不等式的基本性质和基本不等式
基本不等式串
基本不等式串一、基本不等式与不等式串的概念1.1 基本不等式的定义及性质在数学中，不等式是描述数值之间相对大小关系的一种数学表达式。
其中，基本不等式是指最基础的、最简单的不等式形式，不等式串则是由多个基本不等式组成的一个整体。
1.1.1 基本不等式的定义基本不等式一般采用“≥”（大于等于）或“≤”（小于等于）的符号，用来表示某个数值与另一个数值之间的关系。
例如，对于实数a和b，如果有a ≥ b或a ≤ b，则称a与b之间存在基本不等式。
1.1.2 基本不等式的性质基本不等式具有以下几个重要性质：•性质1：传递性。
如果一个基本不等式a ≥ b 和另一个基本不等式b ≥c 都成立，那么可以推出第三个不等式 a ≥ c，这就是基本不等式的传递性。
•性质2：反身性。
对于任意的实数a，都成立a ≥ a 或a ≤ a，即一个数与自身之间存在基本不等式。
•性质3：自反性。
对于任意的实数a，都成立 -a ≤ a 或 -a ≥ a，即一个数与其相反数之间存在基本不等式。
二、不等式串的构成与应用2.1 不等式串的构成不等式串是由多个基本不等式通过逻辑运算符号连接而成的数学表达式。
常见的逻辑运算符号有并集（∪）、交集（∩）和合取（∧）、析取（∨）等。
通过逻辑运算符号的运用，可以构建出各种复杂的不等式串，用来描述多个数值之间的相对大小关系。
2.2 不等式串的应用不等式串在数学中有着广泛的应用，在各个学科领域中起到了至关重要的作用。
2.2.1 几何学中的应用不等式串在几何学中有着重要的应用，可用于描述线段、角、面积等几何元素之间的相互关系。
例如，通过构建不等式串，可以判断两个三角形的大小关系，从而推导出它们的面积大小。
2.2.2 经济学中的应用在经济学中，不等式串可用于描述需求与供给之间的关系，进而预测市场的走势。
通过构建不等式串，可以定量地分析产业的发展趋势，对经济政策的制定和市场调控提供参考。
2.2.3 物理学中的应用不等式串在物理学中也有着广泛的应用。
不等式的基本性质与基本不等式
目
CONTENCT
录
• 不等式的基本性质 • 基本不等式的概念 • 基本不等式的应用 • 不等式的解法 • 不等式的扩展知识
01
不等式的基本性质
传递性
总结词
如果a>b且b>c，则a>c。
详细描述
这是不等式的基本性质之一，即如果两个数之间存在一个大于关系，并且它们 之间还有另一个数存在大于关系，那么这两个数之间也存在大于关系。
在解决实际问题中的应用
80%
优化问题
基本不等式可以用于解决各种优 化问题，例如在资源分配、生产 计划、运输问题等方面。
100%
最大最小值问题
基本不等式可以用于求函数的最 大值和最小值，例如在求函数的 极值、最值等方面。
80%
经济问题
基本不等式在经济问题中也有广 泛应用，例如在分析市场供需、 投资组合等方面。
在数学竞赛中的应用
代数竞赛
在代数竞赛中，基本不等式是 重要的解题工具之一，例如在 解决代数不等式、代数方程等 问题时。
几何竞赛
在几何竞赛中，基本不等式也 是重要的解题工具之一，例如 在解决几何不等式、几何证明 等问题时。
组合数学竞赛
在组合数学竞赛中，基本不等 式也有着广泛的应用，例如在 解决组合不等式、组合计数等 问题时。
不等式的代数意义
代数解释
不等式是数学中一种重要的代数结构， 它反映了变量之间的相对大小关系。
代数意义应用
通过代数运算可以解决各种不等式问 题，例如求解不等式、证明不等式、 比较大小等。不等式的应用领域 Nhomakorabea数学领域
不等式在数学中有着广泛的应用，如数 学分析、线性代数、概率论等领域。
第1章1.2 基本不等式
第一章 不等式的基本性质和证明的基
本方法
1.2 基本不等式
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2
学习目标：1.理解两个正数的基本不等式.2.了解三个正数和一般 形式的基本不等式.3.会用基本不等式求一些函数的最值及实际应用 题．
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3
自主预习 探新知
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4
教材整理 基本定理(重要不等式及基本不等式) 1．定理 1
42
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2．下列函数中最小值为 4 的是( ) A．y＝x＋4x B．y＝sin x＋sin4 x(0＜x＜π) C．y＝3x＋4×3－x D．y＝lg x＋4logx10
43
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44
[解析] A 项，当 x＜0 时，y＝x＋4x＜0，故 A 项错误；B 项，当 0
＜x＜π 时，sin x＞0，∴y＝sin x＋sin4 x≥2
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22
[自主解答] (1)依题意得 m＝0 时，x＝1，代入 x＝3－m＋k 1，得 k＝2，即 x＝3－m＋2 1.
年成本为 8＋16x＝8＋163－m＋2 1(万元)， 所以 y＝(1.5－1)8＋163－m＋2 1－m ＝28－m－m1＋6 1(m≥0)．
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23
(2)由(1)得 y＝29－m＋1＋m1＋6 1≤ 29－2 m＋1·m1＋6 1＝21. 当且仅当 m＋1＝m1＋6 1，即 m＝3 时，厂家的年利润最大，为 21 万元．
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31
(2)已知 x，y∈(0，＋∞)，如果和 x＋y 是定值 S，那么当 x＝y 时，积 xy 有最大值14S2.
以上两条可简记作：和一定，相等时，积最大；积一定，相等时， 和最小．条件满足：“一正、二定、三相等”．
不等式的性质及解法
不等式的性质及解法不等式是数学中的一种重要的数值关系表示形式，与等式相比，不等式更能反映数值大小之间的差异。
在实际问题中，我们经常会遇到需要确定数值范围的情况，而不等式的性质和解法则帮助我们进行准确的数值分析和解决问题。
一、不等式的基本性质1. 传递性：如果 a<b，b<c，则有 a<c。
这一性质表明不等式的关系可以在数轴上进行传递，简化了分析比较的步骤。
2. 加减性：如果 a<b，则有 a±c<b±c。
对于不等式两边同时加减同一个数，不等式的关系保持不变。
3. 乘除性：如果 a<b 并且 c>0，则有 ac<bc；如果 a<b 并且 c<0，则有ac>bc。
这一性质需要注意，当乘以负数时，不等式的关系需要取反。
4. 对称性：如果a<b，则有b>a。
不等式两边的大小关系可以互换。
二、一元不等式的解法1. 加减法解法：通过加减法将不等式转化为更简单的形式。
例如：对于不等式 2x+3>7，我们可以先减去3，得到 2x>4，再除以2，得到x>2，即解集为 x>2。
2. 乘除法解法：通过乘除法将不等式转化为更简单的形式。
同样以不等式 2x+3>7 为例，我们可以先减去3，得到 2x>4，再除以2，得到x>2，即解集为 x>2。
3. 移项解法：利用不等式的基本性质，将所有项移到同一边，得到一个结果。
例如：对于不等式 3(x-2)>4x-7，我们可以先将右边的项移动到左边，得到 3x-6>4x-7，然后将 x 的系数移到一侧，得到 3x-4x>-7+6，化简得到 -x>-1，再乘以 -1，注意需要反转不等式的关系，得到x<1，即解集为 x<1。
4. 系数法解法：当不等式中存在系数时，我们可以通过判断系数的正负来确定解的范围。
例如：对于不等式 2x-3>0，我们观察到系数2>0，说明 x 的取值范围为正数，即解集为 x>3/2。
不等式性质和基本不等式
第七章 不等式知识网络.第1讲 不等关系与不等式★ 知 识 梳理 ★1.比较原理：两实数之间有且只有以下三个大小关系之一：a>b;a<b;a=b ；0>-⇔>b a b a ； 0<-⇔<b a b a ； 0=-⇔=b a b a ．2．不等式的性质：（1）对称性:a b b a <⇔>， a b b a >⇔< （2）传递性:,a b b c >>⇒，a c >（3）可加性:a b >⇔. a c b c +>+ 移项法则:a b c a c b +>⇔>-推论：同向不等式可加. ,a b c d >>⇒ a c b d +>+ （4）可乘性:bc ac c b a >⇒>>0,，,0a b c ><⇒ac bc < 推论1：同向(正)可乘: 0,0a b c d >>>>⇒ac bd > 推论2：可乘方(正):0a b >>⇒ n n a b >` (,2)n N n *∈≥(5) 可开方(正):0a b >>⇒>(,2)n N n *∈≥第4讲 基本不等式★ 知 识 梳理 ★1.基本形式:,a b R ∈,则222a b ab +≥;0,0a b >>,则a b +≥,当且仅当a b =时等号成立.2求最值:当ab 为定值时,22,a b a b ++有最小值;当a b +或22a b +为定值时,ab 有最大值(0,0a b >>).3.拓展：若0,0a b >>时,2112a b a b+≤≤+,当且仅当a b =时等号成立. ★ 热 点 考 点 题 型 探 析★考点1 利用基本不等式求最值(或取值范围) 题型1. 当积ab 为定值时,求和a b +最小值 例1 . 已知0,0x y >>且满足281x y+=,求x y +的最小值. 【解题思路】利用281x y+=，构造均值不等式 解析：∵2828()1()()28y xx y x y x y x y x y+=+⋅=+⋅+=+++,0,0x y >>,∴280,0y xx y>>1018x y +≥+=,当且仅当28y x x y=时等号成立,即224y x =,∴2y x =,又281x y+=, ∴6,12x y == ∴当6,12x y ==时,x y +有最小值18. 【名师指引】利用基本不等式求最值要注意“一正二定三相等”即（1)要求各数均为正数；(2)要求“和”或“积”为定值；(3)要注意是否具备等号成立的条件． 题型2. 当和a b +为定值时, 求积ab 最大值例2. 已知x>0，y>0，且3x+4y=12，求lgx+lgy 的最大值及此时x 、y 的值．【解题思路】这是条件最值问题，但目标式与已知条件的联系较隐蔽，不易发现. 应将lgx+lgy 转化成lgxy 考虑．解析∵x>0，y>0，3x+4y=12，∴ y x xy 43121⋅⋅=≤32431212=⎪⎭⎫⎝⎛+y x ，∴lgx+lgy=lgxy ≤lg3 ．由⎪⎩⎪⎨⎧==+>>y x y x y x 4312430,0 解得 ⎪⎩⎪⎨⎧==232y x ∴当x=2，y=23时，lgx+lgy 取得最大值lg3 ． 【名师指引】利用基本不等式求最值是高考中最常考的方法之一． 考点2 利用基本不等式证明题型：用综合法证明简单的不等式例1. 已知,,a b c R ∈,求证:222a b c ab bc ca ++≥++. 【解题思路】因为是轮换对称不等式，可考虑由局部证整体. [解析] Q 2222222,2,2a b ab b c bc a c ac +≥+≥+≥,相加整理得222a b c ab bc ca ++≥++. 当且仅当a b c ==时等号成立. 【名师指引】综合法证明不等式常用两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数这一结论，运用时要结合题目条件，有时要适当变形. 例2. 已知a ，b 为正数，求证：ab ba +≥b a +．【解题思路】观察结构用基本不等式加以证明.解析1：∵ a>0，b>0， ∴b b a +≥a b b a 22=⋅，a ab +≥b a ab 22=⋅，两式相加，得a ab b ba +++≥b a 22+，∴ab ba +≥b a +．解析2. abb b a a b a b a a b ba +++=+⎪⎪⎭⎫⎝⎛+)(≥ab b a 2++ 2)(b a +=．∴ab ba +≥b a +．【名师指引】当要证明的不等式形式上比较复杂时，常通过分析法寻求证题思路． “分析法”与“综合法”是数学推理中常用的思维方法，特别是这两种方法的综合运用能力，对解决实际问题有重要的作用． 这两种数学方法是高考考查的重要数学思维方法．6.已知函数12()f x a x=-+，若02≥+x x f )(在（0，+∞）上恒成立，求a 的取值范围。
不等式的基本性质、基本不等式不等式的解法
不等式的基本性质、基本不等式；不等式的解法教学目的：1、巩固不等式的基本性质、拓展基本不等式相关知识；2、掌握一元一次不等式、一元二次不等式及绝对值不等式的解法三. 教学重点、难点基本不等式的知识拓展；绝对值不等式的解法KCB齿轮泵四. 知识分析【不等式的基本性质】2CY系列齿轮泵1、不等式的基本性质：对于任意的实数a，b，有，这三条基本性质是差值比较法的理论依据．KCB不锈钢齿轮泵2、不等式的性质包括“单向性”和“双向性”两个方面．【单向性】（1）（2）LYB系列立式液下齿轮泵（3）（4）（5）KCB-T铜齿轮泵（6）【双向性】（1）GZYB高精度齿轮泵（2）（3）KCB系列大流量齿轮泵单向性主要用于证明不等式；双向性是解不等式的基础（当然也可用于证明不等式），由于单向性（3）、（4）的逆命题都成立，所以它们也可用于解不等式，在应用单向性（6）解无理不等式和形如的高次不等式时，若n为偶数时要注意讨论．KCB齿轮泵安装尺寸3、要注意不等式性质成立的条件．例如，在应用“”这一性质时，有些同学要么是弱化了条件，得，要么是强化了条件，而得2CY齿轮泵安装尺寸【基本不等式】定理1 设，则，当且仅当时，等号成立。
定理2 如果a，b为正数，则，当且仅当时，等号成立。
定理3 如果a，b，c为正数，高压齿轮泵则，当且仅当时，等号成立。
定理4 （一般形式的算术—几何平均值不等式）如果，，…，为n个正数，则，并且当且仅当时，等号成立。
说明：在公式及的学KCB-300齿轮泵习中，应注意几点：（1）和成立的条件是不同的，前者只要求a，b都是实数，而后者要求a，b都为正数。
例如，成立，而不成立。
KCG高温齿轮泵（2）关于不等式及的含义。
或表示严格的不等式；KCB-300齿轮泵碳钢或表示非严格的不等式。
不等式“”读作c大于或等于d，其含义是“或者，或者”，等价于“c不小于d”，即KCB可调齿轮泵若或有一个正确，则正确。
不等式“”读作c小于或等于d，其含义是“，或者”，等价于“c不大于d”，即若或c=d中有ZYB渣油泵一个正确，则正确。
不等式的基本性质与基本不等式
综合法是通过已知的不等式推导出待证明的不等式的方法。它通常用于证明一些 较为复杂的不等式，例如平方和、立方和等。通过利用已知的不等式和数学性质 ，我们可以推导出待证明的不等式，从而证明其正确性。
分析法
总结词
通过分析不等式的结构来证明不等式。
详细描述
分析法是通过分析不等式的结构来证明不等式的方法。它通常用于证明一些较为复杂的不等式，例如 高次幂的和、积等。通过分析不等式的结构，我们可以找到其内在的规律和性质，从而证明不等式的 正确性。
数学ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ纳法
通过数学归纳法证明不等式的正确 性。
03
基本不等式的应用
在数学解题中的应用
01
02
03
简化计算
基本不等式可以用来化简 复杂的数学表达式，从而 简化计算过程。
解决最值问题
基本不等式可以用来求解 函数的最值，例如求函数 在某个区间的最小值或最 大值。
证明不等式
基本不等式是证明一些数 学不等式的有力工具，例 如AM-GM不等式、 Cauchy-Schwarz不等式 等。
对于任意概率分布P，有$sum P_i^2 leq 1$。
柯西-施瓦茨不等式
对于任意实数向量x和y，有$(sum x_i^2)(sum y_i^2) geq (sum x_iy_i)^2$。
基本不等式的证明方法
代数法
通过代数变换和推导，证明不等 式的正确性。
几何法
通过几何图形和直观理解，证明不 等式的正确性。
通过观察几何图形，可以直观 地理解不等式的意义和性质， 从而找到解决问题的线索。
参数法
参数法是一种将参数引入不等式中，通过参数的变化来研究不等式的性质和解法的 方法。
基本不等式笔记
基本不等式笔记【实用版】目录1.基本不等式的定义和性质2.基本不等式的推导过程3.基本不等式的应用举例正文一、基本不等式的定义和性质基本不等式，又称柯西 - 施瓦茨（Cauchy-Schwarz）不等式，是一种在向量空间中的内积不等式。
它指出，对于任意两个实数向量 x 和 y，都有它们的内积平方和等于它们模的平方和，即：(x·y)^2 ≤ (x^2 + y^2)(y·x)^2 ≤ (x^2 + y^2)其中，x·y 表示向量 x 和向量 y 的内积，x^2 和 y^2 分别表示向量 x 和向量 y 的模的平方。
基本不等式的性质包括：1.平等性：当且仅当 x 与 y 共线时，等号成立。
2.齐次性：对于任意实数 k，都有 k(x·y) ≤ k(x^2 + y^2)。
3.可积性：对于任意实数 x 和 y，都有 (x·y)^2 ≤ (x^2 +y^2)(y·x)^2。
二、基本不等式的推导过程基本不等式的推导过程相对简单。
假设有两个实数向量 x 和 y，它们的内积为 x·y，模分别为||x||和||y||。
根据内积的定义，我们有：x·y = ||x|| * ||y|| * cosθ其中，θ表示向量 x 和向量 y 之间的夹角。
由于 0 ≤ cosθ≤ 1，所以：(x·y)^2 ≤ (||x|| * ||y||)^2 * cos^2θ≤ (||x||^2 + ||y||^2) 进一步推导，我们得到：(x·y)^2 ≤ (x^2 + y^2)(y·x)^2 ≤ (x^2 + y^2)这就是基本不等式的表达式。
三、基本不等式的应用举例基本不等式在数学中有广泛的应用，例如在求解最值问题、证明不等式、研究函数性质等方面。
下面举一个简单的应用例子：假设有一个函数 f(x) = x^2 + 2ax + 1，我们要求该函数的最小值。
不等式的性质与证明方法总结
不等式的性质与证明方法总结在数学中，不等式是一种非常重要的数学工具，用于描述数值之间的大小关系。
不等式可以帮助我们解决各种实际问题，同时也是数学推理和证明的基础。
本文将总结一些常见的不等式性质和证明方法，帮助读者更好地理解和应用不等式。
一、基本不等式性质1. 传递性：如果a < b，b < c，则有a < c。
这个性质是不等式推理的基础，可以用于简化证明过程。
2. 加法性：如果a < b，则a + c < b + c。
这个性质表示在不等式两边同时加上一个相同的数，不等式的大小关系不变。
3. 乘法性：如果a < b，c > 0，则ac < bc；如果a < b，c < 0，则ac > bc。
这个性质表示在不等式两边同时乘以一个正数或负数，不等式的大小关系会发生改变。
4. 对称性：如果a < b，则-b < -a。
这个性质表示如果不等式两边同时取相反数，不等式的大小关系会发生改变。
二、常见不等式1. 平均不等式：对于任意非负实数a1, a2, ..., an，有以下不等式成立：(a1 + a2 + ... + an) / n >= (a1 * a2 * ... * an)^(1/n)平均不等式可以用于证明其他不等式，如均值不等式、柯西不等式等。
2. 均值不等式：对于任意非负实数a1, a2, ..., an，有以下不等式成立：(a1 + a2 + ... + an) / n >= (a1^p + a2^p + ... + an^p)^(1/p)其中p为大于0的实数。
均值不等式可以用于证明其他不等式，如柯西不等式、夹逼定理等。
3. 柯西不等式：对于任意实数a1, a2, ..., an和b1, b2, ..., bn，有以下不等式成立：(a1b1 + a2b2 + ... + anbn)^2 <= (a1^2 + a2^2 + ... + an^2)(b1^2 + b2^2 + ... +bn^2)柯西不等式可以用于证明向量内积的性质，以及其他不等式的推导。
1.1.1不等式性质和基本不等式
解 设矩形的长为 , 宽为 y . x
x y 根据基本不等式 xy , 2 l 可得 xy . 4 l2 于是, 矩形的面积 xy , 当且仅当 y时, x 16 等号成立, 即当且仅当矩形是正方 形时 , 面
1设矩形周长为定值, 即2x 2 y l为定值. l
l2 积 xy 取得最 000元.
例 3 求证 : 1 在所有周长相同的矩形 , 正方形 中
1 如果 2 x y 从而x y 为定值, 那么正数x,
y 有什么关系时xy 最大? 2 如果 xy 为定值, 那么正数 x, y 有什么关系时 2 x y 从而x y 最小 ? 由于基本不等式恰好涉 及两个正数的和与积之 间的数量关系所以可以利用基本不等 , 式证明 . 动画解释上述分析过程 .
相推出.
0是正数 与负数 的 分界 点 , 它为 实数 比 较大小 提 供了 " 标杆".
思考 从上述基本事实出发 , 你认为可以用什么方法 比较 两个实数的大小 ?
从上述基本事实可知要比 , 较两个实数的大小可以转 , 化为比较它们的差与的大 0 小.这是研究不等关系的一 个出发点 .
例1 比较 x 3 x 7 和 x 4 x 6 的大小 .
a b 根据性质6, 有 . d c
我们已 经 学 过 重 要 不等式 a b 2ab
2 2
a, b R , 为了方便同学们学习下面将它 ,
以定理的形式给出并给出证明 , .
定理1 如果 a, b R, 那么a b 2ab,当
2 2
且仅当a b时, 等号成立.
2设矩形面积为定值S , 即 xy S 为定值.
x y 根据基本不等式 xy , 2 矩形的周长2x y 4 xy 4 S ,
1.1.1不等式的基本性质
性质 6 开方性质 如果 a>b>0，那么n a > n b(n∈N，n≥2)
【练习】 判断下列命题是否正确，并说明理由． (1)若 a>b，则 ac2>bc2； (2)若ca2>cb2，则 a>b； (3)若 a>b，ab≠0，则1a<1b； (4)若 a>b，c>d，则 ac>bd. [自主解答] (1)错误．当 c＝0 时不成立． (2)正确．∵c2≠0 且 c2>0，在ca2>cb2两边同乘以 c2， ∴a>b. (3)错误．a>b⇒1a<1b成立的条件是 ab>0. (4)错误．a>b，c>d⇒ac>bd，当 a，b，c，d 为正数时成立．
即α＋β∈
－π，π 22
，α－β∈
－π2，0
.
2
2
利用性质证明简单不等式
【例 3】 已知 c>a>b>0，求证：c－a a>c－b b. [精彩点拨] 构造分母关系 → 构造分子关系 → 证明不等式
[自主解答] ∵a>b，∴－a<－b. 又 c>a>b>0， ∴0<1．c－在a<证c－明b本，例∴时c－，1 a连>c续－1用b>到0.不等式的三个性质，一是不等式的 乘法性质：a>b，则－a<－b；二是不等式的加法性质：c>a>b>0，又 －又a∵<－a>bb，>则0，0∴<c－a a<>c－b b；. 三是倒数性质．最后再次用到不等式的 乘法性质．
五、不等式的基本性质的应用
比较大小
【例 1】 设 A＝x3＋3，B＝3x2＋x，且 x>3，试比较 A 与 B 的
(完整版)基本不等式知识点
基本不等式知识点1、不等式的基本性质①（对称性）a b b a >⇔>②（传递性）,a b b c a c >>⇒>③（可加性）a b a c b c >⇔+>+（同向可加性）d b c a d c b a +>+⇒>>,（异向可减性）d b c a d c b a ->-⇒<>,④（可积性）bc ac c b a >⇒>>0,bc ac c b a <⇒<>0,⑤（同向正数可乘性）0,0a b c d ac bd >>>>⇒> （异向正数可除性）0,0a b a b c d c d >><<⇒>⑥（平方法则）0(,1)n n a b a b n N n >>⇒>∈>且⑦（开方法则）0,1)a b n N n >>∈>且 ⑧（倒数法则）b a b a b a b a 110;110>⇒<<<⇒>>2、几个重要不等式 ①()222a b ab a b R +≥∈，,（当且仅当a b =时取""=号）. 变形公式：22.2a b ab +≤②（基本不等式）2a b +≥()a b R +∈，,（当且仅当a b =时取到等号）.变形公式：a b +≥2.2a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭ 用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”.③（三个正数的算术—几何平均不等式）3a b c ++≥()a b c R +∈、、（当且仅当a b c ==时取到等号）.④()222a b c ab bc ca a b R ++≥++∈，（当且仅当a b c ==时取到等号）.⑤3333(0,0,0)a b c abc a b c ++≥>>> （当且仅当a b c ==时取到等号）. ⑥0,2b a ab a b >+≥若则（当仅当a=b 时取等号）0,2b a ab a b <+≤-若则（当仅当a=b 时取等号） ⑦b a n b n a m a m b a b <++<<++<1，（其中000)a b m n >>>>，，规律：小于1同加则变大，大于1同加则变小. ⑧220;a x a x a x a x a >>⇔>⇔<->当时，或22.x a x a a x a <⇔<⇔-<< ⑨绝对值三角不等式.a b a b a b -≤±≤+3、几个著名不等式①平均不等式：1122a b a b --+≤≤≤+，,a b R +∈（，当且仅当a b =时取""=号）.（即调和平均≤几何平均≤算术平均≤平方平均）.变形公式：222;22a b a b ab ++⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭ 222().2a b a b ++≥ ②幂平均不等式：222212121...(...).n n a a a a a a n +++≥+++③二维形式的三角不等式：≥1122(,,,).x y x y R ∈④二维形式的柯西不等式：22222()()()(,,,).a b c d ac bd a b c d R ++≥+∈当且仅当ad bc =时，等号成立.⑤三维形式的柯西不等式：2222222123123112233()()().a a ab b b a b a b a b ++++≥++⑥一般形式的柯西不等式： 2222221212(...)(...)n n a a a b b b ++++++21122(...).n n a b a b a b ≥+++ ⑦向量形式的柯西不等式：设,αβ是两个向量，则,αβαβ⋅≤当且仅当β是零向量，或存在实数k ，使k αβ=时，等号成立.⑧排序不等式（排序原理）：设1212...,...n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤为两组实数.12,,...,n c c c 是12,,...,n b b b 的任一排列，则12111122......n n n n n a b a b a b a c a c a c -+++≤+++1122....n n a b a b a b ≤+++（反序和≤乱序和≤顺序和），当且仅当12...n a a a ===或12...n b b b ===时，反序和等于顺序和.⑨琴生不等式:（特例:凸函数、凹函数）若定义在某区间上的函数()f x ,对于定义域中任意两点1212,(),x x x x ≠有12121212()()()()()().2222x x f x f x x x f x f x f f ++++≤≥或则称f(x)为凸（或凹）函数.4、不等式证明的几种常用方法 常用方法有：比较法（作差，作商法）、综合法、分析法；其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等. 常见不等式的放缩方法：①舍去或加上一些项，如22131()();242a a ++>+ ②将分子或分母放大（缩小），如211,(1)kk k <- 211,(1)k k k>+=⇒<*,1)k N k >∈>等.5、一元二次不等式的解法求一元二次不等式20(0)ax bx c ++><或 2(0,40)a b ac ≠∆=->解集的步骤：一化：化二次项前的系数为正数.二判：判断对应方程的根.三求：求对应方程的根.四画：画出对应函数的图象.五解集：根据图象写出不等式的解集.规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边.6、高次不等式的解法：穿根法.分解因式，把根标在数轴上，从右上方依次往下穿（奇穿偶切），结合原式不等号的方向，写出不等式的解集.7、分式不等式的解法：先移项通分标准化，则()0()()0()()()0()0()0()f x f x g x g x f x g x f x g x g x >⇔⋅>⋅≥⎧≥⇔⎨≠⎩ （<≤“或”时同理）规律：把分式不等式等价转化为整式不等式求解.8、无理不等式的解法：转化为有理不等式求解⑴2()0(0)()f x a a f x a ≥⎧>>⇔⎨>⎩⑵2()0(0)()f x a a f x a ≥⎧<>⇔⎨<⎩⑶2()0()0()()0()0()[()]f x f x g x g x g x f x g x >⎧≥⎧⎪>⇔≥⎨⎨<⎩⎪>⎩或⑷2()0()()0()[()]f x g x g x f x g x ≥⎧⎪<⇔>⎨⎪<⎩⑸()0()0()()f x g x f x g x ≥⎧⎪>⇔≥⎨⎪>⎩ 规律：把无理不等式等价转化为有理不等式，诀窍在于从“小”的一边分析求解.9、指数不等式的解法：⑴当1a >时,()()()()f x g x a a f x g x >⇔>⑵当01a <<时,()()()()f x g x a a f x g x >⇔< 规律：根据指数函数的性质转化.10、对数不等式的解法⑴当1a >时, ()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪>⎩⑵当01a <<时, ()0log ()log ()()0.()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪<⎩规律：根据对数函数的性质转化.11、含绝对值不等式的解法： ⑴定义法：(0).(0)a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩ ⑵平方法：22()()()().f x g x f x g x ≤⇔≤⑶同解变形法，其同解定理有： ①(0);x a a x a a ≤⇔-≤≤≥ ②(0);x a x a x a a ≥⇔≥≤-≥或 ③()()()()()(()0)f xg x g x f x g x g x ≤⇔-≤≤≥ ④()()()()()()(()0)f x g x f x g x f x g x g x ≥⇔≥≤-≥或规律：关键是去掉绝对值的符号.12、含有两个（或两个以上）绝对值的不等式的解法：规律：找零点、划区间、分段讨论去绝对值、每段中取交集，最后取各段的并集.13、含参数的不等式的解法解形如20ax bx c ++>且含参数的不等式时，要对参数进行分类讨论，分类讨论的标准有： ⑴讨论a 与0的大小；⑵讨论∆与0的大小；⑶讨论两根的大小.14、恒成立问题⑴不等式20ax bx c ++>的解集是全体实数（或恒成立）的条件是： ①当0a =时 0,0;b c ⇒=>②当0a ≠时00.a >⎧⇒⎨∆<⎩ ⑵不等式20ax bx c ++<的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：①当0a =时0,0;b c ⇒=<②当0a ≠时00.a <⎧⇒⎨∆<⎩ ⑶()f x a <恒成立max ();f x a ⇔<()f x a ≤恒成立max ();f x a ⇔≤⑷()f x a >恒成立min ();f x a ⇔>()f x a ≥恒成立min ().f x a ⇔≥15、线性规划问题常见的目标函数的类型：①“截距”型：;z Ax By =+ ②“斜率”型：y z x =或;y b z x a -=-③“距离”型：22z x y =+或z = 22()()z x a y b =-+-或z =在求该“三型”的目标函数的最值时，可结合线性规划与代数式的几何意义求解，从而使问题简单化.。
不等式的基本性质和重要不等式
f
(x)
0
f (x) g 2 (x)
f (x)
g(x) 0 g(x) 0 或
g(x) 0
f
(x)
0
（2） f (x) 0 f x g x 0
g(x)
f g
(x) (x)
0
f g
(x) (x)
g(x) 0
0
2. 1. 含有绝对值的不等式
（1） f x g x f (x) g(x) 或 f (x) g(x) ；
（2）| f (x) | g(x) g(x) f (x) g(x) ；
（3）对形如
4m
䁪 的不等式，可利用绝对值不等式的几何意义求解．
（4）含有绝对值的不等式的性质 m
取等条件：
m
4 mȁ
不等式
m
件是 m h，且
4m m；
4 m ，右侧“=”成立的条件是 m h，左侧“=”成立的条
不等式
m
m
4 m ，右侧“=”成立的条件是 m h，左侧“=”成立的条
m 时，等号成立． m 时，等号成立．
（3）若
m
i
h，则
1
2
1
ab
ab a b 2
a2 b2
，当且仅当
2
m 时，等号成立．
其中， 2 称为调和平均数， 11 ab
ab 称为几何平均数， a b 称为算术平均数， 2
a2 b2 2
称为平方平均数
2. 4. 柯西不等式
（1）柯西不等式简单形式： a,b, x, y R ，
m
䁪 ， 与 之间的夹角为θ，h
.
根据向量数量积的定义，有
䁪h ，因为 䁪h
不等式的基本概念
不等式的基本概念不等式，在数学中是相对于等式而言的一种关系式。
它揭示了数量之间的大小关系，解决了许多实际问题，如优化、约束、分类等。
作为数学中一种重要的概念，不等式在各个领域中都发挥着不可替代的作用。
一、不等式的定义不等式是数学中描述数值大小关系的一种数学式子。
以≤和≥表示的不等式称为“不等式”，例如：3x+1>10，x≤3等式都是不等式。
其中，“不等于”符号≠不属于不等式范畴。
二、不等式的基本性质1.加减均不等变性：两边同时加（减）一个数，不等的方向不发生改变，也就是说：若a>b，则a+c>b+c，a-c>b-c。
2.乘法不等性：若a>b，则a×c>b×c（c>0）或a×c<b×c（c<0）。
3.除法不等性：若a>b（a>0;b>0），则a÷c>b÷c（c>0）或a÷c<b÷c（c<0）。
三、不等式的解法不等式解法主要有三种方法：代入法、绝对值法和图像法1.代入法：将每一个解的可能取值都带入不等式进行判断，最后确定取值范围。
2.绝对值法：主要应用于一元一次不等式中，当不等式具有|x|的绝对值形式时，应用不等式的绝对值概念，进行分情况讨论求解。
3.图像法：将不等式构成的图像绘制出来，通过分析图像来确定解的区间。
四、不等式的分类1.一元一次不等式：其中的一元指的是变量只有一个，一次指的是变量出现的最高次数是1。
这类不等式通常表示为ax+b>c，ax+b=c或ax+b<c。
2.二元一次不等式：其中的二元指的变量包括两个，一次指的是变量出现的最高次数是1。
这类不等式通常表示为ax+by>c，ax+by=c或ax+by<c。
3.绝对值不等式：此类不等式中通常含有绝对值符号"|x|". 如：|x-a|> b。
不等式的性质与基本不等式
投资组合优化
在金融领域，利用不等式 性质可以优化投资组合， 使得风险和收益达到最佳 平衡。
资源分配问题
在生产或项目管理中，通 过应用不等式性质，可以 合理分配资源，提高效率。
信号处理与通信
在信号传输过程中，由于 受到噪声干扰，可以利用 不等式性质对信号进行优 化处理，提高通信质量。
06
总结与展望
总结不等式的性质与基本不等式的主要内容
算术-几何平均不等式
对于任意非负实数a和b，有 (a+b)/2 ≥ √(ab)。这个不等式 表明算术平均值总是大于或等 于几何平均值。
柯西不等式
对于任意实数a_i和b_i （i=1,2,...,n），有(∑a_i^2 * ∑b_i^2) ≥ (∑a_i * b_i)^2。这 个不等式在数学分析和线性代 数中有广泛应用。
性质的应用
解决不等式问题
利用不等式的性质可以解决各种不等式问题，如比 较大小、求解未知数等。
解决最优化问题
不等式的性质在解决最优化问题中也有广泛应用， 如最大值、最小值、最优解等。
证明不等式
利用不等式的性质可以证明一些数学命题和不等式 。
03
基本不等式
常见基本不等式
算术平均数-几何平均数不等式
详细描述
综合法是通过综合已知的不等式性质和基本不等式来证明不等式的一种方法。它通常用于证明一些较为复杂的不 等式，如平方和与平方差的关系等。通过综合已知的不等式性质和基本不等式，我们可以推导出新的不等式，从 而证明其正确性。
05
实例分析
代数实例
代数不等式
例如，对于任意实数a和b，有 a^2 + b^2 ≥ 2ab。这个不等 式表明两个数的平方和总是大 于或等于它们的两倍乘积。
不等式的基本性质与基本不等式
不等式的基本性质与基本不等式郭浴琼目标： 掌握不等式的基本性质及常用的不等式性质，如自反性、传递性、可加性、可乘性等，并能证明这些基本性质；掌握两个基本不等式，并能用于解决一些简单问题．重难点：不等式的可加性、可乘性；基本不等式的应用及其证明． 一、 知识要点1、 比较两数大小的基本方法（1）作差法 0a b a b ->⇔>；0a b a b -<⇔<；0a b a b -=⇔=（2）作商法 若0,0a b >>，则1a a b b >⇔>；1a a b b <⇔<；1a a b b=⇔= 2、 不等式的基本性质性质1：a b b a >⇔<（对称性）性质2：若,a b b c >>，则a c >（传递性）性质3：若a b >，则a c b c +>+性质4：若,0a b c >>，则ac bc >；若,0a b c ><，则ac bc <结论1：若,a b c d >>，则a c b d +>+结论2：若0a b >>，则n n a b >()*n N ∈ 结论3：若0a b >>，则()*,1n n a b n N n >∈> 3、 基本不等式（均值不等式）对任意,a b R ∈，222a b ab +≥，当且仅当a =b 时取等号均值不等式：若a 、b 为正数，则2a b ab +≥，当且仅当a b =时取等号 变式：222()22a b a b ab ++≥≥ 二、 例题精讲例1、有三个条件：（1）22ac bc >；(2)c a ＞cb ；(3)22a b >，其中能成为a b >的充分条件的个数有几个，是哪几个？例2、已知三个不等式：①0ab > ②bc ad > ③a c >bd ，以其中两个作为条件，余下一个作为结论，则可以组成多少个正确的命题？并写出这些命题．例3、实数a 、b 满足条件ab ＜0，那么（ ） A. a b -<b a + B. a b +>b a - C. a b +<b a - D. a b -<b a -例4、某收购站分两个等级收购棉花，一级棉花a 元/kg ，二级棉花b 元/kg ()b a <，现有一级棉花x kg ，二级棉花y kg ()x y >，若以两种价格平均数收购，对棉农公平吗？其理由可用不等式表示为 ．例5、若12a b -<<<，则3a b -的取值范围是 ．例6、已知实数,a b 判断下列不等式中哪些一定是正确的？（1）ab b a ≥+2； （2）ab b a 222-≥+； （3）ab b a ≥+22； （4）2≥+b a a b （5）21≥+a a ； （6） 2≥+ab b a （7）222)(2b a b a +≥+）（例7、（1）若a R b ∈,，且221a b +=，则a b +的最大值是 ，最小值是（2）设0,0,x y >>且21x y +=，则11x y+的最小值为 （3）若01,x <<则491y x x=+-的最小值为 （4）若+∈R x ，则x x 212+有最 值，且值为 （5）若13,3a a a >+-有最 值，是 ，此时a = （6）若1x <，则2231x x x -+-有最 值，值为例8、（1）若a ,b R +∈，且2222a b +=，则21a b +的最大值是（2）设1a >，1b >，且()1ab a b -+=，那么（ ）A 、a b +有最小值)12(2+B 、a b +有最大值2)12(+C 、ab 有最大值12+D 、ab 有最小值)12(2+例9、一批救灾物资随26辆汽车从某市以/v km h 的速度直达灾区，已知两地公路长400km ，为了安全起见，两车的间距不得小于220v km ⎛⎫ ⎪⎝⎭，求这批物资全部运到灾区至少要多少小时？（不计车身长度）三、 课堂练习1、,x y R ∈，且112,144x y -<-<，则x y的取值范围是 ． 2、若()2f x a x c =-，且()()411,125f f -≤≤--≤≤，则()3f 的取值范围是 ． 3、若22221,1,a b c d a b c d R +=+=∈、、、，则abcd 的最大值是 ．4、函数()()log 310,1a y x a a =+->≠的图像恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny ++=上，其中0mn >，则12m n+的最小值为 ． 5、设x R ∈，[]x 表示不大于x 的最大整数，如[]3π=，[]1.22-=-，102⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则使213x ⎡⎤-=⎣⎦成立的x 的取值范围是 ． 四、课后作业一、填空题1、已知,22ππαπβπ<<<<，则αβ-的取值范围是 ，2βα-的取值范围是 ．2、已知三个不等式：①0ab >；②c d a b-<-；③bc ad >，以其中两个作条件，余下一个作结论，则可以组成 个正确命题．3、已知,x y R +∈，2312x y +=，则lg lg x y +的最大值为 ．4、已知0a b >>，2c a b=+且1ab =，若log ,log ,log c c c l a m d n ab ===，则将l m n 、、按从小到大的顺序用不等号连接可得 ．5、已知222sin sin sin 1αβγ++=（,,αβγ均为锐角），那么cos cos cos αβγ的最大值等于 ．6、三个同学对问题“关于x 的不等式232255x x x ax ++-≥在[]1,12上恒成立，求实数a的取值范围”提出各自的解题思路．甲说：“只需不等式左边的最小值不小于右边的最大值”；乙说：“把不等式变形为左边含变量x ，右边仅含常数，求函数的最值”；丙说：“把不等式两边看成关于x 的函数，作出函数图像”．参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即a 的取值范围是 ．二、选择题7、已知不等式()19a x y x y ⎛⎫++≥⎪⎝⎭对任意正实数,x y 恒成立，则正实数a 的最小值为（ ）A 、2B 、4C 、6D 、8 8、若正数,a b 满足3ab a b =++，则a b +的取值范围是（ ）A 、[)9,+∞B 、[)6,+∞C 、(]0,9D 、()0,69、已知,a b 为非零实数，且a b <，则下列命题成立的是（ ）A 、22a b <B 、22a b ab <C 、2211ab a b <D 、b a a b< 三、解答题10、当1x >-时，求2311x x y x -+=+的最小值； 11、（1）设集合()(){}()11,|0,,|M a b ab a b N a b a b ⎧⎫=->=<⎨⎬⎩⎭，试讨论M 与N 的关系；（2）求实数a 的取值范围，使不等式()22lg lg lg lg xy x y a ≤+⋅对一切满足1,1x y >>的实数恒成立．12、某商场预计全年分批购入每台价值为2000元的电视机共3600台，每批都购入x台（x 是正整数），且每批均需付运费400元．储存购入的电视机全年所付保管费与每批购入电视机的总价值（不含运费）成正比．若每批购入400台，则全年需用去运费和保管费用43600元．现在全年只有24000元资金可以用于支付这笔费用，请问能否恰当安排每批进货的数量，使资金够用？写出你的结论，并说明理由．。
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6.下列命题中，正确的是（）
A、若 ，则 B、若 ，则 C、若 ，则 D、若 ，则
7.已知“ ”且“ ”，则与此判断等价的是（）
A、 且 B、 且 C、 且 D、 且
8.已知 且 ，则下列不等式中恒成立的是（）
A、 B、 C、 D、
9.设 ，则下列各式中正确的是（）
A、 B、 C、 D、
精锐教育学科教师辅导讲义
讲义编号
学员编号：年级：高一课时数：3
学员姓名：辅导科目：数学学科教师：王丽丽
课题
不等式的基本性质和基本不等式
授课日期及时段
教学目的
1.掌握不等式的常用性质.
2.利用基本不等式证明一些不等式，并能运用基本不等式求最值.
教学内容
【上节内容回顾】
【知识点梳理】
1.不等式的基本性质：
【知识点强化练习】
1.函数 的值域是（）
A、 B、 C、 D、
2.函数 的值域为．
3.已知 ，且 ，求 的最小值．
4.已知 都是正实数，切 ，求证： ．
5.当 时，求 的最大值.
6.已知 ， ，求 的最小值.
7.若 ，且 ，求 的最大值.
8.若 是正数，求 的最小值.
【课堂小结】
【回家作业】
Ⅰ.整理错题
（7）若 ，则 （三元均值不等式）.
【例题精讲】
例1.已知 都是实数，比较 的 大小.
例2.比较 与 的大小 .
例3.设 ， （其中 ），试比较 的大小.
例4.已知函数 满足 ， ，求 的取值范围.
例5.已知 ，求函数 的最大值.
例6.设 为常数，求函数 的最小值.
例7.如图所示， 是变长为 的正方形 对对角线 上的一点，连结 ,并延长交 于点 .求 和 面积和的最小值及此时 的长.
（1） （对称性）.
（2） （传递性）.
（3） ； .
（4） ， ； .
（5） ； .
（6） .
（7） .
2.基本不等式：
（1）若 ，则 ，当且仅当 时取“等号”.
（2）若 ，则 （基本不等式），当且仅当 时取“等号”.
（3）若 ，则 .
（4）若 ，则 .
（5）若 ，则 .
（6）若 ，则 ，当且仅当 时取“等号”.
10.若 ， ，则下列各式中最大的一个是（）
A、 B、 C、 D、
11.函数 的最小值是（）
A、4 B、2C、1D、不能确定
12.两个正数 满足 ，则下列各式中，恒成立的是（）
A、 B、 C、 D、
13.若 ，将 从小到大进行排列.
14.证明 的充要条件是 .
15.已知 ，求证 ，并指出等号成立的条件.
Ⅱ.课后习题
1. 是 的（）
A、充要条件B、充分非必要条件C、充分非必要条件D、非充分非必要条件
2.已知 ，则下列不等式中正确的是）
A、 B、 C、 D、
3.若 ，则下列不等关系中不能成立的是（）
A、 B、 C、 D、
4.若 且 ，则下列各式中，恒成立的是（）
A、 B、 C、 D、
5.已知 ， ，则下列等式中，正确的是（）
16.已知，在直角三角形中，斜边长为 ，两条直角边长分别为 ，求证： ，并指出取等号时，三角形的形状.
17.已知 ，求 的最大值.
18.设 为正数，且 ，求 的最小值，并指出此时 的取值.