高数下册总结(同济第六版)

高数（下）小结

一、微分方程复习要点

解微分方程时，先要判断一下方程是属于什么类型，然后按所属类型的相应解法求出其通解.

一阶微分方程的解法小结：

二阶微分方程的解法小结：

非齐次方程()y py qy f x '''++=的特解*

y 的形式为：

主要:

一阶1、可分离变量方程、线性微分方程的求解； 2、二阶常系数齐次线性微分方程的求解； 3、二阶常系数非齐次线性微分方程的特解

二、多元函数微分学复习要点

一、偏导数的求法 1、显函数的偏导数的求法 在求

x

z

∂∂时，应将y 看作常量，对x 求导，在求z y ∂∂时，应将x 看作常量，对y 求导，所运

用的是一元函数的求导法则与求导公式.

2、复合函数的偏导数的求法

设()v ,u f z =，()y ,x u ϕ=，()y ,x v ψ=，则

x v v z x u u z x z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂，

y

v

v z y u u z y z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂ 几种特殊情况：

1）()v ,u f z =，()x u ϕ=，()x v ψ=，则dx

dv v z x u du dz dx dz ⋅∂∂+∂∂⋅= 2）(),z f

x v =，()y ,x v ψ=，则

x v v f x f x z ∂∂⋅∂∂+∂∂=∂∂，

y

v

u f y z ∂∂⋅∂∂=∂∂ 3）()u f z =，()y ,x u ϕ=则x u du dz x z ∂∂⋅

=∂∂，y

u

du dz y z ∂∂⋅=∂∂ 3、隐函数求偏导数的求法 1）一个方程的情况

设()y ,x z z =是由方程()0=z ,y ,x F 唯一确定的隐函数，则

()0≠-=∂∂z

z

x F F F x z ，

()0≠-=∂∂z

z

y F F F y z

或者视()y ,x z z =，由方程()0=z ,y ,x F 两边同时对()x y 或求导解出

()z z x y

∂∂∂∂或. 2）方程组的情况 由方程组()()⎩⎨

⎧==0

0v ,u ,y ,x G v ,u ,y ,x F 两边同时对()x y 或求导解出()z z

x y ∂∂∂∂或即可.

二、全微分的求法 方法1：利用公式dz z

u

dy y u dx x u du ∂∂+∂∂+∂∂=

方法2：直接两边同时求微分，解出du 即可.其中要注意应用微分形式的不变性：

z

z du dv u

v dz z z dx dy

x

y ∂∂⎧+⎪∂∂⎪=⎨∂∂⎪+∂∂⎪⎩

三、空间曲线的切线及空间曲面的法平面的求法

1）设空间曲线Г的参数方程为 ()

()()⎪⎩⎪

⎨⎧===t z t y t x ωψϕ，则当0t t =时，在曲线上对应点

()0000z ,y ,x P 处的切线方向向量为()()(){

}000t ,t ,t T '''ωψϕ=

，切线方程为

()()()

00

0000t z z t y y t x x '''

ωψϕ-=-=- 法平面方程为 ()()()()()()0000000=-+-+-z z t y y t x x t '

''ωψϕ

2）若曲面∑的方程为()0=z ,y ,x F ，则在点()0000z ,y ,x P 处的法向量

{}

P z y x F ,F ,F n =

，切平面方程为

()()()()()()0000000000000=-+-+-z z z ,y ,x F y y z ,y ,x F x x z ,y ,x F z y x 法线方程为

()()()

0000

00000000z ,y ,x F z z z ,y ,x F y y z ,y ,x F x x z y x -=

-=-

若曲面∑的方程为()y ,x f z =，则在点()0000z ,y ,x P 处的法向量

()(){}10000-=,y ,x f ,y ,x f n y x

，切平面方程为

()()()()()00000000=---+-z z y y y ,x f x x y ,x f y x 法线方程为

()()1

000000--=

-=-z z y ,x f y y y ,x f x x y x 四、多元函数极值（最值）的求法 1 无条件极值的求法

设函数()y ,x f z =在点()000y ,x P 的某邻域内具有二阶连续偏导数，由(),0x f x y =，

(),0y f x y =，解出驻点()

00,x y ，记()00y ,x f A xx =，()00y ,x f B xy =，

()00y ,x f C yy =.

1）若20AC B ->，则()y ,x f 在点()00,x y 处取得极值，且当0A <时有极大值，当0A >时有极小值.

2） 若20AC B -<，则()y ,x f 在点()00,x y 处无极值.

3） 若02

=-B AC ，不能判定()y ,x f 在点()00,x y 处是否取得极值.

2 条件极值的求法

函数()y ,x f z =在满足条件()0=y ,x ϕ下极值的方法如下：

1）化为无条件极值：若能从条件()0=y ,x ϕ解出y 代入()y ,x f 中，则使函数(,)z z x y =成为一元函数无条件的极值问题.

2）拉格朗日乘数法

作辅助函数()()()y x y x f y x F ,,,λϕ+=，其中λ为参数，解方程组