幂函数性质图像(课堂PPT)

③如果α>0,则幂函数 在(0,+∞)上为增函数;
α>1a=1
0<α<1
如果α<0,则幂函数
α<0
在(0,+∞)上为减函数。
22
幂函数与指数函数的对比：
名称
式子
常数
x
y
指数函数: y=a x
（a>0且a≠1)
幂函数: y= xα
a为底数 α为指数
指数 底数
幂值 幂值
判断一个函数是幂函数还是指数函数切入点
问题2：如果正方形的边长为a，那么正方形的面积
是S = a²， 这里S是a的函数。
y x2
问题3：如果立方体的边长为a，那么立方体的体积
是V = a³， 这里V是a的函数 。
y
3
x
问题4:如果正方形场地的面积为S，那么正方形的
边长a=
1
S2，
这里a是S的函数
。
1
y x2
问题5：如果某人t s内骑车行进了1km，那么他骑车
1
0 -2
-4 -6 -8
1 2… 1 8… 1 2 3 4…
1 2 3 2…
y=x3
23 4
1
y=x 2
x
11
函数 y x3的图象
定义域： R 值 域： R
奇偶性：奇函数 单调性：在R上是增函数
1
函数 y x 2 的图象
定义域：[0,)
值 域：[0,)
奇偶性：非奇非偶函数
单调性：在[0,)上是增函数
∵0.2<0.3∴ 0.20.3 <0.30.3 (3)y=x-2/5在(0,+∞)内是减函数
∵2.5<2.7∴ 2.5-2/5>2.7-2/5
例3例 ：1.证明幂 f(x)函 x数 在 [0, )上是增 . 函
证 : 任 x 明 1 ,x 2 取 [ 0 , ) 且 , x 1 x 2 ,则
请同学们认真思考，独立完成后口答。
例2：利用单调性判断下列各值的大小。
（1）5.20.8 与 5.30.8 （(32)）0.20.3-2与 0.30.3-2
2.5 5 与2.7 5
解:(1)y= x0.8在(0,+∞)内是增函数,
∵5.2<5.3 ∴ 5.20.8 < 5.30.8 (2)y=x0.3在(0,+∞)内是增函数
看未知数x是指数还是底数
指数函数
幂函数 23
作业: 利用单调性判断下列各值的大小。
(1)1.30.5与 1.50.5 (2)5.12与 5.092
1
1
(3)1.794与1.814
幂函数
1
学习目标： 1、通过实例，了解幂函数的概念； 2、会画简单幂函数的图象，并能根
据图象得出这些函数的性质；
3、能应用幂函数的图像和性质解决 有关简单问题。
一、创设情境
请同学们独立完成下面问题，并说明谁是谁的函数？
问题1：如果张红购买了每千克1元的苹果w千克，
那么她需要付的钱数p =w元， 这里p是w的函数。yx
幂函数，其中 x为自变量，为常数。
y x中 x 前面的系数是1，而不是形如axa(a≠1）；
底数为x而不是x的其他代数形式如：2x等。
判断下列函数哪几个是幂函数？
（1）y 3x; (2)y x2; (3)y 2x2; (4)y x2 1;
(5)y 1 x
答案（2）（5）
（二）五个常用幂函数的图象和性质
这种方法 2 2, 即212 2
叫待定 系数法
1
所求的幂 2 函数y为 x12.
能力提升
请同学们认真思考，再小组讨论、解答， 然后由小组代表投影展示解答过程。
已f知 (x)m2m1x2m3是幂，函
求 m的。值
解:因为f (x)是幂函数
m2m11
解之 :m 得 2 或 m 1
m2或 m1
的平均速度v = t 1 km/s ，这里v是t的函数 。
y
1
x
(1) yx (2) y x2 (3) y x3
(4)
1
y x2
(5) y x1
以上问题中的关系式的共同特征是
（1）都是以自变量x为底数； （2）指数为常数； （3）自变量x前的系数为1;
二、探究新知
（一）幂函数的定义：
一般地，我们把形如 y x 的函数叫做
则求m的取值范围. 解:Q 幂函数f (x) x12的定义域是(0,)
且在定义域上是减函数,
0 3 2m m 4
1 m 3 ,即为m的取值范围.
3
2
21
小结：1、幂函数的概念 2、幂函数的性质
①所有幂函数的图象都通过点(1,1);
②当α为奇数时,幂函数为奇函数, 当α为偶数时,幂函数为偶函数.
-3
a >0,在(0,+∞)上为增函数; -4 a <0,在(0,+∞)上为减函数.
16
三、迁移运用
请同学们认真思考，在导学案上写出解答 过程，然后投影展示解答过程。
例1、已知幂y函f(数 x)的图像(过 2, 2点 ),
试求出这个函式 数. 的解析
解:设所求的幂函数y为 x
函数的图像 (2,过2)点
定义域：{x x 0} 值 域：{y y 0}
奇偶性：奇 函 数 单调性：在(0,)上是减函数
在(,0)上是减函数
1
如何y画 x3和yx2的图象 ? 呢
三步骤：列表、描点、连线
x
… -2 -1 0
y=x3 … -8 -1 0
x
0
y=x1/2
0
请同学们在导学 y 8 案上完成作图。 6
4
2
-3 -2 -1
(1,1)
y x 1 x x 0
x y 0
奇函数
(0,)减 (,0)减
(1,1)
下面将5个函数的图象画在同一坐标系中
(1) yx (2) y x2 (3) y x3
1
(4) y x 2 (5) y x1
思考：
1、都过哪个定点？
(-2,4)
2、总结出α为奇数和α为 偶数时幂函数的奇偶性？
五个幂函数的性质:
1
yx y x2 y x3 y x 2
y x1
定义域 值域 奇偶性 单调性 公共点
yx R y x2 R
R 奇函数 在R上增
[0，+∞） 偶函数
[0,)增 (,0]减
(1,1) (1,1)
y x3 R
R 奇函数在R上增 (1,1)
1
y x2
[0，+∞）
[0，+∞）非奇非偶[0，增+∞）
f(x1)f(x2)x1x2
(
x1
x2)(
x1
x2)
x1 x2
x1 x2 x1 x2
方法技巧:分子有Fra Baidu bibliotek化
因 0 x 1 为 x 2 , 所 x 1 x 2 以 0 ,x 1 x 2 0 ,
所 以 f(x1)f(x2) 即幂函 f(x)数 x在 [0, )上的增2.0 函
例3 若m412 32m12,
(1) yx (2) y x2 (3) y x3
(4)
1
y x2
(5) y x1
函数 yx的图象
定义域： R 值 域： R
奇偶性：奇函数 单调性：在R上是增函数
函数 y x2的图象
定义域： R
值 域：[0,) 奇偶性：偶函数
单调性：在[0,)上是增函数
在(,0]上是减函数
函数 y x1 的图象
3、总结在第一象限内a >0 和a <0幂函数单调性的 规律？
4
y=x3 (2,4)
y=x2
3
y=x
1
y=x 2
2
(4,2)
1
(-1,1)
(1,1)
y=x-1
-6
-4
-2
2
4
6
幂函数的图象都通过点(1,1)
-1
(-1,-1) α为奇数时,幂函数为奇函数,
-2 α为偶数时,幂函数为偶函数.
在第一象限内，