19.格与布尔代数

1.图19.9给出了一些偏序集的哈斯图，其中哪些不是格？说明理由
答：1)是格
2）不是格，{c,d}没有最小界
3)是格
4)是格
5)是格
6)不是格 {d ,f}没有最小界
7）不是格 {e, f}没有最小界
8) 是格


2.下面各个整数集合关于整除关系都构成了偏序集，判断哪些偏序集是格并说明理由
1）{1，2，3，4，6} 不是格 {4,6}无上界
2){1,2,3,4,6,12} 是格
3）{1，2，3，4，6，9，12，18，36} 是格
4){1,5,5^2,5^3,…} 是格


3.设L是格，对于任意a,b,c∈L, a≤b≤c证明
1) a ∨b=b ∧c
证明: a≤b=> a∨b=b
b≤c=> b∧c=b
所以 a ∨b=b ∧c
2)(a∧b) ∨ (b∧c)=( a ∨ b) ∧ (a ∨c)
证明a≤b=>a∧b=a
b≤c=> b∧c=b
a≤b=>a∨b=b=>(a∧b) ∨ (b∧c)=b
a≤b=> a ∨ b=b
a≤b≤c=> a ∨c=c
b≤c=> b∧c=b=>( a ∨ b) ∧ (a ∨c)=b
所以(a∧b) ∨ (b∧c)=( a ∨ b) ∧ (a ∨c)

4.设 L是格，证明对于任意a,b,c,d∈L有：
1)( a∧b)∨(c∧d)≤(a∨c)∧(b∨d)
证明：a∧b≤a
a≤a∨c
所以 a∧b≤a∨c
a∧b≤b
b≤b∨d
所以a∧b≤b∨d
所以( a∧b) ≤(a∨c)∧(b∨d)
同理 (c∧d)≤(a∨c)∧(b∨d)
所以( a∧b)∨(c∧d)≤(a∨c)∧(b∨d)


2)(a∧b)∨(b∧c)∨(c∧a)≤(a∨b)∧(b∨c)∧(c∨a)
证明： a∧b≤a
a≤a∨c=> a≤c∨a (a∨c= c∨a)
所以a∧b≤c∨a
a ≤a∨b
所以a∧b≤a∨b
a∧b≤b
b≤b∨c
所以a∧b≤b∨c
所以a∧b≤(a∨b)∧(b∨c)∧(c∨a)
同理b∧c≤(a∨b)∧(b∨c)∧(c∨a)
c∧a≤(a∨b)∧(b∨c)∧(c∨a)
所以: (a∧b)∨(b∧c)∨(c∧a)≤(a∨b)∧(b∨c)∧(c∨a)

5. 设L为格，对于任意 a1,a2,….an ∈L 证明
a1 ∧ a2 ∧…. ∧ an = a1 ∨ a2 ∨… ∨an当且仅当a1=a2=…=an
证明：充分性：a1 ∧ a2 ∧…. ∧ an=a1
a1 ∨ a2 ∨… ∨an=a1
所以a1 ∧ a2 ∧…. ∧ an = a1 ∨ a2 ∨… ∨an
必要性：a1 ∧ a2 ∧…. ∧ an≤a1
a1 ≤a1 ∨ a2 ∨… ∨an
因为a1 ∧ a2 ∧…. ∧ an = a1 ∨ a2 ∨… ∨an
所以 a1=a1 ∧ a2 ∧…. ∧ an = a1 ∨ a2 ∨… ∨an
同理 a2=a3=…=an=a1 ∧ a2 ∧…. ∧ an = a1 ∨ a2 ∨… ∨an
所以a1=a2=…=an



6.设 L为格， a,b∈L,证明 a∧b＜a 且a∧b＜b 当且仅当a 与 b不可比
证明 必要性
反证法 如果 a≤b 那么 a∧b=a 与a∧b＜a矛盾
如果b＜a 那么 a∧b=b 与a∧b＜b矛盾
所以a与b不可比。
充分性：根据定理a∧b≤a a∧b≤b
所以要证明a∧b≠a,a∧b≠a
反证法:如果 a∧b=a 或者a∧b=b
那么 a≤b,或者b≤a,
与 a与b不可比矛盾
所以a∧b＜a 且a∧b＜b


7,下面关于一些格的命题P，求P的对偶命题P*
1) a∧(b∨c) = (a∧b)∨(a∧c)
2) (a∧b)∨(b∧c)=(a∨b)∧(a∨c)
3) (a∧b)∨(c∧d)≤(a∨c)∧(b∨d)
4) (a∧b)∨(b∧c)∨(c∧

a)≤(a∨b)∧(b∨c)∧(c∨a)
若 P*=P,则称P是自对偶的，以上命题哪些是自对偶的？
答：对偶命题为：
1) a∨(b∧c) = (a∨b) ∧(a∨c)
2) (a∨b) ∧(b∨c)=(a∧b) ∨(a∧c)
3) (a∨b) ∧(c∨d) ≥(a∧c) ∨(b∧d)
4) (a∨b)∧(b∨c)∧(c∨a) ≥(a∧b)∨(b∧c)∨(c∧a)(自对偶图)

8.对图19.10的两个L1和L2,找出他们所有的三元子格，4元子格以及5元子格
答： L1中三元子格为：{e,c,b} {e,d,b},{c b a},{d b a}{e c a}{e d a }{e b a}
四元子格为：{e,c,b,d},{e c b a},{e d b a}{e c d a}
五元子格为：{e c b d}
L2的三元子格为：{g e d}{g f d}{g e b }{g f c}{g e a}{g f a}{g b a}{g c a}
{e b a}{e d a}{f d a}{f c a}
四元子格为： {g e d f}{g e b a}{ge d a}{g f d a}{g f c a}{e b a d}{f d a c}
五元子格为：{g e f d a}{g e b d a}{g f d a c}


9. 设 L是格，任去 a,b ∈L, a＜b 令
L1={x|x∈L,且 x≤a}
L2={x|x∈L，且a≤x}
L3={x|x∈L, 且 a≤x≤b}
说明 L1,L2,L3都是L的子格。
解：1)任意 x1,x2∈L1, 因为 x1≤a, x2≤a ,所以 x1∨x2≤a,
因为 x1∧x2≤x1, x1≤a 所以 x1∧x2≤a
所以x1∨x2∈L1, x1∧x2∈L1
2)任意 x1,x2∈L2, 因为 a≤x1, a≤x1，所以 a≤x1∧x2
因为 a≤x1,x1≤x1∨x2,所以a≤x1∨x2
所以x1∨x2∈L2, x1∧x2∈L2
3)由上两式子，可得x1∨x2∈L3, x1∧x2∈L3
所以 L1,L2,L3都是L的子格。




10，对图19.11中的格，判断他们是否为模格和分配格，并说明理由。
答：1. 不是分配格 L1的子格{hefgd}与钻
石格同构
2. 不是模格，L2的子格{g e a f c}与五角格同构
3．不是模格,L3的子格{hgda f}与五角格同构
4．不是模格，L4的子格{e d a b d }与五角格同构
5．不是模格，L5的子格{f e a c d}与五角格同构


11.试给出三个六元格，使得其中一个是分配格，一个是模格但不是分配格，一个不是模
格
答：1） 分配格
a
b c
d
e
f
2)是模格但不是分配格
a
b c d
e
f
3)不是模格
a
b c
d e
f


12.设L是格，证明L是模格的充分必要条件是对于任意 a,b,c∈L 有
a∨(b∧(a∨c)=(a∨b)∧(a∨c)
证明：必要性：
a≤a∨c=>
a∨(b∧(a∨c))= (a∨b)∧(a∨c)
充分性：
对于任意a ≤ c，a∨c = c，此时a∨(b∨(a∨c)) = a∨(b∨c)
(a∨b)∧(a∨c) = (a∨b)∧c；

即对于任意a ≤ c，a∨(b∨c) = (a∨b)∧c；根据模格的定义，L是模格。


13. 设L是分配格,a,b,c∈L证明：
a∧b ≤c≤a∨b<==>c = (a∧c)∨(b∧c)∨(a∧b)
证明：1) 先证=>
(a∧c)∨(b∧c)∨(a∧b)=((a∨b) ∧c) ∨(a∧b)=c∨(a

∧b)=c
2) 再证<=
a∧b≤(a∧c)∨(b∧c)∨(a∧b)=> a∧b≤c
a∧c≤a, a≤a∨b =>a∧c≤a∨b
b∧c≤b,b≤a∨b=> b∧c≤a∨b
a∧b , a≤a∨b =>a∧b≤a∨b
所以(a∧c)∨(b∧c)∨(a∧b) ≤a∨b,所以c≤a∨b
所以: a∧b ≤c≤a∨b<==>c = (a∧c)∨(b∧c)∨(a∧b)



14.设L是模格a,b,c∈L
若有 a∧(b∨c) =( a∧b)∨(a∧c) 成立
证明
1）b∧(a∨c)=( b∧a)∨(b∧c)
2）a∨(b∧c)= (a∨b)∧(a∨c)
证明：
1）分为三种情况
1．当b≤a b∧a=b, b∧(a∨c)=b∧(c∨ a)= (b∧c) ∨a=(b∧c) ∨( b∧a)
= ( b∧a)∨(b∧c)
2． b≥a ( b∧a)∨(b∧c)=a∨(b∧c)= (a∨b)∧(a∨c)(根据第二题的结论对偶定理)
=b∧(a∨c)
3,当b与a不可比 那么( b∧a)∨(b∧c) ≤ (b∨b) ∧(a∨c)= b∧(a∨c)
( b∨a) ∧(b∨c) ≤b∨a＜b≤b∨(a∧c)
对偶定理得( b∧a)∨(b∧c) ≥ b∧(a∨c)
所以b∧(a∨c)=( b∧a)∨(b∧c)
2)根据对偶原理，可得到a∨(b∧c)= (a∨b)∧(a∨c)



15.设L是有界格，a,b∈L，证明
1) 若 a∨b=0则 a=b=0,
2) 若a∧b=1则a=b=1

证明，1) a,b∈L=> 0≤a,且 a≤a∨b=0 所以 a=0,同理b=0所以a=b=0,
2)a,b∈L=> a,≤1且1=a∧b≤a，所以1=a同理 1=b所以a=b=1


16.设L是有界格，证明
1) 若|L| ≥2 则L中不存在以自身为补元的元素
2) 弱|L|≥3,且L是一条链，则L不是有补格
证明：
1)若存在 a∨a=0 ,a∧a=1，由上题可以得到a=0=1
与|L| ≥2矛盾
3) 由条件可知，存在 0＜a＜1,，那么其余的元素b,必有b≤a,或者 a≤b,
如果 b≤a, b∨a=a＜1,b不是补元
如果 a≤b, b∧a=a, 0＜a,b不是补元
所以L不是有补格

17,设L是有界分配格，L1是L中所有具有补元的元素构成的集合，证明L1是L的子格
证明：,0,1显然属于L1，所以L1是包含于L的非空子集，所以下面我们只要证明L1关于格
的运算封闭即可，
任意 a1,a2∈L1,存在b1,b2 使得 a1∧b1=0,a1∨b1=1, a2∧b2=0,a2∨b2=1
那么 (a1∧a2) ∨(b1∨b2)=(a1∨b1∨b2) ∧(a2∨b1∨b2)=1
(a1∧a2) ∧(b1∨b2)=( a1∧a2∧b1)∨( a1∧a2∧b2)=0
所以a1∧a2∈L1
(a1∨a2)∨(b1∧b2)=(a1∨b1∨b2) ∧(a2∨b1∨b2)=1
(a1∨a2)∧(b1∧b2)=( a1∧b1∧b2)∨(a2∧b1∧b2)=0
所以a1∨a2∈L1
所以L1是L的子格

18.
18．给出所有的5元格，并说明哪些是模格，哪些是分配格，哪些是有补格
答：1. a
b
c
d
e
是模格，分配格，不是补格
2. a
b c
d
e
不是模格 ,但是补格
3. a
b c d
e
是模格，但不是分配格，是补格

4. a
b c
d
e
是模格，是分配格，但不是补格

5. a
b
c d
e

是模格，是分配格，但不是补格


19设 L是长为n的链，G=是p^t阶循环群，p是素数，若 n=t+1,证明与G的子群同构.
证明：
设L为l1 ≤ l2 ≤ ... ≤

ln；
G的子群格是{e} ≤ {e, a} ≤ ... ≤ {e, a, ..., a^(p-1)}

构造Ψ: L→G的子群格，Ψ(l[i]) = {e, ..., a^(i-1)}

显然Ψ是双射的，并且当l[i] ≤ l[j]时有Ψ(l[i]) ≤ Ψ(l[j])
即Ψ(l[i])∧Ψ(l[j]) = Ψ(l[i]∧l[j])
Ψ(l[i])∨Ψ(l[j]) = Ψ(l[i]∨l[j])

所以L与G的子群格同构。

20.设L是分配格，a∈L,令
f(x)= x∨a,g(x)=x∧a,对于任意x∈L
证明f和g都是格L的自同态映射，并求出这两个子同态的同态像
证明：当x∈L， x∨a∈L, x∨a∈L
任取x1,x2∈L,f(x1∨x2)= x1∨x2∨a=x1∨a∨x2∨a=f(x1) ∨f(x2)
f(x1∧x2)=(x1∧x2)∨a=(x1∨a) ∧(x2∨a)=f(x1)∧f(x2)
所以f是格L的自同态映射
同理g也是 格L的自同态映射
L在f下的同态像是：<{x| x ≤ a}, ∧, ∨>
L在g下的同态像是：<{x| x ≥ a}, ∧, ∨>


21, 设L是分配格，a,b∈L，令
X={x|x∈L且 a∧b≤x≤a}
Y={x|x∈L 且b≤y≤a∨b}
定义 f(x)=x∨b,低于的逆x∈X,g(y)=y∧a,对于任意y∈Y,证明f和g是X与Y之间一对互逆
的格同构映射
证明：首先，对于任意x∈X,有a∧b≤x≤a,于是
b=(a∧b)∨b≤x∨b≤a∨b,即b≤f(x) ≤a∨b
故f(x) ∈Y,从而f是X到Y的映射，类试可证明：g是Y到X的映射。
其次:对于任意x∈X,有
g(f(x))=(x∨b)∧a=(x∧a)∨(a∧b)=x∨(a∧b)=x
类试可证明对于任意 y∈Y，有f(g(y))=y,从而f和g都是双射函数且互逆。
最后对于任意的x1,x2 ∈X，有
,f(x1∨x2)= x1∨x2∨b=x1∨b∨x2∨b=f(x1) ∨f(x2)
f(x1∧x2)=(x1∧x2)∨b=(x1∨b) ∧(x2∨b)=f(x1)∧f(x2)
所以f和g是X与Y之间一对互逆的格同构映射


22.设L是格，A是L的所有子同态映射构成的集合，证明A关于映射的合成运算o构成了一个
独异点。
证明：设I是L上的恒等映射，显然I是L的自同态，即I∈A。所以A不是空集。

任取f,g∈A，那么对于任意x,y∈L，有
(fｏg)(x∨y) = f(g(x∨y))
= f(g(x)∨g(y))
= f(g(x))∨f(g(y))
= (fｏg)(x)∨(fｏg)(y)

同理可证(fｏg)(x∧y) = (fｏg)(x)∧(fｏg)(y)。

因此fｏg是L到自身的同态映射，即fｏg∈A。即合成运算ｏ在A上是封闭的，
而运算ｏ是可结合的，所以是一个半群，是独异点。


后面的23--40题（题目还是挺多，有点难度）到第二轮复习的时候再贴上来！