约束自由度与广义坐标

受有约束而不能任意运动的质点系则称为非自由质点系。
刚体静力学研究约 束, 是探究约束的原因 -------约束力
运动学研究约束,是探 y 究约束的结果-------运
A
动的限制
xA c1
yA c2
F
O
x
2. 独立坐标、位形空间、约束方程的概念
(1) 坐标
确定一个自由质点在空间的位置需要三个独立参数，这 些参数或代表长度或代表角度，统称坐标。
约束方程总是以微分形式表示，不可能积分成有限的 形式的约束称为非完整约束。
运动约束不可积分----碰撞系统,摩擦系统等。
f r ( x 1 , y 1 , z 1 , , x n , y n , z n ; x 1 , y 1 , z 1 , , x n , y n , z n ) 0 r1,2,,s
f r ( x 1 , y 1 , z 1 , , x n , y n , z n ; x 1 , y 1 , z 1 , , x n , y n , z n ; t ) 0
(r=1,…,s) 约束方程的个数为：s 静力学问题中涉及的约束都是定常几何约束。
本教材研究：定常、双面、完整约束。
(形如四面体)，则自由刚体的自由度为：
k34(质点)数 （ 6 刚杆数 6 ）
设节点数为n,约束数为s。则写成
k3ns6
n=4 此后每增加一个质点就增加3根刚杆。
则一般地： k3ns
n≥4 每一根刚杆相当于一个约束，所以约束数为：
(2)位形
对于由n个自由质点组成的自由质点系，则需要3n个 独立坐标，这3n个的坐标集合称为自由质点系的位形。
(3)约束方程 约束可以通过联系坐标、坐标的时间导数以及时间t之
间的关系的数学方程组加以描述，这些数学方程组称之为 约束方程。
3. 约束的分类 （1）几何约束与运动约束
几何约束 如果限制运动的条件仅是
单面约束：在约束方程含有不等号表示的约束。
OA为柔绳： x2y2z2l2
约束方程的一般形式：
f r x 1 , y 1 , z 1 , , x n , y n , z n , x 1 , y 1 , z 1 , , x n , y n , z n , t 0 或 <0
4.约束方程 n个质点组成的质点系，约束方程的一般形式为：
问题
观察运动机构所给的运动条件
E
B
O
2r 2r
D
l
j
A
w
观察运动机构所给条件运动条件 O
wO
l
A
j
M
D
vDE
E
B
约束、自由度与广义坐标
一、问题的提出 物体系统根据其与外界环境之间的关系，可分成自由系
统与非自由系统。
17世纪牛顿当时的经典力学所能解决的主要问题是属于 自由质点或自由质点系动力学。(两体问题)
（4）单面约束与双面约束
O
双面约束：在约束方程中用严格的
等号表示的约束。
z
OA为刚性杆： x2y2z2l2
x
约束方程的一般形式：
y
l
A
f r x 1 , y 1 , z 1 , , x n , y n , z n , x 1 , y 1 , z 1 , , x n , y n , z n , t 0
与自由度相对应的独立坐标就是广义坐标。
一般地： n个质点，自由度为k， 取广义坐标： q1,q2qk
xixi(q 1,q 2q k,t) yi yi(q1,q2...q.k,.t). zizi(q 1,q2qk,t)
r i r i( q 1 ,q 2 q k ,t)
i=1,2,······ n
2.自由刚体的自由度 最简单的刚体由4个质点用6根刚杆组成几何不变体
18世纪产生了刚体动力学问题，也就是说提出了受约束 质点系的动力学问题。
今天大量工程实际问题作初步 分析时，一般都是受约束系统的建 模问题。首先要确定系统独立的运 动学变量。
研究约束质点系的力 学问题，必须阐明约束， 自由度与广义坐标的概念 。
二、约束
1. 约束概念
约束就是限制物体任意运动的条件。 不受约束可以任意运动的质点系称为自由质点系,
例: 平面刚体位形的描述方法和约束方程
1. 刚体基于两点的描述和约束方程
yA
O
位形描述: x O , y O
x
xA, yA
约束方程:
2. 刚体基于点线的描述和约束方程
xO 0
yO 0
xA2
yA2
2
OA
yA
b
O
位形描述: xO, yO,b
x
xO 0 约束方程:
yO 0
三、广义坐标、自由度 1.基本概念 自由度：唯一确定质点系空间位置的独立坐标个数 自由度定义为质点系解除约束时的坐标数减去约束方程数。 空间质点: k3ns, 平面质点: k2ns, 广义坐标： 用以确定质点系位置的独立参变量
y j
yC r ——几何约束
C
x
x jr 0 ——运动约束
x
约束方程的一般形式
f r ( x 1 , y 1 , z 1 x n , y n , z n , x 1 , y 1 , z 1 x n , y n , z n ) 0
(r=1,2, ‥ ‥,s)
A
fr ( x 1 ,y 1 ,z 1 x n ,y n ,z n ;t) 0
（3）完整约束与非完整约束 约束方程中不包含坐标对时间的导数（即质点系中各
质点速度的投影）的约束，称为完整约束。 〈1〉位移约束----全部几何约束 〈2〉运动约束可积分----如纯滚动的圆轮;
约束方程的一般形式为：
fr(x 1 ,y 1 ,z 1 , ,x n ,y n ,zn ) 0 r1,2,,s
几何性质的，则称为几何约束。
x2y2z2l2
曲面上的质点：
f(x,y,z)0
约束方程的一般形式：
单摆:
O z
x z
x
y
l
A
M
y
fr(x 1 ,y 1 ,z 1x n ,y n ,z n ) 0 (r=1,2, ‥ ‥,s)
运动约束
如果运动时速度也受到一定条件的限制，则这个条件称为 运动约束。
纯滚动的圆轮：
（2）定常约束与非定常约束
定常约束
O
当约束方程中都不包含时间t时，这
种约束称为定常约束。
z
定常几何约束
x
约束方程的一般形式：
பைடு நூலகம்
y
l
A
fr(x 1 ,y 1 ,z 1 x n ,y n ,z n ) 0
非定常几何约束
若约束方程中明显包含时间t，
这种约束就称为非定常几何约束。
x2y2z2l0v2 t
v（匀速）