偏微分方程的解法

y 再用 代替 u , 求出积分后， 求出积分后， x 的通解． 的通解．
即得所求齐次型微分方程
7
例3
dy y2 . 解微分方程 = 2 dx xy − x
原方程可化为
y dy x = dx y −1 x
2
解
它是齐次型微分方程． 它是齐次型微分方程．
du u2 u y 代入原方程， x = 令u = ， 代入原方程，得 dx u − 1 − u = u − 1 x
(5-2)
11
注意: 注意: 公式中各个不定积分都只表示了对应的被积函数的 一个原函数． 一个原函数． 这种通过把对应的线性齐次方程通解中的任意常数变 易为待定函数， 易为待定函数，然后求出线性非齐次方程的通解的方法称 为常数变易法． 为常数变易法． 公式(5-2)也可写成下面的形式 也可写成下面的形式 公式
解1
y = C ( x + 1) 2 用分离变量法求得它的通解为
y = C ( x )( x + 1) 2
dy 2y − = 0, 对应的线性齐次方程为 对应的线性齐次方程为 (常数变易法) dx x + 1
将上式中的任意常数C 换成函数C( ) 将上式中的任意常数 换成函数 (x) ，即设原方程的通解为 （8） 则有
1. 定义 形如
dy y = f( ) dx x
( 2)
的微分方程， 称为齐次型微分方程 齐次型微分方程． 的微分方程 称为齐次型微分方程
例如方程 ( xy − y 2 )dx − ( x 2 − 2 xy )dy = 0 就是齐次型微分方程 ．
因为方程可化为
y y − ( )2 dy xy − y 2 x = 2 = x y dx x − 2 xy 1 − 2( ) x
y=e ∫
− P ( x ) dx + ln C
= Ce ∫
− P ( x ) dx
(5-1)
这就是一阶线性齐次微分方程(4)的通解公式． 这就是一阶线性齐次微分方程 的通解公式． 的通解公式 在用上式进行具体运算时， 注意 在用上式进行具体运算时，其中的不定积分 ∫ P ( x )dx 只表示P(x)一个确定的函数 一个确定的函数. 只表示 一个确定的函数
3 2 2 2 y = ( x + 1) ( x + 1) + C 3
13
5 2 , Q( x ) = ( x + 1) 2 . 解2 (公式法 因为 P ( x ) = − 公式法) 公式法 x +1
代入公式（5-2），得 代入公式（ ），得
−2 5 dx ∫ 2 ∫ x +1 y=e dx + C ∫ ( x + 1) e 5 2 ln( x + 1 ) − 2 ln( x + 1 ) 2 dx + C =e ∫ ( x + 1) ⋅e 2 dx x +1
3
dy = 2 xy 的通解 ． 例1 求微分方程 dx 解 分离变量，得 分离变量， dy = 2xdx , y dy 两边积分， 两边积分，得 ∫ = ∫ 2 xdx
y
得
ln y = x 2 + C
y =e
即
x 2 + c1
=e e
c1
x2
,
y = ±e e ．
c1 x2
因为± 因为 ± e c1 仍是任意常数 ， 令 C = ± e C1 ≠ 0 , 得方程的通解为
y = Ce
x2
4
dy = 10 x + y 的满足初始条件 y dx dy 原方程可化为 解 = 10 x ⋅ 10 y dx 分离变量， 分离变量，得 10 − y dy = 10 x dx
例２ 求微分方程
x =1
= 0的特解 ．
两边积分， 两边积分， 得
10 − y dy = ∫ 10 x dx ∫
6
y 在方程 ( 2 ) 中，引进新的未知函数 u = , 则 y = xu， x
2．解法
dy du 代入方程(2)， =x + u， 代入方程 ，便得可分离变量方程 dx dx
即 两边积分， 两边积分，得
du x = f ( u ) − u, dx du dx = f ( u) − u x
∫
du dx =∫ f ( u) − u x
5.2 一阶微分方程
主要内容: 主要内容: 1.可分离变量的微分方程 1.可分离变量的微分方程 2.齐次型微分方程 2.齐次型微分方程 3.一阶线性微分方程 3.一阶线性微分方程
1
一、可分离变量的微分方程
1. 定义 形如
dy = f ( x ) g( y ) dx
（1） ）
的一阶微分方程，叫做可分离变量的微分方程 其中f(x),g(y) 的一阶微分方程，叫做可分离变量的微分方程. 其中 的连续函数． 分别是 x ,y 的连续函数． 2.分离变量法 2.分离变量法 把方程中的两个变量分离开来，使方程的一边只含有 y 的 把方程中的两个变量分离开来， 函数及dy， 函数及 ，另一边只含有 x 的函数及 dx，然后两边积分，从 ，然后两边积分， 而求出微分方程的解． 这种方法称为分离变量法． 而求出微分方程的解． 这种方法称为分离变量法．
因为 ∫ p( y )dy = ∫ 1 ∫ p ( y ) dy dy = y 2 ⋅ ydy = 1 y 4 dy = ln y ， ∫ q( y )e ∫ 4 y
于是由一阶线性非齐次方程的通解公式， 于是由一阶线性非齐次方程的通解公式，得
x=e ∫
− p ( y ) dy
∫ p ( y ) dy dy + C ) = 1 ( 1 y 4 + C ) = 1 y 3 + C , ( ∫ q ( y )e
5 2 ( x + 1) dx + C = ( x + 1)2 ∫ ( x + 1)2
3 2 2 2 = ( x + 1) ( x + 1) + C . 3
14
2 例5 求方程 x dy + ( 2 xy − x + 1)dx = 0 满足初始条件 y x =1 = 0 的特解. dy 2 dy 2 x −1 + y= 2 ， 解 原方程可化为 对应的齐次方程是 dx + x y = 0 dx x x 1 用分离变量法求得它的通解为 y = C 2
− 10 − y 1 1 = 10 x + C1 ln 10 ln 百度文库0
化简， 化简，得
10 x + 10− y = C
x =1
(其中C = −C1 ln 10)
把初始条件 y
= 0 代入上式 ， 得 C = 11 ．
于是所求微分方程的特解为
10 x + 10 − y = 11．
5
二、齐次型微分方程
1 1 1 y= − + 2 x 2x2
15
解微分方程 ydx + ( x − y 3 )dy = 0 . ( 设 y > 0 ) dx 1 + x = y2 解 原方程可化为 dy y 看作y 的函数， 将x 看作 的函数，则它是形如 x ′ + p( y ) x = q( y ) 例6 的一阶线性非齐次微分方程． 的一阶线性非齐次微分方程．
10
3、一阶线性非齐次微分方程的解法——常数变易法 一阶线性非齐次微分方程的解法 常数变易法 由方程特点， 由方程特点，设一阶线性非齐次微分方程的通解为
y = C ( x )e ∫
− P ( x ) dx
(5)
对（5）式求导得 ） − P ( x ) dx − ∫ P ( x ) dx dy ′( x )e ∫ . (6) =C − P ( x )C ( x ) e dx (5)和(6)代入方程 代入方程(3)并整理得 将(5)和(6)代入方程(3)并整理得
∫ P ( x )dx C ′( x ) = Q( x )e
由此可得
∫ P ( x )dx dx + C C ( x ) = ∫ Q( x )e
将上式代入(5)式 将上式代入 式，得一阶线性非齐次微分方程的通解为
y=e ∫
− P ( x ) dx
∫ P ( x )dx dx + C ) ( ∫ Q( x ) e
作业: 作业:
习题5． ）（4）， 习题 ．2 ① （2）（ ）， （3）4（1） ）（ ），3（ ） （ ） ）（4） （ ） ② 5（3）（ ）6（2） （ ）（
17
分离变量， 分离变量，得 两边积分， 两边积分，得 即
u −1 dx du = u x
u − ln u = ln x + C1
(其中 C = e − C1 )
y x
xu = e u − C1 = Ce u
y 将 u = 代入上式 ， 得 x
y = Ce
这就是所求微分方程的通解． 这就是所求微分方程的通解．
y=e ∫
− P ( x ) dx
∫ P ( x )dx dx + Ce − ∫ P ( x )dx ∫ Q( x )e
(7)
由此可知：一阶线性非齐次方程的通解等于它的一个特 由此可知 一阶线性非齐次方程的通解等于它的一个特 解与对应的齐次方程的通解之和． 解与对应的齐次方程的通解之和
12
5 dy 2y 例4 求方程 − = ( x + 1) 2 的通解 . dx x + 1
dy = C ′( x )( x + 1) 2 + 2C ( x )( x + 1), dx
1 dy 将 y和 代入原方程,得 C ′( x ) = ( x + 1) 2 . 3 dx 2 C ( x ) = ( x + 1) 2 + C . 两边积分，得 两边积分， 3 再代入（ ） 再代入（8）式，即得所求方程的通解为
y 4 4 y
或
4 xy = y 4 + C
这就是所求微分方程的通解． 这就是所求微分方程的通解．
16
四、小结： 小结：
1.可分离变量的微分方程的特点、解法； 可分离变量的微分方程的特点、解法； 可分离变量的微分方程的特点 2.齐次型微分方程的特点、解法； 齐次型微分方程的特点、解法； 齐次型微分方程的特点 3.一阶线性微分方程的解法 其中一阶线性齐次方程的通 一阶线性微分方程的解法,其中一阶线性齐次方程的通 一阶线性微分方程的解法 解公式,一阶线性非齐次方程的常数变易法和通解公式 一阶线性非齐次方程的常数变易法和通解公式. 解公式 一阶线性非齐次方程的常数变易法和通解公式
8
三、一阶线性微分方程
1、定义 方程
dy + P ( x ) y = Q( x ) dx
(3)
称为一阶线性微分方程 其中 P ( x ) 和 Q( x ) 都是 x 的连续函数 ． 称为一阶线性微分方程， 一阶线性微分方程 方程（ ） 方程 当 Q( x ) ≡ 0 时， （3）称为一阶线性齐次微分方程
2
3．步骤 (1)分离变量，得 分离变量， 分离变量 dy = f ( x ) dx g( y) (2) 两边积分，得 两边积分，
( g( y ) ≠ 0)
∫
(3) 求得积分，得 求得积分，
dy = ∫ f ( x )dx g( y )
G( y) = F ( x) + C
1 , f ( x )的原函数 ． 其中 G ( y ), F ( x )分别是 g( y )
当 Q ( x ) T 0 时, 方程（3）称为一阶线性非齐次微分方程． 方程（ ）称为一阶线性非齐次微分方程 一阶线性非齐次微分方程．
9
2、一阶线性齐次微分方程的通解 先讨论一阶线性齐次微分方程
dy + P( x) y = 0 dx
（4） ）
的通解． 的通解．
显然，方程（ ）是可分离变量方程．分离变量后， 显然，方程（4）是可分离变量方程．分离变量后，得 dy = − P ( x )dx y 两边积分， 两边积分，得 ln y = − ∫ P ( x )dx + ln C 即
x
用常数变易法， 用常数变易法，设非齐次方程的通解为
1 y = C ( x) 2 x
则 y ′ = C ′( x ) 1 2 − 3 C( x) 2 x x
把 y 和 y′ 代入原方程并化简 ， 得 C ′( x ) = x − 1.
1 2 C ( x) = x − x + C 两边积分， 两边积分，得 2 1 1 C 因此， 因此，非齐次方程的通解为 y = − + 2 2 x x 1 将初始条件 y x =1 = 0 代入上式， 得C = . 故所求微分方程的特解为 2