高等代数多项式试题库
§1 数域[达标训练题]
一 填空题
1．数集{0}对 运算封闭.
2．自然数集N 对 运算封闭. 3．数集},{Z b a bi a ∈+对 封闭.
二 判断题
1. 数域必含有无穷多个数.
2. 所有无理数构成的集合是数域.
三 证明
1. 证明},{)(Q b a n b a n Q ∈+=是数域,这里n 不是完全平方数.
2. 证明},2{3
Q b a b a ∈+不是数域.
3. 若21,P P 是数域,证明21P P 也是数域,而21P P 不一定是数域.
§1 数域[达标训练题解答]
一 填空题
1．加法、 减法、 乘法；2.加法、乘法 ；3.加法、减法、乘法.
二 判断题 1. ( T)； 2. ( F) 三、解答题
1．证明显然n Q ∈1,0. 对任意的)(,2211n Q n b a n b a ∈++,
)()(2211n b a n b a +±+=)(21a a ±+n b b )(21±)(n Q ∈; )()(2211n b a n b a +?+
n b a b a bn b a a )()(12212121+++=)(n Q ∈.
当011≠+n b a 时, n b a n
b a 1122++
)
(21212
12121212121n Q n n b a a b b a n b a n b b a a ∈?--+--=
.故},{)(Q b a n b a n Q ∈+=对加法减法乘法除法
封闭.即},{)(Q b a n b a n Q ∈+=是数域.
2．证明 因为
∈3
2},2{3
Q b a b a ∈+,
?=?333
422},2{3
Q b a b a ∈+.
即}
,2{3Q b a b a ∈+对乘法不封闭.所以
}
,2{3Q b a b a ∈+不是数域.
3．证明 由于任意数域都包含有理数, 故21,P P 也包含有理数域, 从而2
1P P 包含有理数域.令21,P P b a ∈, 则1,P b a ∈, 2,P b a ∈.由于21,P P 是数域,故
1,P ab b a ∈±,2,P ab b a ∈±;当0≠b 时,21,P b a P b a ∈∈, 所以2
1,,P P b a ab b a ∈±.即
21P P 是数域.
例如:
取1P =},2{)2(Q b a b a Q ∈+=, =2P },3{)3(Q b a b a Q ∈+=, 容易验证2
1P P 不一定是数域; 取1P =Q ,=2P },3{)3(Q b a b a Q ∈+=,显然21P P =},3{Q b a b a ∈+是数域.
§2 一元多项式[达标训练题]
A 组
一 填空题
1. 系数在数域P 上的关于文字x 的一元多项式指的是形式表达式 , 其中i 次项是 , i 次项系数是 , 常数项是 .
2.
下列形式表达式(i)2;(ii)x 1
; (iii)0; (iv))3ln(13
2x x x +++;
(v)1)1(2
3
+--x i ix ;(vi) +++++
n x n x x !1
!31!2113; 其中 是
多项式.
3. 零多项式是 , 零次多项式是 .
4. 设多项式∑∑====m
i i
i n
i i
i x b x g x a x f 1
1
)(,)(, 则)()(x g x f 的k 次项系数
是 .
二 判断题
1. 0是零次多项式.
2. 若)()()()(x h x f x g x f =,则)()(x h x g =.
3. 若)(),(),(x h x g x f 都是数域P 上的多项式, 则))()((x g x f +?))((x f ?≥或者
))()((x g x f +?))((x g ?≥.
三 解答题
1. 设)2()1()2()(2
2+-+++-=x x c x b x a x f , 试确定c b a ,,, 使)(x f (i)零次多项式; (ii)零多项式; (iii)一次多项式5-x . 2. 若)(),(x g x f 是实数域上的多项式, 证明:若,0)()(2
2=+x g x f 则
0)()(==x g x f .
B 组
1.设)(),(),(x h x g x f 是实数域上的多项式, 证明:若),()()(2
22x xh x xg x f +=则