高考数学考试注意事项
高考数学考试注意事项
在考试中掌握各种的考试技巧，可以让我们在后关头鲤鱼跃龙门。
数学考试也一样，尽管高考数学的知识点比拟深也比拟广，在考试时，同学们注意一些该注意的`地方，也能挽回一些不须要失去的分数。
在考试时，我们要注意什么
1.考前5分钟很重要
在考试中，要充分利用考前5分钟的时间。
考卷发下后，可浏览题目。
当准备工作(填写姓名、考号等)完成后，可以翻到后面的解答题，通读一遍，做到心中有数。
2.区别对待各档题目
考试题目分为易、中、难三种，它们的分值比约为3：5：2。
考试中大家要根据自身状况分别对待。
⑴做容易题时，要争取一次做完，不要中间拉空。
这类题要100%的拿分。
⑵做中等题时，要静下心来，尽量合同拿分，起码有80%的完成度。
⑶做难题时，大家通常会感觉无从下手。
这时要做到：
①多读题目，仔细审题。
②在草稿上简单感觉一下。
③不要轻易放弃。
许多同学一看是难题、大题，不多做考虑，就彻底投降。
解答题多为小步设问，许多小问题同学们都是可以解决的，因此，每一个题、每一个问，考生都要认真对待。
3.时间分配要合理
⑴考试时主要是在选择题上抢时间。
⑵做题时要边做边检查，充分合同每一题的正确性。
不要抱着“等做完后再重新检查”的念头而在后面浪费太多的时间用于检查。
⑶在交卷前30分钟要回头再检查一下自己的进度。
注意及时填机读卡。
高考数学一直都是很难得分的科目，不少同学由于紧张的情绪或者自己的粗心大意而在考试中丢很多分，因此，在考试时同学们一定要注意上述所说的几点。
高考考前数学注意事项
高考考前数学注意事项一、考前复习知识点在高考前的复习阶段，首要任务是巩固和强化所学的数学知识。
重点复习高中数学的主干知识，包括函数、数列、不等式、三角函数、解析几何等。
同时，要掌握基本的数学思想和数学方法，如转化与化归、分类讨论等。
二、熟悉考试题型了解高考数学试题的题型和结构，熟悉各类题型的解题方法和技巧。
特别要注意对选择题、填空题和解答题等不同题型的答题技巧进行针对性的训练，提高解题速度和准确度。
三、做模拟试题在复习过程中，多做一些模拟试题是非常必要的。
模拟试题可以帮助你熟悉高考数学试题的难度和出题方式，检验自己的复习效果，发现自己的不足之处。
同时，通过模拟考试的压力和紧张感，可以提高自己的适应能力。
四、制定答题策略制定合理的答题策略，对提高高考数学成绩至关重要。
在答题时，要遵循先易后难的原则，合理分配时间。
对于选择题和填空题，要注意巧妙的解题方法，尽量减少计算量。
对于解答题，要认真审题，明确题目要求，规范答题步骤，注意解题的完整性和条理性。
五、纠正错题和弱点在复习过程中，要及时纠正自己的错题和弱点。
对于做错的题目，要认真分析错误原因，找出自己的薄弱环节，进行有针对性的复习和巩固。
同时，要注意对容易出错的题型进行总结和归纳，避免重复犯错。
六、模拟考试环境在高考前的复习阶段，要尽量模拟真实的考试环境进行练习。
可以选择在规定的时间内完成模拟试题，模拟真实的考试压力和节奏。
同时，要注意考场上的答题技巧，如如何合理利用时间、如何涂卡等。
通过模拟考试环境的训练，可以提高自己的应试能力和心理素质。
七、保持作息规律保持良好的作息规律对于高考前的复习和考试状态非常重要。
要保证充足的睡眠时间，避免过度疲劳和熬夜。
同时，要注意饮食营养均衡，避免过度油腻和刺激性食物的摄入。
适当的运动和放松也有助于缓解压力和提高学习效率。
2023年全国高考甲卷理科数学试题及解析
绝密★启用前 试卷类型：A2023年普通高等学校招生统一考试（全国甲卷）理科数学本试卷共4页，22小题，满分150分，考试用时120分钟。
注意事项：1. 答卷前，考生务必用黑色字迹笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号等填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2. 作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3. 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4. 考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共计60分．每小题给出的四个选项中，只有一项选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．1．设集合},|{Z k k x x A ∈1+3==，},|{Z k k x x B ∈2+3==，U 为整数集，则=)(B A C U （ ）A ．},|{Z k k x x ∈3=B ．},|{Z k k x x ∈－13= C ．},|{Z k k x x ∈－23= D ．【解析】 集合A 由被3除余1的整数组成，集合B 由被3除余2的整数组成，B A 由不能被3整除的整数组成，所以，)(B A C U 由被3整除的整数组成，故选A ．2．若复数R a ai i a ∈2=1+,))((－，则=a （ ）A ．1－B ．0C ．1D ．2【解析】 由2=1+))((ai i a － ，得2=1+22i a a )(－， 所以，2=2a ，0=12a －，即1=a ，故选C ．3．执行下面的程序框图，输出的=B （ ） A ．21 B ．34 C ．55 D ．89【解析】 1=n 时判断为“是”，执行3个处理框后，2=5=3=n B A ,,；2=n 时判断为“是”， 执行3个处理框后，3=13=8=n B A ,,；3=n 时判断为“是”， 执行3个处理框后，4=34=21=n B A ,,；4=n 时判断为“否”，输出34，故选B ．4．向量1==b a ，2=c 且0=++c b a ，则>=<c b c a －－,cos （ ） A ．51－ B ．52－C ．52D ．54【解析】 显然2=1==222c b a ,，，由0=++c b a ，得0=++)(c b a a ，即0=1++ac ab ， 同理0=1++bc ab ，0=2++bc ac ，所以，1==0=－bc ac ab , ．于是4=+=2c cb ac ab c b c a －－－－))((，5==2)(c a c a －－，5==2)(c b c b －－，所以54=554=>=<cb c a c b c a c b c a －－－－－－))((,cos ．故选D ．开始结束输出B5．已知正项等比数列}{n a 中，1=1a ，n S 为}{n a 前n 项和，45=35－S S ，则=4S （ ）A ．7B ．9C ．15D ．30 【解析】 因为数列}{n a 为正项等比数列，设公比为)(0>q q ，则 4325++++1=q q q q S ，23++1=q q S ，由题意，得4++15=++++12432－)(q q q q q q ，解之，2=q ．所以15=8+4+2+1=4S ．故选C ．6．有50人报名足球俱乐部，60人报名乒乓球俱乐部，70人报名足球或乒乓球俱乐部，若已知某人报了足球俱乐部，则其报乒乓球俱乐部的概率为（ ）A ．80.B ．40.C ．20.D ．10. 【解析】 因为同时报名乒乓球和足球两个俱乐部的人数为40=7060+50－，记“某人报了足球俱乐部”为事件A ，“某人报了乒乓俱乐部”为事件B ， 则75=7050=)(A p ，76=7060=)(B p ，74=7040=)(AB p ， 所以，在已知某人报了足球俱乐部的条件下，其报乒乓球俱乐部的概率为80=54=7474==.)()()|(A p AB p A B p ，故选A ．7．“1=+22βαsin sin ” 是 “0=+βαcos sin ”的（ ） A. 充分条件但不是必要条件 B.必要条件但不是充分条件 C. 充要条件 D. 既不是充分条件也不是必要条件 【解析】 由1=+22βαsin sin ⇔βα22=cos sin ，命题“若βα22=cos sin ，则0=+βαcos sin ”为假， 命题“若0=+βαcos sin ，则βα22=cos sin ”为真，所以，“1=+22βαsin sin ” 是 “0=+βαcos sin ”的必要但不是充分条件，故选B ．8．已知双曲线),(0>0>1=2222b a b y a x －的离心率为5，其中一条渐近线与圆1=3+222)()(－－y x 相交于B A ,两点，则=AB （ ）A ．51－B ．52－C ．52D ．54 【解析】 由双曲线),(0>0>1=2222b a by a x －的离心率为5，可得双曲线的渐近线方程为0=±2y x ．又圆心),(32到0=+2y x 的距离为57，大于圆的半径1，所以0=+2y x 与圆不相交，圆心),(32到0=2y x －的距离为51=d ，小于圆的半径1=r ， 所以0=2y x －与圆相交，所以 554=54=5112=2=222)(－－d r AB ．故选D ．9．有5名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选两人参加服务，则恰有1人连续参加两天服务的选择种数为（ ）A ．120B ．60C ．40D ．30 【解析】 先从5人中任选1人参加两天服务，有15C 种选法； 再从剩下4人中任选1人参加星期六服务，有14C 种选法； 最后从剩下3人中任选1人参加星期天服务，有13C 种选法． 根据乘法原理，共有60=131415C C C 种不同选法．故选B ．10．已知)(x f 为函数)cos(6+2=πx y 在向左平移6π个单位所的函数，则)(x f y =与2121=－x y 的交点个数为 ( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】 先通过平移得到x x x x f y 2=2+2=6+6+2==sin )cos())(cos()(－πππ，即x x f 2=sin )(－．分别作x y 2=sin －和2121=－x y 的图象，如图，因为2143×21>1=43×2－－－－－)())(sin(ππ，即84=21>83π， 2143×21>1=43×2－－ππ)sin(，即812=23<83π，由图可知x y 2=sin －与2121=－x y 的交点个数为3．故选C ．11．在四棱锥ABCD P －中，底面ABCD 为正方形，3==4=PD PC AB ,，°45=PCA ∠，则PBC ∆的面积为( )A ．22B ．23C ．24D ．25【解析】 连接BD AC ,相交于O ，连接PO ，PD PC = ，PO PO =，OD OC =，POD POC ∆∆≌∴，PDO PCO ∠=∠，又PD PC = ，PDO PCO ∠=∠，BD AC =，PDB PCA ∆∆≌∴，PB PA ∠=，在PCA ∆中，24=3=CA PC ,，°45=PCA ∠，所以，°45××2+=222cos AC PC PC AC PA －O xyπABCDPO17=22×24×3×29+32=－，在PBC ∆中，4=3=BC PC ,，17==PA PB ，所以173=174×2916+17=××2+=∠222－－BC PB PC BC PB PBC cos ，于是1722=PBC ∠sin ， 所以，PBC ∆的面积为24=1722×4×17×21=×××21PBC BC PB ∠sin ．故选C ．12．已知椭圆1=6+922y x ，21F F ,为两个焦点，O 为原点，P 为椭圆上一点，53=∠21PF F cos ，则=PO （ ）A ．52 B ．230 C ．53D ．235【解析】在椭圆1=6+922y x 中，3=a ，6=b ，3=c ，由2122222121×2+=53=PF PF FF PF PF PF F －∠cos 2121212221221×2×224=×2×2+=PF PF PF PF PF PF FF PF PF PF PF －－－)(， 所以215=×21PF PF ． 设点),(n m P ，则21PF F ∆的面积为3=54×215×21=∠×××212121PF F PF PF sin ， 于是 3=3=××2121n n F F ，所以3=2n ．又P 为椭圆上一点，所以29=2m ．230=3+29=+=22n m PO ．故选B ．二、填空题（每小题5分，共20分） 13. 若)sin()(2+++1=2πx ax x y －为偶函数，则=a 【解析】 因为x a x x x ax x y )(cos )sin()(2+1++=2+++1=22－－π．而1++2x x cos 是偶函数，所以2=a ，应填2．14. 设y x ,满足约束条件 1≥+32333+2y x y x y x≤－≤－ ，设y x z 2+3=，则z 的最大值为【解析】 作出满足约束条件的点),(y x 的可行域， 由),(),(y x y x z •23=2+3=所以，当3=3=y x ,时，z 取得最大值15． 故填15．15. 在正方体1111D C B A ABCD －中，F E ,分别为11B A CD ,的中点，则以EF 为直径的球面与正方体每条棱的交点总数为 【解析】 设正方体的棱长为2，O 为球心，于是，球O 的半径为2==OF OE ，可求得点O 到所有棱的距离均为2，所以球面与正方体每条棱的交点总数为12，故填12．16. 在ABC ∆中，2=AB ，°60=∠BAC ，6=BC ，D 为BC 上一点，AD 为BAC ∠的平分线，则=AD【解析】在ABC ∆中，由正弦定理知，ACBABBAC BC ∠sin sin =∠，O xyB 1ABC D A 1C 1D 1EFOMN即22=63=×=BCBACAB ACB ∠∠sin sin ，所以°45=ACB ∠，于是°75=ABC ∠，在ABD ∆和ACD ∆中，分别由正弦定理知，°30=°45sin sin CD AD ， °306=°75sin sin CD AD －，42+6=°75sin ， 由°30=°45sin sin CD AD ，得AD CD 2=2， 由°306=°75sin sin CDAD －，得CD AD 262=26－－)(，解得2=AD ，故填2．三、解答题：本题共5小题,共60分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤． 17.（12分）已知数列}{n a 中，1=2a ，设n S 为}{n a 的前n 项和，n n na S =2． （1）求}{n a 的通项公式；（2）求数列}{nn a 21+的前n 项和n T ． 【解析】 （1）由n n na S =2，得0=1a ，当2≥n 时，111=2－－－n n a n S )(， 两式相减，得11=2－－－n n n a n na a )(， 即11=2－－－n n a n a n )()(， 当2>n 时，21=1－－－n n a a n n ，此时， 223211××××=a a aa a a a a n n n n n －－－ 1=1×12××32×21=－－－－－n n n n n ， 当21=,n 时均满足，所以}{n a 的通项公式为1=－n a n ； （2）由n n n n a 2=21+，所以n n n T 2++23+22+21=32 ， 两边同乘以21，得1+322+21++22+21=21n n n n n T － ， 两式相减，得1+1+322211=221++21+21+21=21n n n n n n n T －－－ ， 所以，n n n T 22+2=－．18.（12分）在三棱柱111C B A ABC －中，2=1AA ，⊥1C A 底面ABC ，°90=∠ACB ，1A 到平面11B BCC 的距离为1．（1）证明：C A AC 1=；（2）若直线1AA 与1BB 距离为2，求1AB 与平面11B BCC 所成角的正弦值． 【解析】 （1）由⊥1C A 底面ABC ，°90=∠ACB ，可知°90=∠11C A C ， 平面⊥11C A C 平面BC B C 11，1A 到平面11B BCC 的距离为1．即C A C Rt 11∆斜边上的高为1，又斜边长2==11AA CC ， 所以C A C 11∆为等腰三角形，即C A C A 111=， 又AC C A =11，所以C A AC 1=． （2）由1CA CB CA ,,，两两互相垂直，由直线1AA 与1BB 距离为2，得3=BC ，，以C 为原点，分别以1CA CB CA ,,为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角 坐标系，则),,(000C ，),,(2001A ，),,(030B ，),,(2021－C ，),,(002A ，),,(2321－B ，于是),,(030=CB ，ABCA 1B 1C 1),,(202=1－CC ，),,(2322=1－AB ，平面11B BCC 的一个法向量为),,(101=n ， 所以1AB 与平面11B BCC所成角的正弦值为1313=131=101×2322101•2322=),,(),,(),,(),,(－－．19.（12分）为探究某药物对小鼠的生长作用，将 40 只小鼠均分为两组，分别为对照组（不药物）和实验组（加药物）．（1）设其中两只小鼠中对照组小鼠数目为X ，求X 的分布列和数学期望； （2）测得 40 只小鼠体重如下（单位：g ）（已按从小到大排好） 对照组：17.3 18.4 20.1 20.4 21.5 23.2 24.6 24.8 25.0 25.4 26.1 26.3 26.4 26.5 26.8 27.0 27.4 27.5 27.6 28.3实验组： 5.4 6.6 6.8 6.9 7.8 8.2 9.4 10.0 10.4 11.2 14.4 17.3 19.2 20.2 23.6 23.8 24.5 25.1 25.1 26.0 （i ）求 40 只小鼠体重的中位数m ，并完成下面 2×2 列联表： （ii ）根据 2×2 列联表，能否有 95％的把握认为药物对小鼠 生长有抑制作用 参考数据：【解析】 （1）X 的所有可能取值为0，1，2，且7819==0=240220020C C C X P )(； 7840==1=240120120C C C X P )(；7819==2=240020220C C C X P )(． X 的分布列为数学期望为1=7819×2+7840×1+7819×0=)(X E ．（2）（i ） 40 只小鼠体重的中位数423=2623+223=...m ．完成下面 2×2 列联表为（ii ）计算8413>4006=20×20×20×2040×14×146×6=22..)(－K ， 所以，有 95％的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用．20.（12分）直线0=1+2y x －与)(0>2=2p px y 交于B A ,两点，154=AB ．（1）求p 的值；（2）F 为px y 2=2的焦点，N M ,为抛物线上的两点，且0=•NF MF ，求MNF 面积的最小值．【解析】 （1）将0=12=－y x 代入px y 2=2，得0=2+42p py y －，设),(),,(2211y x B y x A ，则p y y 4=+21，p y y 2=21， 于是，221221+=)()(y y x x AB －－212212214+5=5=y y y y y y －－)()(154=8165=2p p －．所以，2=p ，（2）F 为x y 4=2的焦点，),(01∴F ，设),(M M y y M 42,),(N Ny y N 42,由0=•NF MF ，得 0=41•4122),(),(N N M M y y y y －－－－，即0=+414122N M NM y y y y ))((－－，0=1+++41162222N M N M N M y y y y y y )(－，即224+=4)()(N M N M y y y y －， 设直线MN 的方程为n my x +=，与抛物线方程联立，得 )(n my y +4=2，即0=442n my y －－，于是有，m y y N M 4=+，n y y N M 4=－， 且0>16+16=2n m ∆，0>+2n m ．将224+=4)()(N M N M y y y y －变为224+=16+4)()(N M N M N M y y y y y y －， 即224+4=41644)()()(n n m －－－，0>1=+422)()(－n n m ， 0≥1+6=422n n m －，解得22+3≥n 或223≤－n ， 即1228≥4=－－n y y N M ．记MNF ∆面积为S ，则S =1+421=+4421=22N M N M N M M N N M y y y y y y y y y y －－－ 24+161=4+81=)(N M N M N M y y y y y y － 22124=4+1228161≥)()(－－． 所以记MNF ∆面积的最小值为2124)(－．21.（12分）已知xxax x f 3=cos sin )(－，),(20∈πx ． （1）若8=a ，讨论)(x f 的单调性；（2）若x x f 2<sin )(恒成立，求a 的取值范围．【解析】 （1）由8=a ，xx x x f 38=cos sin )(－，xxx x x x x f 622433+8=′8=′cos cos sin cos )cos sin ()(－－x xx 4223+8=cos sin cos －xx x 4223+412=cos )cos )(cos (－．因为0>3+42x cos ，0>4x cos ，),(20∈πx ．所以，当0>2=122x x cos cos －时，即),(40π∈x 时，)(x f 单调递增， 当0<2=122x x cos cos －时，即),(24ππ∈x 时，)(x f 单调递增． （2）由x x f 2<sin )(恒成立，即0<23x xxax sin cos sin －－，),(20∈πx ， 令x xxax x g 2=3sin cos sin )(－－，则0=0)(g ，)(x g 的最大值小于零， x xxx a x g 223+=′422cos cos sin cos )(－－2+423=242x x x a cos cos cos －－－， 令t x =2cos ， 得232+42+=′t t t a x g －－)(，1<<0t ，设232+42+=t t t a t －－)(ϕ，则33326+24=6+24=′tt t t t t －－－－)(ϕ， 323+2+212=t t t t ))((－－，由1<<0t 知，0>′)(t ϕ，)(t ϕ单调递增，)(x g ′单调递增， 所以3=1<－a t )()(ϕϕ，3<′－a x g )(， 当3≤a 时，0<′)(x g ，)(x g 为减函数，最大值小于零，满足题意； 当3>a 时，)(x g ′在),(20π内有零点，即)(x g 在),(20π内有极小值点， 又因为2→πx 必有∞－→)(x g ，这不可能． 所以，所求求a 的取值范围是∞,3]－(．四、选做题：本题共2小题,任选一道作答，共10分．22 〖选修4－4：坐标系与参数方程〗（10分）【解析】 （1）因为令0=y ，得，αsin 1=1－t ，所以αsin 1==1t PA ，令0=x ，得，αcos 2=2－t ，所以αcos 2==2t PB ，由4=PB PA ，得4=2ααcos sin ，即1=2αsin ，1±=2αsin ，由题意παπ<<2，所以43=πα．（2） 由（1）知t x 222=－，t y 22+1=，所以3=+y x ， l 的极坐标方程为3=+θρθρsin cos ．23 〖选修4－5：不等式选讲〗（10分）【解析】 （1）由x x f <)(，得0>+<2a a x a x ,－， 两边平方，2222+2+<4+84a ax x a ax x －，即0<3+10322a ax x －，0<33))((a x a x －－，因为0>a ，所以a x a3<<3． （2）因为0>a ，当a x ≥时，a x x f 32=－)(；当a x <时，x a x f 2=－)(；作出函数图象，得),(),,(020a B a A ，),(),,(a a D aC －023．函数图象与坐标轴围成的面积为2，即 2=43=+2a S S BCD AOB ∆∆，所以362=a ．xyAO a -aa BCD。
数学高考注意事项
数学高考注意事项1. 注意审题：高考数学题目通常包含大量的文字描述，正确理解题意是解题的关键。
仔细阅读题目，确保理解每一个细节和条件，避免因为理解错误而做错题。
2. 熟悉考纲：高考数学的内容范围通过考纲明确规定，了解考纲可以帮助你确定需要掌握的知识和技能。
在备考过程中，根据考点有针对性地进行复习，提高解题能力。
3. 基础知识的掌握：数学考试是建立在数学基础知识上的，良好的基础知识掌握是解题的前提。
记住公式、定理、规律，多做一些基础题目加强记忆和理解。
4. 理论与实际的结合：高考数学不仅要求掌握理论知识，还需要能够将理论应用到实际问题中。
在解题过程中，要善于用数学模型来描述实际问题，进行分析和求解。
5. 多做真题和模拟题：通过做真题和模拟题，可以熟悉考试的题型和命题风格，找到解题方法和策略。
同时，可以评估自己的备考效果，及时发现并纠正自己的不足之处。
6. 注意计算和表达准确性：高考数学中的计算和表达要求非常严格，一丝一毫的差错可能导致答案完全错误。
在解题过程中，要注意计算过程的准确性和逻辑性，同时，要注意语言和符号的准确使用。
7. 做好时间管理：高考数学的时间通常是相对紧张的，要合理安排时间，控制好做题的速度。
对于每个题目，要根据题目难度合理安排时间，避免因为某个题目花费过多时间而导致其他题目无法完成。
8. 考前复习和放松：考试前要进行适当的复习，回顾和巩固知识点，但也不要忽视休息和放松。
良好的身体和心理状态对于发挥最佳水平至关重要，适当的休息可以让大脑更好地运转。
9. 注意答题技巧：在解答选择题时，可运用排除法、代数法、几何法等答题技巧，提高正确率。
在解答主观题时，要注重解题思路的清晰和表达的规范。
10. 保持自信：高考数学是一个综合能力的考察，要相信自己的实力，保持积极乐观的心态。
在解题过程中，遇到困难也要保持冷静和耐心，相信自己一定能够找到正确的解决方法。
2024年天津高考数学真题(原卷版+解析版】
2024年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟．第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码．答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷（选择题）注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．2．本卷共9小题，每小题5分，共45分．参考公式：·如果事件A B ，互斥，那么()()()P A B P A P B =+U ．·如果事件A B ，相互独立，那么()()()P AB P A P B =．·球的体积公式34π3V R =，其中R 表示球的半径．·圆锥的体积公式13V Sh=，其中S 表示圆锥的底面面积，h 表示圆锥的高．一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 集合{}1,2,3,4A =，{}2,3,4,5B =，则A B =I （ ）A. {}1,2,3,4 B. {}2,3,4 C. {}2,4 D. {}12. 设,a b ÎR ，则“33a b =”是“33a b =”（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 下列图中，相关性系数最大的是（ ）的获取更多高中资料关注公众号：网盘网课资源A. B.C. D.4. 下列函数是偶函数的是（ ）A. 22e 1x x y x -=+ B. 22cos 1x x y x +=+ C. e 1x xy x -=+ D. ||sin 4e x x x y +=5. 若0.30.3 4.24.2 4.2log 0.2a b c -===，，，则a b c ，，的大小关系为（ ）A. a b c>> B. b a c>> C. c a b>> D. b c a>>6. 若,m n 为两条不同的直线，a 为一个平面，则下列结论中正确的是（ ）A 若//m a ，n Ìa ，则//m nB. 若//,//m n a a ，则//m nC. 若//,a a ^m n ，则m n ^D. 若//,a a ^m n ，则m 与n 相交7. 已知函数()()πsin303f x x w w æö=+>ç÷èø的最小正周期为π．则函数在ππ,126éù-êúëû的最小值是（ ）A. B. 32-C. 0D.328. 双曲线22221()00a x y a bb >-=>，的左、右焦点分别为12.F F P 、是双曲线右支上一点，且直线2PF 的斜率为2．12PF F △是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为（ ）A. 22182y x -= B. 22184x y -= C. 22128x y -= D. 22148x y -=9. 一个五面体ABC DEF -．已知AD BE CF ∥∥，且两两之间距离为1．并已知123AD BE CF ===，，．则该五面体的体积为（）.A.B.12+C.D.12-第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上．2．本卷共11小题，共105分．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．10. 已知i是虚数单位，复数))i 2i +×-=______．11. 在63333x xæö+ç÷èø展开式中，常数项为______．12. 22(1)25-+=x y 的圆心与抛物线22(0)y px p =>的焦点F 重合，A 为两曲线的交点，则原点到直线AF 的距离为______．13. ,,,,A B C D E 五种活动，甲、乙都要选择三个活动参加.（1）甲选到A 的概率为______；已知乙选了A 活动，他再选择B 活动的概率为______．14. 在边长为1的正方形ABCD 中，点E 为线段CD 的三等分点， 1,2CE DE BE BA BC ==+uur uur uuu r l m ，则l m +=______；若F 为线段BE 上的动点，G 为AF 中点，则AF DG ×uuu r uuur的最小值为______．15. 若函数()21f x ax =--+有唯一零点，则a 取值范围为______．三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤的的16. 在ABC V 中，92cos 5163a Bbc ===，，．（1）求a ；（2）求sin A ；（3）求()cos 2B A -．17. 已知四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为梯形，//AB CD ，1A A ^平面ABCD ，AD AB ^，其中12,1AB AA AD DC ====．N 是11B C 的中点，M 是1DD 的中点．（1）求证1//D N 平面1CB M ；（2）求平面1CB M 与平面11BB CC 的夹角余弦值；（3）求点B 到平面1CB M 的距离．18. 已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>椭圆的离心率12e =．左顶点为A ，下顶点为B C ，是线段OB 的中点，其中ABC S △．（1）求椭圆方程．（2）过点30,2æö-ç÷èø的动直线与椭圆有两个交点P Q ，．在y 轴上是否存在点T 使得0TP TQ ×£uur uuu r 恒成立．若存在求出这个T 点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由．19. 已知数列{}n a 是公比大于0的等比数列．其前n 项和为n S ．若1231,1a S a ==-．（1）求数列{}n a 前n 项和n S ；（2）设11,2,kn n k k k n a b b k a n a -+=ì=í+<<î，11b =，其中k 是大于1的正整数．（ⅰ）当1k n a +=时，求证：1n k n b a b -³×；（ⅱ）求1nS i i b =å．20. 设函数()ln f x x x =．（1）求()f x 图象上点()()1,1f 处的切线方程；（2）若()(f x a x ³在()0,x ¥Î+时恒成立，求a 取值范围；（3）若()12,0,1x x Î，证明()()121212f x f x x x -£-．的2024年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟．第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码．答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷（选择题）注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．2．本卷共9小题，每小题5分，共45分．参考公式：·如果事件A B ，互斥，那么()()()P A B P A P B =+U ．·如果事件A B ，相互独立，那么()()()P AB P A P B =．·球的体积公式34π3V R =，其中R 表示球的半径．·圆锥的体积公式13V Sh=，其中S 表示圆锥的底面面积，h 表示圆锥的高．一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 集合{}1,2,3,4A =，{}2,3,4,5B =，则A B =I （ ）A. {}1,2,3,4B. {}2,3,4 C. {}2,4 D. {}1【答案】B 【解析】【分析】根据集合交集的概念直接求解即可.【详解】因为集合{}1,2,3,4A =，{}2,3,4,5B =，所以{}2,3,4A B =I ，获取更多高中资料关注公众号：网盘网课资源2. 设,a b ÎR ，则“33a b =”是“33a b =”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】说明二者与同一个命题等价，再得到二者等价，即是充分必要条件.【详解】根据立方的性质和指数函数的性质，33a b =和33a b =都当且仅当a b =，所以二者互为充要条件.故选：C.3. 下列图中，相关性系数最大的是（ ）A. B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】由点的分布特征可直接判断【详解】观察4幅图可知，A 图散点分布比较集中，且大体接近某一条直线，线性回归模型拟合效果比较好，呈现明显的正相关，r 值相比于其他3图更接近1.故选：A4. 下列函数是偶函数的是（ ）A. 22e 1x x y x -=+ B. 22cos 1x x y x +=+ C. e 1x xy x -=+ D. ||sin 4e x x x y +=【答案】B【分析】根据偶函数的判定方法一一判断即可.【详解】对A ，设()22e 1x x f x x -=+，函数定义域为R ，但()112e 1f ---=，()112e f -=，则()()11f f -¹，故A 错误；对B ，设()22cos 1x x g x x +=+，函数定义域为R ，且()()()()()2222cos cos 11x x x x g x g x x x -+-+-===+-+，则()g x 为偶函数，故B 正确；对C ，设()e 1x xh x x -=+，函数定义域为{}|1x x ¹-，不关于原点对称， 则()h x 不是偶函数，故C 错误；对D ，设()||sin 4e x x x x j +=，函数定义域为R ，因为()sin141e j +=，()sin141ej ---=，则()()11j j ¹-，则()x j 不是偶函数，故D 错误.故选：B.5. 若0.30.3 4.24.2 4.2log 0.2a b c -===，，，则a b c ，，的大小关系为（ ）A. a b c >>B. b a c>> C. c a b>> D. b c a>>【答案】B 【解析】【分析】利用指数函数和对数函数的单调性分析判断即可.【详解】因为 4.2x y =在R 上递增，且0.300.3-<<，所以0.300.30 4.2 4.2 4.2-<<<，所以0.30.30 4.21 4.2-<<<，即01a b <<<，因为 4.2log y x =在(0,)+¥上递增，且00.21<<，所以 4.2 4.2log 0.2log 10<=，即0c <，所以b a c >>，故选：B6. 若,m n 为两条不同的直线，a 为一个平面，则下列结论中正确的是（ ）A. 若//m a ，n Ìa ，则//m nB. 若//,//m n a a ，则//m nC. 若//,a a ^m n ，则m n ^D. 若//,a a ^m n ，则m 与n 相交【答案】C 【解析】【分析】根据线面平行的性质可判断AB 的正误，根据线面垂直的性质可判断CD 的正误.【详解】对于A ，若//m a ，n Ìa ，则,m n 平行或异面，故A 错误.对于B ，若//,//m n a a ，则,m n 平行或异面或相交，故B 错误.对于C ，//,a a ^m n ，过m 作平面b ，使得s b a =I ，因为m b Ì，故//m s ，而s a Ì，故n s ^，故m n ^，故C 正确. 对于D ，若//,a a ^m n ，则m 与n 相交或异面，故D 错误.故选：C .7. 已知函数()()πsin303f x x w w æö=+>ç÷èø的最小正周期为π．则函数在ππ,126éù-êúëû的最小值是（ ）A. B. 32-C. 0D.32【答案】A 【解析】【分析】先由诱导公式化简，结合周期公式求出w ，得()sin2f x x =-，再整体求出,126éùÎ-êúëûππx 时，2x 的范围，结合正弦三角函数图象特征即可求解.【详解】()()πsin3sin 3πsin 33f x x x x w w w æö=+=+=-ç÷èø，由2ππ3T w==得23w =，即()sin2f x x =-，当,126éùÎ-êúëûππx 时，ππ2,63x éùÎ-êúëû，画出()sin2f x x =-图象，如下图，由图可知，()sin2f x x =-在ππ,126éù-êúëû上递减，所以，当π6x =时，()min πsin 3f x =-=故选：A8. 双曲线22221()00a x y a bb >-=>，的左、右焦点分别为12.F F P 、是双曲线右支上一点，且直线2PF 的斜率为2．12PF F △是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为（ ）A. 22182y x -= B. 22184x y -= C. 22128x y -= D. 22148x y -=【答案】C 【解析】【分析】可利用12PF F △三边斜率问题与正弦定理，转化出三边比例，设2PF m =，由面积公式求出m ，由勾股定理得出c ，结合第一定义再求出a .【详解】如下图：由题可知，点P 必落在第四象限，1290F PF Ð=°，设2PF m =，211122,PF F PF F q q Ð=Ð=，由21tan 2PF k q ==，求得1sin q =，因为1290F PF Ð=°，所以121PF PF k k ×=-，求得112PF k =-，即21tan 2q =，2sin q =，由正弦定理可得：121212::sin :sin :sin 902PF PF F F q q =°=，则由2PF m =得1122,2PF m F F c ===，由1212112822PF F S PF PF m m =×=×=V 得m =，则2122PF PF F c c =====由双曲线第一定义可得：122PF PF a -==a b ===所以双曲线的方程为22128x y -=.故选：C9. 一个五面体ABC DEF -．已知AD BE CF ∥∥，且两两之间距离为1．并已知123AD BE CF ===，，．则该五面体的体积为（ ）A.B.12+ C.D.12-【答案】C 【解析】【分析】采用补形法，补成一个棱柱，求出其直截面，再利用体积公式即可.【详解】用一个完全相同的五面体HIJ LMN -（顶点与五面体ABC DEF -一一对应）与该五面体相嵌，使得,D N ；,E M ;,F L 重合，因为AD BE CF ∥∥，且两两之间距离为1．1,2,3AD BE CF ===，则形成的新组合体为一个三棱柱，该三棱柱的直截面（与侧棱垂直的截面）为边长为1的等边三角形，侧棱长为1322314+=+=+=，212111142ABC DEF ABC HIJ V V --==´´´=.故选：C.第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上．2．本卷共11小题，共105分．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．10. 已知i是虚数单位，复数))i 2i +×-=______．【答案】7【解析】【分析】借助复数的乘法运算法则计算即可得.【详解】))i 2i 527+×-=+-+=-.故答案为：7-.11. 在63333x xæö+ç÷èø的展开式中，常数项为______．【答案】20【解析】【分析】根据题意结合二项展开式的通项分析求解即可.【详解】因为63333x x æö+ç÷èø的展开式的通项为()63636216633C 3C ,0,1,,63rrr r r r r x T xr x ---+æöæö===×××ç÷ç÷èøèø，令()630r -=，可得3r =，所以常数项为0363C 20=.故答案为：20.12. 22(1)25-+=x y 的圆心与抛物线22(0)y px p =>的焦点F 重合，A 为两曲线的交点，则原点到直线AF 的距离为______．【答案】45##0.8【解析】【分析】先求出圆心坐标，从而可求焦准距，再联立圆和抛物线方程，求A 及AF 的方程，从而可求原点到直线AF 的距离.【详解】圆22(1)25-+=x y 的圆心为()1,0F ，故12p=即2p =，由()2221254x y y xì-+=ïí=ïî可得22240x x +-=，故4x =或6x =-（舍），故()4,4A ±，故直线()4:13AF y x =±-即4340x y --=或4340x y +-=，故原点到直线AF 的距离为4455d ==，故答案为：4513. ,,,,A B C D E 五种活动，甲、乙都要选择三个活动参加.（1）甲选到A 的概率为______；已知乙选了A 活动，他再选择B 活动的概率为______．【答案】 ①.35②. 12【解析】【分析】结合列举法或组合公式和概率公式可求甲选到A 的概率；采用列举法或者条件概率公式可求乙选了A 活动，他再选择B 活动的概率.【详解】解法一：列举法从五个活动中选三个的情况有：,,,,,,,,,ABC ABD ABE ACD ACE ADE BCD BCE BDE CDE ,共10种情况，其中甲选到A 有6种可能性：,,,,,ABC ABD ABE ACD ACE ADE ，则甲选到A 得概率为：63105P ==；乙选A 活动有6种可能性：,,,,,ABC ABD ABE ACD ACE ADE ，其中再选则B 有3种可能性：,,ABC ABD ABE ，故乙选了A 活动，他再选择B 活动的概率为31=62.解法二：设甲、乙选到A 为事件M ，乙选到B 为事件N ，则甲选到A 的概率为()2435C 3C 5P M ==；乙选了A 活动，他再选择B 活动的概率为()()()133524351C 2C C P MN C P N M P M ===故答案为：35；1214. 在边长为1的正方形ABCD 中，点E 为线段CD 的三等分点， 1,2CE DE BE BA BC ==+uur uur uuu r l m ，则l m +=______；若F 为线段BE 上的动点，G 为AF 中点，则AF DG ×uuu r uuur的最小值为______．【答案】 ①.43②. 518-【解析】【分析】解法一：以{},BA BC uuu r uuu r 为基底向量，根据向量的线性运算求BE uuu r，即可得l m +，设BF BE k =uuu r uur ，求,AF DG uuu r uuu r ，结合数量积的运算律求AF DG ×uuu r uuur 的最小值；解法二：建系标点，根据向量的坐标运算求BE uuu r，即可得l m +，设()1,3,,03F a a a éù-Î-êúëû，求,AF DG uuu r uuu r ，结合数量积的坐标运算求AF DG ×uuu r uuur 的最小值.【详解】解法一：因为12CE DE =，即23CE BA =uur uur ，则13BE BC CE BA BC =+=+uuu r uur u uu ur r uuu r ，可得1,13l m ==，所以43l m +=；由题意可知：1,0BC BA BA BC ==×=uuu r uuu r uuu r uuu r，因为F 为线段BE 上的动点，设[]1,0,13BF k BE k BA k BC k ==+Îuuu r uuu r uuu r uuu r，则113AF AB BF AB k BE k BA k BC æö=+=+=-+ç÷èøuuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuur uuu r ，又因为G 为AF 中点，则1111112232DG DA AG BC AF k BA k BC æöæö=+=-+=-+-ç÷ç÷èøèøuuur uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuur ，可得11111113232AF DG k BA k BC k BA k BC éùéùæöæöæö×=-+×-+-ç÷ç÷ç÷êúêúèøèøèøëûëûuuu r uuur uuu r uuu ruuu r uuur22111563112329510k k k k æöæöæö=-+-=--ç÷ç÷ç÷èøèøèø，又因为[]0,1k Î，可知：当1k =时，AF DG ×uuu r uuur取到最小值518-；解法二：以B 为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示，则()()()()11,0,0,0,0,1,1,1,,13A B C D E æö---ç÷èø，可得()()11,0,0,1,,13BA BC BE æö=-==-ç÷èøuuu r uuu r uuu r ，因为(),BE BA BC l m l m =+=-uuu r uuu r uuu r ，则131l m ì-=-ïíï=î，所以43l m +=；因为点F 在线段1:3,,03BE y x x éù=-Î-êúëû上，设()1,3,,03F a a a éù-Î-êúëû，且G 为AF 中点，则13,22a G a -æö-ç÷èø，可得()131,3,,122a AF a a DG a +æö=+-=--ç÷èøuuu r uuur ，则()()22132331522510a AF DG a a a +æöæö×=+---=+-ç÷ç÷èøèøuuu r uuur ，且1,03a éùÎ-êúëû，所以当13a =-时，AF DG ×uuu r uuur 取到最小值为518-；故答案为：43；518-.15. 若函数()21f x ax =--+有唯一零点，则a 的取值范围为______．【答案】()(1-È【解析】【分析】结合函数零点与两函数的交点的关系，构造函数()g x =与()23,21,ax x a h x ax x a ì-³ïï=íï-<ïî，则两函数图象有唯一交点，分0a =、0a >与0a <进行讨论，当0a >时，计算函数定义域可得x a ³或0x £，计算可得(]0,2a Î时，两函数在y 轴左侧有一交点，则只需找到当(]0,2a Î时，在y 轴右侧无交点的情况即可得；当0a <时，按同一方式讨论即可得.【详解】令()0f x =，即21ax =--，由题可得20x ax -³，当0a =时，x ÎR，有211=--=，则x =±当0a >时，则23,2121,ax x a ax x a ì-³ïï--=íï-<ïî，即函数()g x =与函数()23,21,ax x a h x ax x a ì-³ïï=íï-<ïî有唯一交点，由20x ax -³，可得x a ³或0x £，当0x £时，则20ax -<，则211ax ax =--=-，即()22441x ax ax -=-，整理得()()()2242121210a xax a x a x éùéù---=++--=ëûëû，当2a =时，即410x +=，即14x =-，当()0,2a Î，12x a =-+或102x a=>-（正值舍去），当()2,a Î+¥时，102x a =-<+或102x a=<-，有两解，舍去，即当(]0,2a Î时，210ax --+=在0x £时有唯一解，则当(]0,2a Î时，210ax --+=在x a ³时需无解，当(]0,2a Î，且x a ³时，由函数()23,21,ax x ah x ax x a ì-³ïï=íï-<ïî关于2x a =对称，令()0h x =，可得1x a =或3x a =，且函数()h x 在12,a a æöç÷èø上单调递减，在23,a a æöç÷èø上单调递增，令()g x y ==，即2222142a x y a a æö-ç÷-ø=è，故x a ³时，()g x 图象为双曲线()222214y x a a -=右支的x 轴上方部分向右平移2a 所得，由()222214y x a a-=的渐近线方程为22a y x x a =±=±，即()g x 部分的渐近线方程为22a y x æö=-ç÷èø，其斜率为2，又(]0,2a Î，即()23,21,ax x ah x ax x a ì-³ïï=íï-<ïî在2x a ³时的斜率(]0,2a Î，令()0g x ==，可得x a =或0x =（舍去），且函数()g x 在(),a +¥上单调递增，故有13a aa a ì<ïïíï>ïî，解得1a <<，故1a <<符合要求；当a<0时，则23,2121,ax x a ax x a ì-£ïï--=íï->ïî，即函数()g x =与函数()23,21,ax x a h x ax x a ì-£ïï=íï->ïî有唯一交点，由20x ax -³，可得0x ³或x a £，当0x ³时，则20ax -<，则211ax ax =--=-，即()22441x ax ax -=-，整理得()()()2242121210a xax a x a x éùéù---=++--=ëûëû，当2a =-时，即410x -=，即14x =，当()2,0a Î-，102x a =-<+（负值舍去）或102x a=-，当(),2a Î-¥时，102x a =->+或102x a=>-，有两解，舍去，即当[)2,0a Î-时，210ax --+=在0x ³时有唯一解，则当[)2,0a Î-时，210ax --+=在x a £时需无解，当[)2,0a Î-，且x a £时，由函数()23,21,ax x ah x ax x a ì-£ïï=íï->ïî关于2x a =对称，令()0h x =，可得1x a =或3x a =，且函数()h x 在21,a a æöç÷èø上单调递减，在32,a a æöç÷èø上单调递增，同理可得：x a £时，()g x 图象为双曲线()222214y x a a -=左支的x 轴上方部分向左平移2a 所得，()g x 部分渐近线方程为22a y x æö=-+ç÷èø，其斜率为2-，又[)2,0a Î-，即()23,21,ax x ah x ax x a ì-³ïï=íï-<ïî在2x a <时的斜率[)2,0a Î-，令()0g x ==，可得x a =或0x =（舍去），的且函数()g x 在(),a -¥上单调递减，故有13a aa aì>ïïíï<ïî，解得1a <<-，故1a <<-符合要求；综上所述，()(1a Î-U .故答案：()(1-È.【点睛】关键点点睛：本题关键点在于将函数()f x 的零点问题转化为函数()g x =与函数()23,21,ax x ah x ax x a ì-³ïï=íï-<ïî的交点问题，从而可将其分成两个函数研究.三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16. 在ABC V 中，92cos 5163a Bbc ===，，．（1）求a ；（2）求sin A ；（3）求()cos 2B A -．【答案】（1）4 （2（3）5764【解析】【分析】（1）2,3a t c t ==，利用余弦定理即可得到方程，解出即可；（2）法一：求出sin B ，再利用正弦定理即可；法二：利用余弦定理求出cos A ，则得到sin A ；（3）法一：根据大边对大角确定A 为锐角，则得到cos A ，再利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可；法二：直接利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可.【小问1详解】设2,3a t c t ==，0t >，则根据余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，为即229254922316t t t t =+-´´´，解得2t =（负舍）；则4,6a c ==.【小问2详解】法一：因为B为三角形内角，所以sin B ===，再根据正弦定理得sin sin a b A B =，即4sin A =sin A =法二：由余弦定理得2222225643cos22564bc a A bc +-+-===´´，因为()0,πA Î，则sin A ==小问3详解】法一：因为9cos 016B =>，且()0,πB Î，所以π0,2B æöÎç÷èø，由（2）法一知sin B =，因为a b <，则A B <，所以3cos 4A ==，则3sin 22sin cos 24A A A ===，2231cos 22cos 12148A A æö=-=´-=ç÷èø()1957cos 2cos cos 2sin sin 281664B A B A B A -=+=´+=.法二：3sin 22sin cos 24A A A ===，则2231cos 22cos 12148AA æö=-=´-=ç÷èø，因为B 为三角形内角，所以sinB ===所以()9157cos 2cos cos 2sin sin 216864B A B A B A -=+=´=【17. 已知四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为梯形，//AB CD ，1A A ^平面ABCD ，AD AB ^，其中12,1AB AA AD DC ====．N 是11B C 的中点，M 是1DD 的中点．（1）求证1//D N 平面1CB M ；（2）求平面1CB M 与平面11BB CC 的夹角余弦值；（3）求点B 到平面1CB M 的距离．【答案】（1）证明见解析（2（3【解析】【分析】（1）取1CB 中点P ，连接NP ，MP ，借助中位线的性质与平行四边形性质定理可得1N//D MP ，结合线面平行判定定理即可得证；（2）建立适当空间直角坐标系，计算两平面的空间向量，再利用空间向量夹角公式计算即可得解；（3）借助空间中点到平面的距离公式计算即可得解.【小问1详解】取1CB 中点P ，连接NP ，MP ，由N 是11B C 的中点，故1//NP CC ，且112NP CC =，由M 是1DD 的中点，故1111122D M DD CC ==，且11//D M CC ，则有1//D M NP 、1D M NP =，故四边形1D MPN 是平行四边形，故1//D N MP ，又MP Ì平面1CB M ，1D N Ë平面1CB M ，故1//D N 平面1CB M ；【小问2详解】以A 为原点建立如图所示空间直角坐标系，有()0,0,0A 、()2,0,0B 、()12,0,2B 、()0,1,1M 、()1,1,0C 、()11,1,2C ，则有()11,1,2CB =-uuur 、()1,0,1CM =-uuuu r 、()10,0,2BB =uuur，设平面1CB M 与平面11BB CC 的法向量分别为()111,,m x y z =r 、()222,,n x y z =r，则有111111200m CB x y z m CM x z ì×=-+=ïí×=-+=ïîuuur r uuuu r r ，1222122020n CB x y z n BB z ì×=-+=ïí×==ïîuuur r uuur r ，分别取121x x ==，则有13y =、11z =、21y =，20z =，即()1,3,1m =r 、()1,1,0n =r，则cos ,m =r ，故平面1CB M 与平面11BB CC；【小问3详解】由()10,0,2BB =uuur ，平面1CB M 的法向量为()1,3,1m =r，=即点B 到平面1CB M.18. 已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>椭圆的离心率12e =．左顶点为A ，下顶点为B C ，是线段OB 的中点，其中ABC S △．（1）求椭圆方程．（2）过点30,2æö-ç÷èø的动直线与椭圆有两个交点P Q ，．在y 轴上是否存在点T 使得0TP TQ ×£uur uuu r 恒成立．若存在求出这个T 点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由．【答案】（1）221129x y +=（2）存在()30,32T t t æö-££ç÷èø，使得0TP TQ ×£uur uuu r 恒成立.【解析】【分析】（1）根据椭圆的离心率和三角形的面积可求基本量，从而可得椭圆的标准方程.（2）设该直线方程为：32y kx =-，()()()1122,,,,0,P x y Q x y T t ， 联立直线方程和椭圆方程并消元，结合韦达定理和向量数量积的坐标运算可用,k t 表示TP TQ ×uur uuu r，再根据0TP TQ ×£uur uuu r 可求t 的范围.【小问1详解】因为椭圆的离心率为12e =，故2a c =，b =，其中c 为半焦距，所以()()2,0,0,,0,A c B C æ-ççè，故122ABC S c =´=△故c =a =，3b =，故椭圆方程为：221129x y +=.【小问2详解】若过点30,2æö-ç÷èø的动直线的斜率存在，则可设该直线方程为：32y kx =-，设()()()1122,,,,0,P x y Q x y T t ，由22343632x y y kx ì+=ïí=-ïî可得()223412270k x kx +--=，故()222Δ144108343245760k kk=++=+>且1212221227,,3434k x x x x k k +==-++而()()1122,,,TP x y t TQ x y t =-=-uur uuu r，故()()121212123322TP TQ x x y t y t x x kx t kx t æöæö×=+--=+----ç÷ç÷èøèøuur uuu r ()()22121233122kx x k t x x t æöæö=+-++++ç÷ç÷èøèø()22222731231342342k k k t t k k æöæöæö=+´--+´++ç÷ç÷ç÷++èøèøèø()2222222327271812332234k k k t t t k k æö----++++ç÷èø=+()22223321245327234t t k t k æöéù+--++-ç÷ëûèø=+，因为0TP TQ ×£uur uuu r 恒成立，故()223212450332702t t t ì+--£ïíæö+-£ïç÷èøî，解得332t -££.若过点30,2æö-ç÷èø的动直线的斜率不存在，则()()0,3,0,3P Q -或()()0,3,0,3P Q -，此时需33t -££，两者结合可得332t -££.综上，存在()30,32T t t æö-££ç÷èø，使得0TP TQ ×£uur uuu r 恒成立.【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的范围问题，往往需要用合适的参数表示目标代数式，表示过程中需要借助韦达定理，此时注意直线方程的合理假设.19. 已知数列{}n a 是公比大于0的等比数列．其前n 项和为n S ．若1231,1a S a ==-．（1）求数列{}n a 前n 项和n S ；（2）设11,2,kn n k k k n a b b k a n a -+=ì=í+<<î，11b =，其中k 是大于1的正整数．（ⅰ）当1k n a +=时，求证：1n k n b a b -³×；（ⅱ）求1nS i i b =å．【答案】（1）21n n S =- （2）①证明见详解；②()131419nn S ii n b=-+=å【解析】【分析】（1）设等比数列{}n a 的公比为0q >，根据题意结合等比数列通项公式求q ，再结合等比数列求和公式分析求解；（2）①根据题意分析可知12,1k k n a b k -==+，()121n k k b -=-，利用作差法分析证明；②根据题意结合等差数列求和公式可得()()1211213143449k k k k i i b k k ---=éù=---ëûå，再结合裂项相消法分析求解.【小问1详解】设等比数列{}n a 的公比为0q >，因为1231,1a S a ==-，即1231a a a +=-，可得211q q +=-，整理得220q q --=，解得2q =或1q =-（舍去），所以122112nn n S -==--.【小问2详解】（i ）由（1）可知12n n a -=，且N*,2k k γ，当124kk n a +=³=时，则111221111k k k k k a n n a a -++ì=<-=-í-=-<î，即11k k a n a +<-<可知12,1k k n a b k -==+，()()()1111222121k k k n a k k b b a a k k k k --+=+--×=+-=-，可得()()()()1112112122120kn k n k k k k k k k k b k a b ---=--+=--³--=-׳-，当且仅当2k =时，等号成立，所以1n k n b a b -³×；（ii ）由（1）可知：1211nn n S a +=-=-，若1n =，则111,1S b ==；若2n ³，则112k k k a a -+-=，当1221k k i -<£-时，12i i b b k --=，可知{}i b 为等差数列，可得()()()111211112221122431434429k k k k k k k k i i b k kk k k -------=-éù=×+=×=---ëûå，所以()()()232113141115424845431434499nnS n n i i n b n n -=-+éù=+´-´+´-´+×××+---=ëûå，且1n =，符合上式，综上所述：()131419nn S ii n b=-+=å.【点睛】关键点点睛：1.分析可知当1221k k i -<£-时，12i i b b k --=，可知{}i b 为等差数列；2.根据等差数列求和分析可得()()1211213143449k k k k i i b k k ---=éù=---ëûå.20. 设函数()ln f x x x =．（1）求()f x 图象上点()()1,1f 处切线方程；（2）若()(f x a x ³在()0,x ¥Î+时恒成立，求a 的取值范围；（3）若()12,0,1x x Î，证明()()121212f x f x x x -£-．【答案】（1）1y x =- （2）{}2（3）证明过程见解析【解析】【分析】（1）直接使用导数的几何意义；（2）先由题设条件得到2a =，再证明2a =时条件满足；（3）先确定()f x 的单调性，再对12,x x 分类讨论.【小问1详解】的由于()ln f x x x =，故()ln 1f x x =¢+.所以()10f =，()11f ¢=，所以所求的切线经过()1,0，且斜率为1，故其方程为1y x =-.【小问2详解】设()1ln h t t t =--，则()111t h t t t¢-=-=，从而当01t <<时()0h t ¢<，当1t >时()0h t ¢>.所以()h t 在(]0,1上递减，在[)1,+¥上递增，这就说明()()1h t h ³，即1ln t t -³，且等号成立当且仅当1t =.设()()12ln g t a t t =--，则()((ln 12ln f x a x x x a x x a x g æö--=-=-=×ç÷øè.当()0,x ¥Î+的取值范围是()0,¥+，所以命题等价于对任意()0,t ¥Î+，都有()0g t ³.一方面，若对任意()0,t ¥Î+，都有()0g t ³，则对()0,t ¥Î+有()()()()112012ln 12ln 1212g t a t t a t a t at a t t t æö£=--=-+£-+-=+--ç÷èø，取2t =，得01a £-，故10a ³>.再取t =，得2022a a a £+-=-=-，所以2a =.另一方面，若2a =，则对任意()0,t ¥Î+都有()()()212ln 20g t t t h t =--=³，满足条件.综合以上两个方面，知a 的取值范围是{}2.【小问3详解】先证明一个结论：对0a b <<，有()()ln 1ln 1f b f a a b b a-+<<+-.证明：前面已经证明不等式1ln t t -³，故lnln ln ln ln ln ln 1ln 1bb b a a a b a aa b b b b b a b a a --=+=+<+---，且1lnln ln ln ln ln ln ln 1ln 11a a b b a a b b b a b b a a a a a a b a b a bbæö---ç÷--èø=+=+>+=+----，所以ln ln ln 1ln 1b b a aa b b a -+<<+-，即()()ln 1ln 1f b f a a b b a-+<<+-.由()ln 1f x x =¢+，可知当10ex <<时()0f x ¢<，当1e x >时()0f x ¢>.所以()f x 在10,eæùçúèû上递减，在1e ,éö+¥÷êëø上递增.不妨设12x x £，下面分三种情况（其中有重合部分）证明本题结论.情况一：当1211ex x ££<时，有()()()()()()122122121ln 1f x f x f x f x x x x x x -=-<+-<-<情况二：当1210ex x <££时，有()()()()12121122ln ln f x f x f x f x x x x x -=-=-.对任意的10,e c æùÎçúèû，设()ln ln x x x c c j =--()ln 1x x j =+¢.由于()x j ¢单调递增，且有11110j =+<+=-+=¢，且当2124ln 1x c c ³-æö-ç÷èø，2cx >2ln 1c ³-可知()2ln 1ln 1ln 102c x x c j æö=+>++=-³ç÷èø¢.所以()x j ¢在()0,c 上存在零点0x ，再结合()x j ¢单调递增，即知00x x <<时()0x j ¢<，0x x c <<时()0x j ¢>.故()x j 在(]00,x 上递减，在[]0,x c 上递增.①当0x x c ££时，有()()0x c j j £=；②当00x x <<112221e e f f cæö=-£-=<ç÷èø，故我们可以取1,1q c öÎ÷ø.从而当201cx q <<->()1ln ln ln ln 0x x x c c c c c c q cj ö=-<-<--=-<÷ø.再根据()x j 在(]00,x 上递减，即知对00x x <<都有()0x j <；综合①②可知对任意0x c <£，都有()0x j £，即()ln ln 0x x x c c j =--£.根据10,ec æùÎçúèû和0x c <£的任意性，取2c x =，1x x =，就得到1122ln ln 0x x x x -£.所以()()()()12121122ln ln f x f x f x f x x x x x -=-=-£.情况三：当12101ex x <££<时，根据情况一和情况二讨论，可得()11e f x f æö-££ç÷èø，()21e f f x æö-££ç÷èø而根据()f x 的单调性，知()()()1211e f x f x f x f æö-£-ç÷èø或()()()1221e f x f xf f x æö-£-ç÷èø.故一定有()()12f x f x -£成立.综上，结论成立.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于第3小问中，需要结合()f x 的单调性进行分类讨论.的。
2023年全国乙卷文科高考数学试题+答案解析
绝密★启用前2023年普通高等学校招生全国统一考试(全国乙卷∙文科)数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.2+i 2+2i 3 =()A.1B.2C.5D.5【答案】C【解析】∵2+i 2+2i 3=2-2i -1=1-2i ，∴|2+i 2+2i 3|=1-2i =12+(-2)2=5，选C 。
2.设全集U ={0,1,2,4,6,8},集合M ={0,4,6},N ={0,1,6},则M ⋃C U N =()A.{0,2,4,6,8} B.{0,1,4,6,8}C.{1,2,4,6,8}D.U【答案】A【解析】∵N ={2,4,8},∴M ⋃C U N ={0,2,4,6,8}，选A.3.如图，网格纸上绘制的一个零件的三视图，网格小正方形的边长为1，则该零件的表面积为()A.24B.26C.28D.30【答案】D【解析】如图所示，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =BC =2, AA 1=3,点H ,I ,J ,K 为所在棱上靠近点B 1，C 1，D 1，A 1的三等分点，O ,L ,M ,N 为所在棱的中点，则三视图所对应的几何体为长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1去掉长方体ONIC 1-LMHB 1之后所得的几何体，该几何体表面积为：2×(2×2)+4×(2×3)-2×(1×1)=30，选D 。
4.在△BC 中，内角A,B,C 的对边分别是a,b,c,若acosB -bcosA =c,且C =π5，则∠B =()A.π10B.π5C.3π10D.2π5【答案】C【解析】∵sinAcosB -sinBcosA =sinC,即sinAcosB -sinBcosA =sin (A +B )=sinAcosBsinBcosA,∴sinBcosA =0,∵B ∈(0，π)，∴sinB >0,∴cosA =0,A =π2，∴B =π-A -C =3π10，选C 。
高考数学考前复习注意事项
高考数学考前复习注意事项高考数学考前复习注意事项1、要有针对性地做题，典型的题目，应该规范地完成，同时还应了解自己，有选择地做一些课外的题。
2、要循序渐进，由易到难，要对做过了典型题目有一定的体会和变通，即按“学、练、思、结”程序对待典型的问题，这样做能起到事半功倍的效果。
3、是无论是作业还是测验，都应把准确性放在第一位，通法放在第一位，而不是一味地去追求速度或技巧，也是学好数学的重要问题。
4、独立思考是数学的灵魂，遇到不懂或困难的问题时，要坚持独立思考，不轻易问人，不要一遇到不会的东西就马上去问别人，自己不动脑子，专门依赖别人，而是要自己先认真地思考一下，依靠自己的努力克服其中的某些困难，经过很大的努力仍不能解决的问题，再虚心请教别人，请教时，不要把问题问得太透。
学会提出问题，提出问题往往比解决问题更难，而且也更重要。
高考复习数学的建议这是一门非常讲究临场战略的学科。
而在上考场之前，更重要的是夯实基础，以不变应万变。
大家刚入高中时可能会觉得数学的函数什么的比较抽象，大脑的接受速度没有那么快。
实际上完全不需要担心，数学知识的内化过程是：总从开始看到新概念的不明觉厉到剥去外壳抓住本质后的心安理得。
最重要的是，去明白为什么，理解得慢也没关系，只要不断的思考，然后辅以相应的练习去开拓思路，对于这个知识点的脑回路痕迹就会加深，真正做到得心应手。
还有一点，就是要仔仔细细看清楚题目，都会做但是数字搞错了，或者做到后面忘了题目是什么，没有把要求的东西回答出来，就相当于前功尽弃。
高考数学的解题方法有哪些审题要认真仔细高考数学中解题最重要的环节是审题。
审题的第一步是读题，这是获取信息量和思考的过程。
读题要慢，一边读一边想，应特别注意每一句话的内在涵义，并从中找出隐含条件。
有些考生没有养成读题、思考的习惯，心里着急，匆匆一看，就开始解题，结果常常是漏掉了一些信息，花了很长时间解不出来，还找不到原因，想快却慢了。
所以，在高考数学的实际解题时，应特别注意，审题要认真仔细。
高考数学考试注意事项
高考数学考试注意事项
高考数学考试是一项重要的考试，以下是一些注意事项： 1. 熟悉考试内容：认真复习考试大纲中的数学知识点，确保自己对所有考点都有一定的掌握。
2. 做好时间管理：在考试中合理安排时间，确保每道题都有足够的时间去思考和解答。
如果遇到难题，可以先跳过，等做完其他题目后再回过头来解决。
3. 仔细审题：在做题之前，认真阅读题目，理解题意，确保自己知道要求什么。
注意题目中的条件和限制，避免因为粗心而导致错误。
4. 注意计算准确性：数学考试中有很多计算题，要注意计算的准确性。
在计算过程中要认真仔细，避免因为粗心而导致错误。
5. 书写规范：在考试中要注意书写规范，尤其是数学符号和公式的书写。
清晰、规范的书写可以避免因为卷面不整洁而影响得分。
6. 检查答案：在做完所有题目后，要认真检查答案，确保没有遗漏或错误的地方。
7. 遵守考试规则：在考试中要遵守考试规则，不得抄袭或作弊。
如果被发现作弊，将会受到严厉的惩罚。
8. 保持良好心态：高考数学考试可能会比较紧张，但要保持良好的心态，不要过分紧张或焦虑。
相信自己的能力，认真答题，发挥出自己的最佳水平。
希望以上注意事项对你有所帮助，祝你在高考数学考试中取得好成绩！。
高考数学必考题型及答题技巧
高考数学必考题型及答题技巧高考数学必考题型及答题技巧汇总数学这个学科可能是很多人从小到大心中的恐惧,因为它复杂难理解,尤其是文科生，以下是小编整理的一些高考数学必考题型及答题技巧，欢迎阅读参考。
高考数学答题注意事项(1)填写好全部考生信息，检查试卷有无问题;(2)调节情绪，尽快进入考试状态，可解答那些一眼就能看得出结论的简单选择或填空题(一旦解出，信心倍增，情绪立即稳定);(3)对于不能立即作答的题目，可一边通览，一边粗略地分为a、b两类：a类指题型比较熟悉、容易上手的题目;b类指题型比较陌生、自我感觉有困难的题目，做到心中有数。
高考数学填空题答题技巧1、三角变换与三角函数的性质问题解题方法：①不同角化同角;②降幂扩角;③化f(x)=Asin(ωx+φ)+h ;④结合性质求解。
答题步骤：①化简：三角函数式的化简，一般化成y=Asin(ωx+φ)+h的形式，即化为“一角、一次、一函数”的形式。
②整体代换：将ωx+φ看作一个整体，利用y=sin x，y=cos x的性质确定条件。
③求解：利用ωx+φ的范围求条件解得函数y=Asin(ωx+φ)+h的性质，写出结果。
2、解三角形问题解题方法：(1) ①化简变形;②用余弦定理转化为边的关系;③变形证明。
(2) ①用余弦定理表示角;②用基本不等式求范围;③确定角的取值范围。
答题步骤：①定条件：即确定三角形中的已知和所求，在图形中标注出来，然后确定转化的方向。
②定工具：即根据条件和所求，合理选择转化的工具，实施边角之间的互化。
③求结果。
3、数列的通项、求和问题解题方法：①先求某一项，或者找到数列的关系式;②求通项公式;③求数列和通式。
答题步骤：①找递推：根据已知条件确定数列相邻两项之间的关系，即找数列的递推公式。
②求通项：根据数列递推公式转化为等差或等比数列求通项公式，或利用累加法或累乘法求通项公式。
③定方法：根据数列表达式的结构特征确定求和方法(如公式法、裂项相消法、错位相减法、分组法等)。
高考数学考前注意事项
高考数学考前注意事项
数学作为高考科目之一，对于许多考生来说，是一道难以逾越的坎。
但是，只要我们在考前注意一些细节，就能够更好地应对数学考试。
以下是一些考前注意事项：
1.复习策略
在考试前的复习中，要注意制定科学合理的复习计划。
要有针对性地复习重点知识点，并且不要忽略一些小的易错点。
同时，要善于总结，将自己的错题整理出来，加以巩固和强化。
此外，要注意调整好心态，保持平和的心态，不要过度紧张。
2.时间分配
在考试中，时间分配非常重要。
我们要在规定时间内完成试卷，因此要在做题前合理地安排时间。
对于一些大题，可以先粗略地计算一下需要的时间，然后再决定是否先做这道题。
在做题中，要注意时间的分配，不要花太多时间在一道题上，要把握好时间节奏。
3.注意审题
在解题过程中，要先认真审题，弄清楚题目的意思和要求，不要漏看细节。
在做选择题时，要注意看清楚每个选项的含义，不要出现选错的情况。
4.留白
在做题时，要注意留白。
如果不确定的地方，可以先将答案标记出来，方便复查。
同时，要注意写字规范，避免因字写得太潦草而导致丢分。
5.检查
做完试卷后，一定要留出足够的时间进行检查。
在检查过程中，要注意排版格式、计算过程、计算结果等方面的错误。
要仔细地检查每一道题，确保没有漏做和计算错误。
在考前，我们要认真复习，合理分配时间，注意审题留白，以及仔细检查。
相信只要我们在考前注意这些细节，就能够更好地应对数学考试。
加油！。
高考数学考前注意事项
高考数学考前注意事项（2021届棠中）一、考场上的答题原则：1、答题的基本总则：平常心，快思维，慢动笔。
即心态不急不慢、不慌不忙；大脑高速运转，多找方法，往往想到两三种方法后，再选择最佳解题策略，速度与准确度才能达到最佳状态；解答题动笔需谨慎，在确定方法后，快速设计好最佳解题步骤；2、“难易搭配”答题原则：考试题的基本设计理念是3：5：2的比例，即3成简单题，5成中档题，2成难题。
但简单题却不是送分题，特别是新高考主要考察思维的背景下，肯定需要动点脑筋。
所以，为保障得分的基本盘，前三题决不能失误，4-7多想方法（如代入法、特殊值法、图像法等），减少失误。
9-12多选题常用排除法，最简单的多选题争取拿满分，其他的多选题当单选题做，选出最有把握的那一个即可，目标就是2分以及为后面大题节省出时间，重视速度与准确度的完美结合。
填空题的前三个保证做对一到两题。
大题的前四个，基本搞定三个，剩余一个和最后两个大题，只需做第一问，不要空白。
如有余力，第二问的步骤分也可以争取。
3、“命题心理”原则：也就是，要习惯站在命题人的视角，看问题：既能统揽全局，又能深入细致发现每个小题的设置的微妙。
一份好的数学试题，不可能有有任何一个字符浪费，哪怕一个标点符号。
选择题选项的设置、考点的分布、数列和三角的考点与常用方法，解析几何的数形结合，压轴题容易得的前3分等等。
以八省联考为例，前四个中低档的大题，会有一个奇葩的大兴机场为背景的立体几何问题，但考察的空间想象、举例归纳、数形结合等思想不变。
二、考场上的常见问题：1、进入考场落座后，发卷前太清闲了，怎么办？发卷后，开考前，应该先干啥？建议发卷前，先做个游戏，猜猜试卷是如何分配各个考点的，如数列三角立体几何概率统计解析几何函数导数，以及集合逻辑复数不等式向量计数原理二项式定理等7大个专题是怎样分布的。
最大的好处，是提前启动数学思维，进入解题状态。
至于发卷后，开考前的两三分钟，则是以统览试卷为主，瞄准自己的容易失分的灰色地带，给自己提前打预防针。
高中数学 考前注意
高中数学考前注意
1、考前做“熟题”找感觉
挑选部分有代表性的习题演练一遍，体会如何运用基础知识解决问题，提炼具有普遍性的解题方法，以不变应万变最重要。
掌握数学思想方法可从两方面入手：一是归纳重要的数学思想方法;
二是归纳重要题型的解题方法。
还要注意典型方法的适用范围和使用条件，防止形式套用时导致错误。
2、顺应时间安排
数学考试安排在下午，故而考生平时复习数学的时间也尽量安排在下午时段。
每天必须坚持做适量的练习，特别是重点和热点题型，保持思维的灵活和流畅。
3、考前调整、休养生息
调整生物钟，中午、晚上睡好睡足，确保考时大脑和全身的生理机能充足，把数学的兴奋点移至下午，在考试时，使思维自动进入工作状态并迅速达到高潮。
休养生息，“静能生慧”，静中能悟，静中能记。
数学需要悟，不悟不可能提升，数学也有背的东西，不背你要吃亏。
4、清点考具，熟悉环境，提前活动
清点考具在赴考离家前，备有专用的考试用具包。
熟悉环境在试坐中，包括考场内外环境，座位四周考生，座位课椅状况。
提前活动指准备提前半小时到考点，以防路况有变。
高考数学应试技巧和注意事项
高考数学应试技巧和注意事项高考数学是高中阶段最重要的科目之一，也是考生最为关注的科目之一。
在高考数学中，考生需要掌握一定的应试技巧和注意事项，才能在考试中取得好成绩。
本文将从以下几个方面为大家介绍高考数学应试技巧和注意事项。
一、做好基础知识的复习高考数学考试的内容涉及到高中数学的各个方面，因此考生需要对高中数学的基础知识进行全面的复习。
在复习的过程中，要注重理解和记忆，掌握基本的概念、公式和定理，做到知识点的全面掌握。
二、掌握解题方法和技巧高考数学考试中，解题方法和技巧是非常重要的。
考生需要掌握各种解题方法和技巧，如代数运算、几何图形的分析、函数的性质等。
在解题的过程中，要注重思路的清晰和逻辑的严密，避免出现漏洞和错误。
三、注重练习和模拟考试高考数学考试是需要考生具备一定的解题能力和应试能力的。
因此，考生需要注重练习和模拟考试，提高自己的解题能力和应试能力。
在练习和模拟考试的过程中，要注重时间的掌握和答题技巧的运用，做到快速准确地解题。
四、注意考试中的细节问题高考数学考试中，还需要考生注意一些细节问题，如填涂答题卡的规范、计算器的使用、试卷的阅读等。
在考试中，要保持冷静、沉着，避免因紧张而出现错误。
五、注意考试中的常见错误高考数学考试中，考生常常会出现一些常见的错误，如计算错误、符号错误、概念混淆等。
因此，考生需要注意这些常见错误，避免在考试中出现。
六、注意考试中的心态问题高考数学考试是一项非常重要的考试，因此考生需要保持良好的心态。
在考试中，要保持自信、冷静、沉着，避免因紧张而出现错误。
同时，要注意调整好自己的心态，避免因考试成绩而影响自己的情绪。
高考数学考试是一项非常重要的考试，考生需要掌握一定的应试技巧和注意事项，才能在考试中取得好成绩。
希望本文能够对广大考生有所帮助，祝愿大家在高考数学考试中取得好成绩！。
2023 新高考数学2卷(完整版附答案)
绝密★启用前2023年普通高等学校招生全国统一考试数 学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在复平面内，(13i)(3i)+-对应的点位于 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．设集合{0,}A a =-，{1,2,22}B a a =--，若A B ⊆，则a =A ．2B ．1C ．23D ．1-3．某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有A ．4515400200C C ⋅种B ．2040400200C C ⋅种C ．3030400200C C ⋅种D ．4020400200C C ⋅种4．若21()()ln21x f x x a x -=++为偶函数，则a = A ．1-B ．0C ．12D ．15．已知椭圆2213x C y +=：的左、右焦点分别为1F ，2F ，直线y x m =+与C 交于A ，B 两点，若1F AB △的面积是2F AB △面积的2倍，则m =A ．23B ．3C ．3D ．23-6．已知函数()e ln x f x a x =-在区间(1,2)单调递增，则a 的最小值为 A ．2e B ．e C ．1e -D ．2e -7．已知α为锐角，1cos 4α=，则sin 2α=A ．38B ．18-+ C ．34D ．14- 8．记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若45S =-，6221S S =，则8S = A ．120 B ．85 C ．85- D ．120-二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
高三数学考试时需要注意什么事情
高三数学考试时需要注意什么事情考试才是检验学习成果的时候，再努力的学习，成绩才是王道，想要提高高三数学成绩，就要注意好考试。
下面是小编分享的高三数学考试时的注意事项，一起来看看吧。
高三数学考试时的注意事项调整好状态，控制好自我(1)保持清醒。
数学的考试时间在下午，建议同学们中午最好休息半个小时或一个小时，其间尽量放松自己，从心理上暗示自己：只有静心休息才能确保考试时清醒。
(2)按时到位。
今年的答题卡不再单独发放，要求答在答题卷上，但发卷时间应在开考前5-10分钟内。
建议同学们提前15-20分钟到达考场。
监考发卷后迅速摸清题情高考会提前五分钟发卷，这五分钟同学们不要答卷，先用一分钟填考试信息，接下来同学们就要尽快地摸清题情。
1、识别试卷中曾做过的，会做的题。
也要注意有没有可能会做，但是需要花大量的时间的题。
心里要立刻有一个答题的顺序。
2、舍得放弃，正确对待得与失。
万一遇到某个题从来都没有见过，可以大概看看是哪个类型，用什么方法能解决，这个题目是考察什么，迅速决定是否放弃。
如果觉得花两个小时也不一定能做出来，这个时候要舍得放弃，集中自己的精力，解决自己会做的问题，高考考得不是会多少，而是对多少。
提高解选择题的速度、填空题的准确度数学选择题是知识灵活运用，解题要求是只要结果、不要过程。
因此，逆代法、估算法、特例法、排除法、数形结合法……尽显威力。
12个选择题，若能把握得好，容易的一分钟一题，难题也不超过五分钟。
由于选择题的特殊性，由此提出解选择题要求“快、准、巧”，忌讳“小题大做”。
填空题也是只要结果、不要过程，因此要力求“完整、严密”。
一“慢”一“快”，相得益彰有些考生只知道考场上一味地要快，结果题意未清，条件未全，便急于解答，岂不知欲速则不达，结果是思维受阻或进入死胡同，导致失败。
应该说，审题要慢，解答要快。
审题是整个解题过程的“基础工程”，题目本身是“怎样解题”的信息源，必须充分搞清题意，综合所有条件，提炼全部线索，形成整体认识，为形成解题思路提供全面可靠的依据。
高考数学注意事项
高考数学注意事项高考数学对于许多考生来说是一场重要的战役，要想在这场战役中取得好成绩，除了平时的知识积累和练习，考试时的注意事项也至关重要。
以下是为大家总结的一些高考数学的注意事项。
一、考前准备1、复习资料的整理在临近高考的阶段，不要再盲目地做大量新题，而是要把之前做过的试卷、练习题以及笔记进行系统的整理和复习。
重点关注那些做错的题目，找出自己的薄弱环节，进行有针对性的强化训练。
2、熟悉考试大纲和考点明确高考数学的考试大纲和重点考点，做到心中有数。
对于常考的知识点，如函数、数列、三角函数、立体几何等，要进行反复的复习和巩固。
3、制定复习计划合理安排复习时间，制定详细的复习计划。
每天分配一定的时间用于复习数学，保持对数学知识的熟悉度和敏感度。
4、调整心态保持平和、积极的心态。
不要给自己过大的压力，相信自己的能力，以自信的状态迎接高考。
5、准备好考试用具提前准备好考试所需的文具，如 2B 铅笔、黑色中性笔、直尺、圆规、三角板等，并确保这些用具都能正常使用。
二、考试当天1、提前到达考场提前到达考场，熟悉考场环境，找到自己的座位，做好考试的准备。
避免因为迟到而影响考试的心情和状态。
2、考前热身在考试前的一段时间，可以做一些简单的数学题目，如算术运算、公式推导等，让自己的大脑进入数学思维的状态。
3、认真填写个人信息拿到试卷后，首先要认真填写个人信息，如姓名、考号等，确保信息准确无误。
三、答题过程1、认真审题仔细阅读题目，理解题意，明确题目要求。
注意题目中的关键词、限制条件和隐含条件，避免因为粗心大意而误解题目。
2、合理安排答题时间根据试题的难易程度和分值，合理分配答题时间。
对于容易的题目，要快速准确地完成；对于较难的题目，可以先跳过，等完成其他题目后再回来思考。
3、答题顺序建议按照试卷的顺序答题，但如果遇到某个难题卡住了，不要在上面浪费太多时间，可以先做后面的题目。
一般来说，选择题和填空题应该在 40-50 分钟内完成，剩下的时间用于解答题。
高考数学答题注意事项 数学高分答题建议
高考数学答题注意事项数学高分答题建议很多考生在数学科目上丢分的原因是计算失误、审题马虎、没有检验结果等，本文整理了一些数学科目的答题注意事项，供大家查阅参考。
高考数学答题注意事项数学高分答题建议1高考数学答题注意事项1.检查关键结果。
解题过程中得到关键结果，要审查一下这个结果有没有错。
一旦出错，后面的解答也是费力不讨好。
2. 难题不要怕，会多少写多少。
高考数学评卷的主观性很少，评分细则都是细分到每一分，就算不会做，写几个公式也能拿分。
3.“做快”≠“做对”。
数学高考应先将准确性放在第一位，不能一味地去追求速度或技巧。
狠抓基础题，先小题后大题，确保一次性成功。
4.数学没有倒扣分，不确定大题不要涂掉。
考试结束前几分钟，切记不要草率地把怀疑做错的大题的解答过程从答卷上涂掉，此时如果还有题目没有做，那么直接把你的分析过程写在答卷上。
2高考数学答题建议1.不少考生因公式书写错误而丢分。
建议考生在考前几天把所有重要的公式默写一遍，并注意公式的使用条件。
考试中万一对公式拿不准，可以先推理再引用。
2.计算失误也是考生失分的重要原因。
建议考生做小题时直接在试卷空白处整齐有序地打草稿，大题写在草稿纸上的步骤也要清晰明白，便于检查。
过程中间算出的答案要慎重检查，否则会影响余下过程的运算。
答题时关键步骤一定要写清楚。
3.考试中难免有些题拿不准。
对于完全没有思路的题，只要写出一些相关的公式或知识点，阅卷老师都会酌情给分。
考生应善于使用缺步解答、跳步解答、辅助解答等技巧，尽量争取得分。
避免出现在一道难题上耗时过多，却丢掉了本能够轻易回答容易题目的时间，这样就太得不偿失了。
同时，学生在碰到长时间难以解答的题目时，容易使得心情急躁，也会影响接下去考试的心情。
高考数学答题时间分配及注意事项
高考数学答题时间分配及注意事项高考是当今社会中最为重要的一项考试，其中数学是必考科目之一，考试时间为150分钟，总分为150分。
如何合理安排数学答题时间，成了每一位考生必须面对的难题。
本文将为广大考生们分享一些关于高考数学答题时间分配及注意事项的建议。
一、时间分配1. 认真审题（5分钟）在做完高考数学试卷前，花费五分钟认真审题是必要的。
应全面查看试卷，大致了解考试内容和难度，看清楚题目要求，扫描分值等信息。
正确的审题能够帮助考生正确掌握考试方向，有利于提高答题效率。
2. 快速解决易做问题（50分钟）在快速解决易做问题的过程中，应注重两个方面，第一是做单选和填空题，第二是做一些简单但却可以拿到一定分值的大题目。
这一部分需要高度集中精神、高效率地解决各类试题。
在这个部分中，应该合理运用速算技巧，比如三角函数的特殊值，二次函数的顶点公式等。
同时，在计算过程中要注意避开无意义计算和手误，提高答题准确率。
3. 前三大题（80分钟）前三大题是高考数学试卷中最大的三个题目，总分为75分。
花费80分钟解决这部分内容是很有必要的。
这个环节可以帮助考生解决一些较难的题目，并集中解决难题，获得更多的高分。
在考试的过程中，需要根据自己的情况灵活运用，把有些可以做出来的题目优先做好，保证拿到稳定的分数。
4. 最后一大题（15分钟）最后一大题占高考数学总分的10分，花费15分钟来解决这个部分是切实可行。
最后一部分一般是应用题或图形利用题，在考试的过程中需要保持冷静的思考，找出题目中的关键信息。
对于不确定的答案要进行必要的合理推测，在正确性的基础上留出适当的时间来进行检查。
二、一些注意事项时间的正确分配是获得高分的重要前提，除此之外还有一些其它的注意事项：1. 做题不要急躁做高考数学试卷时，一定要保持冷静，不卡壳，不急躁。
在做每道题的时候，都需要认真思考，消除紧张感，抓住题目亮点，耐心解决问题。
2. 注意小数点在高考数学的试卷中，小数点是十分重要的。
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高考数学考试注意事项
高考数学考试要注意：调整状态
1保持清醒。
数学的考试时间在下午，建议同学们中午最好休息半个小时或一个小时，其间尽量放松自己，从心理上暗示自己：只有静心休息才能确保考试时清醒。
2按时到位。
今年的答题卡不再单独发放，要求答在答题卷上，但发卷时间应在开考
前5-10分钟内。
建议同学们提前15-20分钟到达考场。
高考数学考试要注意：通览试卷
1保持清醒。
数学的考试时间在下午，建议同学们中午最好休息半个小时或一个小时，其间尽量放松自己，从心理上暗示自己：只有静心休息才能确保考试时清醒。
2按时到位。
今年的答题卡不再单独发放，要求答在答题卷上，但发卷时间应在开考
前5-10分钟内。
建议同学们提前15-20分钟到达考场。
高考数学考试要注意：提高选择题的速度、填空题的准确度
数学选择题是知识灵活运用，解题要求是只要结果、不要过程。
因此，逆代法、估算法、特例法、排除法、数形结合法……尽显威力。
12个选择题，若能把握得好，容易的一分钟一题，难题也不超过五分钟。
由于选择题的特殊性，由此提出解选择题要求“快、准、巧”，忌讳“小题大做”。
填空题也是只要结果、不要过程，因此要力求“完整、严密”。
高考数学考试要注意：审题要慢，做题要快
题目本身就是破解这道题的信息源，所以审题一定要逐字逐句看清楚，只有细致地审
题才能从题目本身获得尽可能多的信息。
找到解题方法后，书写要简明扼要，快速规范，不拖泥带水，牢记高考评分标准是按
步给分，关键步骤不能丢，但允许合理省略非关键步骤。
答题时，尽量使用数学语言、符号，这比文字叙述要节省而严谨。
高考数学考试要注意：保质保量拿下中下等题目
中下题目通常占全卷的80%以上，是试题的主要部分，是考生得分的主要来源。
谁能
保质保量地拿下这些题目，就已算是打了个胜仗，有了胜利在握的心理，对攻克高难题会
更放得开。
高考数学考试要注意：规范答题
会做的题目要特别注意表达的准确、考虑的周密、书写的规范、语言的科学，防止被“分段扣点分”。
难题要学会：
1缺步解答：聪明的解题策略是，将它们分解为一系列的步骤，或者是一个个小问题，能解决多少就解决多少，能演算几步就写几步。
特别是那些解题层次明显的题目，或者是
已经程序化了的方法，每进行一步得分点的演算都可以得分，最后结论虽然未得出，但分
数却已过半。
2跳步答题：解题过程卡在某一过渡环节上是常见的。
这时，我们可以假定某些结论
是正确的往后推，看能否得到结论，或从结论出发，看使结论成立需要什么条件。
如果方
向正确，就回过头来，集中力量攻克这一“卡壳处”。
如果时间不允许，那么可以把前面
的写下来，再写出“证实某步之后，继续有……”一直做到底，这就是跳步解答。
也许，
后来中间步骤又想出来，这时不要乱七八糟插上去，可补在后面。
若题目有两问，第一问
想不出来，可把第一问作“已知”，“先做第二问”，这也是跳步解答。
今年仍是网上阅卷，望广大考生规范答题，减少隐形失分。
感谢您的阅读，祝您生活愉快。