第五章：数学符号基础1

NUMDEN Numerator and denominator of a symbolic expression.
[N,D] = NUMDEN(A) converts each element of A to a rational form where the numerator and denominator are relatively prime polynomials with integer coefficients.
第五章符号数学基础
Chapter 5:Foundation of Symbolic Mathematics
一．符号对象的创建(Creating a symbolic object)
1.创建符号变量和表达式(Creating a symbolic variable and expression)
创建符号变量和表达式的两个基本函数：sym, syms
syms a b c d
n=[a b c d;b c d a;c d a b;d a b c]
n =
[ a, b, c, d]
[ b, c, d, a]
[ c, d, a, b]
[ d, a, b, c]
例2：将3阶Hilbert矩阵转换为符号矩阵。
h=hilb(3)
h1=sym(h)
h =
1.0000 0.5000 0.3333
f =
(x-1)*(x^2+x+1)*(x^6+x^3+1)
2 6 3
(x - 1) (x + x + 1) (x + x + 1)
例2：对大整数12345678901234567890进行因式分解。
factor(sym(‘12345678901234567890’))
ans =
(2)*(3)^2*(5)*(101)*(3803)*(3607)*(27961)*(3541)
[ -1/12*(-108+12*(12*a^3+81)^(1/2))^(1/3)+a/(-108+12*(12*a^3+81)^(1/2))^(1/3)-1/2*i*3^(1/2)*(1/6*(-108+12*(12*a^3+81)^(1/2))^(1/3)+2*a/(-108+12*(12*a^3+81)^(1/2))^(1/3))]
符号表达式的分式通分函数为[n,d]=numden(S),此函数将符号表达式转换为分子（Numerator）和分母（denominator）都是正系数的最佳多项式。
例：对表达式f=x/y+y/x进行通分。
syms x y
f=x/y+y/x;
[n,d]=numden(f)
n =
x^2+y^2
d =
y*x
2.符号表达式的替换(Replacing of symbolic expression)
MATLAB的符号数学工具箱提供了两个符号表达式的替换函数subexpr和subs，可通过符号替换使表达式的输出形式简化。
subexpr函数可将表达式中重复出现的字符串用变量代替。调用格式：
[Y,SIGMA]=subexpr(S,SIGMA):用变量SIGMA的值代替符号表达式S中重复出现的字符串，Y返回替换后的结果。
1.符号表达式的化简(Simplifying of symbolic expression)
(1).因式分解(Factorization)
符号表达式的因式分解函数为factor(S),可分解符号表达式S的各个元素。
例1：对表达式f=x9-1进行因式分解。
syms x
f=factor(x^9-1)
pretty(f)
r =
[ 1/6*s^(1/3)-2*a/s^(1/3)]
[ -1/12*s^(1/3)+a/s^(1/3)+1/2*i*3^(1/2)*(1/6*s^(1/3)+2*a/s^(1/3))]
ans =
x^5+5*x^4+10*x^3+10*x^2+5*x+1
ans =
sin(x)*cos(y)+cos(x)*sin(y)
(3).符号表达式的同类项合并(Similar team merging for symbolic expression)
符号表达式的同类项合并函数为collect(S,n)，此函数将符号表达式中自变量的同次幂项的系数合并。
例：对于表达式f=x(x(x-6)+12)t,分别将自变量x和t的同类项合并。
syms x t
f=x*(x*(x-6)+12)*t;
collect(f)
collect(f,t)
ans =
t*x^3-6*t*x^2+12*t*x
ans =
x*(x*(x-6)+12)*t
COLLECT Collect coefficients.
例：求解并化简三次方程x3+ax+1=0的符号解。
t=solve(‘x^3+a*x+1=0’)
[r,s]=subexpr(t,’s’)
t = [1/6*(-108+12*(12*a^3+81)^(1/2))^(1/3)-2*a/(-108+12*(12*a^3+81)^(1/2))^(1/3)]
[ -1/12*(-108+12*(12*a^3+81)^(1/2))^(1/3)+a/(-108+12*(12*a^3+81)^(1/2))^(1/3)+1/2*i*3^(1/2)*(1/6*(-108+12*(12*a^3+81)^(1/2))^(1/3)+2*a/(-108+12*(12*a^3+81)^(1/2))^(1/3))]
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MATLAB入门教程第四章数值计算功能（2）
Matlab入门教程第五章符号数学基础（2）
Matlab入门教程第五章符号数学基础（1）
软件2007-06-17 20:56:47阅读264评论0字号：大中小订阅
例1：求符号函数在不同自变量情况下的结果。
创建符号变量x和n，建立函数f=xn，然后分别求f对x和f对n的导数.
syms x n
f=x^n
diff(f) % x作为自变量，求f对x的导数
diff(f,n) % n作为自变量，求f对n的导数
f =
x^n
ans =
x^n*n/x
ans =
x^n*log(x)
*collect合并同类项
*factor函数实现因式分解
*convert函数完成表达式形式的转换
例2：最简表达式的获得。
syms x t
f=cos(x)^2-sin(x)^2;
[r,how]=simple(f)
r =
cos(2*x)
how =
combine
（5）符号表达式的分式通分(Reduction symbolic expression to common denominator)
horner(f)
ans =
-6+(11+(6+x)*x)*x
HORNER Horner polynomial representation.
HORNER(P) transforms the symbolic polynomial P into its Horner,
or nested, representation.
0.5000 0.3333 0.2500
0.3333 0.2500 0.2000
h1 =
[ 1, 1/2, 1/3]
[ 1/2, 1/3, 1/4]
[ 1/3, 1/4, 1/5]
注意符号矩阵于数值矩阵的区别。
3.默认符号变量(Implied symbolic variable)
在MATLAB的符号数学工具箱中，以最接近x的顺序排列默认自变量的顺序，可利用findsym函数对默认自变量进行查询。
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例2：查询符号函数中的默认自变量。
创建符号变量a,b, n, x和t，建立函数f=axn+bt，然后求f的默认自变量。
syms a b n t x
f=a*x^n+b*t
findsym(f,1)
findsym(f,2)
findsym(f,5) % f表达式中按最接近x顺序排列的5个默认自变量
findsym(f) % f表达式中按最接近字母顺序排列的全部自变量
COLLECT(S,v) regards each element of the symbolic matrix S as a
polynomial in v and rewrites S in terms of the powers of v.
COLLECT(S) uses the default variable determined by FINDSYM.
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(4).符号表达式的化简(Simplifying of symbolic expression)
符号表达式的两个化简函数：simplify，simple ,
simplify：化简函数,可用于化简各种表达式
例1：对表达式f=sin2(x)+cos2(x)进行化简.
syms x
f=sin(x)^2+cos(x)^2;
*x=sym(‘x’)创建一个符号变量x，可以是字符、字符串、表达式或字符表达式。
*syms用于方便地一次创建多个符号变量，调用格式为：syms a b c d .书写简洁意义清楚，建议使用。
例1：使用sym函数创建符号变量.
a=sym(‘a’)
b=sym( ‘hello’)
c=sym(( ‘(1+sqrt(5))/2’)
simplify(f)
ans =
1
[r,how]=simple(S)函数可寻找符号表达式S的最简型，r为返回的简化形式，how为化简过程中使用的主要方法，simple函数综合使用了下列化简方法：
*simplify函数对表达式进行化简
*radsimp函数对含根式(surd)的表达式进行化简
*combine函数对表达式中以求和、乘积、幂运算等形式出现的项进行合并
（2）符号表达式的展开(Expanding of symbolic expressions)
符号表达式的展开函数为expand(S),此函数因数展开符号表达式S.
例：展开表达式f=(x+1)5和f=sin(x+y)
syms x y
f=(x+1)^5;
expand(f)
f=sin(x+y);
expand(f)
y=sym( ‘x^3+5*x^2+12*x+20’)
a =
a
b =
hello
C =
(1+sqrt(5))/2
Y =
x^3+5*x^2+12*x+20
例2：用syms函数创建符号变量。
syms a b c d
2.创建符号矩阵(Symbolic matrix Creating)
例1：创建一个循环矩阵。
f =
a*x^n+b*t
ans =
x
ans =
x,t
ans =
x,t,n,b,a
ans =
a, b, n, t, x
>>
二.符号表达式的化简和替换(simplifying and replacing of Symbolic xpressions)
符号数学工具箱提供的符号表达式的因式分解、展开、合并、化简、通分等操作：
(6)符号表达式的嵌套形式重写（Representation of nested symbolic expression）
符号表达式的嵌套形式重写函数为horner(S),此函数将符号表达式转换为嵌套形式。
例：对表达式f=x3+6x2+11x-6进行嵌套形式重写。
syms x
f=x^3+6*x^2+11*x-6;