高斯消元法简介

高斯消元法简介

一，教学目标

知识与技能：了解高斯消元法

过程与方法：直接演示说明，学习做简单练习

情感，态度和价值观：进一步体会解方程组的根本思想消元，通过高斯消元的学习增强学习数学的能力

二，重点与难点：高斯消元法 三，课型：新授课 四，教学过程：

1.在前面的几节课，已经用加减消元和代入消元法求解二元或者三元一次方程组，其基本的思想就是从已知的方程导出未知数较少的方程组，直到最后得到一个一元一次方程，这种做法可适用于一般的n 元线性方程组（线性方程组），但是由于未知数的增加，我们希望我们的消元是有规律的，以避免混乱，下面介绍高斯消元法

2.例1：解方程组

1234123412341234251027612632517315292763

x x x x x x x x x x x x x x x x ---=⎧⎪

-++-=⎪⎨

---=⎪⎪--++=-⎩

解：把第一个方程的2倍，-3倍，5倍分别加到第2，3，4个方程上，可以消去2，3，4个

方程的未知数1x

12342342342342510 522226 2 1 7213

x x x x x x x x x x x x x ---=⎧⎪

+-=⎪⎨

+-=⎪⎪--+=-⎩

为了使以后少出现分数运算，交换第二，三个方程的位置

12342342342342510

2 1 522226 7213

x x x x x x x x x x x x x ---=⎧⎪

+-=⎪⎨

+-=⎪⎪--+=-⎩

把第2个方程的-5倍，7倍分别加到第3，4个方程，可以消去第3，4个方程未知数2x

123423434342510

2 1 31221 6126

x x x x x x x x x x x ---=⎧⎪

+-=⎪⎨

--=⎪⎪-=-⎩

整理一下方程，第3个方程的左右两边乘以13

-

，第4个方程左右两边乘以1

6

123423434342510

2 1 47 21

x x x x x x x x x x x ---=⎧⎪

+-=⎪⎨

+=-⎪⎪-=-⎩

把第3个方程的-1倍加到第4个方程，可以消去第4个方程的未知数3x

1234234344

2510 2 1 47 66x x x x x x x x x x ---=⎧⎪

+-=⎪⎨

+=-⎪⎪-=⎩

把第4个方程两边除以-6

1234234344

2510 2 1 47 1x x x x x x x x x x ---=⎧⎪

+-=⎪⎨

+=-⎪⎪=-⎩

把第4个方程4

1x =-的5，2，-4分别加到第1，2，3个方程

1232334

2 5 1

3 1

x x x x x x x --=⎧⎪

+=-⎪⎨

=-⎪⎪=-⎩

把第3个方程3

3

x =-的2倍，-1倍分别加到第1，2个方程

12234

1 2 3 1

x x x x x -=-⎧⎪

=⎪⎨

=-⎪⎪=-⎩

把第2个方程的1

倍加到第一个方程1234 1

2 3 1x x x x =⎧⎪

=⎪⎨

=-⎪⎪=-⎩所以这个方程组的解是1

2

3

4

1231

x x

x x =⎧⎪

=⎪⎨=-⎪⎪=-⎩

说明：

①以上自上而下求解方程组的过程就是高斯消元法。利用高斯消元法任意的n 元一次方程组都是可以有规律的得以求解

②消元时要注意要让每一个方程的主元（第一个未知数的系数为1，以便消元） ③注意未知数的位置

*高斯消元法其实在我国的数学著作《九章算术》中早就有记载，叫高斯消元法西方人的叫法，实际比九章算术晚了1000多年

2.练习：利用高斯消元法解方程组（1）2334

x y x y +=⎧⎨

+=⎩；（2）3223

x y x y -=-⎧⎨

+=⎩.解：略

3.练习：利用高斯消元法解方程组6

34

2312x y z x y z x y z ++=⎧⎪

-+=⎨⎪+-=⎩

4.

练习：利用高斯消元法解方程组（1）12341234123413423434622333 223x x x x x x x x x x x x x x x -++=-⎧⎪+-+=⎪⎨-+-=⎪⎪++=⎩；（2）12341234123234236 =7

2 =1 3

x x x x x x x x x x x x x x -+-=-⎧⎪+-+⎪⎨-+⎪⎪++=⎩

.

解：略

1

234

55(1)81

x x x x =-⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩，()12

34

47204

x x x x =⎧⎪=⎪⎨

=⎪⎪=-⎩

数学家、物理学家、数学家卡尔·弗里德里希·高斯

高斯[1]

（Johann Carl Friedrich Gauss ）（1777年4月30日—1855年2月23日），生于不

伦瑞克，卒于哥廷根，德国著名数学家、物理学家、天文学家、大地测量学家。

高斯1777年4月30日生于不伦瑞克的一个工匠家庭，1855年2月23日卒于哥廷根。幼时家境贫困，但聪敏异常，受一贵族资助才进学校受教育。1795～1798年在格丁根大学学习1798年转入黑尔姆施泰特大学，翌年因证明代数基本定理获博士学位。从1807年起担任格丁根大学教授兼格丁根天文台台长直至逝世。

高斯的成就遍及数学的各个领域，在数论、非欧几何、微分几何、超几何级数、复变函数论以及椭圆函数论等方面均有开创性贡献。他十分注重数学的应用，并且在对天文学、大地测量学和磁学的研究中也偏重于用数学方法进行研究。

1792年，15岁的高斯进入Braunschweig 学院。在那里，高斯开始对高等数学作研究。独立发现了二项式定理的一般形式、数论上的“二次互反律”(Law of Quadratic Reciprocity)、“质数分布定理”(prime numer theorem)、及“算术几何平均”(arithmetic -geometric mean)。

1795年高斯进入哥廷根大学。1796年，19岁的高斯得到了一个数学史上极重要的结果，就是《正十七边形尺规作图之理论与方法》。5年以后，高斯又证明了形如"Fermat 素数"边数的正多边形可以由尺规作出。1855年2月23日清晨，高斯于睡梦中去世。

生平

高斯是一对普通夫妇的儿子。他的母亲是一个贫穷石匠的女儿，虽然十分聪明，但却没有接受过教育，近似于文盲。在她成为高斯父亲的第二个妻子之前，她从事女佣工作。他的父亲曾做过园丁，工头，商人的助手和一个小保险公司的评估师。当高斯三岁时便能够纠正他父亲的借债账目的事情，已经成为一个轶事流传至今。他曾说，他在麦仙翁堆上学会计算。能够在头脑中进行复杂的计算，是上帝赐予他一生的天赋。

高斯用很短的时间计算出了小学老师布置的任务：对自然数从1到100的求和。他所使用的方法是：对50对构造成和101的数列求和为（1＋100，2＋99，3＋98……），同时得到结果：5050。这一年，高斯9岁。

当高斯12岁时，已经开始怀疑元素几何学中的基础证明。当他16岁时，预测在欧氏几何之外必然会产生一门完全不同的几何学。他导出了二项式定理的一般形式，将其成功的运用在无穷级数，并发展了数学分析的理论。

高斯的老师Bruettner 与他助手 Martin Bartels 很早就认识到了高斯在数学上异乎寻常的天赋，同时Herzog Carl Wilhelm Ferdinand von Braunschweig 也对这个天才儿童留下了深刻印象。于是他们从高斯14岁起，便资助其学习与生活。这也使高斯能够在公元1792－1795年在Carolinu m 学院（今天Braunschweig 学院的前身）学习。18岁时，高斯转入哥廷根大学学习。在他19岁