦，也被称为诺伊曼边界条件。
这个条件就有点不同咯，它规定的不是边界上的值，而是边界上值的变化率。
就好比在流体流动的问题里，在边界上流体的流速的变化率是给定的。
这就像是在一个游戏里，不是告诉你边界上的具体状态，而是告诉你这个状态的变化速度呢。
还有第三类边界条件，这可就更有趣了。
它是前两种边界条件的一种混合形式呢。
比如说在一些热交换的问题里，边界上的热量交换既和边界上的温度有关，也和温度的变化率有关。
这就像是把两个规则混合起来玩一个更复杂的游戏。
然后呢，还有周期性边界条件。
这个在研究一些具有周期性结构的问题里特别有用。
比如说晶体结构，它的边界就像是循环的一样，一边的边界和另一边的边界在某种意义上是一样的。
就像一个无限循环的图案，这边的边界和那边的边界就像双胞胎一样有着相同的性质。
最后呀，还有混合边界条件。
这个就比较复杂啦，它是把好几种不同的规则组合在一起，根据具体的问题来设定边界上的各种条件。
就像是一个超级复杂的拼图，每一块都有自己的规则，但是组合起来就能解决那些特别难搞的问题。
哈哈，边界条件的类型是不是很有趣呢？它们就像是一把把钥匙，能帮我们打开解决各种问题的大门哦。
固体物理学中两种边界条件的比较
固体物理学中两种边界条件的比较在固体物理学中，通常使用两种边界条件：周期性边界条件和固定边界条件。
它们分别适用于不同的情况，下面是它们的比较：
1. 周期性边界条件
周期性边界条件是指，在模拟一个固体体系时，将系统的一侧与相反侧相连，形成一个环形结构。
这样，当粒子在一侧移动到另一侧时，它们就会出现在相反的一侧。
周期性边界条件的优点在于，它可以有效地减少边界效应的影响，从而更好地模拟整个固体体系的行为。
2. 固定边界条件
固定边界条件是指，在模拟一个固体体系时，将固体的边界固定在一个位置，不允许粒子从边界处穿过。
这样做的优点在于，可以更加准确地模拟固体表面的行为，比如表面的强度和形变。
固定边界条件也可以用于研究材料界面的性质，比如界面的能量和扩散性等。
总的来说，选择使用哪种边界条件应该根据具体的模拟目的和所研究的固体体系的性质来决定。
如果需要更好地模拟整个固体体系的行为，那么应该选择周期性边界条件；如果需要更加准确地模拟固体表面的行为，那么应该选择固定边界条件。
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固体物理学中两种边界条件的比较
固体物理学中两种边界条件的比较固体物理学中，边界条件是解决问题时必须考虑的重要因素之一。
边界条件可以分为两种类型：第一类边界条件和第二类边界条件。
这两种边界条件在固体物理学中有着不同的应用和作用。
本文将对这两种边界条件进行比较分析。
一、第一类边界条件第一类边界条件也称为Dirichlet边界条件，是指在固体物理学中，给定边界上的物理量的具体数值。
这种边界条件要求在给定的边界上，物理量的数值是已知的。
例如，在热传导问题中，可以给定固体表面的温度；在弹性问题中，可以给定固体表面的位移或受力。
第一类边界条件的应用范围非常广泛。
它可以用来描述固体物体与外界的相互作用，以及固体物体内部的变化情况。
通过给定边界上的物理量，我们可以计算出整个固体物体中的物理量的分布情况。
这种边界条件的优点在于，它能够直接给出问题的具体解，使得问题的求解变得相对简单。
然而，第一类边界条件也存在一些限制。
由于它要求在边界上给定物理量的具体数值，因此在实际应用中可能会受到一些限制。
例如，在实验中很难直接测量固体表面的温度或位移，这就给确定边界条件带来了一定的困难。
二、第二类边界条件第二类边界条件也称为Neumann边界条件，是指在固体物理学中，给定边界上的物理量的变化率。
与第一类边界条件不同，第二类边界条件要求在给定的边界上，物理量的变化率是已知的。
例如，在热传导问题中，可以给定固体表面的热流密度；在弹性问题中，可以给定固体表面的应力或应变。
第二类边界条件的应用范围也非常广泛。
它可以用来描述固体物体内部的物理量的变化情况，以及固体物体与外界的相互作用。
通过给定边界上的物理量的变化率，我们可以计算出整个固体物体中的物理量的分布情况。
与第一类边界条件相比，第二类边界条件的优点在于，它不需要直接给出问题的具体解，而是给出了物理量的变化率，使得问题的求解更加灵活。
然而，第二类边界条件也存在一些限制。
由于它要求在边界上给定物理量的变化率，因此在实际应用中可能会受到一些限制。
固体物理补充习题
23. 设有某种简单立方晶体，熔点为 800C，由熔点结晶后，晶粒大小为 L＝1 m 的立方体，晶格常数 a = 410 –10 m。求结晶后每个晶粒中的空位数，已 知空位的形成能为 1 eV。若晶体在高温形成的空位，降到室温后聚集到一 个晶面上，形成一个空位园片，以致引起晶体内部的崩塌，结果将转变为何
,
其中 m 为电子质量。
29. 在低温下，金属钾摩尔热容量的实验结果可表为
C = ( 2.08T+2.57T3 ) ×10 –3 J/mol.K ,
试求： (1)钾的 Debye 温度 D ； (2)Fermi 温度 TF； (3)在 Fermi 面上一摩尔金属的电子能态密度 N(EF0)。
30. 已知 Cu 的电子密度为 n = 8.45×1022 cm –3，Debye 温度 D = 315 K。
21. 若晶体中原子的总数为 N，间隙位置的总数为 N’，形成一个 Frenkel 缺陷 所需的能量为 uf 。在一定的温度下，平衡时晶体中有 nf 个 Frenkel 缺陷，
试由 N’ 。
= 0 导出平衡时 Frenkel 缺陷数目的表达式，设 nf = N，
22. 已知 1100C 时，碳在Fe 中的扩散系数 D＝6.7×10 –7 cm2/s。若保持表 面处碳的浓度不变，要得到 d = 1 mm 厚的渗碳层（碳的浓度为表面处的一 半），问在此温度下需要扩散多长时间？（erf(0.500) = 0.52050， erf(0.477) = 0.50005）
2. 格常数为 a 的简单二维密排晶格的基矢可以表为
(1)求出其倒格子基矢 和 , 证明倒格子仍为二维密排格子；
(2)求出其倒格子原胞的面积 b 。
3. 由 N 个原子（或离子）所组成的晶体的体积 V 可以写为 V＝Nv = Nr3，其 中 v 为平均一个原子（或离子）所占的体积，r 为最近邻原子（或离子）间 的距离， 是依赖于晶体结构的常数，试求下列各种晶体结构的 值:
三类边界条件推导
边界条件是弦在两个端点处的状态或受到的约束情况，一般有三种： 1. 第一类边界条件：已知未知函数在边界上的值 gi (t ) ，即端点处弦的位移：
u(0, t ) g1 (t ) ， u(l , t ) g2 (t )
当 gi (t ) 0 时，表示在端点处弦是固定的。 2. 第二类边界条件： 已知未知函数在边界上法向导数的值， 即端点处弦所受到的垂直于弦 的外力 f (t ) ： 对 x 0 ，即弦的左端：
弦的张力在垂直方向的分量为： T sin ，根据牛顿第二定律，有：
T sin x0 T
对于 x l ，即弦的右端：
u x
x 0
f 0 (t )
同理可得：
T sin xl T
u x
x l
fl (t )
特别地，当 fi (t ) 0 时，表示弦在两端不受约束作用，即可以自由滑动，适应于自 由端的情形。
x l
ku
x l
fl (t)
(
u u) x
x l
v(t )
对于外力 fi (t ) 0 的特殊情况，即 v(t ) 0 ，边界条件在弦的两端可统一简化为：
(
u u) x
x a
0 (a 0, a l )
3. 第三类边界条件： 又称混合边界条件， 它给出了未知函数和它的法线方向上的导数的线 性组合在边界上的值。 对弦的一维振动问题，即已知端点处弦的位移（引起弹性支撑的力）和所受的垂直于弦 线的外力。 对 x 0 ，即弦的左端：
弦对支撑外力的垂直分量为： T
u ，由胡克定律知： x u T x 0 ku x 0 f 0 (t) x
《固体物理学》房晓勇主编教材-思考题解答参考03第三章_晶体振动和晶体的热学性质
第三章晶体振动和晶体的热学性质3.1相距为某一常数（不是晶格常数）倍数的两个原子，其最大振幅是否相同？解答：（王矜奉3.1.1，中南大学3.1.1）以同种原子构成的一维双原子分子链为例, 相距为不是晶格常数倍数的两个同种原子, 设一个原子的振幅A, 另一个原子振幅B, 由《固体物理学》第79页公式，可得两原子振幅之比(1)其中m原子的质量. 由《固体物理学》式（3-16）和式（3-17）两式可得声学波和光学波的频率分别为, (2). (3)将(2)(3)两式分别代入(1)式, 得声学波和光学波的振幅之比分别为, (4). (5)由于=，则由(4)(5)两式可得,1B A=. 即对于同种原子构成的一维双原子分子链, 相距为不是晶格常数倍数的两个原子, 不论是声学波还是光学波, 其最大振幅是相同的.3.2 试说明格波和弹性波有何不同？解答：晶格中各个原子间的振动相互关系3.3 为什么要引入玻恩-卡门条件？解答：（王矜奉3.1.2，中南大学3.1.2）（1）方便于求解原子运动方程.由《固体物理学》式（3-4）可知, 除了原子链两端的两个原子外, 其它任一个原子的运动都与相邻的两个原子的运动相关. 即除了原子链两端的两个原子外, 其它原子的运动方程构成了个联立方程组. 但原子链两端的两个原子只有一个相邻原子, 其运动方程仅与一个相邻原子的运动相关, 运动方程与其它原子的运动方程迥然不同. 与其它原子的运动方程不同的这两个方程, 给整个联立方程组的求解带来了很大的困难.（2）与实验结果吻合得较好.对于原子的自由运动, 边界上的原子与其它原子一样, 无时无刻不在运动. 对于有N 个原子构成的的原子链, 硬性假定的边界条件是不符合事实的. 其实不论什么边界条件都与事实不符. 但为了求解近似解, 必须选取一个边界条件. 晶格振动谱的实验测定是对晶格振动理论的最有力验证(《固体物理学》§3.1与§3.6). 玻恩卡门条件是晶格振动理论的前提条件. 实验测得的振动谱与理论相符的事实说明, 玻恩卡门周期性边界条件是目前较好的一个边界条件.3.4 试说明在布里渊区的边界上()/q π=a ，一维单原子晶格的振动解n x 不代表行波而代表驻波。
固体物理学习笔记
固体物理学习笔记固体物理学是研究固体物质的物理性质、微观结构、构成物质的各种粒子的运动形态及其相互关系的科学。
它是物理学中内容极丰富、应用极广泛的分支学科。
固体物理学是研究固体的性质、它的微观结构及其各种内部运动，以及这种微观结构和内部运动同固体的宏观性质的关系的学科。
固体的内部结构和运动形式很复杂，这方面的研究是从晶体开始的，因为晶体的内部结构简单，而且具有明显的规律性，较易研究。
以后进一步研究一切处于凝聚状态的物体的内部结构、内部运动以及它们和宏观物理性质的关系。
这类研究统称为凝聚态物理学。
固体通常指在承受切应力时具有一定程度刚性的物质，包括晶体和非晶态固体。
简单地说，固体物理学的基本问题有：固体是由什么原子组成？它们是怎样排列和结合的？这种结构是如何形成的？在特定的固体中，电子和原子取什么样的具体的运动形态？它的宏观性质和内部的微观运动形态有什么联系？各种固体有哪些可能的应用？探索设计和制备新的固体，研究其特性，开发其应用。
新的实验条件和技术日新月异，为固体物理不断开拓出新的研究领域。
极低温、超高压、强磁场等极端条件、超高真空技术、表面能谱术、材料制备的新技术、同步辐射技术、核物理技术、激光技术、光散射效应、各种粒子束技术、电子显微术、穆斯堡尔效应、正电子湮没技术、磁共振技术等现代化实验手段，使固体物理性质的研究不断向深度和广度发展。
由于固体物理本身是微电子技术、光电子学技术、能源技术、材料科学等技术学科的基础，也由于固体物理学科内在的因素，固体物理的研究论文已占物理学中研究论文三分之一以上。
同时，固体物理学的成就和实验手段对化学物理、催化学科、生命科学、地学等的影响日益增长，正在形成新的交叉领域。
固体物理对于技术的发展有很多重要的应用，晶体管发明以后，集成电路技术迅速发展，电子学技术、计算技术以至整个信息产业也随之迅速发展。
其经济影响和社会影响是革命性的。
这种影响甚至在日常生活中也处处可见。
数学物理方法三类边界条件
数学物理方法三类边界条件
在数学物理中，常常会遇到需要考虑边界条件的问题。
根据不同的情况，可以将数学物理方法中的边界条件分为三类，第一类边界条件、第二类边界条件和第三类边界条件。
1. 第一类边界条件（Dirichlet边界条件）：
第一类边界条件是指在边界上给定了物理量的具体值。
例如，在一个热传导问题中，可以给定边界上的温度值。
在一个波动方程中，可以给定边界上的振幅值。
这类边界条件可以用数学上的等式或函数来表示。
2. 第二类边界条件（Neumann边界条件）：
第二类边界条件是指在边界上给定了物理量的导数。
例如，在一个热传导问题中，可以给定边界上的热流密度（即温度梯度）。
在一个波动方程中，可以给定边界上的振幅的导数。
这类边界条件可以用数学上的导数来表示。
3. 第三类边界条件（Robin边界条件）：
第三类边界条件是指在边界上给定了物理量的线性组合，其中既包括物理量的值，也包括物理量的导数。
例如，在一个热传导问题中，可以给定边界上的热流密度和温度的线性组合。
这类边界条件可以用数学上的线性组合来表示。
需要注意的是，以上分类只是一种常见的方式，具体问题中的边界条件可能会有其他形式。
此外，边界条件的选择和应用也取决于所研究的具体物理问题和数学模型。
在实际问题中，根据边界条件的具体形式，可以选择合适的数学方法和技巧来求解。
固体物理概念答案
1． 基元，点阵，原胞，晶胞，布拉菲格子，简单格子，复式格子。
基元：在具体的晶体中，每个粒子都是在空间重复排列的最小单元；点阵：晶体结构的显著特征就是粒子排列的周期性，这种周期性的阵列称为点阵； 原胞：只考虑点阵周期性的最小重复性单元；晶胞：同时计及周期性与对称性的尽可能小的重复单元；布拉菲格子：是矢量Rn=mA1+nA2+lA3全部端点的集合，A1，A2，A3分别为格点到邻近三个不共面格点的矢量；简单格子：每个基元中只有一个原子或离子的晶体；复式格子：每个基元中包含一个以上的原子或离子的晶体；2． 晶体的宏观基本对称操作，点群，螺旋轴，滑移面，空间群。
宏观基本对称操作：1、2、3、4、6、i 、m 、4，点群：元素为宏观对称操作的群螺旋轴：n 度螺旋轴是绕轴旋转2/n π与沿转轴方向平移T t j n=的复合操作 滑移面：对*一平面作镜像反映后再沿平行于镜面的*方向平移该方向周期的一半的复合操作空间群：保持晶体不变的所有对称操作3． 晶向指数，晶面指数，密勒指数，面间距，配位数，密堆积。
晶向（列）指数：布拉菲格子中所有格点均可看作分列在一系列平行直线族上，取一个格点沿晶向到邻近格点的位移基失由互质的（l1/l2/l3）表示；晶面指数：布拉菲格子中所有格点均可看作分列在一系列平行平面族上，取原胞基失为坐标轴取离原点最近晶面与三个基失上的截距的倒数由互质的（h1/h2/h3）表示；密勒指数：晶胞基失的坐标系下的晶面指数；配位数：晶体中每个原子（离子）周围的最近邻离子数称之为该晶体的配位数；面间距：晶面族中相邻平面的间距；密堆积：空间内最大密度将原子球堆砌起来仍有周期性的堆砌结构；4． 倒易点阵，倒格子原胞，布里渊区。
倒易点阵：有一系列在倒空间周期性排列的点-倒格点构成。
倒格点的位置可由倒格子基矢表示，倒格子基矢由…确定倒格子原胞：倒空间的周期性重复单元（区域），每个单元包含一个倒格点布里渊区：在倒格子中如以*个倒格点作为原点，画出所有倒格矢的垂直平分面，可得到倒格子的魏格纳塞茨原胞，即第一布里渊区5． 布拉格方程，劳厄方程，几何结构因子。
2010-2011(1)《固体物理》试卷A附答案
宝鸡文理学院试题课程名称 固体物理 适 用 时 间 2011年1月 试卷类别 A 适用专业、年级、班 2008级物理教育专业一、简答题（每题6分，共6×5=30分)1、试述离子键、共价键、金属键、范德瓦尔斯和氢键的基本特征.2、试述晶态、非晶态、准晶、多晶和单晶的特征性质。
3、什么叫声子？对于一给定的晶体，它是否拥有一定种类和一定数目的声子？4、周期性边界条件的物理含义是什么？引入这个条件后导致什么结果？如果晶体是无限大，q 的取值将会怎样？5、倒格子的实际意义是什么？一种晶体的正格矢和相应的倒格矢是否有一一对应的关系？二、试证明体心立方格子和面心立方格子互为正倒格子。
（20分)三、一维晶格，晶格由两种离子组成,间距为R 0,计算晶格的Madelung 常数α。
（15分）四、用钯靶αK X 射线投射到NaCl 晶体上，测得其一级反射的掠射角为5。
9°，已知NaCl 晶胞中Na ＋与Cl －的距离为2.82×10—10m ，晶体密度为2.16g/cm 3.求:（1）X 射线的波长；（2）阿伏加德罗常数。
(20分）五、写出量子谐振子系统自由能，证明在经典极限，自由能为：（15分） ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+≈∑KT hw KT U F q q o ln宝鸡文理学院试题参考答案与评分标准课程名称 固体物理 适 用 时 间 2011年1月 试卷类别 A 适用专业、年级、班07物理教育一、简答题(每小题6分，5×6=30分）1、试述离子键、共价键、金属键、范德瓦尔斯和氢键的基本特征。
解：（1）离子键：无方向性，键能相当强;（2）共价键:饱和性和方向性,其键能也非常强；（3）金属键：有一定的方向性和饱和性，其价电子不定域于2个原子实之间，而是在整个晶体中巡游，处于非定域状态,为所有原子所“共有”；（4）范德瓦尔斯键:依靠瞬时偶极距或固有偶极距而形成，其结合力一般与7r 成反比函数关系，该键结合能较弱；（5）氢键：依靠氢原子与2个电负性较大而原子半径较小的原子（如O,F,N 等)相结合形成的。
固体物理学中两种边界条件的对比
固体物理学中两种边界条件的对比固体物理学中的边界条件是研究材料与外界之间交互作用的重要概念。
边界条件的不同选择会影响材料的性质和行为。
本文将探讨固体物理学中两种常见的边界条件：自由边界条件和固定边界条件，并对它们进行对比。
自由边界条件是指材料表面或界面与外界没有约束或受力的情况。
在自由边界条件下，材料的表面可以自由移动和变形。
这意味着材料的表面没有受到外界的限制，可以自由地发生形变。
自由边界条件在研究材料的力学性质和形变行为时非常重要。
自由边界条件的一个重要应用是在弹性力学中。
当材料受到外力作用时，根据自由边界条件，材料的表面可以自由变形以适应外力的作用。
这种自由变形可以通过应力张量和应变张量的关系来描述。
通过研究自由边界条件下的应力分布和形变行为，可以了解材料的弹性性质和变形行为。
另一种常见的边界条件是固定边界条件。
固定边界条件是指材料表面或界面与外界被固定或限制的情况。
在固定边界条件下，材料的表面不能自由移动或变形。
这意味着材料的表面受到外界的限制，不能自由地发生形变。
固定边界条件在研究材料的稳定性和界面效应时非常重要。
固定边界条件的一个重要应用是在材料科学中。
当材料与其他材料或界面接触时，根据固定边界条件，材料的表面会受到限制，不能自由移动或变形。
这种限制可以通过界面能量和界面应力来描述。
通过研究固定边界条件下的界面效应和界面行为，可以了解材料的界面稳定性和界面相互作用。
自由边界条件和固定边界条件在固体物理学中有着不同的应用和影响。
自由边界条件适用于研究材料的力学性质和形变行为，可以揭示材料的弹性特性和变形行为。
而固定边界条件适用于研究材料的稳定性和界面效应，可以揭示材料的界面稳定性和界面相互作用。
总的来说，自由边界条件和固定边界条件在固体物理学中起着不可或缺的作用。
它们是研究材料与外界交互作用的重要工具，可以揭示材料的性质和行为。
通过选择合适的边界条件，可以更好地理解和解释材料的力学性质、形变行为、稳定性和界面效应。
两种介质的边界条件(精)
静电屏蔽
㊀ ㊀㊀
⊕ ⊕ ⊕ ⊕
E=0
㊀ ㊀㊀
⊕ ⊕ ⊕ ⊕
E0
D dS 0
S
⊕
㊀ ㊀
⊕
㊀
⊕
㊀
⊕ ⊕ ⊕ ⊕
⊕
㊀
⊕ ⊕ ⊕ ⊕
㊀
E带的正电量为q，该导体
球被内半径为 r2 的导体球壳所包围，球与球壳之间填充介 质，其介电常数为1 ，球壳的外半径为 r3 ，球壳的外表面 敷有一层介质，该层介质的外半径为r4 ，介电常数为2 ， 外部区域为真空，如左下图示。
0 2 1
r1 r2
试求：① 各区域中的电场强度；
r3
r4
② 各个表面上的自由电
荷和束缚电荷。
解 可以应用高斯定律求解吗?
0
2 1
r1 r2 r3 r4
在 r < r1及 r2< r < r3 区域中 E=0 ？
在 r1< r < r2 区域中
S
D dS q
E1
E2
q 4π1r
场强度的法向分量不连续的。 还可证明
0 ( E2n E1n ) S
7. 介质与导体的边界条件
静电平衡 导体
㊀ ㊀㊀
⊕ E' ⊕ ⊕
㊀ ㊀ E' ㊀ ㊀
⊕ ⊕ + E = 0⊕ ⊕
E
E=0
E
可见，导体中不可能存在静电场，导体内部不可 能存在自由电荷。处于静电平衡时，自由电荷只能分 布在导体的表面上。
3 2
E dl E dl 0
4
1
为了求出边界上某点的场量关系，必须令 l 足够 短，以致于在 l 内可以认为场量是均匀的，则上述环 量为
固体物理学习题解答
：
对于氯化钠晶胞：
（1）当衍射面指数全为偶数时， 衍射强度最大，
（2）当衍射面指数全为奇数时， 由于 与 具有不同的散射本领，使衍射指数全为奇数的衍射具有不为零但较低的强度。
6.试求金刚石型结构的几何结构因子，设原子散射因子为 。
解：几何结构因子
其中
为晶胞的体积。
。
金刚石型结构的晶胞内八个原子的位矢为（0 0 0），（1/2 1/2 1/2），（1/2 0 1/2），（0 1/2 1/2），（1/4 1/4 1/4），（3/4 3/4 1/4），（3/4 1/4 3/4），（1/4 3/4 3/4）且八个原子为同种原子，
由此可得面心立方的倒格子基矢：
同理可得体心立方的倒格子基矢：
比较可得面心立方和体心立方互为正倒格子。
2. 为简单正交格子的基矢，试证明晶面族（h k l）的晶面间距为
解：
由 知
可得：
再由 中 和 的关系： 可得：
得证。
3.六角密集结构如取如下原胞基矢
试写出其倒格子基矢。
方法一：
解得。
方法二：由正格子和倒格子之间的关系：
所以,其夹角的余弦为：
5.试求面心立方结构(110)和(111)晶面族的原子数面密度，设晶格常数为a。
解：
如图所示，面ABCD即(110)面，面CDE即为(111)面。设该面心立方的晶格常数为a，则
在(110)面内选取只包含一个原子的面AFGD，其面积为 ，所以其原子数面密度为：
在(111)面内选取只包含一个原子的面DHIG，其面积为： ，
杨氏模量为
故，
光波波长为
8.立方晶体有三个弹性模量 ， 和 。铝的 ， ，铝沿 方向传播的弹性纵波的速度 ，横波速度 ， 的密度 。求德拜模型中铝的振动模式密度 。
固体物理重点知识点总结——期末考试、考研必备!!
固体物理概念总结——期末考试、考研必备！！第一章1、晶体-----内部组成粒子（原子、离子或原子团）在微观上作有规则的周期性重复排列构成的固体。
晶体结构——晶体结构即晶体的微观结构，是指晶体中实际质点（原子、离子或分子）的具体排列情况。
金属及合金在大多数情况下都以结晶状态使用。
晶体结构是决定固态金属的物理、化学和力学性能的基本因素之一。
2、晶体的通性------所有晶体具有的共通性质，如自限性、最小内能性、锐熔性、均匀性和各向异性、对称性、解理性等。
3、单晶体和多晶体-----单晶体的内部粒子的周期性排列贯彻始终；多晶体由许多小单晶无规堆砌而成。
4、基元、格点和空间点阵------基元是晶体结构的基本单元，格点是基元的代表点，空间点阵是晶体结构中等同点（格点）的集合，其类型代表等同点的排列方式。
倒易点阵——是由被称为倒易点或倒易点的点所构成的一种点阵，它也是描述晶体结构的一种几何方法，它和空间点阵具有倒易关系。
倒易点阵中的一倒易点对应着空间点阵中一组晶面间距相等的点格平面。
5、原胞、WS原胞-----在晶体结构中只考虑周期性时所选取的最小重复单元称为原胞；WS原胞即Wigner-Seitz原胞，是一种对称性原胞。
6、晶胞-----在晶体结构中不仅考虑周期性，同时能反映晶体对称性时所选取的最小重复单元称为晶胞。
7、原胞基矢和轴矢----原胞基矢是原胞中相交于一点的三个独立方向的最小重复矢量；晶胞基矢是晶胞中相交于一点的三个独立方向的最小重复矢量，通常以晶胞基矢构成晶体坐标系。
8、布喇菲格子（单式格子）和复式格子------晶体结构中全同原子构成的晶格称为布喇菲格子或单式格子，由两种或两种以上的原子构成的晶格称为复式格子。
9、简单格子和复杂格子（有心化格子）------一个晶胞只含一个格点则称为简单格子，此时格点位于晶胞的八个顶角处；晶胞中含不只一个格点时称为复杂格子，其格点除了位于晶胞的八个顶角处外，还可以位于晶胞的体心（体心格子）、一对面的中心（底心格子）和所有面的中心（面心格子）。
4.6 边界条件
两种介质分界面上的边界条件⏹要点：⏹界面上介质的性质有一突变，这将导致静电场也会有突变⏹电场、磁场的高斯定理、环路定理的积分形式在边界上依然成立，可以把不同介质的场量用积分方程联系起来⏹方程的微分形式只适用于非边界区域，对于边界突变处，方程的微分形式已失去意义⏹通常用积分方程还不能直接求得空间各点场量的分布，所以常常要将方程的积分形式变换成微分形式⏹必须考虑用新的形式来给出边界上各物理量的关系，亦即给出边界条件⏹实际上边界条件就是把积分方程放到边界突变处得到的结果导体界面上的边界条件⏹设界面上有自由电荷积累σ0⏹高斯定理和电流连续性方程可得0201（)tσ∂⋅-=-∂n j j ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-=⋅⋅⋅=⋅SSdSdt ddt dq d d d d 021σ＝－＋＋侧面底底S j S j S j S j S ∆⋅-n j 1S∆⋅n j 2St∆∂∂-σ恒定电流⇒=∂∂00tσnn j j 12120)(==⋅-或n j j结论⏹两种不同介质的分界面上，两部分介质的ε、μ、σ不同相应地有三组边界条件⏹磁介质界面上，B 法向连续，H 切向连续0)(12=-⋅B B n ⏹电介质界面上，D 法向连续，E 切向连续)(12=-⨯H H n 0)(12=-⋅D D n 0)(12=-⨯E E n ⏹以上设界面上没有自由电荷和无传导电流⏹两种导体界面上，j 法向连续，E 切向连续t∂∂-=-⋅012)(σj j n 0)(12=-⨯E E n电流线、电场线和磁感应线在边界上的“折射”j 、D 、B 法向分量连续，切向分量不连续——三者在两种界面发生折射2122112121μμμμθθ===t t t tH H B B tg tg B 线折射90,021≈≈θθ)(11真空或非磁性=μ)(11不良导体或绝缘体=μ）良导体(12>>μ）铁磁质(12>>μ磁屏蔽和静电屏蔽和磁路定理⏹磁屏蔽效果没有静电屏蔽好⏹磁路定理：闭合磁路的磁动势等于各段磁路的磁位降落和（与电路类比）⏹它的理论依据是安培环路定理，只是将安培环路定理具体落实到与磁路的尺寸、长短有关的磁阻与磁通量上。
力学边界条件类型
力学边界条件类型一、力学边界条件类型有哪些呢？（一）固定边界条件这就好比把东西死死地钉在那儿一样。
比如说，一根柱子插在地上，它底部的边界就是固定的，不能移动也不能转动。
在很多建筑结构里，像高楼大厦的地基部分，就会有这种类似的固定边界情况。
就像是一个超级固执的家伙，坚决不让步。
（二）简支边界条件想象一下，一个梁架在两个支座上，支座只提供竖向的支撑力，梁可以在这个支撑上自由转动。
就像跷跷板一样，中间有个支撑点，两边可以上下晃悠。
这种边界条件在一些桥梁结构的设计中经常会用到呢。
（三）滑动边界条件这就像是在冰面上滑动的物体，它只能沿着某个方向滑动，其他方向的运动是被限制的。
比如一些机械结构里，有滑块在导轨上滑动的情况，滑块的边界就是滑动边界条件。
（四）弹性边界条件这个就有点复杂啦。
就像是一个弹簧连接着物体，物体在边界上会受到一个与位移成比例的力。
就好像物体被一个有弹性的东西拉扯着，动一下就会有相应的拉力或者推力回来。
在一些地质结构的分析中，岩石和土壤之间的相互作用有时候就可以用弹性边界条件来近似模拟。
（五）自由边界条件这是最自由的啦，没有任何约束。
就像在空中飞行的小鸟，没有东西限制它的边界。
在一些有限元分析中，如果我们只关注物体内部的力学情况，而把物体的边缘当作自由边界，就可以简化计算呢。
（六）对称边界条件这种边界条件是利用结构的对称性来简化分析的。
比如说一个圆形的盘子，如果它受到的力也是对称分布的，我们就可以只分析它的一部分，然后利用对称边界条件得到整个盘子的力学情况。
这就像是照镜子一样，一边的情况可以反映出另一边的情况。
（七）反对称边界条件和对称边界条件有点相反。
如果结构有反对称的特性，那么在边界上就会有反对称的约束。
比如一个结构关于某个轴对称，但是受到的力是反对称的，那么在对称轴上就会有反对称边界条件。
（八）周期性边界条件这种边界条件常见于一些具有周期性结构的物体。
比如说晶体结构，它的原子排列是有周期性的。
复旦大学《固体物理学》习题1及答案
固体物理习题参考答案1.尝试用Drude模型推导焦耳定律W=RI2解：记电子在两次碰撞之间经过的距离为l,导体横截面为S,总电子数为N,则R=lσS,I=jS.在Drude模型中j=−env,结合j=σE得到：j2=−envσE,因此nEv=−j2σe.因此，W=NF v=−nSleEv=Sle j2σe=Slj2σ=RI2此即焦耳定律。
2.用无限深势阱代替周期性边界条件，即在边界处有无限高势垒，试确定：(1)波矢k的取值和k空间状态密度(2)能量空间状态密度(3)零温度时的费米能级和电子气总能(4)电子出现在空间任何一点的几率(5)平均动量(6)问：由上面这些结果，无限深势阱边界条件与周期性边界条件的解有什么不同？两种边界条件的解的根本差别在哪里？用哪个边界条件更符合实际情况？更合理？为什么？解：(1)容易得到无限深势阱内波函数的形式为ψ(x,y,z)=A sin(k x x)sin(k y y)sin(k z z)其中,k i=n iπL,i=x,y,z;n i=±1,±2,±3,···由边界条件给出。
归一化波函数得到A=√8L3=√8V.由于每个状态在k空间所占的体积为∆k=π3/V,所以k空间状态密度为1∆k =Vπ3.(2)能量E到E+d E之间的状态数为d N=2×Vπ34πk2d k而d E= 22m2k d k→d k=(m2 2)1/21√Ed E所以d N=4Vπ2(2m2)3/2√E d E.能量空间状态密度为D(E)=d Nd E=4Vπ2(2m2)3/2√E.(3)状态密度积分得到电子总数∫E0F 04Vπ2(2m2)3/2√E d E=N.所以费米能级可表示为E0F =28m(3π2n)2/3,其中n=N/V。
因此系统总能量为∫E0F 04Vπ2(2m2)3/2E√E d E=35E0FN.(4)电子出现在空间任意一点的几率为|ψ(x,y,z)|2=8Vsin2(k x x)sin2(k y y)sin2(k z z).(5)电子x方向的平均动量为（y,z方向类似）<p x>=∫L0∫L∫Lψi∂ψ∂xd x d y d z=√2Ln xπi∫Lsinπn x xLcosπn x xLd x=0.(6)讨论驻波解：（a）驻波解不是动量算符的本征解。
热通量边界条件
热通量边界条件
热通量边界条件是指在固体表面或界面上，单位面积单位时间内从固体传递给流体的热量。
在热传导方程中，热通量边界条件是非常重要的一个参数，它描述了固体表面的热交换情况。
在热传导问题中，通常有三种类型的热通量边界条件：第一类边界条件，第二类边界条件和第三类边界条件。
第一类边界条件是指在固体表面处的热流密度已知，这种边界条件通常常常出现在加热或冷却过程中。
例如，在固体表面沿法向方向的热流密度可以通过测量表面温度以及热传导系数进行计算得出。
对于第一类边界条件而言，通常需要在数值求解过程中，将其转换为边界温度条件，即通过已知的热流密度和热传导系数计算得到固体表面的温度值，然后将其作为边界条件进行求解。
第二类边界条件是指在固体表面处的热流密度随时间变化，这种边界条件通常在瞬态热传导或瞬态加热或冷却过程中出现。
例如，在一些特殊的加热或冷却过程中，热流密度可能会随时间变化。
对于这种边界条件，可以通过数值方法进行求解，通常需要使用一些迭代算法求解。
第三类边界条件是指在固体上仅知道温度，而不知道热流密度。
这种
边界条件通常在较复杂的问题中出现，例如，液体对固体进行冷却过
程中，由于流动条件的不确定性，热流密度很难确定。
对于这类问题，通常需要通过对流传热模型进行求解。
总之，热通量边界条件是热传导问题中的重要参数之一，不同类型的
边界条件需要采取不同的数值求解策略，以便获得合理可靠的结果。
两种介质的边界条件
n S
介质与导体的边界条件
静电平衡 导体
㊀ ㊀㊀
⊕ E' ⊕ ⊕
㊀ ㊀ E' ㊀ ㊀
⊕ ⊕ + E = 0⊕ ⊕ E
E=0
E
可见，导体中不可能存在静电场，导体内部不可能 存在自由电荷。处于静电平衡时，自由电荷只能分布 在导体的表面上。
因为导体中不可能存在静电场，因此导体中的电 位梯度为零。所以，处于静电平衡状态的导体是一 个等位体，导体表面是一个等位面。 既然导体中的电场强度为零，导体表面的外侧
和 d 1 , d 2 , 2 ,图(a)已知极板间电压 U 0 , 图(b)已知极板上 总电荷 q 0 ,试分别求其中的电场强度.
例 如图(a)与图(b)所示平行板电容器,已知 S1 , S 2 , 1
（b） （a）
解：忽略边缘效应
（b）
E E 1 1 2 2
E d E d U 1 1 2 2 0
q E2 e 2 r 4π2r
注意，各区域中的介电常数不同！
S 根据 en D及
，分别求得 e P n S
r = r1:
S
q 4 π r12
0
2 1
r1 r2 r3 r4
q 1 E 1 0 S 0 1 n S 2 4 π r 1 r 1
可以应用高斯定律求解吗?
0
2 1
r1 r2 r3 r4
解 在 r < r1及 r2< r < r3 区域中 E=0 ？
在 r1< r < r2 区域中
ห้องสมุดไป่ตู้
S
D d Sq
E1
q e 2 r 4π1r
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固体物理学中两种边界条件的对比
固体物理学中，边界条件是指在研究固体物理问题时，需要考虑物体表面与外界的相互作用所产生的影响。
常见的边界条件有两种：自由边界条件和固定边界条件。
自由边界条件是指物体表面的自由度不受限制，即表面可以自由振动，不受外界限制。
这种边界条件在研究固体物理问题时比较常见，例如在研究固体中的声波传播时，需要考虑自由边界条件。
自由边界条件的数学表达式为：
$$\frac{\partial u}{\partial n}=0$$
其中，$u$表示位移，$n$表示法向量。
固定边界条件是指物体表面的自由度受到限制，即表面不能自由振动，必须保持固定。
这种边界条件在研究固体物理问题时也比较常见，例如在研究固体中的热传导时，需要考虑固定边界条件。
固定边界条件的数学表达式为：
$$u=0$$
其中，$u$表示位移。
两种边界条件的主要区别在于，自由边界条件要求物体表面可以自由振动，而固定边界条件要求物体表面必须保持固定。
在实际应用中，需要根据具体问题来选择适合的边界条件。