全国二卷理科数学高考真题及答案解析

2016年全国高考理科数学试题全国卷2一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1、已知z=(m+3)+(m –1)i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是( ) A ．(–3,1) B ．(–1,3) C ．(1,+∞) D ．(–∞,–3) 2、已知集合A={1,2,3}，B={x|(x+1)(x –2)<0，x ∈Z}，则A ∪B=( ) A ．{1} B ．{1,2} C ．{0,1,2,3} D ．{–1,0,1,2,3} 3、已知向量a =(1,m)，b =(3,–2)，且(a +b )⊥b ，则m=( ) A ．–8 B ．–6 C ．6 D ．8 ?4、圆x 2+y 2–2x –8y+13=0的圆心到直线ax+y –1=0的距离为1，则a=( )A ．–43B ．–34 C ． 3 D ．25、如下左1图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )A ．24B ．18C ．12D ．96、上左2图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为( ) A ．20π B ．24π C ．28π D ．32π7、若将函数y=2sin2x 的图像向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为( )"A ．x=kπ2–π6(k ∈Z)B ．x=kπ2+π6(k ∈Z)C ．x=kπ2–π12(k ∈Z)D ．x=kπ2+π12(k ∈Z)8、中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，上左3图是实现该算法的程序框图。

执行该程序框图，若输入的x=2，n=2，依次输入的a 为2，2，5，则输出的s=( )A ．7B ．12C ．17D ．34 9、若cos(π4–α)=35，则sin2α= ( )10、从区间[0,1]随机抽取2n 个数x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n ，构成n 个数对(x 1,y 1)，(x 2,y 2)，…，(x n ,y n )，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( ) A ．4n m B ．2n m C ．4m n D ．2m n11、已知F 1、F 2是双曲线E ：x 2a 2–y 2b 2=1的左，右焦点，点M 在E 上，MF 1与x 轴垂直，sin ∠MF 2F 1=13,则E 的离心率为( ) -A ． 2B ．32 C ．3 D ．212、已知函数f(x)(x ∈R)满足f(–x)=2–f(x)，若函数y=x+1x 与y=f(x)图像的交点为(x 1,y 1)，(x 2,y 2)，...(x m ,y m )，则1()miii x y =+=∑( )A ．0B ．mC ．2mD ．4m 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13、△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cosA=45，cosC=513，a=1，则b=___________． 14、α、β是两个平面，m ，n 是两条直线，有下列四个命题：(1)如果m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，那么α⊥β。

(2)如果m ⊥α，n ∥α，那么m ⊥n 。

(3)如果α∥β，m ⊂α，那么m ∥β。

{(4)如果m ∥n ，α∥β，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等。

其中正确的命题有____________________(填写所有正确命题的编号)。

15、有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是____________．16、若直线y=kx+b 是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=ln(x+1)的切线，则b=__________． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17、(本题满分12分)S n 为等差数列{a n }的前n 项和，且a 1=1，S 7=28。

记b n =[lga n ]，其中[x]表示不超过x 的最大整数，如[]=0，[lg99]=1． (1)求b 1，b 11，b 101；(2)求数列{b n }的前1 000项和．^、18、(本题满分12分)某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下：上年度出险次数 0 1 2 3 4 ≥5 !保费a2a/一年内出险次数0 1 2 3 4 ≥5 概率￥0. 05(1)(2)若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；（(3)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．19、(本小题满分12分)如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，AB=5，AC=6，点E 、F 分别在AD 、CD 上，AE=CF=54，EF 交BD 于点H ．将△DEF 沿EF 折到△D'EF 位置，OD'=10． (1)证明：D'H ⊥平面ABCD ； (2)求二面角B –D'A –C 的正弦值．20、(本小题满分12分)已知椭圆E ：x 2t +y 23=1的焦点在X 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为k(k>0)的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA ． ：(1)当t=4，|AM|=|AN|时，求△AMN 的面积； (2)当2|AM|=|AN|时，求k 的取值范围．21、(本小题满分12分)(1)讨论函数f(x)=x –2x+2e x 的单调性，并证明当x>0时，(x –2)e x +x+2>0；(2)证明：当a ∈[0,1)时，函数g(x)=e x –ax –ax 2(x>0)有最小值。

设g(x)的最小值为h(a)，求函数h(a)的值域．！请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号22、(本小题满分10分)[选修4–1：几何证明选讲]如图，在正方形ABCD 中，E 、G 分别在边DA ，DC 上(不与端点重合)，且DE=DG ，过D 点作DF ⊥CE ，垂足为F ． (1) 证明：B ，C ，G ，F 四点共圆；(2)若AB=1，E 为DA 的中点，求四边形BCGF 的面积．*23、(本小题满分10分)[选修4–4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x+6)2+y 2=25． (1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；(2)直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x=tcosαy=tsinα(t 为参数)，l 与C 交于A ，B 两点，|AB|=10，求l 的斜率．24、(本小题满分10分)[选修4–5：不等式选讲]已知函数f(x)=|x –12|+|x+12|，M 为不等式f(x)<2的解集． (1)求M ；(2)证明：当a ，b ∈M 时，|a+b|<|1+ab|．#/$参考答案1、解析：∴m+3>0，m –1<0，∴–3<m<1，故选A ．2、解析：B={x|(x+1)(x –2)<0，x ∈Z}={x|–1<x<2，x ∈Z}，∴B={0,1}，∴A ∪B={0,1,2,3}，故选C ．3、解析： 向量a +b =(4,m –2)，∵(a +b )⊥b ，∴(a +b )·b =10–2(m –2)=0，解得m=8，故选D ．)4、解析：圆x 2+y 2–2x –8y+13=0化为标准方程为：(x –1)2+(y –4)2=4，故圆心为(1,4)，d=|a+4–1|a 2+1=1，解得a=–43，故选A ．5、解析一：E→F 有6种走法，F→G 有3种走法，由乘法原理知，共6×3=18种走法，故选B ．解析二：由题意，小明从街道的E 处出发到F 处最短有C 条路，再从F 处到G 处最短共有C 条路，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为C·C=18条，故选B 。

6、解析：几何体是圆锥与圆柱的组合体，设圆柱底面圆半径为r ，周长为c ，圆锥母线长为l ，圆柱高为h ． "由图得r=2，c=2πr=4π，由勾股定理得：l =22+(23)2=4，S 表=πr 2+ch+12c l =4π+16π+8π=28π，故选C ．7、解析：由题意，将函数y=2sin2x 的图像向左平移π12个单位得y=2sin2(x+π12)=2sin(2x+π6)，则平移后函数的对称轴为2x+π6=π2+kπ，k ∈Z ，即x=π6+kπ2，k ∈Z ，故选B 。

8、解析：第一次运算：s=0×2+2=2，第二次运算：s=2×2+2=6，第三次运算：s=6×2+5=17，故选C ．9、解析：∵cos(π4–α)=35，sin2α=cos(π2–2α)=2cos 2(π4–α)–1=725，故选D ． 解法二：对cos(π4–α)=35展开后直接平方 .解法三：换元法10、解析：由题意得：(x i ,y i )(i=1，2，3，...，n)在如图所示方格中，而平方和小于1的点均在如图的阴影中由几何概型概率计算公式知π/41=m n ，∴π=4mn ，故选C ．11、解析： 离心率e=F 1F 2MF 2–MF 1，由正弦定理得e=F 1F 2MF 2–MF 1=sinMsinF 1–sinF 2=2231–13=2．故选A ．12、解析：由f(–x)=2–f(x)得f(x)关于(0,1)对称，而y=x+1x =1+1x 也关于(0,1)对称， …∴对于每一组对称点x i +x'i =0，y i +y'i =2， ∴()111022m m mi i i i i i i mx y x y m ===+=+=+⋅=∑∑∑，故选B ．13、解析：∵cosA=45，cosC=513，sinA=35，sinC=1213，∴sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=6365， 由正弦定理：b sinB =a sinA ，解得b=2113．14、解析：对于①，m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，则α，β的位置关系无法确定，故错误；对于②，因为//n α，所以过直线n 作平面γ与平面β相交于直线c ，则n ∥c ，因为m ⊥α，∴m ⊥c ，∴m ⊥n ，故②正确；对于③，由两个平面平行的性质可知正确；对于④，由线面所成角的定义和等角定理可知其正确，故正确的有②③④. …15、解析：由题意得：丙不拿(2,3)，若丙(1,2)，则乙(2,3)，甲(1,3)满足；若丙(1,3)，则乙(2,3)，甲(1,2)不满足；故甲(1,3)，16、解析：y=lnx+2的切线为：y=1x 1·x+lnx 1+1(设切点横坐标为x 1)y=ln(x+1)的切线为：y=1x 2+1·x+ln(x 2+1)–x2x 2+1，∴⎩⎨⎧1x 1=1x 2+1lnx 1+1=ln(x 2+1)–x 2x 2+1解得x 1=12，x 2=–12。