高中新课程数学(新课标人教A版)必修五《 余弦定理》导学案
高中数学余弦定理教案
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高中数学 1.1.2余弦定理导学案导学案 新人教A版必修5
1.1正弦定理和余弦定理第2课时余弦定理预习案【学习目标】1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索,掌握余弦定理及证明余弦定理的向量方法,并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题.2.通过独立思考，合作探究，使学生学会在方程思想指导下处理解三角形问题的思想方法.3.通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一.通过本节的探究学习，培养学生的创新意识，不断提高自身的文化修养.重点：余弦定理的发现、证明过程及基本应用.难点：用向量方法证明余弦定理.【学法指导】1. 阅读探究课本上的基础知识，初步掌握余弦定理及其简单应用;2. 完成教材助读设置的问题，然后结合课本的基础知识和例题，完成预习自测；3. 将预习中不能解决的问题标出来，并写到后面“我的疑惑”处.Ⅰ.相关知识1.正弦定理是如何证明的？2.正弦定理是 = = = =2R（R为△ABC的外接圆半径）.3.由正弦定理可解决给出或三角形问题。
4.向量的夹角如何定义的？及向量夹角公式Ⅱ.教材助读1.已知两边和他们的夹角能否解三角形？2.余弦定理：三角形中任何一边的平方和等于减去这两边与他们的的的的3.余弦定理的符号表达式是：2a= ，2b= ，2c= 。
4．余弦定理中有个量，已知其中能求出那能否已知三边求出一角？5．余弦定理推论：Acos = ，Bcos = ，Ccos = 。
【预习自测】1.在△ABC 中，3=a，7=b，2=c，那么B等于（）30=A45=B60=C120=D2.在△ABC中，33=a，2=c，150=B，则b= .3. 若△ABC的两边a,b大小固定，角C 增大，边c 角C确定，边c【我的疑惑】探究案Ⅰ.质疑探究——质疑解惑、合作探究探究一：课本中余弦定理是用（）法证明的，也就是说，在△ABC中，已知BC=a，AC=b 及边BC，AC的夹角C，则=（），所以2BA=（）=（），即2c=（）探究二：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？【归纳总结】1.熟悉余弦定理的（ ），注意（ ）, （ ），（ ）等。
高中数学1.1.2余弦定理教案新人教A版必修5
c2 a 2 b 2 2ab cos C 。
（ 2）语言表述：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两 倍。
b2 c2 a2
（3）变形： cos A
；
2bc
cos B
a2 c2 b2
；（第二种形式）
2ac
a2 b2 c2
cos C
。
2ab
（二）剖析升华 （1）余弦定理与正弦定理一样， 勾股定理是余弦定理的特例 .
教学设计
一、温故引新 特例激疑
1，正弦定理是三角形的边与角的等量关系。正弦定理的内容是什么？你能用文字语言
、数学语言叙述
吗？你能用哪些方法证明呢？
正弦定理：在一个三角形中各边和它的对边的正弦比相等，即： 为三角形外接圆的直 径。
a
b
c
2R ，其中 2R
sin A sin B sin C
说明：正弦定理说明同一个三角形中，边与它所对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正
B 2
那么就得到了当角 A 为三个特殊角时的公式： a2 b 2 c2 2bc cos A ，这个公式是不是满足任意三角
形呢？凭感觉上述公式应该满足任意三角形，但是我们应该给出严格的证明。
（二）理性演绎
同学们来考虑，证明恒等式通常采用什么思考方法？
bc cosA 这样的结构我们在什么地方遇到过 ?
3，思考： 如图， 在 ABC 中，已知 ABC c, AC b, BAC A ，
求 a 即 BC 。
本题是“已知三角形的两边及它们的夹角，求第三边。 的问题。本题能否用正弦定理求解？
困难：因为角 B、C 未知 , 较难求 a 。
二、类比探究 理性演绎 （一）类比探究
高中数学《1.1.2 余弦定理》预习导学案 新人教A版必修5
必修五 第一章§5-2正 余弦定理【课前预习】阅读教材完成下面填空解三角形的四种类型1．已知A,B 及a(“角边角”型)利用正弦定理2．已知三边a,b,c(“边边边”型)用余弦定理 。
3.已知两边a,b 及夹角C(边角边型)余弦定理求c,再用余弦定理求两角。
4. 已知两边a,b 及一边对角(“边边角“型)(1) 当 时，有 解(2) 当 时，有 解(3) 当 时，有 解(4) 当 时，有 解【课初5分钟】课前完成下列练习，课前5分钟1．在△ABC 中，若0030,6,90===B a C ，则b c -等于（ ）A ．1B ．1-C ．32D ．32-2．在△ABC 中，若B a b sin 2=，则A 等于（ ）A ．006030或B ．006045或C ．0060120或D ．0015030或3．在△ABC 中，若02,30b B ==，0135C =，a =则 。
4、在△ABC 中，若C cB bA acos cos cos ==，则△ABC 是【课中35分钟】边听边练边落实5、在△ABC 中，已知a=10，B=060 ,C=045，解三角形。
6．在△ABC 中，已知a=2,b=5,c=4,求最大角的正弦值。
7．已知a ＝33，c ＝2，B ＝150°，求边b 的长及S △．8、在△ABC 中，已知a=5，b=7，A= 030,解三角形。
9．在△ABC 中，A R a sin 2=，B R b sin 2=，C R c sin 2=，其中R 是△ABC 外接圆的半径。
求证：C R A b B a sin 2cos cos =+。
【课末5分钟】 知识整理、理解记忆要点 1.2.3.4.【课后15分钟】 自主落实，未懂则问1．已知△ABC 中，AB ＝6，∠A ＝30°，∠B ＝120°，则△ABC 的面积为 ( )A ．9B ．18C ．93D ．1832．在△ABC 中，sin A :sin B :sin C =3:2:4，则cos C 的值为（ ）A ．23 B ．－23 C ．14 D ．－143．在△ABC 中，若AB ＝5，AC ＝5，且cos C ＝109，则BC ＝ 。
高中数学 112余弦定理导学案 新人教A版必修5 学案
高中数学高一年级必修五第一章第1.1.2节：余弦定理导学案Ａ．学习目标继续探索三角形的边长与角度间的具体量化关系、掌握余弦定理的两种表现形式，体会向量方法推导余弦定理的思想；通过实践演算运用余弦定理解决“边、角、边”及“边、边、边”问题；深化与细化方程思想，理解余弦定理的本质。
通过相关教学知识的联系性，理解事物间的普遍联系性。
Ｂ．学习重点、难点重点：余弦定理的发现过程及定理的应用；难点：用向量的数量积推导余弦定理的思路方法及余弦定理在应用求解三角形时的思路。
Ｃ．学法指导探索三角形的边长与角度间的具体量化关系、掌握余弦定理的两种表现形式。
通过实践演算运用余弦定理解决“边、角、边”及“边、边、边”问题。
D．知识链接本课之前，学生已经学习了三角函数、向量基本知识和正弦定理有关内容，对于三角形中的边角关系有了进一步的认识，在此基础上利用向量方法探求余弦定理，学生已有一定的学习基础和学习兴趣。
E．自主学习[提出问题]在△ABC中，若AB＝2，AC＝3，A＝60°.问题1：这个三角形确定吗？提示：确定．问题2：你能利用正弦定理求出BC吗？提示：不能问题3：能否利用平面向量求边BC？如何求得？提示：能．∵BC＝BA＋AC∴BC2＝BA2＋AC2＋2BA·AC＝BA2＋AC2－2BA AC cos A＝4＋9－2×2×3cos 60°＝7∴BC＝7问题4：利用问题3的推导方法，能否推导出用b，c，A表示a?提示：能．[导入新知]余弦定理余弦定理公式表达a2＝b2＋c2－2bc cos_A，b2＝a2＋c2－2ac cos_B，c2＝a2＋b2－2ab cos_C余弦定理语言叙述三角形中任意一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍推论cos A＝b2＋c2－a22bc，cos B＝a2＋c2－b22ac，cos C＝a2＋b2－c22ab[化解疑难]对余弦定理的理解(1)适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立．(2)结构特征：“平方”、“夹角”、“余弦”．(3)揭示的规律：余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系式，它描述了任意三角形中边与角的一种数量关系．(4)主要功能：余弦定理的主要功能是实现三角形中边角关系的互化．F.合作探究已知三角形的三边解三角形[例1] 在△ABC中，若a∶b∶c＝1∶3∶2，求A，B，C.[解] 由于a∶b∶c＝1∶3∶2，可设a ＝x ，b ＝3x ，c ＝2x .由余弦定理的推论，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝3x 2＋4x 2－x 22×3x ×2x ＝32，故A ＝30°.同理可求得cos B ＝12，cos C ＝0，所以B ＝60°，C ＝90°.[类题通法]已知三角形的三边解三角形的方法(1)先利用余弦定理求出一个角的余弦，从而求出第一个角；再利用余弦定理或由求得的第一个角，利用正弦定理求出第二个角；最后利用三角形的内角和定理求出第三个角．(2)利用余弦定理求三个角的余弦，进而求三个角． [活学活用]1．边长为5,7,8的三角形中，最大角与最小角的和是________．解析：设中间角为θ，由于8＞7＞5，故θ的对边的长为7，由余弦定理，得cos θ＝52＋82－722×5×8＝12.所以θ＝60°，故另外两角和为180°－60°＝120°.答案：120°已知三角形的两边及其夹角解三角形[例2] 在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，c ＝4(3＋1)，解此三角形．[解] 由余弦定理得：b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝82＋[4(3＋1)]2－2×8×4(3＋1)·cos 60° ＝64＋16(4＋23)－64(3＋1)×12＝96，∴b ＝4 6.法一：由cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝96＋163＋12－642×46×43＋1＝22，∵0°＜A ＜180°，∴A ＝45°.故C ＝180°－A －B ＝180°－45°－60°＝75°.法二：由正弦定理a sin A ＝b sin B ，∴8sin A ＝46sin 60°，∴sin A ＝22，∵b ＞a ，c ＞a ，∴a 最小，即A 为锐角． 因此A ＝45°.故C ＝180°－A －B ＝180°－45°－60°＝75°. [类题通法]已知三角形的两边及其夹角解三角形的方法先利用余弦定理求出第三边，其余角的求解有两种思路：一是利用余弦定理的推论求出其余角；二是利用正弦定理(已知两边和一边的对角)求解．若用正弦定理求解，需对角的取值进行取舍，而用余弦定理就不存在这些问题(在(0，π)上，余弦值所对角的值是唯一的)，故用余弦定理求解较好．[活学活用]2．在△ABC ，已知a ＝22，b ＝23，C ＝15°，解此三角形．解：c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(22)2＋(23)2－2×22×23×cos(45°－30°) ＝8－4 3 ＝(6－2) 2∴c ＝6－ 2.法一：由余弦定理的推论得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝232＋6－22－2222×23×6－2＝22. ∵0°＜A ＜180°， ∴A ＝45°， 从而B ＝120°. 法二：由正弦定理得sin A ＝a sin Cc＝22×6－246－2＝22. ∵a ＜b ， ∴A ＜B ，又0°＜A ＜180°， ∴A 必为锐角，∴A ＝45°，从而得B ＝120°.已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形[例3] 在△ABC 中，已知b ＝3，c ＝33，B ＝30°，求角A 、角C 和边a . [解] 法一：由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 得32＝a 2＋(33)2－2a ×33×cos 30°，∴a 2－9a ＋18＝0，得a ＝3或6. 当a ＝3时，A ＝30°， ∴C ＝120°.当a ＝6时，由正弦定理得 sin A ＝a sin Bb ＝6×123＝1.∴A ＝90°， ∴C ＝60°.法二：由b ＜c ，B ＝30°，b ＞c sin 30°＝33×12＝332知本题有两解．由正弦定理得sin C ＝c sin B b ＝33×123＝32，∴C ＝60°或120°，当C ＝60°时，A ＝90°，△ABC 为直角三角形．由勾股定理得a ＝b 2＋c 2＝32＋332＝6，当C ＝120°时，A ＝30°，△ABC 为等腰三角形， ∴a ＝3. [类题通法]已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形的方法可根据余弦定理列一元二次方程求出第三边(注意边的取舍)，再利用正弦定理求其他的两个角；也可以由正弦定理求出第二个角(注意角的取舍)，再利用三角形内角和定理求出第三个角，最后再利用正弦定理求出第三边．[活学活用]3．已知：在△ABC 中，cos A ＝35，a ＝4，b ＝3，则c ＝________.解析：A 为b ，c 的夹角，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， ∴16＝9＋c 2－6×35c ，整理得5c 2－18c －35＝0. 解得c ＝5或c ＝－75(舍)．答案：5判断三角形的形状[例4] 在△ABC 中，若a cos A ＋b cos B ＝c cos C ，试判断△ABC 的形状．[解] 由余弦定理可得a ·b 2＋c 2－a 22bc ＋b ·a 2＋c 2－b 22ac＝c ·a 2＋b 2－c 22ab等式两边同乘以2abc 得a 2(b 2＋c 2－a 2)＋b 2(a 2＋c 2－b 2)＝c 2(a 2＋b 2－c 2)，整理化简得a 4＋b 4－2a 2b 2＝c 4， ∴(a 2－b 2)2＝c 4.因此有a 2－b 2＝c 2或b 2－a 2＝c 2. 即a 2＝b 2＋c 2或b 2＝a 2＋c 2故△ABC 为直角三角形．[类题通法]判断三角形的形状应围绕三角形的边角关系进行思考，可用正、余弦定理将已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等方式得出边的相应关系，从而判断三角形的形状，也可利用正、余弦定理将已知条件转化为角与角之间的关系，通过三角变换，得出三角形各内角之间的关系，从而判断三角形形状．[活学活用]4．在△ABC 中，若cos A ＝sin Bsin C，试判断其形状． 解：由cos A ＝sin B sin C 得cos A ＝b c ，即b 2＋c 2－a 22bc ＝bc ，∴b 2＋c 2－a 2＝2b 2，即a 2＋b 2＝c 2， 因此△ABC 是以C 为直角的直角三角形．1.利用正、余弦定理求解平面图形中线段长[典例]如图所示，在四边形ABCD 中，AD ⊥CD ，AD ＝10，AB ＝14，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，求出BC 的长．[解题流程][规范解答]设BD ＝x .在△ABD 中，根据余弦定理，AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD cos ∠BDA ，∴142＝102＋x 2－2×10×x cos 60°，即x 2－10x －96＝0，解得x 1＝16，x 2＝－6(舍去)，∴BD ＝16. ∵AD ⊥CD ，∠BDA ＝60°，∴∠CDB ＝30°. 在△BCD 中，由正弦定理，BC sin ∠CDB ＝BDsin ∠BCD ，∴BC ＝16sin 30°sin 135°＝8 2.[名师批注]将四边形ABCD 分解为两个△ABD 和△BCD ，利用余弦定理列出关于x 的一元二次方程，化简方程时易出错，应注意步骤及计算的准确性。
人教A版高中数学必修五正弦定理和余弦定理导学案新
1. 进一步熟悉正、余弦定理内容；2. 掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形．已知三边求角，用 定理；已知两边和夹角，求第三边，用 定理； 已知两角和一边，用 定理．复习2：在△ABC 中，已知 A ＝6π，a ＝，b ＝，解此三角形．二、新课导学 ※ 学习探究探究：在△ABC 中，已知下列条件，解三角形.① A ＝6π，a ＝25，b ＝；② A ＝6π，a，b ＝；③ A ＝6π，a ＝50，b ＝.思考：解的个数情况为何会发生变化？新知：用如下图示分析解的情况（A 为锐角时）．已知边a,b 和∠A有两个解仅有一个解无解CH=bsinA<a<b a=CH=bsinA a<CH=bsinA试试：1. 用图示分析（A 为直角时）解的情况？2．用图示分析（A 为钝角时）解的情况？※ 典型例题（探究案）例1. 在∆ABC 中，已知80a =，100b =，45A ∠=︒，试判断此三角形的解的情况．变式：在∆ABC 中，若1a =，12c =，40C ∠=︒，则符合题意的b 的值有_____个．例2. 在∆ABC 中，60A =︒，1b =，2c =，求sin sin sin a b cA B C++++的值．变式：在∆ABC 中，若55a =，16b =，且1sin 2ab C =C ．三、总结提升 ※ 学习小结1. 已知三角形两边及其夹角（用余弦定理解决）；2. 已知三角形三边问题（用余弦定理解决）；3. 已知三角形两角和一边问题（用正弦定理解决）；4. 已知三角形两边和其中一边的对角问题（既可用正弦定理，也可用余弦定理，可能有一解、两解和无解三种情况）．※ 知识拓展在∆ABC 中，已知,,a b A ，讨论三角形解的情况 ：①当A 为钝角或直角时，必须a b >才能有且只有一解；否则无解； ②当A 为锐角时，如果a ≥b ，那么只有一解；如果a b <，那么可以分下面三种情况来讨论：（1）若sin a b A >，则有两解； （2）若sin a b A =，则只有一解； （3）若sin a b A <，则无解．※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 已知a 、b 为△ABC 的边，A 、B 分别是a 、b 的对角，且sin 2sin 3A B =，则a bb+的值=（ ）. A. 13 B. 23 C. 43 D. 532. 已知在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶5∶7，那么这个三角形的最大角是（ ）. A ．135° B ．90° C ．120° D ．150°3. 如果将直角三角形三边增加同样的长度，则新三角形形状为（ ）. A ．锐角三角形 B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．由增加长度决定4. 在△ABC 中，sin A :sin B :sin C ＝4:5:6，则cos B ＝ ．5. 已知△ABC 中，cos cos b C c B =，试判断△ABC 的形状 ．1. 在∆ABC 中，a xcm =，2b cm =，45B ∠=︒，如果利用正弦定理解三角形有两解，求x 的取值范围．2. 在∆ABC 中，其三边分别为a 、b 、c ，且满足2221sin 24a b c ab C +-=，求角C ．。
高中数学余弦定理教案(优秀5篇)
高中数学余弦定理教案（优秀5篇）高中数学余弦定理教案篇一一、说教材(一)教材地位与作用《余弦定理》是必修5第一章《解三角形》的第一节内容，前面已经学习了正弦定理以及必修4中的任意角、诱导公式以及恒等变换，为后面学习三角函数奠定了基础，因此本节课有承上启下的作用。
本节课是解决有关斜三角形问题以及应用问题的一个重要定理，它将三角形的边和角有机地联系起来，实现了边与角的互化，从而使三角与几何产生联系，为求与三角形有关的量提供了理论依据，同时也为判断三角形形状，证明三角形中的有关等式提供了重要依据。
(二)教学目标根据上述教材内容分析以及新课程标准，考虑到学生已有的认知结构，心理特征及原有知识水平，我将本课的教学目标定为：⒈知识与技能：掌握余弦定理的内容及公式；能初步运用余弦定理解决一些斜三角形⒈过程与方法：在探究学习的过程中，认识到余弦定理可以解决某些与测量和几何计算有关的实际问题，帮助学生提高运用有关知识解决实际问题的能力。
⒈情感、态度与价值观：培养学生的探索精神和创新意识；在运用余弦定理的过程中，让学生逐步养成实事求是，扎实严谨的科学态度，学习用数学的思维方式解决问题，认识世界；通过本节的运用实践，体会数学的科学价值，应用价值；(三)本节课的重难点教学重点是：运用余弦定理探求任意三角形的边角关系，解决与之有关的计算问题，运用余弦定理解决一些与测量以及几何计算有关的实际问题。
教学难点是：灵活运用余弦定理解决相关的实际问题。
教学关键是：熟练掌握并灵活应用余弦定理解决相关的实际问题。
下面为了讲清重点、难点，使学生能达到本节设定的教学目标，我再从教法和学法上谈谈：二、说学情从知识层面上看，高中学生通过前一节课的学习已经掌握了余弦定理及其推导过程；从能力层面上看，学生初步掌握运用余弦定理解决一些简单的斜三角形问题的技能；从情感层面上看，学生对教学新内容的学习有相当的兴趣和积极性，但在探究问题的能力以及合作交流等方面的发展不够均衡。
高一数学(人教版)必修5导学案设计：1.1.2余弦定理
§1.1.2. 余弦定理学习目标1.通过对余弦定理的探究与证明，学会用向量法.几何法.坐标法证明余弦定理，并能利用余定理解决两类解三角形问题2.体会数学与实际生活的应用，以及在定理推导的过程中用到的数学思想方法学习重点用余弦定理解三角形学习难点余弦定理的灵活运用解三角形学习过程一、复习引入1正弦定理：2正弦定理的应用：正弦定理可解决两类问题：（1）．已知，求其它两边和一角；（2）．已知，求另一边的对角，进而可求其它的边和角（注意解的情况）3．在Rt△ABC中(若C=90︒)有：（勾股定理）4.在ABC∆中，(1) 已知2a=，b=，045C=，求c(2) 已知5a=，7b=，8c=，求B 用正弦定理还能解出来吗？二、自阅课本P5～P6认真理解余弦定理的推导过程并分析其结构1．用向量法探索余弦定理a2=_____________________________c2=_____________________________b2=_____________________________2.余弦定理的变形运用cosA=_________________________________ cosB=_________________________________ cosC=_________________________________思考：1、余弦定理与勾股定理有怎样的关系？2、在△ABC中，若222cba+<，则A为________角，反之亦成立；若222cba+=，则A为________角，反之亦成立；若222cba+>，则A为_______角，反之亦成立3、利用余弦定理可以解决两类三角形问题：（1）已知三边，求_______.（2）已知两边和它们的夹角，求________和________.三、尝试运用（尝试解决”复习引入4”中两个问题）例、在ΔABC中，（1）a＝1,b＝1,C＝1200,求c.（2）a＝3,b＝4,c＝37,求最大角的余弦值.（3）a:b:c＝1:3:2, 求角A,B,C.四、课堂练习1.在ABC∆中，已知8c=，3b=，060A=,求a2、在ABC∆中，已知3b=，c=，030A=,求a,B,C3.在ABC∆中，2b ac=，且2c a=，求cos B五、课堂小结六、作业布置赢在课堂：P5自我检查1、2、3、4P8演练提升1、3、6。
新人教A版必修5高中数学第一章1.1.2余弦定理(二)导学案
1．1.2 余弦定理(二)课时目标1．熟练掌握正弦定理、余弦定理；2．会用正、余弦定理解三角形的有关问题．1．正弦定理及其变形(1)a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R . (2)a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C .(3)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R.(4)sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c .2．余弦定理及其推论 (1)a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A .(2)cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc.(3)在△ABC 中，c 2＝a 2＋b 2⇔C 为直角；c 2>a 2＋b 2⇔C 为钝角；c 2<a 2＋b 2⇔C 为锐角．3．在△ABC 中，边a 、b 、c 所对的角分别为A 、B 、C ，则有：(1)A ＋B ＋C ＝π，A ＋B 2＝π2－C2.(2)sin(A ＋B )＝sin_C ，cos(A ＋B )＝－cos_C ，tan(A ＋B )＝－tan_C .(3)sin A ＋B 2＝cos C 2，cos A ＋B 2＝sin C2.一、选择题1．已知a 、b 、c 为△ABC 的三边长，若满足(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝a b，则∠C的大小为( )A ．60°B ．90°C ．120°D ．150° 答案 C解析 ∵(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ， ∴a 2＋b 2－c 2＝－ab ， 即a 2＋b 2－c 22ab ＝－12，∴cos C ＝－12，∴∠C ＝120°.2．在△ABC 中，若2cos B sin A ＝sin C ，则△ABC 的形状一定是 ( )A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形 答案 C解析 ∵2cos B sin A ＝sin C ＝sin(A ＋B )， ∴sin A cos B －cos A sin B ＝0， 即sin(A －B )＝0，∴A ＝B .3.在△ABC 中，已知sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶5∶7，则这个三角形的最小外角为 ( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．120° 答案 B解析 ∵a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶5∶7， 不妨设a ＝3，b ＝5，c ＝7，C 为最大内角，则cos C ＝32＋52－722×3×5＝－12.∴C ＝120°.∴最小外角为60°.4．△ABC 的三边分别为a ，b ，c 且满足b 2＝ac,2b ＝a ＋c ，则此三角形是( )A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等边三角形答案 D解析∵2b＝a＋c，∴4b2＝(a＋c)2，即(a－c)2＝0.∴a＝c.∴2b＝a＋c＝2a.∴b＝a，即a＝b＝c.5．在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若C＝120°，c＝2a，则( )A．a>b B．a<bC．a＝b D．a与b的大小关系不能确定答案 A解析在△ABC中，由余弦定理得，c2＝a2＋b2－2ab cos 120°＝a2＋b2＋ab.∵c＝2a，∴2a2＝a2＋b2＋ab.∴a2－b2＝ab>0，∴a2>b2，∴a>b.6．如果将直角三角形的三边增加同样的长度，则新三角形的形状是( )A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．由增加的长度确定答案 A解析设直角三角形三边长为a，b，c，且a2＋b2＝c2，则(a＋x)2＋(b＋x)2－(c＋x)2＝a2＋b2＋2x2＋2(a＋b)x－c2－2cx－x2＝2(a＋b－c)x＋x2>0，∴c＋x所对的最大角变为锐角．二、填空题7．在△ABC中，边a，b的长是方程x2－5x＋2＝0的两个根，C ＝60°，则边c＝________.答案19解析由题意：a＋b＝5，ab＝2.由余弦定理得：c2＝a2＋b2－2ab cos C＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab＝52－3×2＝19，∴c＝19.8．设2a＋1，a,2a－1为钝角三角形的三边，那么a的取值范围是________．答案2<a<8解析 ∵2a －1>0，∴a >12，最大边为2a ＋1.∵三角形为钝角三角形，∴a 2＋(2a －1)2<(2a ＋1)2， 化简得：0<a <8.又∵a ＋2a －1>2a ＋1， ∴a >2，∴2<a <8.9．已知△ABC 的面积为23，BC ＝5，A ＝60°，则△ABC 的周长是________．答案 12解析 S △ABC ＝12AB ·AC ·sin A＝12AB ·AC ·sin 60°＝23， ∴AB ·AC ＝8，BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A ＝AB 2＋AC 2－AB ·AC ＝(AB ＋AC )2－3AB ·AC ， ∴(AB ＋AC )2＝BC 2＋3AB ·AC ＝49， ∴AB ＋AC ＝7，∴△ABC 的周长为12.10．在△ABC 中，A ＝60°，b ＝1，S △ABC ＝3，则△ABC 外接圆的面积是________．答案 13π3解析 S △ABC ＝12bc sin A ＝34c ＝3，∴c ＝4，由余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝12＋42－2×1×4cos 60°＝13， ∴a ＝13.∴2R ＝a sin A ＝1332＝2393，∴R ＝393.∴S 外接圆＝πR 2＝13π3. 三、解答题11．在△ABC 中，求证：a 2－b 2c 2＝A －Bsin C.证明 右边＝sin A cos B －cos A sin B sin C ＝sin Asin C·cos B －sin Bsin C·cos A ＝a c ·a 2＋c 2－b 22ac －b c ·b 2＋c 2－a 22bc ＝a 2＋c 2－b 22c 2－b 2＋c 2－a 22c 2＝a 2－b 2c 2＝左边．所以a 2－b 2c 2＝A －B sin C.12.在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边的长，cosB =53， 且·＝－21. (1)求△ABC 的面积； (2)若a ＝7，求角C .解 （1）∵·＝－21，∴·=21.∴· = ||·||·cosB = accosB = 21.∴ac=35，∵cosB = 53，∴sinB = 54.∴S △ABC = 21acsinB = 21×35×54 = 14. (2)ac ＝35，a ＝7，∴c ＝5.由余弦定理得，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝32， ∴b ＝4 2.由正弦定理：c sin C ＝bsin B. ∴sin C ＝c b sin B ＝542×45＝22.∵c <b 且B 为锐角，∴C 一定是锐角． ∴C ＝45°. 能力提升13．已知△ABC 中，AB ＝1，BC ＝2，则角C 的取值范围是( )A ．0<C ≤π6B ．0<C <π2C.π6<C <π2D.π6<C ≤π3 答案 A解析 方法一 (应用正弦定理)∵AB sin C ＝BC sin A ，∴1sin C ＝2sin A∴sin C ＝12sin A ，∵0<sin A ≤1，∴0<sin C ≤12.∵AB <BC ，∴C <A ，∴C 为锐角，∴0<C ≤π6.方法二 (应用数形结合)如图所示，以B 为圆心，以1为半径画圆，则圆上除了直线BC 上的点外，都可作为A 点．从点C 向圆B 作切线，设切点为A 1和A 2，当A 与A 1、A 2重合时，角C 最大，易知此时：BC ＝2，AB ＝1，AC ⊥AB ，∴C ＝π6，∴0<C ≤π6.14．△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知b 2＝ac 且cos B ＝34.(1)求1tan A ＋1tan C的值；（2）设· = 23，求a+c 的值.解 (1)由cos B ＝34，得sin B ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝74.由b 2＝ac 及正弦定理得sin 2 B ＝sin A sin C .于是1tan A ＋1tan C ＝cos A sin A ＋cos C sin C＝sin C cos A ＋cos C sin A sin A sin C ＝A ＋C sin 2 B＝sin B sin 2B ＝1sin B ＝477. (2)由· = 23得ca ·cosB = 23 由cos B ＝34，可得ca ＝2，即b 2＝2.由余弦定理：b 2＝a 2＋c 2－2ac ·cos B ， 得a 2＋c 2＝b 2＋2ac ·cos B ＝5，∴(a ＋c )2＝a 2＋c 2＋2ac ＝5＋4＝9，∴a ＋c ＝3.。
1.1.2余弦定理导学案高一数学人教A版必修五
§1.1.2 余弦定理一、教学目标1.在创设的问题情境中，引导学生发现余弦定理的内容，推证余弦定理，并简单运用余弦定理解三角形.2.引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出余弦定理，培养学生的创新意识和观察与逻辑思维能力.3.面向全体学生，创造平等的教学氛围，通过学生之间、师生之间的交流、合作和评价，调动学生的主动性和积极性，给学生成功的体验，培养学生学习数学兴趣和热爱科学、勇于创新的精神。
二、重点难点教学重点：探究和证明余弦定理的过程；理解掌握余弦定理内容；初步对余弦定理进行应用. 教学难点：证明余弦定理的过程；对余弦定理进行应用.三、教学过程、1.新课引入2.新课讲授（1）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即2222cos a b c bc A =+-，2______________b =，2______________.c =（2）余弦定理的推论从余弦定理，可以得到它的推论222cos 2b c a A bc+-=， cos B =________________；cos C =________________．（3）余弦定理与勾股定理从余弦定理和余弦函数的性质可知，如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是___________；如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角是___________；如果大于第三边的平方，那么第三边所对的角是___________．从上可知，余弦定理可以看作是勾股定理的推广．（4）正弦定理与余弦定理的关系（1）正弦定理和余弦定理都从不同的角度刻画了三角形边角之间的数量关系，它们是解决斜三角形问题的两个最重要的定理．（2）在同一个三角形中，正弦定理和余弦定理又是等价的，即由正弦定理可以推出余弦定理，由余弦定理同样也可以推出正弦定理（同学们可以自己尝试证明一下）．因此，在解三角形时，凡是能用正弦定理求解的三角形，必能用余弦定理求解，反之亦然． 我们把正弦定理和余弦定理结合起来应用，就能很好地解决三角形的问题．（3）直角 钝角 锐角重点利用余弦定理解三角形 难点综合运用正、余弦定理解三角形及三角形形状的判断 易错 解三角形时，除了保证三边长均为正数，还应判断三边能否构成三角形3基础达标1．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知A ＝2π3，a 3b ＝1，则c ＝（ ）A ．3－1B ．3C ．2D ．12．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，3cos cos()1,2,3A B C b c -+===，则a =（ ）A ．10B ．3C ．22D ．5 3．在ABC △中，π,2,34ABC AB BC ∠===，则=∠BAC sin （ ） A ．1010 B ．510 C ．10103 D ．55 4．边长为3、7、8的三角形中，最大角与最小角之和为（ ）A ．90°B ．120°C ．135°D ．150° 5．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若120,2C c a =︒=，则（ ） A ．a b >B ．a b <C ．a b =D ．a 与b 的大小关系不能确定6．已知ABC △中，=3130AB BC A ==︒，，，则=AC _____________．7．在ABC △中，1a =，45B =︒，42c =ABC △的外接圆的直径为_____________． 8．若钝角三角形ABC 的三边长分别是,1,2()a a a a *++∈N ，则a =_____________．9．在ABC △中，C ＝2A ，a ＋c ＝5，cos A ＝34，求b 的值．。
高中数学新人教A版必修5教案1.1.2余弦定理
余弦定理教学分析 一、教学导图二、教学目标1．通过实践与探究，会利用数量积证明余弦定理，提高数学语言的表达能力，体会向量工具在解决三角形的度量问题时的作用。
2．会从方程的角度理解余弦定理的作用及适用范围，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。
3．会结合三角函数利用计算器处理解斜三角形的近似计算问题。
4．在方程思想指导下，提升处理解三角形问题的运算能力；通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一。
三、教学重难点教学重点：余弦定理的发现、证明过程及其基本应用。
教学难点：理解余弦定理的作用及适用范围。
突破关键：将余弦定理的三个公式视为三个方程组成的方程组。
教学设计一、温故引新 特例激疑1，正弦定理是三角形的边与角的等量关系。
正弦定理的内容是什么？你能用文字语言、数学语言叙述吗？你能用哪些方法证明呢？正弦定理：在一个三角形中各边和它的对边的正弦比相等，即：2sin sin sin a b c R A B C===，其中2R 为三角形外接圆的直径。
说明：正弦定理说明同一个三角形中，边与它所对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数2R ，使2sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===。
2，运用正弦定理可以解决一些怎样的解三角形问题呢？ 由,sin sin sin sin a b b cA B B C==，可以解决“已知两角及其一边可以求其他边。
”“已知两边及其一边的对角可以求其他角。
”等解三角形问题。
3，思考：如图，在ABC ∆中，已知,,ABC c AC b BAC A ∆==∠=，求a 即BC 。
本题是“已知三角形的两边及它们的夹角，求第三边。
”的解三角形的问题。
本题能否用正弦定理求解？困难：因为角B C 、未知, 较难求a 。
二、类比探究 理性演绎 （一）类比探究当一个三角形的两边和它们的夹角确定后，那么第三边也是确定不变的值，也就是说角A 的对边随着角A 的变化而变化。
人教版 高二 数学 必修5 第一章：1.1.2余弦定理第2课时导学案
必修5 1.1.2余弦定理（学案）（第2课时）【知识要点】1. 余弦定理的推论； 2．三角形形状的判定; 3. 三角形的最大、最小角. 【学习要求】1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握余弦定理推论；2.会运用余弦定理的推论解决一些简单的三角形度量问题；3.给出三角形中的有关等式,正确判断出三角形的形状.【预习提纲】（根据以下提纲，预习教材第 6 页～第7页）1.如果已知一个三角形的三边一定,那么这个三角形的大小、形状是否完全确定?2.给出一个三角形的三边,如何求出该三角形的三个角 .3.由推论知:若A 为直角,则cos 0A =,从而22b c + 2a ;若A 为锐角,则cos A >0,从而22b c + 2a ;若A 为钝角,则cos A <0,从而22b c + 2a .4.解三角形时往往同时用到正弦定理与余弦定理,此时要根据题目条件选择先使用哪个定理.5.应用余弦定理推论解三角形(阅读例4).6.通过预习教材,思考诸如给出222222,a b c bc a b c =+-=++等形式,如何应用余弦定理求角. 【基础练习】1．在ABC ∆中,已知下列条件,解三角形(角度精确到0.10,边长精确到0.1cm): （1）a =7cm, b =10cm, c =6cm;（2）b =9.4cm, c =21.1cm, b =15.9 cm. 【典型例题】例1 在ABC ∆中, a :b :c 求A 、B 、C .变式1：变式训练1:若sin A :sin B :sin C =)1:)1求最大内角.例2 在ABC ∆中,cos cos a A b B =,试确定此三角形的形状.变式2：在ABC ∆中,已知sin 2cos sin A B C =,试判断此三角形的形状.例3 设锐角三角形ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,2sin a b A =. (1) 求B 的大小;(2) 若5a c ==,求b .变式3: 在 三角形ABC 中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,tan C =(1) 求cos C ; (2) 若52CB CA ∙=,且9a b +=,求c .1.三角形的三边长分别为4，6，8，则此三角形为 （ ）. （A ）锐角三角形 (B)直角三角形 （C ）钝角三角形 (D)不存在2. 在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 若222.a c b +-=则角B 的值为 （ ）.(A)6π (B) 3π (C) 6π或56π (D)3π或23π3.在钝角ABC ∆中，1,2,a b ==则最大边c 的取值范围是 .4.在ABC ∆中，若a <b <c ，且2c <22a b +，则此三角形是 （ ）. （A ）锐角三角形 (B )直角三角形 （C ）钝角三角形 (D )不存在5. 在ABC ∆中，0260,,B b ac ==则ABC ∆的形状为 .6. ABC ∆的面积为30，1,2A CB +=则三角形的三边长为 . 7.已知ABC ∆中，4cos 5A =，且()2::(2)a b c -+=1：2：3，是判断三角形的形状.1.钝角三角形的三边长分别是,1,2,a a a ++，其最大角不超过1200，求a 的取值范围.2. 已知ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c .（1）证明关于x 的方程()2cos 0x c B x a +-=有两个不相等的实根；（2）若上述方程的两根之和等于两根之积，证明ABC ∆为直角三角形.必修5 1.1.2 余弦定理（第2课时）【教学目标】1．从余弦定理推导出余弦定理的推论. 2.应用余弦定理的推论解三角形． 3.讨论解三角形问题可以分为几种类型【重点】 ：通过对三角形边角关系的探索,证明余弦定理的推论,并能应用它解三角形． 【难点】 ：在解三角形时两个定理的选择．【预习提纲】（根据以下提纲，预习教材第 6 页～第 7 页）1.如果已知一个三角形的三边一定,那么这个三角形的大小、形状是否完全确定? （确定）2.给出一个三角形的三边,如何求出该三角形的三个角 .222222222cos ;cos ;cos .222b c a a c b a b c A B C bc ac ab+-+-+-=== 3.由推论知:若A 为直角,则cos 0A =,从而22b c + = 2a ;若A 为锐角,则cos A >0,从而22b c + > 2a ;若A 为钝角,则cos A <0,从而22b c + < 2a .4.解三角形时往往同时用到正弦定理与余弦定理,此时要根据题目条件选择先使用哪个定理.5.应用余弦定理推论解三角形(阅读例4).6.通过预习教材,思考诸如给出222222,a b c bc a b c =+-=++等形式,如何应用余弦定理求角. 【基础练习】1．在ABC ∆中,已知下列条件,解三角形(角度精确到0.10,边长精确到0.1cm): （1）a =7cm, b =10cm, c =6cm;（2）b =9.4cm, c =21.1cm, b =15.9 cm.解：（1）043.5,100.3,36.2A B C ≈≈≈；（2）024.7,44.9,110.4A B C ≈≈≈. 【典型例题】例1 在ABC ∆中, a :b :c 求A 、B 、C . 【审题要津】根据已知条件设出三边的长由余弦定理求解.解：由::1:2a b c =，可设a x =，,2b c x ==，由余弦定理得：222222cos2b c a A bc +-===30A ∴=， 同理1cos ,cos 02B C ==60,90B C ∴== 【方法总结】本题用余弦定理求出A 后，也可用正弦定理求B ，但要注意解的讨论情况.变式1: 若sin A :sin B :sin C =)1:)1求最大内角.====.设)1,a k =则)1,b k c == （k ﹥0）.31-1C 是最大内角.∴1cos 2C =-，故最大内角C =1200. 例2 在ABC ∆中,cos cos a A b B =,试确定此三角形的形状.【审题要津】根据题中给出的等式，可以利用正弦定理边化角，也可以用余弦定理角化边.解：由cos cos a A b B =以及余弦定理得：22222222b c a c c b a b bc ac+-+-⋅=由余弦定理可化角为边，从而根据边的关系判断三角形的形状.整理得22222222()()a b c a b a c b +-=+-，即22222()()0a b c a b ---=，22222a b c a b ∴==+或，222a b c a b ∴==+或当a b =时，ABC ∆为等腰三角形，当222c a b =+时，ABC ∆为直角三角形 因此，ABC ∆为等腰三角形或直角三角形【方法总结】判断三角形形状可有两种思路：一是利用边之间的关系；二是利用角的关系判定.变式2: 在ABC ∆中,已知sin 2cos sin A B C =,试判断此三角形的形状.解：由正、余弦定理化边为角，可得,b c ABC =∴∆为等腰三角形. 例3 设锐角三角形ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,2sin a b A =. (3) 求B 的大小;(4) 若5a c ==,求b .【审题要津】首先利用正弦定理化边为角，可求出角B ，然后应用余弦定理求边. 解：（1）由2sin a b A =，根据正弦定理得sin 2sin sin A B A =⋅,所以1sin 2B =，又ABC ∆为锐角三角形，6B π∴=(2)根据余弦定理，得2222cos 2725457b a c ac B =+-=+-=b ∴=【方法总结】三角等式中边角都有的等式，要么应用正弦定理化成角的关系，要么应用余弦定理化成边的关系进行求解.变式3: 在 三角形ABC 中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,tan C =(3) 求cos C ;(4) 若52CB CA ∙=,且9a b +=,求c .（1）sin tan cos C C C =∴=又221sin cos 1,cos 8C C C +=∴=±.∵tan C ﹥0，∴C 是锐角.1cos 8C ∴=.(2)55,cos 2022CB CA ab C ab ∙=∴=∴=.又229,281a b a ab b +=∴++=.2222241.2cos 36.6a b c a b ab C c ∴+=∴=+-=∴=.1.三角形的三边长分别为4，6，8，则此三角形为 （ C ）. （A ）锐角三角形 (B)直角三角形 （C ）钝角三角形 (D)不存在2. 在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 若222.a c b +-=则角B 的值为 （ A ）.(A)6π (B) 3π (C) 6π或56π (D)3π或23π3.在钝角ABC ∆中，1,2,a b ==则最大边c 的取值范围是c ﹤3)4.在ABC ∆中，若a <b <c ，且2c <22a b +，则此三角形是 （ A ）. （A ）锐角三角形 (B )直角三角形（C ）钝角三角形 (D )不存在5. 在ABC ∆中，0260,,B b ac ==则ABC ∆的形状为. (等边三角形)6. ABC ∆的面积为周长为30，1,2A CB +=则三角形的三边长为: (10,14,6a b c ===或6,14,10a b c ===).7.已知ABC ∆中，4cos 5A =，且()2::(2)a b c -+=1：2：3，是判断三角形的形状.直角三角形（提示：令2,2,23,a k b k c k -==+=（k ﹥2））.1.钝角三角形的三边长分别是,1,2,a a a ++，其最大角不超过1200，求a 的取值范围. 解∵钝角三角形的三边长分别为,1,2,a a a ++∴有2a +﹥1a +﹥a ﹥0.设三角形的最大内角为α，则依题意得090﹤α≤1200，于是由余弦定理得()()()()()()22212313cos 21212a a a a a a a a a a a α++-+-+-===++.1322a a-∴-≤﹤0，解得32a ≤﹤3. 2. 已知ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,abc .（1）证明关于x 的方程()2cos 0x c B x a +-=有两个不相等的实根；（2）若上述方程的两根之和等于两根之积，证明ABC ∆为直角三角形. 解析：（1）略；（2）由题意知 cos c B a =，则222222222,,.2a c b ca cb a a bc ac+-=∴-=∴+= 所以ABC ∆为直角三角形.。
新人教A版必修5高中数学第一章1.1.2余弦定理(一)导学案
1．1.2 余弦定理(一) 课时目标1．熟记余弦定理及其推论；2．能够初步运用余弦定理解斜三角形．1．余弦定理 三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．即a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A ，b 2＝c 2＋a 2－2ca cos_B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos_C .2．余弦定理的推论cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ；cos B ＝c 2＋a 2－b 22ca ；cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab. 3．在△ABC 中：(1)若a 2＋b 2－c 2＝0，则C ＝90°；(2)若c 2＝a 2＋b 2－ab ，则C ＝60°；(3)若c 2＝a 2＋b 2＋2ab ，则C ＝135°.一、选择题1．在△ABC 中，已知a ＝1，b ＝2，C ＝60°，则c 等于( ) A. 3 B ．3C. 5 D ．5答案 A2．在△ABC 中，a ＝7，b ＝43，c ＝13，则△ABC 的最小角为( )A.π3B.π6C.π4D.π12答案 B解析 ∵a >b >c ，∴C 为最小角，由余弦定理cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝72＋32－1322³7³43＝32.∴C ＝π6. 3．在△ABC 中，已知a ＝2，则b cos C ＋c cos B 等于( )A ．1 B. 2 C ．2 D ．4答案 C解析 b cos C ＋c cos B ＝b ²a 2＋b 2－c 22ab ＋c ²c 2＋a 2－b 22ac ＝2a 22a ＝a ＝2.4．在△ABC 中，已知b 2＝ac 且c ＝2a ，则cos B 等于( )A.14B.34C.24D.23答案 B解析 ∵b 2＝ac ，c ＝2a ，∴b 2＝2a 2，b ＝2a ，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－2a 22a ²2a ＝34. 5．在△ABC 中，sin 2A 2＝c －b 2c(a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对应边)，则△ABC 的形状为( )A ．正三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形答案 B 解析 ∵sin 2A 2＝1－cos A 2＝c －b 2c， ∴cos A ＝b c ＝b 2＋c 2－a 22bc⇒a 2＋b 2＝c 2，符合勾股定理． 故△ABC 为直角三角形．6．在△ABC 中，已知面积S ＝14(a 2＋b 2－c 2)，则角C 的度数为( )A ．135°B ．45°C ．60°D ．120°答案 B 解析 ∵S ＝14(a 2＋b 2－c 2)＝12ab sin C ， ∴a 2＋b 2－c 2＝2ab sin C ，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab sin C .由余弦定理得：c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，∴sin C ＝cos C ，∴C ＝45° .二、填空题7．在△ABC 中，若a 2－b 2－c 2＝bc ，则A ＝________.答案 120°8．△ABC 中，已知a ＝2，b ＝4，C ＝60°，则A ＝________. 答案 30°解析 c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C＝22＋42－2³2³4³cos 60°＝12∴c ＝2 3.由正弦定理：a sin A ＝c sin C 得sin A ＝12. ∵a <c ，∴A <60°，A ＝30°.9．三角形三边长为a ，b ，a 2＋ab ＋b 2 (a >0，b >0)，则最大角为________．答案 120°解析 易知：a 2＋ab ＋b 2>a ，a 2＋ab ＋b 2>b ，设最大角为θ，则cos θ＝a 2＋b 2－a 2＋ab ＋b 222ab ＝－12， ∴θ＝120°.10．在△ABC 中，BC ＝1，B ＝π3，当△ABC 的面积等于3时，tan C ＝________.答案 －2 3解析 S △ABC ＝12ac sin B ＝3，∴c ＝4.由余弦定理得，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝13，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－113，sin C ＝1213， ∴tan C ＝－12＝－2 3.三、解答题11．在△ABC 中，已知CB ＝7，AC ＝8，AB ＝9，试求AC 边上的中线长．解 由条件知：cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22²AB ²AC ＝92＋82－722³9³8＝23，设中线长为x ，由余弦定理知：x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AC 22＋AB 2－2²AC 2²AB cos A ＝42＋92－2³4³9³23＝49 ⇒x ＝7.所以，所求中线长为7.12．在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，且a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，2cos(A ＋B )＝1.(1)求角C 的度数；(2)求AB 的长；(3)求△ABC 的面积．解 (1)cos C ＝cos[π－(A ＋B )]＝－cos(A ＋B )＝－12， 又∵C ∈(0°，180°)，∴C ＝120°.(2)∵a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝23，ab ＝2.∴AB 2＝b 2＋a 2－2ab cos 120°＝(a ＋b )2－ab ＝10，∴AB ＝10.(3)S △ABC ＝12ab sin C ＝32. 能力提升13．(2010²潍坊一模)在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝6，BC ＝1＋3，AD 为边BC 上的高，则AD 的长是________． 答案 3解析 ∵cos C ＝BC 2＋AC 2－AB 22³BC ³AC ＝22， ∴sin C ＝22. ∴AD ＝AC ²sin C ＝ 3.14．在△ABC 中，a cos A ＋b cos B ＝c cos C ，试判断三角形的形状．解 由余弦定理知cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac， cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab，代入已知条件得a ²b 2＋c 2－a 22bc ＋b ²a 2＋c 2－b 22ac ＋c ²c 2－a 2－b 22ab＝0， 通分得a 2(b 2＋c 2－a 2)＋b 2(a 2＋c 2－b 2)＋c 2(c 2－a 2－b 2)＝0， 展开整理得(a 2－b 2)2＝c 4.∴a 2－b 2＝±c 2，即a 2＝b 2＋c 2或b 2＝a 2＋c 2.根据勾股定理知△ABC 是直角三角形．1．利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题：(1)已知两边和夹角，解三角形．(2)已知三边求三角形的任意一角．2．余弦定理与勾股定理余弦定理可以看作是勾股定理的推广，勾股定理可以看作是余弦定理的特例．。
人教新课标版数学高二必修5导学案 余弦定理(二)教师版
1.1.2余弦定理(二)教学目标1.熟练掌握余弦定理及其变形形式.2.会用余弦定理解三角形.3.能利用正弦、余弦定理解决有关三角形的恒等式化简、证明及形状判断等问题．教学过程一、创设情景教师首先提出问题：通过学生对课本的预习，让学生与大家分享自己对余弦定理及其变形形式的了解。
通过举例说明和互相交流.做好教师对学生的活动的梳理引导，并给予积极评价.二、自主学习1.在△ABC中，若B＝30°，AB＝23，AC＝2，可以先用正弦定理bsin B＝csin C求出sin C＝32.那么能不能用余弦定理解此三角形？如果能，怎么解？提示：能．在余弦定理b2＝a2＋c2－2ac cos B中，已知三个量AC＝b，AB＝c，cos B，代入后得到关于a的一元二次方程，解此方程即可．2.已知两边及其一边的对角，既可先用正弦定理，也可先用余弦定理，满足条件的三角形个数为0,1,2，具体判断方法为：设在△ABC中，已知a，b及A的值．由正弦定理asin A ＝bsin B，可求得sin B＝b sin Aa.(1)当A为钝角时，则B必为锐角，三角形的解唯一；(2)当A为直角且a>b时，三角形的解唯一；(3)当A为锐角时，如图，以点C为圆心，以a为半径作圆，三角形解的个数取决于a与CD和b的大小关系：①当a<CD时，无解；②当a＝CD时，一解；③当CD<a<b时，则圆与射线AB有两个交点，此时B为锐角或钝角，此时B的值有两个．④当a ≥b 时，一解．(4)如果a >b ，则有A >B ，所以B 为锐角，此时B 的值唯一．二、合作探究探究点1：判断三角形的形状问题1 三角形的形状类别很多，按边可分为等腰三角形，等边三角形，其他；按角可分为钝角三角形，直角三角形，锐角三角形．在判断三角形的形状时是不是要一个一个去判断？提示：不需要．如果所知条件方便求角，只需判断最大的角是钝角，直角，锐角；如果方便求边，假设最大边为c ，可用a 2＋b 2－c 2来判断cos C 的正负．而判断边或角是否相等则一目了然，不需多说．问题2 △ABC 中，sin2A ＝sin2B .则A ，B 一定相等吗？提示：∵A ，B ∈(0，π)，∴2A,2B ∈(0,2π)，∴2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，即A ＝B 或A ＋B ＝π2. 例1 在△ABC 中，已知(a ＋b ＋c )(b ＋c －a )＝3bc ，且sin A ＝2sin B cos C ，试判断△ABC的形状．解 由(a ＋b ＋c )(b ＋c －a )＝3bc ，得b 2＋2bc ＋c 2－a 2＝3bc ，即b 2＋c 2－a 2＝bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12. ∵0<A <π，∴A ＝π3. 又sin A ＝2sin B cos C .∴由正弦、余弦定理，得a ＝2b ·a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋b 2－c 2a， ∴b 2＝c 2，b ＝c ，∴△ABC 为等边三角形．变式训练：将本例中的条件(a ＋b ＋c )(b ＋c －a )＝3bc 改为(b 2＋c 2－a 2)2＝b 3c ＋c 3b －a 2bc ，其余条件不变，试判断△ABC 的形状．解 由(b 2＋c 2－a 2)2＝b 3c ＋c 3b －a 2bc ，得(b 2＋c 2－a 2)2＝bc (b 2＋c 2－a 2)，∴(b 2＋c 2－a 2)(b 2＋c 2－a 2－bc )＝0，∴b 2＋c 2－a 2＝0或b 2＋c 2－a 2－bc ＝0，∴a 2＝b 2＋c 2或b 2＋c 2－a 2＝bc ，由a 2＝b 2＋c 2，得A ＝90°，由b 2＋c 2－a 2＝bc ，得cos A ＝12， ∴A ＝60°，∴△ABC 为等边三角形或等腰直角三角形．名师点评： (1)判断三角形形状，往往利用正弦定理、余弦定理将边、角关系相互转化，经过化简变形，充分暴露边、角关系，继而作出判断．(2)在余弦定理中，注意整体思想的运用，如：b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，b 2＋c 2＝(b ＋c )2－2bc 等等．探究点2：证明三角形中的恒等式问题： 前面我们用正弦定理化简过a cos B ＝b cos A ，当时是把边化成了角；现在我们学了余弦定理，你能不能用余弦定理把角化成边？提示：由余弦定理得a a 2＋c 2－b 22ac ＝b b 2＋c 2－a 22bc，去分母得a 2＋c 2－b 2＝b 2＋c 2－a 2，化简得a ＝b .例2 在△ABC 中，有(1)a ＝b cos C ＋c cos B ；(2)b ＝c cos A ＋a cos C ；(3)c ＝a cos B ＋b cos A ，这三个关系式也称为射影定理，请给出证明．证明 方法一 (1)由正弦定理，得b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，∴b cos C ＋c cos B＝2R sin B cos C ＋2R sin C cos B＝2R (sin B cos C ＋cos B sin C )＝2R sin(B ＋C )＝2R sin A ＝a .即a ＝b cos C ＋c cos B .同理可证(2)b ＝c cos A ＋a cos C ；(3)c ＝a cos B ＋b cos A .方法二 (1)由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab， ∴b cos C ＋c cos B＝b ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·a 2＋c 2－b 22ac＝a 2＋b 2－c 22a ＋a 2＋c 2－b 22a ＝2a 22a＝a . ∴a ＝b cos C ＋c cos B .同理可证(2)b ＝c cos A ＋a cos C ；(3)c ＝a cos B ＋b cos A .名师点评：证明三角形中边角混合关系恒等式，可以考虑两种途径：一是把角的关系通过正弦、余弦定理转化为边的关系，正弦借助正弦定理转化，余弦借助余弦定理转化；二是通过正弦定理把边的关系转化为角的关系．四、当堂检测1．在△ABC 中，若b 2＝a 2＋c 2＋ac ，则B 等于( )A ．60°B ．45°或135°C ．120°D ．30°2．在△ABC 中，若b 2sin 2C ＋C 2sin 2B ＝2bc cos B cos C ，则△ABC 的形状一定是( )A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形3．在△ABC 中，若B ＝30°，AB ＝23，AC ＝2，则满足条件的三角形有几个？提示：1．C 2.B3．解设BC＝a，AC＝b，AB＝c，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac cos B，∴22＝a2＋(23)2－2a×23cos30°，即a2－6a＋8＝0，解得a＝2或a＝4.当a＝2时，三边长为2,2,23，可组成三角形；当a＝4时，三边长为4,2,23，也可组成三角形．∴满足条件的三角形有两个．五、课堂小结本节课我们学习过哪些知识内容?1．已知两边及其中一边的对角解三角形，一般情况下，利用正弦定理求出另一边所对的角，再求其他的边或角，要注意进行讨论．如果采用余弦定理来解，只需解一个一元二次方程，即可求出边来，比较两种方法，采用余弦定理较简单．2．根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．3．在余弦定理中，每一个等式均含有四个量，利用方程的观点，可以知三求一．4．利用余弦定理求三角形的边长时容易出现增解，原因是余弦定理中涉及的是边长的平方，通常转化为一元二次方程求正实数．因此解题时需特别注意三角形三边长度所应满足的基本条件．六、课例点评本节课是进一步学习余弦定理，为突破以往“基础自测”＋“典型例题”＋“变式巩固”的模式，本节课突出了教材回归，在强调知识运用的同时也更强调知识的由来和其中蕴含的思想方法，真正发挥教材的作用，帮助学生建构完整的知识和方法网络，提升学生分析和认识问题的高度。
数学必修5人教A教案导学案：余弦定理
课题:1．1．2余弦定理授课类型：新授课【教学目标】1．知识与技能:掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。
2.过程与方法:利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题，3．情态与价值：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一。
【教学重、难点】重点：余弦定理的发现和证明过程及其基本应用；难点：勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。
【教学过程】[创设情景] C 如图1．1-4，在∆ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c,已知a,b和∠C，求边c b aA c B(图1．1-4)[探索研究]联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？用正弦定理试求，发现因A、B均未知，所以较难求边c。
由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。
A如图1．1-5，设CB a =，CA b =，AB c =，那么c a b =-，则 b c()()2222 2c c c a b a ba ab b a b a b a b=⋅=--=⋅+⋅-⋅=+-⋅ C a B从而 2222cos c a b ab C =+- (图1．1-5)同理可证 2222cos a b c bc A =+-2222cos b a c ac B =+-于是得到以下定理余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。
即 2222cos a b c bc A =+-2222cos b a c ac B =+-思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？（由学生推出）从余弦定理，又可得到以下推论：222cos 2+-=b c a A bc 222cos 2+-=a cb B ac 222cos 2+-=b ac C ba[理解定理]从而知余弦定理及其推论的基本作用为：①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边； ②已知三角形的三条边就可以求出其它角。
人教版必修五第一章解三角形余弦定理导学案
乌丹二中有效课堂导学案模板《 1.1.2 余弦定理(一)》 导学案姓名： 班级： 组名： 设计者： 张喜花 审核人： 1．余弦定理三角形中任何一边的________等于其他两边的________的和减去这两边与它们的______________的余弦的积的________．即a 2＝__________________，b 2＝_______，c 2＝__________________.2．余弦定理的推论cos A ＝________________；cos B ＝________________；cos C ＝________________.3．在△ABC 中：(1)若a 2＋b 2－c 2＝0，则C ＝________；(2)若c 2＝a 2＋b 2－ab ，则C ＝________；(3)若c 2＝a 2＋b 2＋2ab ，则C ＝________.合作探究 （重难点突破）试用向量的数量积证明余弦定理．学习年级高一 学科 数学 课 题 1.1.2 余弦定理(一) 教师 课型新授课 课时 授课日期 年 月 日 学习目标 1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法; 2.会利用余弦定理解决两类基本的解三角形问题; 3.利用向量的数量积推出余弦定理及其推论;4.培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；重点难点 重点 余弦定理的发现和证明过程及其基本应用. 难点 1.向量知识在证明余弦定理时的应用,与向量知识的联系过程;2.余弦定理在解三角形时的应用思路;3.勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用．学习方法 学案导学知识点一已知三角形两边及夹角解三角形例1在△ABC中，已知a＝2，b＝22，C＝15°，求A.总结解三角形主要是利用正弦定理和余弦定理，本例中的条件是已知两边及其夹角，而不是两边及一边的对角，所以本例的解法应先从余弦定理入手．变式训练1在△ABC中，边a，b的长是方程x2－5x＋2＝0的两个根，C＝60°，求边c.知识点二已知三角形三边解三角形例2已知三角形ABC的三边长为a＝3，b＝4，c＝37，求△ABC的最大内角．总结已知三边求三角时，余弦值是正值时，角是锐角，余弦值是负值时，角是钝角．变式训练2在△ABC中，已知BC＝7，AC＝8，AB＝9，试求AC边上的中线长．知识点三 利用余弦定理判断三角形形状例3 在△ABC 中，a 、b 、c 分别表示三个内角A 、B 、C 的对边，如果(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin(A ＋B )，试判断该三角形的形状．变式训练3 在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，试判断三角形的形状．1．利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题：(1)已知两边和夹角，解三角形．(2)已知三边求三角形的任意一角．2．余弦定理与勾股定理余弦定理可以看作是勾股定理的推广，勾股定理可以看作是余弦定理的特例．(1)如果一个三角形两边的平方和大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角．(2)如果一个三角形两边的平方和小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角．(3)如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角.当堂检测（训练达标）一、选择题 1．在△ABC 中，a ＝7，b ＝43，c ＝13，则△ABC 的最小角为( )2．在△ABC 中，已知a ＝2，则b cos C ＋c cos B 等于( )A ．1C ．2D ．43．在△ABC 中，已知b 2＝ac 且c ＝2a ，则cos B 等于( )4．在△ABC 中，sin 2A2＝c －b2c (a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对应边)，则△ABC 的形状为() A ．正三角形 B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形5．在△ABC 中，已知面积S ＝14(a 2＋b 2－c 2)，则角C 的度数为( )6．三角形三边长分别为a ，b ，a 2＋ab ＋b 2 (a >0，b >0)，则最大角为________．7．在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝6，BC ＝1＋3，AD 为边BC 上的高，则AD 的长是________．8．在△ABC 中，BC ＝1，∠B ＝π3，当△ABC 的面积等于3时，tan C ＝________. 三、解答题9．在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，且a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，2cos(A ＋B )＝1.(1)求角C 的度数；(2)求AB 的长；(3)求△ABC 的面积．10．在△ABC 中，已知a －b ＝4，a ＋c ＝2b ，且最大角为120°，求三边的长．1． 余弦定理(一)答案知识梳理1．平方 平方 夹角 两倍 b 2＋c 2－2bc cos A c 2＋a 2－2ca cos B a 2＋b 2－2ab cos C c 2＋a 2－b 22ca a 2＋b 2－c 22ab3．(1)90° (2)60° (3)135°自主探究证明如图所示，设CB →＝a ，CA →＝b ，AB →＝c ，那么c ＝a －b ，|c |2＝c ·c ＝(a －b )·(a －b )＝a ·a ＋b ·b －2a ·b＝a 2＋b 2－2ab cos C .所以c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .同理可以证明：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B .对点讲练例1 解 由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝8－43，所以c ＝6－2，由正弦定理得sin A ＝a sin C c ＝12，因为b >a ， 所以B >A ，又∵0°<A <180°，∴A ＝30°.变式训练1 解 由题意：a ＋b ＝5，ab ＝2.由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋b 2－ab＝(a ＋b )2－3ab ＝52－3×2＝19.∴c ＝19.例2 解 ∵c >a ，c >b ，∴角C 最大．由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，即37＝9＋16－24cos C ，∴cos C ＝－12， ∵0°<C <180°，∴C ＝120°.所以△ABC 的最大内角为120°.变式训练2 解 由条件知：cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22·AB ·AC ＝92＋82－722×9×8＝23， 设中线长为x ，由余弦定理知：x 2＝⎝⎛⎭⎫AC 22＋AB 2－2·AC 2·AB cos A ＝42＋92－2×4×9×23＝49，即x ＝7.例3 解 ∵a 2[sin(A －B )－sin(A ＋B )]＝b 2[－sin(A ＋B )－sin(A －B )]，∴2a 2cos A sin B ＝2b 2cos B sin A ，由正、余弦定理，即得a 2b b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2a a 2＋c 2－b 22ac ， ∴a 2(b 2＋c 2－a 2)＝b 2(a 2＋c 2－b 2)，即(a 2－b 2)(c 2－a 2－b 2)＝0，∴a ＝b 或c 2＝a 2＋b 2，∴该三角形为等腰三角形或直角三角形．变式训练3 解 因为a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，所以可令a ＝2k ，b ＝3k ，c ＝4k (k >0)．c 最大，cos C ＝(2k )2＋(3k )2－(4k )22×2k ×3k<0， 所以C 为钝角，从而三角形为钝角三角形．课时作业1．B [∵a >b >c ，∴C 为最小角，由余弦定理cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝72＋(43)2－(13)22×7×43＝32.∴C ＝π6.] 2．C [b cos C ＋c cos B ＝b ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·c 2＋a 2－b 22ac ＝2a 22a＝a ＝2.] 3．B [∵b 2＝ac ，c ＝2a ，∴b 2＝2a 2，b ＝2a ，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－2a 22a ·2a ＝34.] 4．B [∵sin 2A 2＝1－cos A 2＝c －b 2c， ∴cos A ＝b c ＝b 2＋c 2－a 22bc，∴a 2＋b 2＝c 2，符合勾股定理．] 5．B [∵S ＝14(a 2＋b 2－c 2)＝12ab sin C ， ∴a 2＋b 2－c 2＝2ab sin C ，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab sin C .由余弦定理得：c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，∴sin C ＝cos C ，∴C ＝45° .]6．120°解析 易知：a 2＋ab ＋b 2>a ，a 2＋ab ＋b 2>b ，设最大角为θ，则cos θ＝a 2＋b 2－(a 2＋ab ＋b 2)22ab＝－12，又θ∈(0°，180°)，∴θ＝120°.解析 ∵cos C ＝BC 2＋AC 2－AB 22×BC ×AC＝22，∴sin C ＝22.∴AD ＝AC ·sin C ＝ 3. 8．－2 3解析 S △ABC ＝12ac sin B ＝3，∴c ＝4. 由余弦定理：b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝13，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－113，sin C ＝1213， ∴tan C ＝－12＝－2 3.9．解 (1)∵cos C ＝cos [π－(A ＋B )]＝－cos(A ＋B )＝－12， 且C ∈(0，π)，∴C ＝2π3.(2)∵a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝23，ab ＝2.。
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1.1.2 余弦定理
班级：组名：姓名：设计人：连秀明审核人：魏帅举领导审批：
【学习目标】
1.会利用数量积证明余弦定理，体会向量工具在解决三角形的角度
问题是的作用；（难点）
2.会从方程的角度理解余弦定理的作用及适用范围，会运用余弦定
理解决三角形的基本问题；（重点）
3.会结合三角函数利用计算器处理解斜三角形的近似计算问题。
【研讨互动问题生成】
1.余弦定理定义；
2.余弦定理适用于哪几种情况；
3.余弦定理的推论；
【合作探究问题解决】
1.在三角形ABC中，一直下列条件，解三角形。
（1）a=6,b=7,c=8
（2）a=7,b=9,c=13
2.在三角形ABC中，一直下列条件，解三角形。
(1)b=10,c=15,A=60
（2）a=5.b=7.C= 75
【点睛师例巩固提高】
1. 利用余弦定理说明ABC
△的内角C为锐角、直角、钝角的充要条件分别为222
a b c
+>、222
a b c
+=、222
a b c
+<．
2.在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c若2b=ac且c=2a,求cos B
【要点归纳反思总结】
1.已知三边求解三角形或已知两边及其夹角求解三角形时，使用余
弦定理。
2.A为锐角⇔cos A=
222
2bc
b c a
+-
＞0⇔222
b c a
+-＞0
A为钝角⇔cos A=
222
2bc
b c a
+-
＜0⇔222
b c a
+-＜0
3.在解三角形时，往往是正弦定理和余弦定理交替使用。
4.余弦定理求角时，角的值是唯一的，这样可以避免产生增解。
5.已知三角形的两边两边的夹角，在解三角形时，要注意用余弦定
理求第三边，进而解出三角形。
【多元评价】
自我评价: 小组成员评价: 小组长评价:
学科长评价: 学术助理评价:
【课后训练】
1．△ABC 中，a ＝3，b ＝7，c ＝2，那么B 等于（
） A ． 30° B ．45° C ．60° D ．120°
2.已知△ABC 中，sinA:sinB:sinC ＝1∶3∶2，则A ∶B ∶C 等于
( )
A ．1∶2∶3
B ．2∶3∶1
C ．1∶3∶2
D ．3∶1∶2
3.在ABC 中，60B =，2b ac =，则ABC 一定是 （ ）
A 、锐角三角形
B 、钝角三角形
C 、等腰三角形
D 、等边三
角形
4．若三条线段的长为5、6、7，则用这三条线段（ ）
A 、能组成直角三角形
B 、能组成锐角三角形
C 、能组成钝角三角形
D 、不能组成三角形
5．在△ABC 中，若8,3,7===c b a ，则其面积等于（ ）
A ．12
B ．2
21 C ．28 D ．36 6．在△ABC 中，若)())((c b b c a c a +=-+，则∠A=（ ）
A ．090
B ．060
C ．0120
D ．0150
7．在△ABC 中，若14
13cos ,8,7===C b a ，则最大角的余弦是（ ） A ．51- B ．61- C ．71- D ．8
1- 8．三角形的两边分别为5和3，它们夹角的余弦是方程0
6752=--x x 的根，
则三角形的另一边长为（ ）
A. 52
B.
C. 16
D.
9．在△ABC 中，若AB ＝5，AC ＝5，且cos C ＝
109，则BC ＝________． 10．在△ABC 中，()()()6:5:4::=+++b a a c c b ，则△ABC 的最大内角的度数是
11．在△ABC 中，∠C ＝60°，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、.C 的对边，则c
a b c b a +++＝________． 12．在ABC △中，A 最大，C 最小，且2A C =，2a c b +=，求此三角形三边之比．
13． 若23x ，
，为三边组成一个锐角三角形，求x 的范围
1.2.1 应用举例
班级： 组名： 姓名： 设计人：连秀明 审核人：魏帅举 领导审批：
【学习目标】
1. 会熟练地应用正、余弦定理解任意三角形，能够运用正、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。
（重点，难点）
2. 了解斜三角形在测量、工程、航海等实际问题中的一些应用，体会正，余弦定理在平面几何中的计算和推理中的工具作用。
【研讨互动 问题生成】
1. 测量中的有关概念、名词和术语
（1）基线：
(2)仰角与俯角：
(3)方位角与方向角：
(4)视角：
（5）坡角与坡度：
2.《1》三角形的几个面积公式
（1）S=
12
ah(h 表示a 边上的高) （2）S=12ab sin C =12bc sin A =12
ac sin B (3)S=12
r(a+b+c)(r 为内切圆半径)
(4)S= 其中1()2p a b c =++) 【合作探究 问题解决】
1.如图，设A 、B 两点在河的两岸，要测量两点之。