有限循环群同态的结构研究

2010年8月

第16卷第3期安庆、师范学院学报(自然科学版)J o ur nal o f A nqi ng T eacher s C ol lege(N at u r al Sci ence Edi t ion)A ug ．2010V 01．16№．3

有限循环群同态的结构研究

屈寅春

(无锡职业技术学院，江苏无锡214073)

擒薹：本文利用抽象代数的基本理论，结合初等数论的有关知识，对两个有限循环群之间存在的所有同态映射进

行了分类研究，给出并证明了计算其总数的一个数学公式。

关毽词：有限循环群i 生成元；群同态基本定理；拉格朗日定理，欧拉函数

中图分类号：0152．1文献标识码：A 文章编号：1007—4260(2010)03--0029一03

0引言

同态映射是研究群关系的重要工具，是群论的基本概念。对任意给定的两个循环群，它们之间却不一定存在非零的同态映射。一个自然的问题是：什么条件下，两个循环群之间存在非零同态映射?进一步，能否求出它们之间所有的非零同态映射，并作出具体分类?本文对有限循环群之间的非零同态映射做了研究，结合初等数论的有关知识，证明了下述定理：

定理设G ，G 7是有限循环群，i G l 一样，I G 7I =优，(优，疗)一k ，有下述结论成立：

(D k=1，则G 与G7问有且仅有一个群同态映射，即零同态映射。

(2)最≠1，令k 的唯一素因子分解式为夕}户争…户}(夕i 是互不相同的素数，z ；≥1)，设G 到G 7所有同态映射共P(G ，G 7)个，则：

以c ，G ，，=耋耋…耋计户扣俄n 一∥111(卜瓦1),2-．-(1--去)f ，，其中屯一{O 。厄,f i ≥=000，。l ，一h —I —O ，l ，z ，f 11’Zf 多1

1基本概念

有限循环群；设G 是一个群，口∈G ，若对Vb ∈G ，j 行∈Z ，使b=口”，则称G 是由口生成的循环群，记作：G 一(a )，若G 是有限阶的，则称G 是有限阶循环群。

群同态定义：设G 与G 7都是群，，是G 到G 7的映射，若，保持运算，即：f (xy)=厂(z )，(y)，

V z ，Y ∈G ，则称厂是G 到G 7的同态映射。

群同态基本定理：，是群G 到群G7的同态映射，则：(1)I m f ≤G ，，K er f

G l =[G 。H 3l H l ，其中E G ：H ]是H 在G 的指数。

欧拉(E ul e r )函数9(m )：／J 、予正整数m 且与／'n 互素的正整数的个数。

算术基本定理l -引：每个大于1的正整数都可以唯一的写成素数的乘积(在乘积中的素因子按升序排列)。

2几个引理

引理1

设G =(口)是，z 阶循环群，H 是G 的子群，则H 也是循环群，且l H I ，z 。

证明若H ={e )，则H =(P )，I H I =1。*收稿日期：2010～01-07

作者简介：屈寅春。男，江苏宝应人，无锡职业技术学院讲师．硕士，主要研究向：群论、环论与表示。

30安庆师范学院学报(自然科学版)2010年

若H≠{e)，则j o≠优∈N，使P≠口”∈H，从而M={志∈N a‘∈H)是一个非空集合。令r是M中的最小正整数，则对V a”∈H，可设m=rq+t，0≤t

引理2设G一(口)是胛阶循环群，则对，l的每个正因数志，G有且仅有一个五阶子群，这个子群就是(口亍)，令T(竹)为以的所有正因数的个数，则G恰有T(7z)个子群‘3l。

证明设G=(口)是n阶循环群，是是行的正因数，所以愚I n，可设n=幻，则I矿I=忌，从而(口a)是G的五阶子群。

又设H也是G的一个矗阶子群，则由引理1，H也是循环群，可设H=(口“)，且I a“l=忌，又a”的阶为忐，从而杰=忌，即：仃=忌(，l，m)，又九=幻，得：g=(咒，m)，q m，于是口”∈(口。)，从而L砣，m，L行’m J。一

a”互(口a)。又因为(口“)与(口a)的阶都是愚，故(口”)=(aq)，即G的五阶子群是唯一的。

如上，对竹的每个正因数志，G有且仅有一个五阶子群，又据引理1，G的子群的阶必是咒的正因数，所以G恰有T(以)个子群，其中T(咒)为行的所有正因数的个数。

引理3设G，G7是有限阶循环群，I G I=疗，I G7I=优，则存在G到G7的群满同态甘辨I行。

证明设G一(口)，G7=(6)，P，e7分别是G和G7的单位元，则a”=e，6m=e’。

“净”设，是G到G7的的群满同态映射，则I m f—G7，据群同态基本定理，有G／K er f兰G7，于是G7G I，即：m I行。

“仁”定义f：G—G7，口‘卜6f，t∈N。下证，是G到G7的群满同态映射。

首先，证明，定义的合理性。对V矿，ay∈(口)，若a2=a x，则口’，=e，挖I(z—y)，又m n，得m I(z—y)，扩，=亭7，扩=by，所以f(a。)=扩=矿=f(a，)，故，是G到G7的映射。

其次，对VU∈(6)，因为G7是循环群，b是生成元，所以3t∈N，使t‘=b‘，即3a‘∈(口)，使

f(a‘)=6I=U，放，是满射。

最后V a。，a’∈(口)，f(a。n’)=，(口抖，)=矿，=bX b，=f(a2)，(口’)，即，保持运算。

所以，是G到G7的群满同态映射。

引理4G一(口)是竹阶循环群，则a7是G的生成元镑(r，，1)=1，且G恰有9(竹)个生成元[4矗]。

证明G=(口)是咒阶循环群，则H=(口7)是阶为-去的子群。

kr’咒，

“净”a7是生成元，则点=竹，所以(r，，z)=1。

～r’竹J

“々”(r，，1)=1，则去=咒，则(口7)一G，所以a7是生成元。

～r，7z，

当r≥，l时，可设r一勋+q，其中五≥1，0≤q<竹，因为G是以阶循环群，a是生成元，所以a7= ah如=aq，所以可设r<竹，即G恰有9(以)个生成元。

引理5设G，G，是有限阶循环群，I G I=苊，l G7I=m，且mI以，则G到G7恰有妒(m)个不同的群满同态映射。

证明设G一(口)，G7=(6)，对任意r，(r，m)=1，1≤r

定义^，G—G7，a‘卜(6，)‘，由引理3可知^是G到G7的群同态满射。

即我们选定G的一个生成元a，将口映到G7的每个生成元b7上，共作出妒(m)个不同的群满同态映射。

反之，设，是一个G到G7的群满同态映射，则，必将a映为G7的生成元。事实上，对V q∈G7，因为厂是满射，所以3a‘∈(口)，使f(a‘)=q，又，保持运算，所以f(a‘)=g=(，(n))‘，即，(口)是G7的生成元。