黑龙江省哈九中2020届高三数学上学期第二次月考(理)
黑龙江省哈尔滨市第九中学2020接高三第二次模拟考试理科数学试题 含答案
中八个为正三角形，六个为正方形，称这样的半正多面体为二十四等边体.若二十四等
边体的棱长为 2 ,则其体积为________;若其各个顶点都在同一个球面上，则该球的表面
积为________.
三、解答题（共 70 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．第 17~21 题为必考题，每个 试题考生都必须作答．第 22 ,23 题为选考题，考生根据要求作答．） （一）必考题：（共 60 分）
B． 2
C． 3 3
D． 3
11．在数列 an 中，a1 1, a2 2, a3 3, an3 (1)n an1 1(n N ) ，数列 an 的前 n 项和为 S n ，则
下列结论正确的是( )
A．数列 an 为等差数列
B． a18 11
C． a17 3
D． S31 146
12．已知函数
13．已知向量 a (1,1),b (2,1) ，若 (a b) (a b) ，则 _________. 14．记 n b(mod a) 表示正整数 n 除以正整数 a 后所得的余数为 b ，例如
8 2(mod 6) 表示 8 除以 6 后所得的余数为 2 ．执行右图的程序框图， 若输入的 n 值为 5 ，则输出的 n 值为__________.
17. （12 分）已知多面体 P ABCD 中， AB // CD ， BAD PAB 900 ， AB PA DA PD 1 CD ， M 是 PB 的中点．
2 （1）求证： PA CM ； （2）求直线 DB 与平面 PBC 所成角的正弦值．
18. （12 分）在 ABC 中，角 A, B,C 的对边分别为 a, b, c ，已知 2sin(B ) cos A cos C . 6
黑龙江省哈九中2020届高三数学第三次月考理科卷
黑龙江省哈九中2020届高三第三次月考试题数学试题(理)本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分。
考试时间120分钟。
第Ⅰ卷一、选择题（本题共12小题，每题5分，共60分。
在每题所给的四个选项中，只有一个是正确的） 1．在各项都为正数的等比数列{}n a 中，首项31=a ，前三项和为21，则=++543a a a（ ）A ．33B ．72C ．84D ．189 2．若3)4tan(=-απ，则αcot 等于（ ）A ．2-B ．21-C ．21D ．23．函数()011<-+=x e e y xx 的反函数是 （ ）A ．)1(11ln>-+=x x x y B ． )1(11ln -<-+=x x x yC ．)1(11ln >+-=x x x yD ． )1(11ln -<+-=x x x y4．)12112131211(lim +-+-+-+++-+∞→n nn n n n n n Λ的值为（ ）A ．1-B ．0C ．21D ．15．下列各式中，值为23的是（ ）A ．015cos 15sin 2 B ．02215sin 15cos -C ．115sin 202-D ．02215cos 15sin +6．等差数列{}n a 的公差0<d ，且21121a a =，则数列{}n a 的前n 项和n S 取得最大值时的项数n 是（ ）A ．5B ．6C ．5或6D ．6或77．给出如下三个命题： ① 四个非零实数d c b a ,,,依次成等比数列的充要条件是bc ad =； ② 函数)(x f y =和函数2)1(+-=x f y 的图像一定不能重合；③ 若x x f 2log )(=，则)(x f 是偶函数。
其中不正确命题的序号是（ ） A ．①②③ B ．①② C ．②③ D ．①③ 8．已知1cos sin >-θθ，则角θ所在的象限是（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限9．设)1(11216121+++++=n n S n Λ，且431=⋅+n n S S ，则n 的值为 （ ）A ．9B ．8C ．7D ．610．现有四个函数：①x x y sin ⋅= ②x x y cos ⋅= ③x x y cos ⋅= ④xx y 2⋅=的图像（部分）如下，但顺序被打乱，则按照从左到右将图像对应的函数序号安排正确的一）A ．④①②③B ．①④③②C ．①④②③D ．③④②①11．数列{}n a 的前n 项和是n S ，如果*)(23N n a S n n ∈+=，则这个数列一定是（ ） A ．等比数列 B ．等差数列C ．除去第一项后是等比数列D ．除去第一项后是等差数列12．已知函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，且在区间[)+∞,0上是增函数。
2020届黑龙江省哈尔滨市第九中学高三上学期第一次月考数学(文)试题及答案
绝密★启用前2020届黑龙江省哈尔滨市第九中学高三上学期第一次月考数学（文）试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．已知全集U R =，集合A {2,1,=--0，1，2}，2B {x |x 4}=≥，则如图中阴影部分所表示的集合为()A ．{2,1,--0，1}B ．{}0C ．{}1,0-D ．{1,-0，1}答案：D由题意知{22}B x x x =≥≤-或，所以UB {x |2x 2}=-<<，则阴影部分为()U A B {1,⋂=-0，1}解：由Venn 图可知阴影部分对应的集合为()UA B ⋂，2B {x |x 4}{x |x 2=≥=≥或x 2}≤-，A {2,1，=--0，1，2}，UB {x |2x 2}∴=-<<，即()U A B {1,⋂=-0，1}故选D ． 点评：本题考查Venn 图及集合的交集和补集运算，属基础题．2．已知集合A ＝{0，1}，B ＝{0，1，2}，则满足A ∪C ＝B 的集合C 的个数为（ ） A ．4 B ．3C ．2D ．1答案：A由A C B ⋃=可确定集合C 中元素一定有的元素，然后列出满足题意的情况，得到答案. 解：由A C B ⋃=可知集合C 中一定有元素2，所以符合要求的集合C 有{}{}{}{}2,2,0,2,1,2,0,1，共4种情况，所以选A 项.点评：考查集合并集运算，属于简单题.3．如果,x y 是实数，那么“x y ≠”是“cosx cosy ≠”的() A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件答案：C将两者相互推导，根据能否推导的情况判断出正确选项. 解：当“x y ≠”，可能cosx cosy =，如ππcos cos 33⎛⎫-= ⎪⎝⎭.当“cosx cosy ≠”，则“x y ≠”成立.故“x y ≠”是“cosx cosy ≠”的必要不充分条件. 点评：本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查余弦函数的性质.4．满足条件4,45a b A ︒===的三角形的个数是（ ） A ．1个 B ．2个C ．无数D ．不存在答案：B由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，即216186c c =+-解得c 再判断即可． 解：由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，且4,45a b A ︒===，即216186c c =+-，即2620c c +=-，∴3c =3c =当3c =-437a c b +=+=>=；当3c =+437a c b +=+=+>=. 故选：B ． 点评：本题考查了余弦定理解三角形，分类讨论法，属于基础题. 5．角θ的终边经过点(,)P y 4，且sin θ=35，则θtan = A ．43-B ．43 C ．34-D ．34由题意利用任意角的正弦函数的定义可求得3y =-，再根据正切函数的定义即可求得结果． 解：∵角θ的终边经过点()4,P y ，且35sin θ=-=， ∴3y =-，则3tan 44y θ==-，故选C ． 点评：本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题，若角α的终边经过点(),x y （异与原点），则sin α=cos α=()tan 0yx xα=≠. 6．在ABC ∆中，若222sin sin sin A B C +＜，则ABC ∆的形状是() A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形 D ．不能确定答案：A由正弦定理得222a b c +<，再由余弦定理求得222cos 02a b c C ab+-=<，得到(,)2C ππ∈，即可得到答案. 解：因为在ABC ∆中，满足222sin sin sin A B C +<， 由正弦定理知sin ,sin ,sin 222a b cA B C R R R===，代入上式得222a b c +<， 又由余弦定理可得222cos 02a b c C ab+-=<，因为C 是三角形的内角，所以(,)2C ππ∈，所以ABC ∆为钝角三角形，故选A. 点评：本题主要考查了利用正弦定理、余弦定理判定三角形的形状，其中解答中合理利用正、余弦定理，求得角C 的范围是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 7．已知4cos 35πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则13sin 6πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值是（） A ．45 B ．45-C ．35D ．35由135632πππαα-=+-，再根据诱导公式即可求值. 解：135632πππαα-=+-， 135sin sin sin 2sin 6323232πππππππαααπα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-=+-=+--=+- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 4sin cos 2335πππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--+=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.故选：B . 点评：本题考查诱导公式，属于基础题.8．已知函数12(2),2(),2x f x x f x e x x --->⎧=⎨+≤⎩，则(2019)f =（） A ．2 B ．1eC ．-2D ．4e +答案：C先由2x >，()()2f x f x =--得到函数()f x 的周期，将()2019f 化为()()31f f =-，再由2x ≤时的解析式，即可得出结果.解：因为2x >，()()2f x f x =--，所以()()2f x f x +=-，故()()()42f x f x f x +=-+=， 因此2x >，函数()f x 是以4为周期的函数，所以()()()()20193450431f f f f =+⨯==-， 又2x ≤，()12x f x e x -=+，所以()()()20191112f f =-=-+=-.故选C 点评：本题主要考查分段函数求值问题，熟记函数周期性即可，属于基础题型. 9．将函数()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向右平移()0a a >个单位得到函数()πcos 24g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，则a 的值可以为（） A ．5π12B ．7π12C ．19π24D ．41π24答案：C因为结果得到函数()πcos 24g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭已知，可以逆向思考，反向得到函数()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，确定相等关系。
黑龙江省哈尔滨市第九中学2020-2021学年高三上学期第四次月考数学(理)试题
哈尔滨市第九中学2021届高三上学期第四次月考（理科数学）试卷第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：在下列各题的四个选项中，只有一项是最符合题意．1．已知集合{}0M x x =∈≥R ，N M ⊆，则在下列集合中符合条件的集合N 可能是（ ）． A ．{}20x x >B ．{}21x x =C ．{}0,1D ．R2．i 为虛数单位，607i 的共轭复数为（ ）． A ．i -B ．iC ．1D ．1-3．已知m ，n ，m n +成等差数列，m ，n ，mn 成等比数列，则椭圆221x y m n+=的离心率为（ ）．A ．2B ．12C ．23D ．34．1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲．1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于问余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1到2020这2020个数中，能被2除余1，且被5除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{}n a ，则20a =（ ）． A ．181B ．191C ．201D ．2115．已知F 是抛物线2:2C y x =的焦点，N 是x 轴上一点，线段FN 与抛物线C 相交于点M ，若2FM MN =，则FM 等于（ ）．A ．1B ．12C ．38D ．586．已知ABC △中，3AB AC ==，且AB AC AB AC +=-，点D ，E 是BC 边的两个三等分点，则AD AE ⋅=（ ）．A ．3B ．4C ．5D ．67．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过原点的直线与双曲线C 交于A ，B 两点，若260AF B ∠=︒，2ABF △2，则双曲线的离心率为（ ）．A．5 2B．233C．2 D．58．一锥体的三视图如图所示，则该棱锥的最长棱的棱长为（）．A33B17C41D429．已知点()1,2-和3,03⎛⎫⎪⎪⎝⎭在直线():100l ax y a-+=≠的问侧，则直线l倾斜角的取值范围是（）．A．ππ,43⎛⎫⎪⎝⎭B．π3π0,,π34⎛⎫⎛⎫⋃⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C．3π5π,46⎛⎫⎪⎝⎭D．2π3π,34⎛⎫⎪⎝⎭10．M是抛物线24y x=上一点，N是圆()()22121x y-+-=关于直线10x y--=的对称圆上的一点，则MN最小值是（）．A．1112-B31C．221D．3211．半径为R的球O中有两个半径分别为322共弦长为R，则R=（）．A．3B．5 C．33D．412．已知函数()322,1ln,1x x x xf xx x⎧--+<⎪=⎨≥⎪⎩，若对于t∀∈R，()f t kt≤恒成立，则实数k的取值范围是（）．A．1,1e⎡⎤⎢⎥⎣⎦B．10,e⎛⎤⎥⎝⎦C．[]1,e D．1,ee⎡⎤⎢⎥⎣⎦第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题13．已知0x ≥，0y ≥，且1x y +=，则22x y +的取值范围是______． 14．运用合情推理知识可以得到：当2n ≥时，222211*********n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫----= ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭______． 15．过点()4,0-作直线l 与圆2224200x y x y ++--=交于A ，B 两点，若8AB =，则直线l 的方程为______．16．若()()22221log 4cos ln ln 4cos 22y e xy y xy ⎡⎤⎥⎦=+⎢⎣+-，则cos 4y x 的值为______． 三、解答题17．已知函数()224f x x x =-+，数列{}n a 是公差为d 的等差数列，若()11a f d =-，()31a f d =+． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）n S 为{}n a 的前n 项和，求证：1211113n S S S +++≥． 18．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若()tan tan 2tan b A B c B +=，BC 边的中线长为1． （1）求角A ； （2）求边a 的最小值．19．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，//AD BC ，AD CD ⊥，且22AD CD ==，42BC =，2PA =．（1）求证：AB PC ⊥；（2）在线段PD 上，是否存在一点M ，使得二面角M AC D --的大小为60︒，如果存在，求PMPD，如果不存在，请说明理由．20．已知椭圆()22122:10x y C a b a b+=>>的离心率为22，右焦点F 是抛物线()22:20C y px p =>的焦点，点()2,4在抛物线2C 上．（1）求椭圆1C 的方程；（2）已知斜率为k 的直线l 交椭圆1C 于A ，B 两点，()0,2M ，直线AM 与BM 的斜率乘积为12-，若在椭圆上存在点N ，使AN BN =，求ABN △的面积的最小值． 21．设()()1x f x e a x =-+．（1）若0a >，()0f x ≥对一切x ∈R 恒成立，求a 的最大值； （2）设()()x ag x f x e=+，且()11,A x y ，()()2212,B x y x x ≠是曲线()y g x =上任意两点．若对任意的0a ≤，直线AB 的斜率恒大于常数m ，求m 的取值范围；（3）是否存在正整数a ，使得()()13211nnnnn an e +++-<-对一切正整数n 均成立？若存在，求a 的最小值；若不存在，请说明理由． 请考生在22、23题中任选一题作答．22．设,,x y z +∈R ，且1x y z ++=，求证：2222221x y z y z z x x y++≥+++． 23．在直角坐标系xOy 中，圆1C 的圆心是()11,2C ，且与y 轴相切．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求圆1C 的极坐标方程； （2）若直线2C 的极坐标方程为()π4θρ=∈R ．设1C 与2C 的交点是A ，B ，求1ABC △的面积．参考答案1．C 2．B 3．A4．B5．D6．B7．C8．C9．D10．C11．D12．A13．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦14．12n n+15．512200x y ++=或4x =-16．1-17．（1）()21147a f d d d =-=-+，()2313a f d d =+=+， 又由312a a d =+，可得2d =， 所以13a =，21n a n =+．（2）()()32122nn nS n n++==+，()11111222nS n n n n⎛⎫==-⎪++⎝⎭，所以，121111111111112324352nS S S n n⎛⎫+++=-+-+-++-⎪+⎝⎭11111311122122212n n n n⎛⎫⎛⎫=+--=--⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭131112211123⎛⎫≥--=⎪++⎝⎭．18．（1）在ABC△中，因为()tan tan2tanb A Bc B+=，所以sin sin sin2cos cos cosA B Bb cA B B⎛⎫+=⎪⎝⎭，所以sin2sin cosb Cc B A=，所以2cosbc bc A=，所以2cos2A=．所以π4A=．（2）因为BC边的中线长为1，所以2AB AC+=，所以222cos4c b bc A++=，即22422b c bc bc+=-≥，解得422bc≤-．所以()22222cosAB AC b c bc Aα=-=+-()4224224221282bc=-≥--=-．所以a的最小值为1282222-=-．19．（1）如图，由已知得四边形ABCD是直角梯形，由22AD CD==42BC=可得ABC△是等腰直角三角形，即AB AC⊥，因为PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，所以PA AB ⊥，又PA AC A ⋂=，所以AB ⊥平面PAC ， 又PC ⊂平面PAC ，所以AB PC ⊥． （2）取BC 的中点E ，连接AE ，AE BC ⊥． 建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0A ，()22,22,0C ，()0,22,0D ，()0,0,2P ，()22,22,0B -，()0,22,2PD =-，()22,22,0AC =．设()01PM tPD t =<<，则点M 为()0,22,22t t -， 所以()0,22,22AM t t =-． 设平面MAC 的法向量是(),,n x y z =，则00n AC n AM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得()2222022220x y ty t z ⎧+=⎪⎨+-=⎪⎩， 则可取21,1,1t n t ⎛⎫=- ⎪⎪-⎝⎭． 又()0,0,1m =是平面ACD 的一个法向量，所以221cos ,cos60221t t m n m n m nt t -⋅===︒⎛⎫+ ⎪-⎝⎭，解得312t =． 20．（1）因为点()2,4在抛物线22y px =上， 所以164p =，解得 4p =，所以椭圆的右焦点为()2,0F ，所以2c =，因为椭圆()22122:10x y C a b a b+=>>的离心率为2，所以2c a =，所以a =222844b a c =-=-=， 所以椭圆1C 的方程为22184x y +=． （2）设直线l 的方程为y kx m =+， 设()11,A x y ，()22,B x y ，由2228y kx mx y =+⎧⎨+=⎩消y 可得()222124280k x kmx m +++-=， 所以122412kmx x k -+=+，21222812m x x k -=+，所以()121222212my y k x x m k +=++=+，()22221212122812m k y y k x x km x x m k -=+++=+，因为()0,2M ，直线AM 与BM 的斜率乘积为12-， 所以()()121212121212242221222y y y y y y m k k x x x x m -++---⋅=⋅===-+， 解得0m =，所以直线l 的方程为 y kx =，线段AB 的中点为坐标原点，由弦长公式可得AB ==，因为AN BN =，所以ON 垂直平分线段AB ， 当0k ≠时，设直线ON 的方程为1y x k=-，同理可得ON ==所以12ABN S ON AB =⋅=△当0k =时，ABN △的面积也适合上式， 令21t k =+，1t ≥，101t<≤， 则ABNS ===△ 所以当112t =时，即1k =±时，ABN S △的最小值为163． 21．（1）当1x ≤-时，对任意0a >，()0f x >；当1x >-时，由()0f x ≥，得1xe a x ≤+，令()()11x e h x x x =>-+，则()()21x e xh x x '=+． 当()1,0x ∈-时，()0h x '<；当()0,x ∈+∞时，()0h x '>． 故()()max 01h x h ==． 所以1a ≤，a 的最大值为1．（2）设1x ，2x 是任意两个实数，且12x x <，则有()()1221m x g x g x x -->．故()()2211g x mx g x mx ->．所以函数()()F x g x mx =-在(),-∞+∞上单调递增． 所以()()0F x g x m ''=->恒成立．即对任意的1a ≤-，任意的x ∈R ，()m g x '<恒成立． 又()xx a h x e a a e '=--≥)2113a =-+=-≥，当且仅当0x =，1a =-时两个等号同时成立．故3m <． （3）存在，a 的最小值为2．下面给出证明：由（2）知，1xe x ≥+． 故()2011,3,,212i n ie i n n<-≤=-．所以()221,3,,212i nn i e i n n --⎛⎫≤=- ⎪⎝⎭．于是21232512222135212222n n nn n nnn e e e e n n n n --------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++<++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()112211111nee e e e ------=<=-- 22．由,,x y z +∈R ，且1x y z ++=，可得2222x y z x y z ++≥=+，同理可得2222y z xy z x ++≥+，2222z x y z x y ++≥+， 三式相加，可得()2222222x y z x y z x y z y z z x x y +++++≥+++++， 即为222222x y z x y z y z z x x y ++≥+++++， 则2222221x y z y z z x x y++≥+++成立． 23．（1）因为1C 的圆心是()11,2C ，且与y 轴相切，故圆1C 的半径是1， 所以圆1C 的方程是()()22121x y -+-=．因为cos x ρθ=，sin y ρθ=，将其代入圆1C的方程， 得22cos 4sin 40ρρθρθ--+=． （2）π4θ=代入22cos 4sin 40ρρθρθ--+=, 整理得240ρ-+=，解得1ρ=2ρ=故21ρρ-=AB =因为圆1C 的半径是1，所以点1C 到直线AB 的距离是2．所以1ABC △的面积是11222S ==．。
黑龙江省哈尔滨市第九中学2020-2021学年高三数学文月考试卷含解析
黑龙江省哈尔滨市第九中学2020-2021学年高三数学文月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知是等差数列的前n项和，且，给出下列五个命题：①；②；③；④数列中的最大项为；⑤。
其中正确命题的个数是（）A．5 B．4 C．3 D．1参考答案：C2. 已知复数z=﹣2+i，则复数的模为（）A．1 B．C．D．2参考答案：B【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】把z=﹣2+i代入，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．【解答】解：∵z=﹣2+i，∴，则复数的模，故选：B．3. 如果实数x，y满足条件，那么2x-y的最大值为( )(A)2 (B)l(C) -2 (D) -3参考答案：B4. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体外接球的表面积为（）A．8πB．πC．πD．12π参考答案：C【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图得出空间几何体是镶嵌在正方体中的四棱锥O﹣ABCD，正方体的棱长为2，A，D 为棱的中点，利用球的几何性质求解即可．【解答】解：根据三视图得出：该几何体是镶嵌在正方体中的四棱锥O﹣ABCD，正方体的棱长为2，A，D为棱的中点根据几何体可以判断：球心应该在过A，D的平行于底面的中截面上，设球心到截面BCO的距离为x，则到AD的距离为：2﹣x，∴R2=x2+（）2，R2=12+（2﹣x）2，解得出：x=，R=，该多面体外接球的表面积为：4πR2=π，故选：C．5. 执行如图所示的程序框图，若输入n的值为8，则输出s的值为（）A．16 B．8 C．4 D．2参考答案：B【考点】程序框图．【分析】已知b=8，判断循环条件，i＜8，计算循环中s，i，k，当x≥8时满足判断框的条件，退出循环，输出结果s即可．【解答】解：开始条件i=2，k=1，s=1，i＜8，开始循环，s=1×（1×2）=2，i=2+2=4，k=1+1=2，i＜8，继续循环，s=×（2×4）=4，i=6，k=3，i＜8，继续循环；s=×（4×6）=8，i=8，k=4，8≥8，循环停止，输出s=8；故选B：6. 设{a n}是等比数列，则“a1<a2 <a4”是“数列{a n}是递增数列”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：B 略7. 函数的图像向右平移一个单位长度，所得图像与曲线关于y轴对称，则=（）A．B．C．D．参考答案：D略8. 已知随机变量X服从正态分布N（3，σ2），且P（X＜2）=0.3，则P（2＜X＜4）的值等于（）A．0.5 B．0.2 C．0.3 D．0.4参考答案：D【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】随机变量X服从正态分布N（3，σ2），得到曲线关于x=3对称，根据曲线的对称性得到结论．【解答】解：随机变量X服从正态分布N（3，σ2），∴曲线关于x=3对称，∴P（2＜X＜4）=1﹣P（X＜2）=0.4，故选：D．【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查概率的性质，是一个基础题．9. 若的展开式中项系数为20，则的最小值为（）A. 4B. 3C. 2D. 1参考答案：C【知识点】均值定理二项式定理与性质【试题解析】的通项公式为：令12-3r=3，所以r=3．所以所以故答案为：C10. 执行如图所示的程序框图．则输出的所有点A.都在函数的图象上B.都在函数的图象上C.都在函数的图象上D.都在函数的图象上参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 二项式的展开式中的系数为60，则正实数__________参考答案：12. 双曲线的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则的焦距等于（）A.2B.C.D.4参考答案：B13. 设向量满足则参考答案：2因为所以14. 若某校老、中、青教师的人数分别为、、，现要用分层抽样的方法抽取容量为的样本参加普通话测试，则应抽取的中年教师的人数为_____________．参考答案：15. 已知角是函数在处切线的倾斜角，则参考答案：略16. 某程序框图如右图所示，现将输出（值依次记为若程序运行中输出的一个数组是则数组中的参考答案：3217. 函数的定义域为，若存在闭区间，使得函数满足：①在内是单调函数；②在上的值域为，则称区间为的“倍值区间”，下列函数中存在“倍值区间”的函数有________（填序号）.①；②；③；④参考答案：①③④考点：新定义，命题真假判断．【名师点睛】本题考查新定义问题，对新概念“倍值区间”的理解与转化是解题的关键．对新概念的两个条件中单调性比较容易处理，因此在考虑问题时先研究单调性，然后在单调区间内再考虑区间，“倍值区间”实质就是方程在单调区间内有两个不等的实根，特别是④，还要通过研究函数的单调性来确定其零点的存在性，这是零点不能直接求出时需采用的方法：证明存在性．三、解答题：本大题共5小题，共72分。
2024届黑龙江哈尔滨九中高三上学期期中数学试题及答案
哈九中2024届高三上学期期中考试数学试卷（考试时间：120分钟 满分：150分）Ⅰ卷一、单选题：本题共有8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合{}{}22log 2,20A x xB x x x =≤=--<，则A B ⋃=（ ）A. ()0,2 B. ()1,2- C. (],4∞- D. (]1,4-2. 若复数z 满足i 2i z =+，则z 的共轭复数的虚部为（ ）A. 2iB. 2i- C. 2- D. 23. 在等差数列{}n a 中，若26510,9a a a +==，则10a =（ ）A. 20 B. 24C. 27D. 294. “26k πθπ=+，Z k ∈”是“1sin 2θ=”的（ ）A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件5. 下列命题中，真命题的是（ ）A. 函数sin ||y x =的周期是2π B. 2,2x x R x ∀∈>C. 函数2()ln2x f x x +=-是奇函数. D. 0a b +=的充要条件是1ab=-6.设0,0,lg a b >>lg 4a 与lg 2b 的等差中项，则21a b+的最小值为（ ）A. B. 3C. 9D. 7. 已知ABC 中，5AB AC ==，6BC =，点D 为AC 中点，点M 为边BC 上一动点，则MD MC ⋅的最小值为（ ）A 27B. 0C. 716-D. 916-8. 在流行病学中，基本传染数0R 是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数．0R 一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定．对于0R 1>，而且死亡率较高的传染病，一般要隔离感染者，以控制传染源，切断传播途径．假设的.某种传染病的基本传染数0R 3=，平均感染周期为7天（初始感染者传染0R 个人为第一轮传染，经过一个周期后这0R 个人每人再传染0R 个人为第二轮传染……）那么感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要的天数为（参考数据：63729=，541024=）（ ）A. 35B. 42C. 49D. 56二、多选题：本题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9. 数列{}n a 满足：11a =，1310n n a a +--=，N n *∈，下列说法正确的是（ ）A. 数列1{}2n a +为等比数列 B. 11322n n a =⨯-C. 数列{}n a 是递减数列D. {}n a 的前n 项和115344n n S +=⨯-10. 下列说法中正确的是（ ）A. 在ABC 中，AB c = ，BC a = ，CA b = ，若0a b ⋅> ，则ABC 为锐角三角形B. 非零向量a 和b满足1a = ，2=+= b a b，则a b -= C. 已知()1,2a = ，()1,1b = ，且a 与a b λ+ 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是5,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D. 在ABC 中，若2350OA OB OC ++=，则AOC 与AOB 的面积之比为3511. 已知函数()()[]()2cos 0,0,πf x x ωϕωϕ=+>∈，则（）A. 若()0f =，则π3ϕ=B. 若函数()y f x =为偶函数，则2cos 1ϕ=C. 若()f x [],a b 上单调，则π2b a ω-≤D. 若2ϕπ=时，且()f x 在ππ,34⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调，则30,2ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦12. 已知()[)()[]sin 0,6π3π1cos 6π,7πax xx f x a x x ⎧-∈⎪=⎨-∈⎪⎩，若()0f x ≥恒成立，则不正确的是（ ）A. ()f x 的单调递增区间为()0,6πB. 方程()f x m =可能有三个实数根在C. 若函数()f x 在0x x =处的切线经过原点，则00tan x x =D. 过()f x 图象上任何一点，最多可作函数()f x 的8条切线Ⅱ卷三、填空题：本题共有4个小题，每小题5分，共20分．13. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21n n S a =-，则数列{}n a 的通项公式n a =______．14. 已知ABC的面积S =，3A π∠=，则AB AC ⋅=________；15. 若2sin 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 26πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭________．16. ()123,,,,n A a a a a =⋅⋅⋅，{}{}1,0,11,2,3,,i a i n ∈-=⋅⋅⋅为一个有序实数组，()f A 表示把A 中每个-1都变为1-，0，每个0都变为1-，1，每个1都变为0，1所得到的新的有序实数组，例如：()1,0,1A =-，则()()1,0,1,1,0,1f A =--．定义()1k k A f A +=，1,2,3,k =⋅⋅⋅，若()11,1A =-，n A 中有n b 项为1，则{}n b 的前2n 项和为________．四、解答题：本题共有6个小题，共70分．17.设向量)(),sin ,cos ,sinx ,0,.2a x x b x x π⎡⎤==∈⎢⎥⎣⎦（I ）若.a b x =求的值；（II ）设函数()()·,.f x a b f x =求的最大值18. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，60DAB ∠= ，PD ⊥平面ABCD ，1PD AD ==，且点,E F 分别为AB 和PD 中点.（1）求证：直线//AF 平面PEC ；（2）求PB 与平面PAD 所成角的正弦值.19. 已知数列{}n a 满足11a =，且()1111n n a a n n n n +-=++．（1）求{}n a 的通项公式；（2）若数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，且312n n S -=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．20. 在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，ABC 的面积为ABC S ．已知①2ABC BC S ⋅=；②()()()sin sin sin sin sin sin sin B A B A C C A +-=+；③()2cos cos c a B b C +=-，从这三个条件中任选一个，回答下列问题．（1）求角B ；（2）若b =．求22a c +的取值范围．21. 已知等差数列{}n a 满足212a a =，且1a ，32a -，4a 成等比数列.（1）求{}n a 通项公式；（2）设{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T .若{}n a 的公差为整数，且()111nn n nS b S +-=-，求n T .22. 已知函数()ln ,f x x mx m =+∈R ．（1）当3m =-时，求()f x 的单调区间；（2）当()1,x ∈+∞时，若不等式()mf x x <恒成立，求m 取值范围；（3）设*n ∈N ，证明：()22235212ln 11122n n n n++<++⋅⋅⋅++++．的的哈九中2024届高三上学期期中考试数学试卷（考试时间：120分钟 满分：150分）Ⅰ卷一、单选题：本题共有8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合{}{}22log 2,20A x xB x x x =≤=--<，则A B ⋃=（ ）A. ()0,2B. ()1,2- C. (],4∞- D. (]1,4-【答案】D 【解析】【分析】解不等式可得集合,A B ，根据集合的并集运算即得答案.【详解】因为{}(]2log 20,4A x x =≤=，{}()2201,2B x x x =--<=-，所以(]1,4A B =- ，故选：D.2. 若复数z 满足i 2i z =+，则z 的共轭复数的虚部为（ ）A. 2i B. 2i- C. 2- D. 2【答案】D 【解析】【分析】先求出复数z ，得到z 的共轭复数，即可得到答案.【详解】因为复数z 满足i 2i z =+，所以2i12i iz +==-，所以z 的共轭复数12i z =+.其虚部为：2.故选：D3. 在等差数列{}n a 中，若26510,9a a a +==，则10a =（ ）A. 20 B. 24C. 27D. 29【答案】D 【解析】【分析】求出基本量，即可求解.【详解】解：2642=10a a a +=，所以45a =，又59a =，所以544d a a =-=，所以510592029a d a +=+==，故选：D 4. “26k πθπ=+，Z k ∈”是“1sin 2θ=”的（ ）A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据三角函数的诱导公式和特殊角的三角函数，结合充分必要条件的概念即可判断.【详解】26k πθπ=+，Z k ∈时，1sin sin 2sin 662k ππθπ⎛⎫=+== ⎪⎝⎭，526k πθπ=+，Z k ∈时，551sin sin 2sin 662k ππθπ⎛⎫=+== ⎪⎝⎭，所以“26k πθπ=+，Z k ∈”是“1sin 2θ=”的充分而不必要条件，故选:A .5. 下列命题中，真命题的是（ ）A. 函数sin ||y x =的周期是2π B. 2,2x x R x ∀∈>C. 函数2()ln 2x f x x +=-是奇函数. D. 0a b +=的充要条件是1ab=-【答案】C 【解析】【分析】选项A ，由sin ||sin |2|33πππ-≠-+可判断；选项B ，代入2x =，可判断；选项C ，结合定义域和()()f x f x -=-，可判断；选项D ，由1ab=-得0a b +=且0b ≠，可判断【详解】由于5sin |||2|sin()333ππππ-=-+==，所以函数sin ||y x =的周期不是2π，故选项A 是假命题；当2x =时22x x =，故选项B 是假命题；函数2()ln2x f x x+=-的定义域(2,2)-关于原点对称，且满足()()f x f x -=-，故函数()f x 是奇函数，即选项C 是真命题；由1a b =-得0a b +=且0b ≠，所以“0a b +=”的必要不充分条件是“1ab=-”，故选项D 是假命题故选：C6. 设0,0,lg a b >>lg 4a 与lg 2b 的等差中项，则21a b+的最小值为（ ）A. B. 3C. 9D. 【答案】C 【解析】【分析】根据等差中项的定义，利用对数的运算得到21a b +=，然后利用这一结论，将目标化为齐次式，利用基本不等式即可求最小值.【详解】解：0,a b >>Q 是lg 4a 与lg 2b 的等差中项，2lg4lg2,lg 2lg 2b a a b +∴=+∴=，即222a b +=，即21a b +=，则212122(2)559a b a b a b a b b a ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当22a b b a=，即13a b ==时取等号.故选C .【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值中的其次化方法，涉及等差中项概念和对数运算，难度中等.当已知a b k αβ+=（,,,,a b k αβ都是正实数，且,,k αβ为常数），求(,0m nm n a b+>，为常数)的最小值时常用()1m n m n a b a b k a b αβ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭方法，展开后对变量部分利用基本不等式，从而求得最小值；已知k abαβ+=（,,,,a b k αβ都是正实数，且,,k αβ为常数），求(,0ma nb m n +>，为常数)的最小值时也可以用同样的方法.7. 已知ABC 中，5AB AC ==，6BC =，点D 为AC 的中点，点M 为边BC 上一动点，则MD MC⋅的最小值为（ ）A. 27 B. 0C. 716-D. 916-【答案】D 【解析】【分析】根据图形特点，建立直角坐标系，由题设数量关系得出A ，B ，C 的坐标，再设出点M 的坐标，将所求问题转化为函数的最小值即可.【详解】解：以BC 所在直线为x 轴，线段BC 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系，如图所示 ，由题意可知，()0,4A ，()3,0C ，3,22D ⎛⎫⎪⎝⎭，设(),0M t ，其中[]3,3t ∈- ，则3,22MD t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()3,0MC t =- ，故()22399993222416MD MC t t t t t ⎛⎫⎛⎫⋅=-⨯-=+=--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，所以当94t = 时，MD MC ⋅ 有最小值916-.故选：D.8. 在流行病学中，基本传染数0R 是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数．0R 一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定．对于0R 1>，而且死亡率较高的传染病，一般要隔离感染者，以控制传染源，切断传播途径．假设某种传染病的基本传染数0R 3=，平均感染周期为7天（初始感染者传染0R 个人为第一轮传染，经过一个周期后这0R 个人每人再传染0R 个人为第二轮传染……）那么感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要的天数为（参考数据：63729=，541024=）（ ）A. 35 B. 42C. 49D. 56【答案】B【解析】【分析】根据题意列出方程，利用等比数列的求和公式计算n 轮传染后感染的总人数，得到指数方程，求得近似解，然后可得需要的天数.【详解】感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要n 轮传染,则每轮新增感染人数为0nR ，经过n 轮传染，总共感染人数：1200000111n nR R R R R +-++++=- ，∵0R 3=，∴当感染人数增加到1000人时，113=100013n +--，化简得3=667n ，由563243,3729==，故得6n ≈，又∵平均感染周期为7天，所以感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要6742⨯=天，故选：B【点睛】等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前n 项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程．二、多选题：本题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得50分，部分选对的得2分．9. 数列{}n a 满足：11a =，1310n n a a +--=，N n *∈，下列说法正确的是（ ）A. 数列1{}2n a +为等比数列 B. 11322n n a =⨯-C. 数列{}n a 是递减数列 D. {}n a 的前n 项和115344n n S +=⨯-【答案】AB 【解析】【分析】推导出1113()22n n a a ++=+，11322a +=，从而数列1{}2n a +为首项为32，公比为3的等比数列，由此利用等比数列的性质能求出结果．【详解】解： 数列{}n a 满足：11a =，1310n n a a +--=，*n ∈N ，131n n a a +∴=+，1113(22n n a a +∴+=+，11322a +=，为∴数列1{}2n a +为首项为32，公比为3的等比数列，故A 正确；113133222n n n a -+=⨯=⨯，∴11322n n a =⨯-，故B 正确；数列{}n a 是递增数列，故C 错误；数列1{}2n a +的前n 项和为：13(13)3132(31)313444n n n n S +-'==-=⨯--，{}n a ∴的前n 项和1111332424n n n S S n n +'=-=⨯--，故D 错误．故选：AB ．10. 下列说法中正确的是（ ）A. 在ABC 中，AB c = ，BC a = ，CA b = ，若0a b ⋅> ，则ABC 为锐角三角形B. 非零向量a 和b满足1a = ，2=+= b a b，则a b -= C. 已知()1,2a = ，()1,1b = ，且a 与a b λ+ 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是5,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D. 在ABC 中，若2350OA OB OC ++= ，则AOC 与AOB 的面积之比为35【答案】BD 【解析】C 为钝角，从而否定A ；利用向量的和、差的模的平方的关系求得26a b -= ，进而判定B ；注意到a 与a b λ+ 同向的情况，可以否定C ；延长AO 交BC 于D ,∵,AO OD共线，利用平面向量的线性运算和三点共线的条件得到58BD BC = ,进而35CD DB =，然后得到35ODC ADC OBD ABD S S S S == ，利用分比定理得到35AOC ODC ADC AOB OBD ABD S S S S S S -==- ，从而判定D.【详解】0a b ⋅> 即0BC CA ⋅> ,∴0CB CA ⋅< ,∴C 为钝角，故A 错误；2222222810a b a b a b -++=+=+= ，2224a b +== ，21046a b -=-=，a b -=B 正确；(1,2)a b λλλ+=++r r，当0λ=时，a 与a b λ+ 同向，夹角不是锐角，故C 错误；∵2350OA OB OC ++=，∴3522AO OB OC =+ ，延长AO 交BC 于D ,如图所示.∵,AO OD共线，∴存在实数k ，3522k k OD k AO OB OC ==+ ，∵,,D B C 共线，∴35122k k +=,∴14k =,∴3588OD OB OC =+ ，∴555888BD OD OB OB OC BC =-=-+= ，∴35CD DB =.∴35ODC ADC OBD ABD S S S S == ，∴35AOC ODC ADC AOB OBD ABD S S S S S S -==- ，故D 正确.故选：BD.11. 已知函数()()[]()2cos 0,0,πf x x ωϕωϕ=+>∈，则（）A. 若()0f =，则π3ϕ=B. 若函数()y f x =为偶函数，则2cos 1ϕ=C. 若()f x [],a b 上单调，则π2b a ω-≤D. 若2ϕπ=时，且()f x在π3⎡-⎢⎣上单调，则30,2ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦【答案】BD 【解析】【分析】将0x =代入()f x 求出函数值，根据ϕ的范围即可判断选项A ；根据偶函数的性质即可判断选项B ；根据()f x 在[],a b 上单调，则2Tb a ≥-即可判断选项C ；根据整体思想以及正弦函数的性质即可判断选项D.【详解】对于选项A ，若()0f =，则2cos ϕ=cos ϕ=，∵[]0,πϕ∈，∴π6ϕ=，则A错误；对于选项B ，若函数()y f x =为偶函数，则0ϕ=或πϕ=，即2cos 1ϕ=，则B 正确；对于选项C ：若()f x 在[],a b 上单调，则π2T b a ω-≤=，但不一定小于π2ω，则C错误；在对于选项D ：若2ϕπ=，则()2sin f x x ω=-，当ππ,34x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，ππ,34x ωωω⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，∵()f x 在ππ,34⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调，∴ππ32ππ42ωω⎧-≥-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩ ，解得30,2ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，则D 正确．故选：BD ．12. 已知()[)()[]sin 0,6π3π1cos 6π,7πax x x f x a x x ⎧-∈⎪=⎨-∈⎪⎩，若()0f x ≥恒成立，则不正确的是（ ）A. ()f x 的单调递增区间为()0,6πB. 方程()f x m =可能有三个实数根C. 若函数()f x 在0x x =处的切线经过原点，则00tan x x =D. 过()f x 图象上任何一点，最多可作函数()f x 的8条切线【答案】ABC 【解析】【分析】A 选项，根据()0f x ≥，得到1a ≥，画出函数图象，可得单调区间；B 选项，结合函数图象得到方程()f m =的根的个数；C 选项，分[0,6π)x ∈和[]6π,7πx ∈两种情况，得到00tan x x =或0001cos sin x x x -=；D 选项，设()f x 上一点()111,sin M x ax x -，分M 为切点和不是切点，结合函数图象可得过()f x 图象上任何一点，最多可作函数()f x 的8条切线.【详解】A 选项，因为函数()0f x ≥，[6π,7π]x ∈时，由于1cos 0x -≥恒成立，故3π(1cos )y a x =-要想恒正，则要满足0a ≥，[0,6π]x ∈时，sin 0y ax x =-≥恒成立，cos y a x '=-，当1a ≥时，cos 0y a x '=-≥在[)0,6π恒成立，故sin y ax x =-在[)0,6π单调递增，又当0x =时，0y =，故sin 0y ax x =-≥在[)0,6π上恒成立，满足要求，当01a <<时，令cos 0y a x '=-=，故存0π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得0cos a x =，当()00,x x ∈时，0'<y ，当0π,2x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0y '>，故sin y ax x =-在()00,x x ∈上单调递减，又当0x =时，0y =，故()00,x x ∈时，sin 0y ax x =-<，不合题意，舍去，综上：1a ≥，当6πx →时，sin 6πy ax x a =-→，(6)3π[1cos(6π)]0f a π=-=，且(7π)3π[1cos(7π)]6πf a a =-=，画出函数图象如下，故()f x 的单调递增区间为(0,6π),(6π,7π)，A 错误；B 选项，可以看出方程()f x m =最多有两个实数解，不可能有三个实数根，B 错误；C 选项，当[)0,6πx ∈时，()cos f x a x '=-，则()00cos f x a x '=-，则函数()f x 在0x x =处的切线方程为()()()0000sin cos y ax x a x x x --=--，将()0,0代入切线方程得()()0000sin cos ax x x a x --=--，解得00tan x x =，当[]6π,7πx ∈时，()3πsin f x a x '=，则()003πsin f x a x '=，则函数()f x 在0x x =处的切线方程为()()0003π1cos 3πsin y a x a x x x --=-⎡⎤⎣⎦，将()0,0代入切线方程得，0001cos sin x x x -=，其中06πx =满足上式，不满足00tan x x =，故C 错误；D 选项，当[)0,6πx ∈时，设()f x 上一点()111,sin M x ax x -，()cos f x a x '=-，当切点为()111,sin M x ax x -，则()11cos f x a x '=-，在故切线方程为()()()1111sin cos y ax x a x x x --=--，此时有一条切线，当切点不为()111,sin M x ax x -时，设切点为()222,sin N x ax x -，则()22cos f x a x '=-，此时有()2211221sin sin cos ax x ax x a x x x ---=--，即12212sin sin cos x x x x x -=-，其中1212sin sin x x t x x -=-表示直线MN 的斜率，画出cos ,[0,6π)y x x =∈与y t =的图象，最多有6个交点，故可作6条切线，[]6π,7πx ∈时，当切点不为()111,sin M x ax x -时，设切点为()()22,3π1cos N x a x -，则()3πsin f x a x '=，()223πsin f x a x '=，()7π3πsin 7π0f a '==，()6π3πsin 6π0f a '==，13π13π3πsin 3π22f a a ⎛⎫⎪==⎭'⎝，结合图象可得，存在一个点()()22,3π1cos N x a x -，使得过点()()22,3π1cos N x a x -的切线过[)0,6πx ∈上时函数的一点，故可得一条切线，当M 点在[]6π,7πx ∈时的函数图象上时，由图象可知，不可能作8条切线，综上，过()f x 图象上任何一点，最多可作函数f(x)的8条切线，D 正确.故选：ABC【点睛】应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1) 已知切点()()00,A x f x 求斜率k ,即求该点处的导数()0k f x ='；(2) 已知斜率k 求切点()()11,A x f x ,即解方程()1f x k '=；(3) 已知切线过某点()()11,M x f x (不是切点) 求切点, 设出切点()()00,A x f x ,利用()()()10010f x f x k f x x x -=='-求解.Ⅱ卷三、填空题：本题共有4个小题，每小题5分，共20分．13. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21n n S a =-，则数列{}n a 的通项公式n a =______．【答案】12n -【解析】【分析】当1n =时求得1a ；当2n ≥时，利用1n n n a S S -=-可知数列{}n a 为等比数列，利用等比数列通项公式可求得结果.【详解】当1n =时，1121a a =-，解得：11a =；当2n ≥时，()112121n n n n n a S S a a --=-=---，12n n a a -∴=，则数列{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列，11122n n n a --∴=⨯=.故答案为：12n -.14. 已知ABC 的面积S =，3A π∠=，则AB AC ⋅=________；【答案】2【解析】【分析】由三角形的面积可解得4bc =，再通过数量积的定义即可求得答案【详解】由题可知1sin 2S bc A =3A π∠= ，所以解得4bc =由数量积的定义可得1cos 422AB AC bc A ⋅==⨯= 【点睛】本题考查三角形的面积公式以及数量积的定义，属于简单题．15. 若2sin 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 26πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭________．【答案】19-【解析】【分析】由sin 2sin 2632πππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，结合诱导公式和二倍角公式得出答案．【详解】2sin 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭ ，21cos 212sin 369ππαα⎛⎫⎛⎫∴+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．22326πππαα⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭，1sin 2sin 2cos 263239ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-=+-=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦．故答案为：19-16. ()123,,,,n A a a a a =⋅⋅⋅，{}{}1,0,11,2,3,,i a i n ∈-=⋅⋅⋅为一个有序实数组，()f A 表示把A 中每个-1都变为1-，0，每个0都变为1-，1，每个1都变为0，1所得到的新的有序实数组，例如：()1,0,1A =-，则()()1,0,1,1,0,1f A =--．定义()1k k A f A +=，1,2,3,k =⋅⋅⋅，若()11,1A =-，n A 中有n b 项为1，则{}n b 的前2n 项和为________．【答案】21223n +-【解析】【分析】设n A 中有n c 项为0，其中1和1-的项数相同都为n b ，由已知条件可得()111222n n n b c n ---+=≥①，()112n n n b b c n --=+≥②，进而可得()1122n n n b b n --+=≥③，再结合12n n n b b ++=④可得()11122n n n b b n -+--=≥，分别研究n 为奇数与n 为偶数时{}n b 的通项公式，运用累加法及并项求和即可求得结果.【详解】因为()11,1A =-，依题意得，()21,0,0,1A =-，()31,0,1,1,1,1,0,1A =---，显然，1A 中有2项，其中1项为1-，1项为1，2A 中有4项，其中1项为1-，1项为1，2项为0，3A 中有8项，其中3项1-，3项为1，2项为0，由此可得n A 中共有2n 项，其中1和1-的项数相同，设n A 中有n c 项为0，所以22nn n b c +=，11b =，从而()111222n n n b c n ---+=≥①，因为()f A 表示把A 中每个1-都变为1-，0，每个0都变为1-，1，每个1都变为0，1所得到的新的有序实数组，为则()112n n n b b c n --=+≥②，①+②得，()1122n n n b b n --+=≥③，所以12nn n b b ++=④，④-③得，()11122n n n b b n -+--=≥，所以当n 为奇数且3n ≥时，()()()324122411222122211143n n n n n n n n n b b b b b b b b ------+=-+-+⋅⋅⋅+-+=++⋅⋅⋅++=+=-，经检验1n =时符合，所以213n n b +=（n为奇数），当n 为偶数时，则n 1-为奇数，又因为()1122n n n b b n --+=≥，所以111121212233n n n n n n b b ----+-=-=-=，所以2+1,321,3n n n n b n ⎧⎪⎪=⎨-⎪⎪⎩为奇数为偶数，当n 为奇数时，+112121233n n n n n b b ++-+=+=，所以{}n b 的前2n 项和为21211352112345621222422()()()()2+2+2++2143n n n n n b b b b b b b b -+---⨯-++++++++===- .故答案为：21223n +-.【点睛】本题的解题关键是根据题目中集合的变换规则找到递推式，求出通项公式，再利用数列的特征采取分组求和解出.四、解答题：本题共有6个小题，共70分．17.设向量)(),sin ,cos ,sinx ,0,.2a x x b x x π⎡⎤==∈⎢⎥⎣⎦（I ）若.a b x =求的值；（II ）设函数()()·,.f x a b f x =求的最大值【答案】（I ）6π（II ）max 3()2f x =【解析】【详解】(1)由2a ＝x )2＋(sin x )2＝4sin 2x ，2b ＝(cos x )2＋(sin x )2＝1，及a b =r r，得4sin 2x ＝1.又x ∈0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，从而sin x ＝12，所以x ＝6π.(2) ()·=f x a b =x ·cos x ＋sin 2xsin 2x －12cos 2x ＋12＝sin 26x π⎛⎫- ⎪⎝⎭＋12，当x ∈0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦时，－6π≤2x －6π∴当2x －6π＝2π时，即x ＝3π时，sin 26x π⎛⎫-⎪⎝⎭取最大值1.所以f (x )的最大值为32.18. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，60DAB ∠= ，PD ⊥平面ABCD ，1PD AD ==，且点,E F 分别为AB 和PD 中点.（1）求证：直线//AF 平面PEC ；（2）求PB 与平面PAD 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）取PC 的中点M ，根据题意证得//AE MF 且AE MF =，得到四边形AEMF 为平行四边形，从而得到//AE ME ，结合线面平行的判定定理，即可得证；（2）以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得向量1,1)2PB =- 和平面PAD 的一个法向量n =，结合向量的夹角公式，即可求解.【小问1详解】证明：取PC 的中点M ，连接,MF EM ，在PCD 中，因为,M F 分别为,PC PD 的中点，可得//MF CD 且12MF CD =，又因为E 为AB 的中点，所以//AE CD 且12AE CD =，所以//AE MF 且AE MF =，所以四边形AEMF 为平行四边形，所以//AE ME ，因为ME ⊂平面PCE ，AF ⊄平面PCE ，所以//AF 平面PCE .【小问2详解】解：因为底面ABCD 是菱形，且60DAB ∠= ，连接BD ，可得ABD △为等边三角形，又因为E 为AB 的中点，所以DE AB ⊥，则DE DC ⊥，又由PD ⊥平面ABCD ，以D 为坐标原点，以,,DE DC DP 所在的直线分别为,x y 和z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，因为底面ABCD 是菱形，且60DAB ∠= ，1PD AD ==，可得11(0,0,0),,0),,0),(0,0,1)22D A B P -，则11,1),,0),(0,0,1)22PB DA DP =-=-=，设平面PAD 的法向量为(,,)n x y z =，则1020n DA x y nDP z ⎧⋅=-=⎪⎨⎪⋅==⎩ ，取x =，可得3,0y z ==，所以n =，设直线PB 与平面PAD 所成的角为θ，则sin cos ,n PB n PB n PB θ⋅==== ，所以直线PB 与平面PAD19. 已知数列{}n a 满足11a =，且()1111n n a a n n n n +-=++．（1）求{}n a 通项公式；（2）若数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，且312n n S -=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】（1）21n a n =- （2）1133n n n T -+=-【解析】的【分析】（1）利用累加法求出na n，进而得n a ；（2）求得1213n n n b --=，利用错位相减法可求出答案.【小问1详解】因为()1111111n n a a n n n n n n +-==-+++，所以11221111221n n n n n a a a a a a a a n n n n n ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-+ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1111111121212n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-+=- ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以21n a n =-．【小问2详解】因为312n n S -=，所以当1n =时，1111a S b ==，得11b =；当2n ≥时，1113131322n n n n n n n a S S b -----=-=-=，所以1213n n n b --=（1n =时也成立）．因为012135333n T =++++ 所以12311352133333n nn T -=++++ ，所以1012111121222212133121333333313n n n nnn n T --⎛⎫- ⎪--⎝⎭=++++-=+⨯-- 112122112333n n nn n --+=+--=-，故1133n n n T -+=-．20. 在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，ABC 的面积为ABC S ．已知①2ABC BC S ⋅=；②()()()sin sin sin sin sin sin sin B A B A C C A +-=+；③()2cos cos c a B b C +=-，从这三个条件中任选一个，回答下列问题．（1）求角B ；（2）若b =．求22a c +的取值范围．【答案】（1）2π3B = （2）[)8,12【解析】【分析】（1）选①时：利用面积和数量积公式代入化简即可；选②时：利用正弦定理代入，结合余弦定理得到；选③时：正弦定理进行边角转换，结合角度的范围即可确定角B .（2）结合（1）的角度，和边的大小，用余弦定理进行代换，结合基本不等式即可得到最终范围.【小问1详解】2ABC BC S ⋅=可得：1cos 2sin sin 2B ac B ac B =⋅=，故有sin tan cos BB B ==又∵()0,πB ∈，∴2π3B =；选②，∵()()()sin sin sin sin sin sin sin B A B A C C A +-=+，由正余弦定理得222c ac b a +=-，∴2221cos 22a cb B ac +-==-，又()0,πB ∈，∴2π3B =；选③，∵()2cos cos c a B b C +=-，由正弦定理可得()sin 2sin cos sin cos C A B B C +=-，∴()2sin cos sin cos sin cos sin sin A B B C C B C B A =--=-+=-，∵()0,πA ∈，∴sin 0A ≠，∴1cos 2B =-，又()0,πB ∈，∴2π3B =．【小问2详解】由余弦定理得2222cos 12c a b ac B ac +=+=-∵0ac >，∴2212a c +<．又有222222122c a c a ac c a +=++≤++，当且仅当2a c ==时取等号，可得228c a +≥．即22a c +的取值范围是[)8,12．21. 已知等差数列{}n a 满足212a a =，且1a ，32a -，4a 成等比数列.（1）求{}n a 的通项公式；（2）设{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T .若{}n a 的公差为整数，且()111nn n nS b S +-=-，求n T .【答案】（1）25n a n =或2n a n =（N n +∈） （2）当n 为正偶数时，1n nT n =-+，当n 为正奇数时，231n n T n +=-+【解析】【分析】（1）设出公差d ，根据已知条件列出相应的等式即可求解.（2）由题意可以先求出{}n b 的通项公式，再对n 进行讨论即可求解.【小问1详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，∵2112a a a d ==+，∴1a d =，∵1a ，32a -，4a 成等比，∴()21432a a a =-，即()()2111322a a d a d +=+-，得()22432d d =-，解得25d =或2d =，∴当125d a ==时，25n a n =；当12d a ==时，2na n =；∴25n a n =或2n a n =（N n +∈）.【小问2详解】因为等差数列{}n a 的公差为整数，由（1）得2n a n =，所以()()2212n n n S nn +==+，则()()112n S n n +=++，∴()()()()()()()12121111111111nn n n n n n b n n n n n n n ⎡⎤++-+⎛⎫=-=--=-++⎢⎥ ⎪+++⎝⎭⎢⎥⎣⎦.①当n 为偶数时1231n n nT b b b b b -=+++++ 1111111111111111111223344511n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++++-+++++--+++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111111111111111111223344511n n n n =---+++---+++----+++-+ 1111n =-++1n n =-+.②当n 为奇数时1231n n nT b b b b b -=+++++ 1111111111111111111223344511n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++++-+++++-+++-++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111111111111111111223344511n n n n =---+++---+++-+++----+ 1111111n n n =-+---+231n n +=-+.所以当n 为正偶数时，1n nT n =-+，当n 为正奇数时，231n n T n +=-+.22. 已知函数()ln ,f x x mx m =+∈R ．（1）当3m =-时，求()f x 的单调区间；（2）当()1,x ∈+∞时，若不等式()mf x x <恒成立，求m 的取值范围；（3）设*n ∈N ，证明：()22235212ln 11122n n n n++<++⋅⋅⋅++++．【答案】（1）递增区间为10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，递减区间为1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭（2）1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦（3）证明见解析【解析】【分析】（1）求定义域，求导，由导函数的正负求出单调区间；（2）转化为1ln 0x m x x ⎛⎫+-< ⎪⎝⎭在()1,x ∈+∞上恒成立，令()()1ln ,1,g x x m x x x ⎛⎫=+-∈+∞ ⎪⎝⎭，分0m ≥和0m <两种情况，求导，结合导函数特征，再分类讨论，求出m 的取值范围；（3）在（2）基础上得到12ln x x x<-，赋值得到211212ln 1n n n n n n n n n +++<-=++，利用累加法得到结论.【小问1详解】当3m =-时，()ln 3,0f x x x x =->，则()1133x f x x x-'=-=，令()0f x ¢>，得103x <<；令()0f x '<，得13x >，所以()f x 的单调递增区间为10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．【小问2详解】由()m f x x <，得1ln 0x m x x ⎛⎫+-< ⎪⎝⎭，设()()1ln ,1,g x x m x x x ⎛⎫=+-∈+∞ ⎪⎝⎭，当()1,x ∈+∞时，1ln 0,0x x x>->，所以当0m ≥时，()0g x >，不符合题意．当0m <时，()2111g x m x x ⎛⎫=++ ⎝'⎪⎭22mx x m x ++=，设()()2,1,h x mx x m x =++∈+∞，其图象为开口向下的抛物线，对称轴为12x m=-0>，当112m ->，即102m -<<时，因为()1210h m =+>，所以当11,2x m ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()0h x >，即()0g x '>，此时()g x 单调递增，所以()()10g x g >=，不符合题意．当1012m <-≤，即12m ≤-时，()h x 在()1,+∞上单调递减，所以()()1210h x h m <=+≤，所以()0g x '<，所以()g x 在()1,+∞上单调递减，所以()()10g x g <=，符合题意．综上所述，m 的取值范围为1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦．【小问3详解】由（2）可得当1x >时，11ln 02x x x ⎛⎫--< ⎪⎝⎭，即12ln x x x<-，令*1,n x n n+=∈N ，则211212ln 1n n n n n n n n n +++<-=++，所以22223351212ln ,2ln ,,2ln 111222n n n n n++<<⋅⋅⋅<+++，以上各式相加得22223135212lnln ln 121122n n n n n++⎛⎫++⋅⋅⋅+<++⋅⋅⋅+ ⎪+++⎝⎭，即22223135212ln 121122n n n n n ++⎛⎫⨯⨯⋅⋅⋅⨯<++⋅⋅⋅+⎪+++⎝⎭，所以()22235212ln 11122n n n n++<++⋅⋅⋅++++．【点睛】导函数证明数列相关不等式，常根据已知函数不等式，用关于正整数的不等式代替函数不等式中的自变量，通过多次求和（常常用到裂项相消法求和）达到证明的目的，此类问题一般至少有两问，已知的不等式常由第一问根据特征式的特征而得到.。
黑龙江哈九中—高三上学期第二次月考理科数学
黑龙江省哈九中2010届高三上学期第二次月考数学（理）2009、10、9第I 卷选择题（共60 分）一.选择题（本题共12小题，每小题 选项，将正确答案填涂到客观题答题卡上。
） 5分，共60分，每小题只有一个正确sin12.命题“小L ，S - 2.1 +4 o ”的否定为3.若=ns^>Cl 且园n2$vCl ，则角日终边所在的象限是"E 中较小的数B.C. D.A Vx e Rjjc 1 — ix+4>0B Vx 护 i +4 -■ 0Br e J?, - 2x +4 > 0 C.玉 £ R t — lx +4 > 0A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限 •第四象限5.设函数y =2iin(——Lx)(x c[0P JEj)6In12增函数H 5TTPh5JT-ltx > 0)l(x < 0)，则的值为中较大的6.已知锐角三角形的两个内角tan A — ———=tan B^llA，则有匸口:i 」 2血匚是角成等差数列充要条件 C •必要非充分条件 D •既不充分也不必要条件的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，八㈣尹A .Bii .已知函数 心上皿g n)…司，其导函数门j 的部分A . sin2/l-cnsZ?=0■n lA+caaiF = 0D . sLn2j4+sin£ = 0能使函数/ \'^cas (^-v叭 肌叫弘 呦 为奇函数的护的一个可能值为A.JT B.JT 2JTC.D./(x) = sin 2&已知函数’an: + J5蚩in. ffl-r cas fltt )x G 尽=—二戸)=—2 2| Of-0|,则正数①的值A. 2B. Lsin 畀 2 CDS C+CDS ^IA .充分非必要条件B . y = sin (兀—一)10.将函数再将所得的图象向左平移7T3个单位，得到的图象对应的解析式是y = win (卜一壬)C.D.y = sin (2x! 一£)图象如图所示，贝U 函数的解析式为C.1兀)=4 sm(-x +-—)D.12.已知函数fE-呃⑺M",满足F⑴1J(2) I口邛，其中I为正实数?则/⑴的最小值为()A. $ B . 3C0 D .1第II卷非选择题(共90分)二.填空题：(本题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在答题纸相应的位置上。
黑龙江省哈九中高三数学上学期第二次月考(文理)
黑龙江省哈九中2008——2009学年度上学期9月月考高三学年数学学科试卷（文科）本试卷分第Ι卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．第Ι卷一、选择题（本题共12小题，每题5分，共60分。
在每题所给的四个选项中，只有一个是正确的）1．等差数列{}n a 中，已知1251,4,33,3n a a a a =+==则n 为 A ．48B ．49C ．50D ．512．设集合{}|02M a a =≤<，集合{}2|230N x x x =--<，则MN =A ．∅B ．{}|02x x ≤<C ．{}|01x x ≤≤D ．{}|02x x ≤≤3．0a <是方程2210ax x ++=至少有一个负数根的A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知等差数列{}n a 满足1231010,a a a a ++++=则有A ．11010a a +>B ．11010a a +<C ．3990a a +=D ．5151a =5．设定义在R 上的函数()f x 满足()()213f x f x ⋅+=，若()12f =，则()99f =A ．13B ．2C ．132D ．2136．已知2()82f x x x =+-，若2()(2)g x f x =-，那么)(x gA ．在区间)0,1(-内是减函数B ．在区间)1,0(内是减函数C ．在区间)0,2(-内是增函数D ．在区间)2,0(内是增函数 7．在数列{}n a 中，1232,n n a a a a ++++=则3333123n a a a a ++++=A ．8nB ．1(81)7n- C ．1(61)5n- D ．18(86)7n -+ 8．若函数(),()f x g x 分别是R 上的奇函数、偶函数，且满足()()xf xg x e -=，则有A ．(2)(3)(0)f f g <<B ．(0)(3)(2)g f f <<C ．(2)(0)(3)f g f <<D ．(0)(2)(3)g f f <<9．命题“若1=x 或5=x ，则0562=+-x x ”，以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数为A ．0个B ．2个C ．3个D ．4个10．若定义在R 上的函数()f x 满足：对任意R x x ∈21,有1212()()()1f x x f x f x +=++,则下列说法一定正确的是A ．()f x 为奇函数B ．()f x 为偶函数C ．()1f x +为奇函数D ．()1f x +为偶函数11．在等差数列{}n a 中，公差20,d a ≠是1a 与4a 的等比中项，已知数列1213,,,nk k k a a a a a 成等比数列，则数列{}n k 的通项公式是A ．12n n k +=B ．131n n k +=+C ．13n n k +=D ．121n n k +=+12．已知函数2()22(4)1f x mx m x =--+，()g x mx =，若对于任一实数x ，()f x 与()g x 至少有一个为正数，则实数m 的取值范围是A ．(0,2)B ．(0,8)C ．(2,8)D ．(,0)-∞二、填空题（本题共4小题，每题5分，共20分。
黑龙江省哈尔滨市第九中学2020-2021学年高二上学期第一次月考试题+数学(理)
（1）求证： BN 平面 C1B1N ；
（2）设 θ 为直线 C1N 与平面 CNB1 所成的角，求 sin θ 的值；
（3）设
M
为
AB
中点，在
BC
边上求一点
P
，使
MP
//
平面 CNB1
，求
BP PC
的值
哈尔滨市第九中学 2020—2021 学年度上学期九月月考
高二学年数学学科试卷（理科）
（考试时间：120 分钟 满分: 150 分 ）
第 I 卷(选择题 共 60 分)
一、 选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是最符合题意的。每小题 5 分，请
将答案填涂在客观题答题卡上）
1．一条直线过点 A (1，0)和 B (−2，3) ，则该直线的倾斜角为（ ）
A．点 H 是△A1BD 的垂心 B．AH 垂直平面 CB1D1 C．AH 的延长线经过点 C1 D．直线 AH 和 BB1 所成角为 45°
7．如图，在斜三棱柱 ABC A1B1C1 中， BAC 900 ，且 BC1 AC ，过 C1 作 C1H 底面 ABC ，
垂足为 H ，则点 H 在( ). A．直线 AC 上 B．直线 AB 上 C．直线 BC 上 D． ABC 内部
A．16
B． 28
C． 24
3 ， AC 5 ， BC 4 ，且平面 PAB 平
D． 32
10．如图，四面体 ABCD 中， AB ， BC ， BD 两两垂直， BC BD 2 ，点 E 是 CD 的中点，若
直线 AB 与平面 ACD 所成角的正切值为 2 ，则点 B 到平面 ACD 的距离为（ ） 4
A． 2 3
2
B．
2020-2021学年黑龙江省某校高三(上)9月月考数学试卷(理科)有答案
2020-2021学年黑龙江省某校高三（上）9月月考数学试卷（理科）一、单选题（每题5分，共60分）1. 已知集合A＝{y|y＝x2−1, x∈Z}，B＝{y|y＝sin3x, x∈R}，则A∩B＝（）A.{−1, 0, 1}B.[−1, 0]C.[−1, 1]D.{−1, 0}2. 设i为虚数单位，a∈R，“复数z＝不是纯虚数“是“a≠1”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3. 在递减等比数列{a n}中，S n是其前n项和，若a2+a4＝5，a1⋅a5＝4，则S7＝（）A. B. C. D.4. 已知向量＝(4sinα, 1−cosα)，＝(1, −2)，若＝−2，则＝（）A.1B.−1C.D.5. 要得到函数f(x)=√2cos2x的图象，只需将函数g(x)=sin(2x+π4)−cos(2x+π4)的图象（）A.向左平移3π4个单位长度 B.向左平移π4个单位长度C.向左平移π2个单位长度 D.向右平移π4个单位长度6. 设S n是等差数列{a n}的前n项和，若m为大于1的正整数，且3a m−1−2a m2+3a m+1＝4，S2m−1＝4038，则m＝（）A.1000B.1010C.1020D.10307. 古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：他们研究过图①中的1，3，6，10…，由于这些数能表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，将图②中的1，4，9，16，…这样的数称为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是（）A.189B.1225C.1024D.13788. 边长为12的正三角形ABC中，E为BC中点，F在线段AC上且AF＝，若AE与BF交于M，则＝（）A.−12B.−27C.-D.9. 若3cos2α＝2sin（+α)，α∈（），则sin2α的值为（）A.-B.-C.-D.10. 已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)＝−f(x)，当0<x<1时，f(x)＝2x−10)＝（）1，则f(log2A. B.8 C. D.11. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2cos2，且△ABC的面积为b2，则角B＝（）A. B. C.或 D.或12. 如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，过点O的直线与AB，AD所在直线分别交于点M，N，若＝m，＝n(m>0, n>0)，则+n的最小值为（）A. B.1 C.2 D.2二、填空题（每题5分，共20分）已知两个单位向量、的夹角为120∘，向量＝3−2，则||＝________．在各项都是正数的等比数列{a n}中，a2，，a1成等差数列，则的值是________．若复数z满足z＝0，则复数|z−3−3i|的最大值与最小值的乘积为________．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若角B＝且4a sin A+4c sin C＝ac sin B+4b sin B，则△ABC的面积的最大值为________．三、解答题（共70分）已知数列{a n}的前n项和S n满足S n＝，n∈N∗．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n ＝2+(−1)n a n ，n ∈N ∗，求数列{b n }的前2n 项和T 2n ．已知向量a →=(cos α, sin α)，b →=(cos β, sin β)，|a →−b →|=√105（1）求cos (α−β)的值；（2）若0<α<π2，−π2<β<0，且sin β=−513，求sin α的值．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且5S 5=S 10，a 4=2a 6+20． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）若数列{b n }满足b 1a 1+b 2a 2+...+b n a n=12n −1，n ∈N ∗，证明：b n ≤58．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足2cos 2＝1−cos A cos B +sin A cos B ． （1）求cos B 的值；（2）设△ABC 外接圆半径为R ，且R(sin A +sin C)＝1，求b 的取值范围．已知函数f(x)＝ln x −(a ∈R)．（1）讨论函数f(x)的单调性；（2）若函数f(x)既有极大值，又有极小值，记x 1，x 2分别为函数f(x)的极大值点和极小值点，求证：f （）<；（3）设m 为整数，且对于任意的正整数n ，有(1+）(1+）…(1+）<m ，求m 的最小值．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
黑龙江省哈九中高三数学上学期第二次月考(理)
黑龙江省哈九中2010届高三上学期第二次月考数学 (理)第I卷选择题（共60分）一．选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个正确选项，将正确答案填涂到客观题答题卡上。
）1．（）A． B. C. D.2．命题“”的否定为（）A．B．C． D．3．若且，则角终边所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．函数为增函数的区间是（）A． B． C． D．5．设函数，则的值为（）A． B． C．中较小的数 D．中较大的数6．已知锐角三角形的两个内角满足，则有（）A． B．C． D．7．能使函数为奇函数的的一个可能值为（）A. B. C. D.8．已知函数，若的最小值为，则正数的值为（）A． B． C． D．9．在中，是角成等差数列的（）A．充分非必要条件 B．充要条件 C．必要非充分条件 D．既不充分也不必要条件10．将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移个单位，得到的图象对应的解析式是（）A． B．C. D.11．已知函数，其导函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为（） A．B．C．D．12．已知函数，满足，其中为正实数，则的最小值为（）A． B． C． D．第II卷非选择题（共90分）二．填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在答题纸相应的位置上。
）13．。
14．已知函数的零点，且，其中，则。
15．在中，角的对边分别是，已知，则的形状是三角形。
16．函数的图象为，关于函数及其图象的判断如下：（1）图象关于直线对称；（2）图象关于点对称；（3）函数在区间内是增函数；（4）函数的最小正周期为；（5）由的图象向右平移个单位长度可以得到图象；（6）函数的图象可由向右平移个单位得到。
其中正确的结论是：。
三．解答题：（本题共6小题，其中17题10分，其它每小题12分，解答题要写清证明过程和演算步骤。
）17．（本题满分10分）已知函数（1）求的最大值、最小值，及取得最大、最小值时的的集合；（2）求的最小正周期和对称中心坐标；（3）求的单调递增区间。
黑龙江省哈尔滨市第九中学2020届高三第二次模拟考试理科数学答案
所以椭圆 C 方程为： x 2 4
y2 1 ----------------------------------------------------------------- （ 4 分）
（2）设
M
(x1,
y1 ),
N(x2,
y2)
，则
G(
x1 3
,
y1 3
),
H
(
x2 3
,
y2 3
)
----------------------------------- （ 5 分）
a
a
所以
x0
1 (0, ln
1 a ], 使 g ' ( x0 ) 0 ，且当 x (0, x0 )时, g ' (x) 0
a
所以 g (x) 在 (0, x0 ) 递减，所以 x (0, x0 ) 时， g(x) g(0) 0 ，
所以 0 a 1不成立。 ------------------------------------------------------------------------------ （ 11 分）
分）
l : x 1代入 C 得： y
b2
1 ， 所以 | MN | 2 b2
1
，---------------------------（ 2 分）
4
4所以 S OMN源自1 | MN |3
2
2
b2 1
--------------------------------------------------------- （ 3 分）
令 g( x) (1 x2 ) x8 , x (0,1) , 则 g ( x) 2x7 (4 5x 2 )
《精编》黑龙江省哈尔滨市高三数学上学期第二次月考试题 理 新人教A版.doc
哈尔滨市第九中学2021届高三学年第二次月考数学〔理〕试题〔考试时间：120分钟 总分值：150分〕一、选择题〔此题共12小题，每题5分，共60分。
在以下各题的四个选项中，只有一项为哪一项最符合题意的〕 1．角α的终边过点()()4,30P m m m -≠，那么2sin cos αα+的值是A ． 11或-B ． 2255或-C ． 215或-D ． 25或-12．函数)20,0,0,)(sin()(πϕωϕω<<>>∈+=A R x x A x f 的局部图像如以下列图．那么)(x f 的解析式为.A )423sin(2)(π+=x x f .B )43sin(2)(π+=x x f.C )4523sin(2)(π+=x x f .D )63sin(2)(π+=x x f 3．函数()21log 1x y x x-=>的反函数是 .A ()1012x y x =>- .B ()1012x y x =<-.C ()1012xy x =>+.D ()1012xy x =<+4．由函数)656(3sin 2ππ≤≤=x x y 与函数)(2R x y ∈=的图像围成一个封闭图形,那么这个封闭图形的面积为 34.πA 32.πB 3.πCπ.D5．假设扇形圆心角的弧度数为２，且扇形弧所对的弦长也是２，那么这个扇形的面积为x.A21cos 1.B22sin 2.C 21sin 1.D 22cos 26．()[]21=cos 112，，f x x x x -∈-，那么导函数()'f x 是 A ．仅有最小值的奇函数 Ｂ．既有最大值，又有最小值的偶函数Ｃ．仅有最大值的偶函数Ｄ．既有最大值，又有最小值的奇函数7．函数3=3+y x x c -的图象与x 轴恰有两个公共点，那么c ＝.A 11或- .B 93或- .C 22或- .D 31或-8．使函数)2cos(3)2sin()(θθ+++=x x x f 为奇函数，且在]4,0[π上是减函数的一个θ值是.A 3π.B35π.C 34π.D 32π9． α为第二象限角，sin cos αα+=，那么cos 2α=A ．3-B ． 9-C ．9D ．310．定义在R 上的奇函数()f x 满足：对任意的()()1212,,0x x x x ∈-∞≠，有()()2121>0f x f x x x --。
2020届黑龙江省哈尔滨市第九中学高三上学期第一次月考数学(文)试题解析
绝密★启用前2020届黑龙江省哈尔滨市第九中学高三上学期第一次月考数学（文）试题学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题1．已知全集U R =，集合A {2,1,=--0，1，2}，2B {x |x 4}=≥，则如图中阴影部分所表示的集合为( )A ．{2,1,--0，1}B ．{}0C ．{}1,0-D ．{1,-0，1}解：由Venn 图可知阴影部分对应的集合为()U A B ⋂ð，2B {x |x 4}{x |x 2=≥=≥Q 或x 2}≤-，A {2,1，=--0，1，2}，U B {x |2x 2}∴=-<<ð，即()U A B {1,⋂=-ð0，1}故选D ．2．已知集合A ＝{0，1}，B ＝{0，1，2}，则满足A ∪C ＝B 的集合C 的个数为（ ） A ．4 B ．3C ．2D ．1解：由A C B ⋃=可知集合C 中一定有元素2，所以符合要求的集合C 有{}{}{}{}2,2,0,2,1,2,0,1，共4种情况，所以选A 项.3．如果,x y 是实数，那么“x y ≠”是“cosx cosy ≠”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件解：当“x y ≠”，可能cosx cosy =，如ππcos cos 33⎛⎫-= ⎪⎝⎭.当“cosx cosy ≠”，则“x y ≠”成立.故“x y ≠”是“cosx cosy ≠”的必要不充分条件. 点评：本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查余弦函数的性质.4．满足条件4,45a b A ︒===的三角形的个数是（ ） A ．1个 B ．2个C ．无数D ．不存在解：由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，且4,45a b A ︒===，即216186c c =+-，即2620c c +=-，∴3c =+3c =-当3c =-437a c b +=+=>=；当3c =+437a c b +=+=+>=. 故选：B ． 点评：本题考查了余弦定理解三角形，分类讨论法，属于基础题. 5．角θ的终边经过点(,)P y 4，且sin θ=35-，则θtan = A ．43- B ．43 C ．34-D ．34解：∵角θ的终边经过点()4,P y ，且35sin θ=-=， ∴3y =-，则3tan 44y θ==-，故选C ． 点评：本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题，若角α的终边经过点(),x y （异与原点），则sin α=cos α=()tan 0yx xα=≠. 6．在ABC ∆中，若222sin sin sin A B C +＜，则ABC ∆的形状是( ) A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形 D ．不能确定解：因为在ABC ∆中，满足222sin sin sin A B C +<， 由正弦定理知sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R===，代入上式得222a b c +<，又由余弦定理可得222cos 02a b c C ab+-=<，因为C 是三角形的内角，所以(,)2C ππ∈， 所以ABC ∆为钝角三角形，故选A. 点评：本题主要考查了利用正弦定理、余弦定理判定三角形的形状，其中解答中合理利用正、余弦定理，求得角C 的范围是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.7．已知4cos 35πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则13sin 6πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值是（ ） A ．45 B ．45-C ．35D ．35-解：135632πππαα-=+-Q ， 135sin sin sin 2sin 6323232πππππππαααπα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-=+-=+--=+- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 4sin cos 2335πππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--+=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.故选：B . 点评：本题考查诱导公式，属于基础题. 8．已知函数12(2),2(),2x f x x f x e x x --->⎧=⎨+≤⎩，则(2019)f =（ ） A ．2 B ．1eC ．-2D ．4e +解：因为2x >，()()2f x f x =--，所以()()2f x f x +=-，故()()()42f x f x f x +=-+=，因此2x >，函数()f x 是以4为周期的函数，所以()()()()20193450431f f f f =+⨯==-，又2x ≤，()12x f x e x -=+，所以()()()20191112f f =-=-+=-.故选C点评：本题主要考查分段函数求值问题，熟记函数周期性即可，属于基础题型. 9．将函数()πsin 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像向右平移()0a a >个单位得到函数()πcos 24g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，则a 的值可以为（ ）A ．5π12B ．7π12C ．19π24D ．41π24答案：C因为结果得到函数()πcos 24g x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭已知，可以逆向思考，反向得到函数()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，确定相等关系。
2020届黑龙江省哈尔滨第九中学高三上学期第二次考试数学(文)试题(解析版)
2020届黑龙江省哈尔滨第九中学高三上学期第二次考试数学（文）试题一、单选题1．已知集合{}10A x x =->，22log 1x B x y x ⎧⎫-==⎨⎬+⎩⎭，则()A B =R I ð（ ） A ．[)0,1 B ．()1,2C ．(]1,2D ．[)2,+∞【答案】C【解析】求出集合A 、B ，再利用补集和交集的定义可求出集合()R A B I ð. 【详解】{}()101,A x x =->=+∞Q ，()()222log 0,12,11x x B x y xx x ⎧⎫⎧⎫--===>=-∞-⋃+∞⎨⎬⎨⎬++⎩⎭⎩⎭， 则[]1,2R B =-ð，因此，()(]1,2R A B =I ð. 故选：C. 【点睛】本题考查交集和补集的混合运算，同时也考查了对数型复合函数定义域的求解，考查计算能力，属于基础题. 2．设341iz i+=+（i 为虚数单位），则z =（ ）A ．7122i + B C ．52D ．252【答案】B【解析】利用复数的除法法则将复数z 表示为一般形式，然后利用复数的模长公式可计算出z . 【详解】()()()()34134771111222i i i i z i i i i +-++====+++-Q ，因此，2z ==故选：B. 【点睛】本题考查复数模的计算，涉及复数的除法运算，考查计算能力，属于基础题. 3．将复数z 的共轭复数记作z ，则复数()()13i i -+的虚部是（ ） A ．4 B ．4-C ．2D ．2-【答案】C【解析】利用复数的乘法法则将复数()()13i i -+表示为一般形式，结合共轭复数的定义可得出复数()()13i i -+的虚部. 【详解】()()1342i i i -+=-Q ，则()()1342i i i -+=+，该复数的虚部为2.故选：C. 【点睛】本题考查复数虚部的计算，涉及复数的乘法运算以及共轭复数定义的应用，考查计算能力，属于基础题.4．将函数()26x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移4π个单位长度，再将横坐标变为原来的2倍，得到函数()g x 的图象，则()g x 的解析式为（ ）A ．()23g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭B ．()3g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C ．()43x g x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．()43x g x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭【答案】B【解析】计算出每一步变换所得函数的解析式，进而可得出函数()y g x =的解析式. 【详解】将函数()26x f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象向左平移4π个单位长度，可得到函数22463y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象，再将所得图象上每一点的横坐标变为原来的2倍，得到函数()3g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象， 故选：B.【点睛】本题考查利用三角函数图象变换求函数解析式，考查推理能力与计算能力，属于基础题.5．已知G 为ABC ∆的重心，且AG x AB yBC =+u u u r u u u r u u u r，则x 、y 的值分别为（ ）A ．13、13B ．23、23C ．13、23D ．23、13【答案】D【解析】利用三角形重心的向量性质得出1331AG AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，再将AC AB BC =+u u u r u u u r u u u r代入即可得出结果. 【详解】由于G 为ABC ∆的重心，则()111121333333AG AB AC AB AB BC AB BC =+=++=+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v，因此，23x =，13y =.故选：D. 【点睛】本题考查平面向量的线性运算，涉及三角形重心的向量性质的应用，考查计算能力，属于基础题.6．已知sin 2αα+=，则tan α=（ ）A ．3B ．3±C D ．【答案】A【解析】利用辅助角公式结合已知条件求出α的值，即可计算出tan α的值. 【详解】sin 2sin 23πααα⎛⎫=+= ⎪⎝⎭Q ，sin 13πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，可得()232k k Z ππαπ+=+∈，则()26k k Z παπ=+∈，因此，tan α=. 故选：A. 【点睛】本题考查三角函数值的计算，涉及辅助角公式的应用，求出角的值是解答的关键，考查计算能力，属于基础题.7．设{}n a 为等差数列，122a =，n S 为其前n 项和，若1013S S =，则公差d =( ) A ．-2 B ．-1 C ．1 D ．2【答案】A【解析】由题意结合等差数列的性质和前n 项和的定义求解公差即可. 【详解】由题意可得：12111213131030a a a a S S =++=-=， 则120a =，等差数列的公差121022212111a a d --===--.本题选择A 选项. 【点睛】本题主要考查数列的前n 项和与通项公式的关系，等差数列公差的计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 8．已知等比数列{}n a 的前n 项和()1*21n n S a n N -=⋅+∈，其中a 是常数，则a =（ ） A ．2- B ．1-C ．1D ．2【答案】A【解析】由11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求出数列{}n a 的通项公式，再由1a 满足n a 在2n ≥时的表达式可求得实数a 的值. 【详解】由于等比数列{}n a 的前n 项和()1*21n n S a n N -=⋅+∈.当1n =时，111a S a ==+； 当2n ≥时，()()122121212n n n n n n a S S a a a ----=-=⋅+-⋅+=⋅.由题意可知，11a a =+满足22n n a a -=⋅，即12aa +=，解得2a =-. 故选：A. 【点睛】本题考查利用前n 项和公式判断等比数列，求出通项公式是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.9．已知等比数列{}n a 中，有31174a a a =，数列{}n b 是等差数列，其前n 项和为n S ，且77b a =，则13S =（ ）A ．26B ．52C ．78D ．104【答案】B【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，利用等比性质可得2774a a =，即77b a =，再结合13713S b =，即可得到结果. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，∵31174a a a =，∴2774a a =≠0，解得7a ＝4，数列{}n b 是等差数列，且77b a =． ∴()1131377131313522a a Sb a ⨯+====故选B ． 【点睛】本题考查了等比数列与等差数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10．在等差数列{}n a 中，12339a a a ++=，45627a a a ++=，则{}n a 的前9项的和9S =（ ）A ．63-B ．15C ．42D ．81【答案】D【解析】利用等差中项的性质求出5a 的值，即可求得9S 的值. 【详解】由等差中项的性质得4565327a a a a ++==，解得59a =， 因此，()199599812a a S a +===.故选：D. 【点睛】本题考查等差数列求和，灵活利用等差中项的性质，可简化计算，考查计算能力，属于基础题.11．数列{}n a 满足，1111,2?3n n n n a a a a a ++=-=，是数列{}1+n n a a 前5项和为（ ） A ．433B ．833C ．539D ．1039 【答案】C【解析】利用递推公式求得23456,,,,a a a a a 的值.进而利用裂项相消求和法，求得1223344556a a a a a a a a a a ++++的值.【详解】由递推公式112?n n n n a a a a ++-=，将113a =，代入得12122a a a a -=⋅，解得215a =；将215a =代入递推公式得23232a a a a -=⋅，解得317a =.同理解得456111,,91113a a a ===，所以1223344556a a a a a a a a a a ++++11111111113557799111113=⋅+⋅+⋅+⋅+⋅1111111111123557799111113⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1115231339⎡⎤=-=⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本小题主要考查递推公式求数列的前几项，考查裂项求和法求数列前几项的和.属于中档题.12．已知函数()ln ,01,0x x x f x x x >⎧=⎨+≤⎩，若12x x ≠且()()12f x f x =，则12x x -的最大值为（ ）A ．B ．2CD ．1【答案】B【解析】设点A 的横坐标为1x ，过点A 作y 轴的垂线交函数()y f x =于另一点B ，设点B 的横坐标为2x ，并过点B 作直线1y x =+的平行线l ，设点A 到直线l 的距离为d ，计算出直线l 的倾斜角为4π，可得出12x x -=，于是当直线l 与曲线ln y x x =相切时，d 取最大值，从而12x x -取到最大值. 【详解】 如下图所示：设点A 的横坐标为1x ，过点A 作y 轴的垂线交函数()y f x =于另一点B ，设点B 的横坐标为2x ，并过点B 作直线1y x =+的平行线l ，设点A 到直线l 的距离为d ，122x x d -=，由图形可知，当直线l 与曲线ln y x x =相切时，d 取最大值，当0x >时，()ln f x x x =，令()ln 11f x x '=+=，得1x =，切点坐标为()1,0， 此时，10122d -+==12max 222x x ∴-==，故选：B.【点睛】本题考查函数零点差的最值问题，解题的关键将问题转化为两平行直线的距离，考查化归与转化思想以及数形结合思想，属于难题.二、填空题13．已知向量()5,12a =r ，(3,33b =-r ，则b r 在a r方向上的投影为______.【答案】1536313-【解析】利用平面向量数量积的坐标运算和向量投影的定义可得出结果. 【详解】设向量a r 与b r 的夹角为θ，则b r 在a r方向上的投影为2253123315363cos 13512a b a b b b a b a θ⨯+⨯-⋅⋅-=⋅===⋅+r r r rr r r r r .故答案为：1536313-.【点睛】本题考查向量投影的计算，涉及平面向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于基础题.14．甲、乙、丙三人中，只有一个会弹钢琴．甲说：“我会”，乙说：“我不会”，丙说：“甲不会”，如果这三句话，只有一句是真的，那么会弹琴的是_________. 【答案】乙【解析】根据合情推理，即可判断出会弹琴的是乙． 【详解】若甲说的是真的，则乙说的假话，表明乙也会弹钢琴，与题意矛盾；若乙说的是真的，则甲说的假话，表明甲不会弹钢琴，丙说的假话，表明甲会弹钢琴，矛盾；若丙说的是真的，则甲说的假话，表明甲不会弹钢琴，乙说的假话，表明乙会弹钢琴，符合题意．综上，会弹琴的是乙． 故答案为：乙． 【点睛】本题主要考查合情推理的应用，意在考查学生的逻辑推理能力，属于基础题． 15．若函数()22x x f x a -=-⋅为奇函数，则不等式18()630f a x-<的解集为__________．【答案】1(,0)(,)3-∞⋃+∞【解析】根据函数为奇函数知(0)0f =求出1a =，原不等式转化为163()=(3)8f f x <，又函数()f x 在R 上为增函数，即可求解. 【详解】因为()f x 为奇函数，所以有(0)10f a =-=，得1a =，故()22x xf x -=-，所以63(3)8f =. 不等式18()630f a x -<可化为163()8f x <，由函数()f x 在R 上为增函数，可得13x<，解得：13x >或0x <. 所以不等式的解集为()1,0,3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭，故填()1,0,3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查了奇函数的性质，不等式的解法，转化思想，属于中档题. 16．若ABC ∆)222a cb +-，且C 为钝角，则c a 的取值范围是______. 【答案】()2,+∞【解析】利用三角形的面积公式和余弦定理可求得tan B =进而得出3B π=，由C为钝角得出06A π<<，再利用正弦定理边角互化思想得出122tan c a A=+，进而可求得ca的取值范围. 【详解】由三角形的面积公式和余弦定理得1sin 2cos 24ac B ac B =，化简得sin B B =，则tan B =0B Q π<<，3B π∴=，C Q 为钝角，则0232A A πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪+<⎪⎩，解得06A π<<，所以0tan A << 所以，()1sin sin sin sin 13222sin sin sin sin 2A A AA B c C a A A A A π⎛⎫+ ⎪+⎝⎭=====+>. 因此，ca的取值范围是()2,+∞. 故答案为：()2,+∞. 【点睛】考查三角形中边长比值取值范围的计算，涉及三角形的面积公式、余弦定理以及正弦定理的应用，将问题转化为以角A 为自变量的三角函数的值域问题求解是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.三、解答题17．在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为2x y αα⎧=+⎪⎨=⎪⎩（α为参数），直线l 的方程为y =kx .以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系； （1）求曲线C 的极坐标方程；（2）曲线C 与直线l 交于A 、B两点，若OA OB +k 的值.【答案】（1）24cos 10ρρθ-+= （2）3或【解析】（1）先将曲线C 的参数方程化为普通方程，再根据极坐标与直角坐标的互化公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，即可求出曲线C 的极坐标方程； （2）设出直线l 的极坐标方程[)11(,0,π)θθρθ=∈∈R ，与曲线C 的极坐标方程联立，可得214cos 10ρρθ-+=，即可得到121124cos ,10ρρθρρ+==>，根据ρ的几何意义可知，1212OA OB ρρρρ+=+=+=1θ，于是可得k 的值．【详解】（1）222,410x x x y y αα⎧=+⎪∴-++=⎨=⎪⎩Q ， 所以曲线C 的极坐标方程为24cos 10ρρθ-+=.（2）设直线l 的极坐标方程为[)11(,0,π)θθρθ=∈∈R ，其中1θ为直线l 的倾斜角，代入曲线C 得214cos 10,ρρθ-+=设,A B 所对应的极径分别为12,ρρ.21211214cos ,10,16cos 40ρρθρρ∆θ∴+==>=->，1212OA OB +=+=+=Q ρρρρ1cos 2θ∴=± 满足>0∆， 1π6θ∴=或56π，l 的倾斜角为6π或56π，则1tan 3k θ==或3-． 【点睛】本题主要考查曲线的参数方程化极坐标方程，以及极坐标方程和ρ的几何意义的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．18．（1）已知函数()()220,0f x x a x b a b =-++>>的最小值为2，求a 与b 的关系；（2）若a 、b 满足（1）中的条件，求164a b +的最小值. 【答案】（1）22a b +=；（2）8.【解析】（1）利用绝对值三角不等式可求得函数()y f x =的最小值，由此可得出a 与b 的关系；（2）将所求代数式变形为216444a b a b +=+，利用基本不等式可求得164a b +的最小值. 【详解】（1）由绝对值三角不等式得()()()22222f x x a x b x a x b =-++≥--+2a b =+，当且仅当()()2220x a x b -+≤时取等号，所以22a b +=，又0a >，0b >，所以22a b +=； （2）由（1）知22a b +=，由基本不等式得2164448a b a b +=+≥==， 当且仅当21a b ==时取等号，所以164a b +的最小值为8. 【点睛】本题考查利用绝对值三角不等式求函数最值，同时也考查了利用基本不等式求和的最小值，考查计算能力，属于基础题.19．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足24320a x S x ⋅-⋅+<的解集为2,17⎛⎫⎪⎝⎭. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n c 满足22n an n c a =+，求数列{}n c 的前n 项和n T .【答案】（1）21n a n =-；（2）222(41)3nn T n n =++- 【解析】（1）由韦达定理可得3497S a =且4227a =，利用等差数列的通项公式和求和公式，列方程解得首项和公差，即可得到所求通项公式；（2）结合（1）求得21412n n c n -=-+,运用数列的分组求和，结合等比数列与等差数列的求和公式，即可得到所求和. 【详解】（1）因为24320a x S x ⋅-⋅+<的解集为2,17⎛⎫⎪⎝⎭所以3497S a =且4227a =， 1113393737a d a d a d +⎧=⎪+⎨⎪+=⎩， 11,2a d ∴==，21n a n ∴=-.（2）由（1）可得22n a n n c a =+21412n n -=-+，()()()24143411224122143nn n n n T n n -+-∴=+⋅=++--. 【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式、求和公式以及等比数列的求和公式， “分组求和法”求数列前n 项和，属于中档题. 利用“分组求和法”求数列前n 项和常见类型有两种：一是通项为两个公比不相等的等比数列的和或差，可以分别用等比数列求和后再相加减；二是通项为一个等差数列和一个等比数列的和或差，可以分别用等差数列求和、等比数列求和后再相加减.20．已知函数()2cos 22cos 3x f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭. （1）求函数()f x 的单调增区间；（2）已知ABC ∆的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，()0f A =，1a =，求b c +的取值范围. 【答案】（1）(),63k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；（2）(]1,2. 【解析】（1）利用三角恒等变换思想化简函数()y f x =的解析式为()sin 216f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，然后解不等式()222262k x k k Z πππππ-≤-≤+∈，即可解得函数()y f x =的单调递增区间；（2）由()0f A =结合角A 的取值范围可得出角A 的值，然后利用正弦定理将b c +表示为以角B 为自变量的三角函数，并利用三角恒等变换思想将解析式化简，求出角B 的取值范围，利用正弦函数的基本性质可求得b c +的取值范围. 【详解】 （1）()()21cos 22cos cos 221cos 232x x x x x f x π⎛⎫⎛⎫=--=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12cos 21sin 2126x x x π⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭， 由()222262k x k k Z πππππ-≤-≤+∈，解得()63k x k k Z ππππ-≤≤+∈，因此，函数()y f x =的单调递增区间为(),63k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦； （2）由()sin 2106A f x π⎛⎫=--= ⎪⎝⎭得sin 216A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，0A π<<Q ，112666A πππ∴-<-<，262A ππ∴-=，解得3A π=.sin sin 2b cB C ==得)21sin sin sin sin sin sin 32b c B C B B B B B π⎛⎫⎤⎛⎫+=+=+-=+⎪ ⎪⎥⎪⎝⎭⎦⎭cos 2sin 6B B B π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭.3A π=Q ，由00B A B ππ<<⎧⎨<+<⎩，可得203B π<<，则5666B πππ<+<，61sin 12B π⎛⎫+∴<≤ ⎪⎝⎭，所以(]2sin 1,26B π⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以b c +的范围是(]1,2.【点睛】本题考查正弦型函数单调区间的求解，同时也考查了三角形中边长之和取值范围的求解，利用正弦定理将问题转化为三角函数的值域问题是解答的关键，考查化归与转化思想的应用，属于中等题.21．已知函数()()2019sin 4f x x x R ππ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭的所有正数的零点构成递增数列{}n a .（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设324nn n b a ⎛⎫=+⎪⎝⎭，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】（1）()*34n a n n N =-∈；（2）()1122n n T n +=-+. 【解析】（1）令()0f x =可得出()14x k k Z =+∈，根据题意确定数列{}n a 的首项和公差，即可求得数列{}n a 的通项公式；（2）求出2nn b n =⋅，然后利用错位相减法可求得n T .【详解】（1）()2019sin 044x x x f ππππ⎛⎫=⋅-=⇒- ⎪⎝⎭()()14k k Z x k k Z π=∈⇒=+∈， 这就是函数()y f x =的全部零点.已知函数()y f x =的全部正数的零点构成等差数列{}n a ，则其首项等于14，公差等于1.因此，数列{}n a 的通项公式就是：()()*131144n a n n n N =+-⨯=-∈； （2）3224nn n nb a n ⎛⎫=+=⋅ ⎪⎝⎭， 则()1231122232122n n n T n n -=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅+⋅，①()23412122232122n n n T n n +=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅+⋅，②①-②：()()31121122122222221212n n n n n n T n n n +++--=++++-⋅=-⋅=⋅---L ，所以，()1122n n T n +=-⋅+，因此，数列{}n b 的前n 项和为()1122n n T n +=-+.【点睛】本题考查数列通项公式的求解，同时也考查了错位相减法求和，涉及三角函数零点的求解，考查计算能力，属于中等题. 22．已知函数()ln f ba xx x x =-+在1x =处取得极值. （1）若1a >，求函数()f x 的单调区间；（2）若3a >，函数()223g x a x =+，若存在1m 、21,22m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()()129f m g m -<成立，求a 的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）()3,4.【解析】（1）由()10f '=可得出1b a =-，令()0f x '=得出11x =，21x a =-，然后讨论1a -与1的大小关系，结合导数可得出函数()y f x =的单调增区间和减区间； （2）利用导数求得函数()y f x =在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为()120f a =-<，利用二次函数的基本性质得出函数()y g x =在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为2113024g a ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，由此可得出()1192g f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，进而可解得实数a 的取值范围. 【详解】（1）函数()y f x =的定义域为()0,∞+，()2'1a bf x x x =--， 由题意可知，()110f a b '=--=，则1b a =-，()()()()222211111x ax a x x a a a f x x x x x-+---+-'∴=--==， 令()'0f x =，则11x =，21x a =-.因为1x =是函数()y f x =的极值点，所以12x x ≠，即2a ≠.①当11a ->时，即当2a >时，解不等式()0f x '>，得01x <<或1x a >-；解不等式()0f x '<，解得11x a <<-.此时，函数()y f x =的单调递增区间为()0,1和()1,a -+∞，单调递减区间为()1,1-a ；②当011a <-<时，即当12a <<时，解不等式()0f x '>，得01x a <<-或1x >；解不等式()0f x '<，解得11a x -<<.此时，函数()y f x =的单调递增区间为()0,1a -和()1,+∞，单调递减区间为()1,1a -. 综上所述，当12a <<时，函数()y f x =的单调递增区间为()0,1a -和()1,+∞，单调递减区间为()1,1a -；当2a >时，函数()y f x =的单调递增区间为()0,1和()1,a -+∞，单调递减区间为()1,1-a ；（2）当3a >时，函数()y f x =在1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭上为增函数，在(]1,2为减函数， 所以，函数()y f x =的最大值为()120f a =-<， 因为函数()y g x =在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是单调递增函数，所以，函数()y g x =的最小值为2113024g a ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭， 所以，()()g x f x >在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立.要使存在1m 、21,22m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()()129f m g m -<成立，只需要()1192g f ⎛⎫-<⎪⎝⎭，即()213294a a +--<，所以84a -<<. 又因为3a >，所以实数a 的取值范围是()3,4. 【点睛】本题考查利用导数求函数的单调区间，同时也考查了利用导数研究函数不等式能成立问题，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.。
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黑龙江省哈九中2020届高三上学期第二次月考
数学 (理)
第I卷选择题（共60分）
一．选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个正确选项，
将正确答案填涂到客观题答题卡上。
）
1．（）A． B. C. D.
2．命题“”的否定为（）A．B．
C． D．
3．若且，则角终边所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．函数为增函数的区间是（）A． B． C． D．
5．设函数，则的值为（）A． B． C．中较小的数 D．中较大的数
6．已知锐角三角形的两个内角满足，则有（）A． B．
C． D．
7．能使函数为奇函数的的一个可能值为（）
A. B. C. D.
8．已知函数，若的最小值为，则正数的值为（）A． B． C． D．
9．在中，是角成等差数列的（）A．充分非必要条件 B．充要条件 C．必要非充分条件 D．既不充分也不必要条件
10．将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移个单位，得到的图象对应的解析式是（）A． B．
C. D.
11．已知函数，其导函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为（） A．
B．
C．
D．
12．已知函数，满足，其中为正实数，则的最小值为（）A． B． C． D．
第II卷非选择题（共90分）
二．填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在答题纸相应的位置上。
）
13．。
14．已知函数的零点，且，其中，则。
15．在中，角的对边分别是，已知，则的形状是三角形。
16．函数的图象为，关于函数及其图象的判断如下：（1）图象关于直线对称；（2）图象关于点对称；
（3）函数在区间内是增函数；（4）函数的最小正周期为；
（5）由的图象向右平移个单位长度可以得到图象；
（6）函数的图象可由向右平移个单位得到。
其中正确的结论是：。
三．解答题：（本题共6小题，其中17题10分，其它每小题12分，解答题要写清证明过程和演算步骤。
）
17．（本题满分10分）
已知函数
（1）求的最大值、最小值，及取得最大、最小值时的的集合；
（2）求的最小正周期和对称中心坐标；
（3）求的单调递增区间。
18．（本题满分12分）
已知函数，是的导函数。
（1）求函数的最小值和最小正周期；
（2）若，求的值。
如图，在矩形中，，是的中点，
以为直角顶点作矩形的内接直角三角形，其中分别落在
线段和线段上。
记为，的周长为。
（1）试将表示为的函数；
（2）求的最小值及此时的。
20．（本题满分12分）
设函数。
（1）设的内角，且为钝角，求的最小值；
（2）设是锐角的内角，且，求的三个内角的大小和边的长。
对于函数，若存在，使成立，则称为的不动点。
如果函数有两个相异的不动点。
（1）若，且的图象关于直线对称，求证：；
（2）若且，求的取值范围。
22．（本题满分12分）
已知函数。
（1）求函数的单调递增区间；
（2）若函数在上的最小值为，求实数的值；
（3）若函数在上恒成立，求实数的取值范围。
数学（理）参考答案
，……………………………………………8分则，当，即时，。
………12分
20．解：（1），……………………………………………3分
，
设，令恒成立，即
当时，，所以当时，恒成立，所以在单调递增，，此时。
当时，设，所以，
恒成立，所以综上。
………………………12分。