高斯消元法(含MATLAB编程)

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matlab高斯-约旦消去法

matlab高斯-约旦消去法
高斯-约旦消去法是一种线性代数中的消元法，常用于求解线性方程组。

该方法通过矩阵的初等变换将方程组转化为阶梯型矩阵，从而求解出未知数的值。

具体步骤如下：
设有n个未知数，m个方程，方程组的系数矩阵为A，右端常数为b。

1. 将系数矩阵A和右端常数b组合成增广矩阵Ab。

2. 从第一行开始，将该行的第一个非零元素（称为主元）作为消元元素，用该元素将下面所有行的对应列元素消为零。

3. 重复以上步骤，依次将每一行的主元素作为消元元素，直到将整个矩阵消成阶梯型矩阵。

4. 倒序回代，求出每个未知数的值。

以上就是高斯-约旦消去法的主要步骤。

在实际应用中，需要注意判断矩阵是否可逆，以及主元素是否为零等情况，以保证求解的正确性。

高斯消去法matlab程序

本matlab程序实现了高斯消去法，用于解线性方程组Ax=b。首先，程序通过输入获取方程组的未知量个数n、系数矩阵A、常数向量b以及控制精度e。接着，进入高斯消去法的主循环，从第一个未知量开始，依次进行到第n-1个。在每个循环中，首先通过选主元策略，选取当前列中绝对值最大的元素作为主元，以提高数值稳定性。若主元绝对值小于控制精度e，则判定系数矩阵行列式为0，方程组无解或有无穷多解，程序退出。否则，若当前行不是主元所在行，则交换这两行，同时交换对应的常数项。然后，进行消元操作，从当前行的下一行开始，通过行变换将当前列的其他元素消为0个对角元素是否小于控制精度e，若是，则同样判定方程组无解或有无穷多解。最后，进行回代过程，从最后一个未知量开始，依次求出每个未知量的解，最终得到方程组的解向量x。

数学的上机实验报告

实验题目：线性代数求解方程组一、实验目的1. 理解线性代数中方程组的求解方法。

2. 掌握利用计算机求解线性方程组的算法。

3. 熟悉数学软件（如MATLAB、Python等）在数学问题中的应用。

二、实验内容本次实验主要利用数学软件求解线性方程组。

线性方程组是线性代数中的一个基本问题，其求解方法有很多种，如高斯消元法、矩阵求逆法等。

本实验以高斯消元法为例，利用MATLAB软件求解线性方程组。

三、实验步骤1. 编写高斯消元法算法程序。

2. 输入方程组的系数矩阵和常数项。

3. 调用程序求解方程组。

4. 输出解向量。

四、实验代码及分析1. 高斯消元法算法程序```matlabfunction x = gaussElimination(A, b)[n, m] = size(A);assert(n == m, 'The matrix A must be square.');assert(n == length(b), 'The length of b must be equal to the number of rows in A.');% 初始化解向量x = zeros(n, 1);% 高斯消元for i = 1:n-1% 寻找最大元素[~, maxIdx] = max(abs(A(i:n, i)));maxIdx = maxIdx + i - 1;% 交换行A([i, maxIdx], :) = A([maxIdx, i], :);b([i, maxIdx]) = b([maxIdx, i]);% 消元for j = i+1:nfactor = A(j, i) / A(i, i);A(j, i:n) = A(j, i:n) - factor A(i, i:n); b(j) = b(j) - factor b(i);endend% 回代求解for i = n:-1:1x(i) = (b(i) - A(i, i+1:n) x(i+1:n)) / A(i, i); endend```2. 输入方程组的系数矩阵和常数项```matlabA = [2, 1, -1; 1, 2, 1; -1, 1, 2];b = [8; 5; 2];```3. 调用程序求解方程组```matlabx = gaussElimination(A, b);```4. 输出解向量```matlabdisp('解向量为：');disp(x);```五、实验结果与分析实验结果：```解向量为：2-13```实验分析：通过高斯消元法，我们成功求解了给定的线性方程组。

matalab怎么用高斯消去法解方程组

matalab怎么用高斯消去法解方程组高斯消去法（Gaussian Elimination）是一种解线性方程组的常用方法，其中包括了高斯消元和回代两个步骤。

通过高斯消去法，我们可以将一个线性方程组转化为简化的上三角矩阵，从而简化求解过程。

要使用高斯消去法解决线性方程组，首先需要将方程组写成矩阵形式。

假设有一个n个方程和n个未知数的线性方程组，可以表示为Ax = b，其中A是一个n×n的系数矩阵，x是一个n×1的未知数向量，b是一个n×1的常数向量。

下面我们将详细介绍高斯消去法的步骤：步骤1：将系数矩阵A和常数向量b合并为增广矩阵[Ab]，即在A的右边添加一个列向量b。

步骤2：选取主元素（pivot），通常选择第一行的首个非零元素作为主元素。

如果第一行的首个元素为零，则选择下一行的首个非零元素。

步骤3：将主元素所在的行交换到第一行，以确保主元素位于第一行。

步骤4：除以主元素，使主元素变为1。

这可以通过将主元素所在的行除以主元素的值来实现。

步骤5：用第一行的主元素消去其它行。

对于第i行，将其乘以第一行的主元素的负倒数，并加到第一行上。

步骤6：重复步骤2至步骤5，直到最后一行或最后一列为零。

如果最后一行或最后一列为零，则说明方程组无解或有无穷多解。

步骤7：回代。

从最后一行开始，将求得的解代入每一行的方程中，依次求解未知数。

下面我们将通过一个具体的例子来说明高斯消去法的过程。

假设有以下线性方程组：2x + y - z = 8-3x - y + 2z = -11-2x + y + 2z = -3我们首先将方程组转化为增广矩阵形式：[2 1 -1 | 8][-3 -1 2 | -11][-2 1 2 | -3]首先我们选择第一行的主元素，即第一行第一个非零元素2。

然后将第一行与第二行交换，使主元素位于第一行：[-3 -1 2 | -11][2 1 -1 | 8][-2 1 2 | -3]接下来我们将主元素化为1，即将第一行除以-3：[1 1/3 -2/3 | 11/3][2 1 -1 | 8][-2 1 2 | -3]然后用第一行的主元素消去第二行和第三行：[1 1/3 -2/3 | 11/3][0 1/3 1/3 | 2/3][0 5/3 4/3 | 2/3]此时我们得到了上三角矩阵形式的增广矩阵。

gauss列主元素消去法matlab

高斯列主元素消去法是一种解线性方程组的常用方法，特别在数值分析和线性代数中应用广泛。

在Matlab中，我们可以使用该方法来解决大规模的线性方程组，包括矩阵的求解和矩阵的反转。

一、高斯列主元素消去法的基本原理高斯列主元素消去法是一种基于矩阵消元的方法，它通过一系列的矩阵变换将原始的线性方程组转化为上三角形式，然后再进行回代求解。

这个方法的核心就是通过矩阵的变换来简化原始的线性方程组，使得求解过程更加简单高效。

在Matlab中，我们可以利用矩阵运算和函数来实现高斯列主元素消去法，如`lu`分解函数和`\"`运算符等。

通过这些工具，我们能够快速地求解各种规模的线性方程组并得到准确的结果。

二、高斯列主元素消去法在Matlab中的实现在Matlab中，我们可以通过调用`lu`函数来实现高斯列主元素消去法。

该函数返回一个上三角矩阵U和一个置换矩阵P，使得PA=LU。

通过对U进行回代求解，我们可以得到线性方程组的解。

除了`lu`函数之外，Matlab还提供了一些其他的函数和工具来帮助我们实现高斯列主元素消去法，比如`\"`运算符和`inv`函数等。

通过这些工具的组合使用，我们能够更加灵活地进行线性方程组的求解，并且可以方便地处理特殊情况和边界条件。

三、高斯列主元素消去法的应用与局限性高斯列主元素消去法在实际应用中具有广泛的适用性，特别是对于大规模的线性方程组或者稀疏矩阵的求解。

通过Matlab中的工具和函数，我们可以快速地求解各种规模的线性方程组，并得到高精度的数值解。

然而，高斯列主元素消去法也存在一些局限性，比如对于奇异矩阵或者接近奇异矩阵的情况时，该方法的求解精度可能会下降。

在实际应用中，我们需要结合具体的问题和矩阵特性来选择合适的求解方法，以确保得到准确的结果。

四、个人观点和总结作为一种经典的线性方程组求解方法，高斯列主元素消去法在Matlab 中具有较好的实现和应用效果。

通过对其原理和实现细节的深入理解，我们能够更加灵活地应用该方法，并且能够更好地理解其适用性和局限性。

matlab求解代数方程组解析

第三讲 Matlab 求解代数方程组理论介绍：直接法+迭代法，简单介绍相关知识和应用条件及注意事项软件求解：各种求解程序讨论如下表示含有n 个未知数、由n 个方程构成的线性方程组：11112211211222221122n n n n n n nn n na x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ （1）一、直接法 1.高斯消元法：高斯消元法的基本原理：在（1）中设110,a ≠将第一行乘以111,k a a -加到第(2,3,,),k k n = 得： (1)(1)(1)(1)11112211(2)(1)(2)22112(2)(2)(2)22n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x b a x a x b ⎧+++=⎪++=⎪⎨⎪⎪++=⎩（2）其中(1)(1)1111,.k k aa b b ==再设(2)220,a ≠将（2）式的第二行乘以(2)2(2)22,(3,,)k a k n a -= 加到第k 行，如此进行下去最终得到：(1)(1)(1)(1)11112211(2)(1)(2)22112(1)(1)(1)1,111,1()()n n n n n n n n n n n n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x b a x a x b a x b --------⎧+++=⎪++=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎪=⎩（3）从（3）式最后一个方程解出n x ，代入它上面的一个方程解出1n x -，并如此进行下去，即可依次将121,,,,n n x x x x - 全部解出，这样在()0(1,2,,)k kk a k n ≠= 的假设下，由上而下的消元由下而上的回代，构成了方程组的高斯消元法. 高斯消元法的矩阵表示：若记11(),(,,),(,,)T T ij n n n n A a x x x b b b ⨯=== ，则（1）式可表为.Ax b =于是高斯消元法的过程可用矩阵表示为：121121.n n M M M Ax M M M b --=其中：(1)21(1)111(1)1(1)11111n a a M a a ⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭ (2)32(2)222(2)2(2)221111n a a M a a ⎛⎫⎪⎪ ⎪-⎪=⎪ ⎪ ⎪⎪- ⎪⎝⎭高斯消元法的Matlab 程序： %顺序gauss 消去法,gauss 函数 function[A,u]=gauss(a,n) for k=1:n-1%消去过程 for i=k+1:n for j=k+1:n+1%如果a(k,k)=0,则不能削去 if abs(a(k,k))>1e-6 %计算第k 步的增广矩阵 a(i,j)=a(i,j)-a(i,k)/a(k,k)*a(k,j); else%a(k,k)=0,顺序gauss 消去失败 disp (‘顺序gauss 消去失败‘)； pause; exit; end end end end%回代过程 x(n)=a(n,n+1)/a(n,n); for i=n-1:-1:1 s=0; for j=i+1:n s=s+a(i,j)*x(j); endx(i)=(a(i,n+1)-s)/a(i,i); end%返回gauss 消去后的增广矩阵 A=triu(a); %返回方程组的解 u=x ;练习和分析与思考：用高斯消元法解方程组：12345124512345124512452471523814476192536x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++++=⎧⎪+++=⎪⎪++++=⎨⎪+++=⎪+++=⎪⎩2.列主元素消元法在高斯消元法中进行到第k 步时，不论()k ik a 是否为0，都按列选择()||(,,)k ik a i k n = 中最大的一个，称为列主元，将列主元所在行与第k 行交换再按高斯消元法进行下去称为列主元素消元法。

数值分析实验报告高斯消元法和列主消元法

《计算方法》实验指导书实验三、高斯消元法和列主消元法一、实验目的：1. 通过matlab 编程解决高斯消元发和列主消元发来解方程组的问题，加强编程能力和编程技巧，要熟练应用matlab 程序来解题，练习从数值分析的角度看问题进而来解决问题。

更深一步体会这门课的重要性，练习动手能力，同时要加深对数值问题的理解，要熟悉matlab 编程环境。

二、实验要求：用matlab 编写代码并运行高斯消元法和列主消元发来解下面的方程组的问题，并算出结果。

三、实验内容:用高斯消元法和列主消元法来解题。

1.实验题目：用高斯消元法和列主消元法来解下列线性方程组。

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧−=+−−−=+−−=+−−=−+−.142,16422,0,13143214321432432x x x x x x x x x x x x x x x 2.实验原理高斯消元法：就是把方程组变成上三角型或下三角形的解法。

上三角形是从下往上求解，下三角形是从上向下求解，进而求得结果。

而列主消元法是和高斯消元法相类似，只不过是在开始的时候找出x1的系数的最大值放在方程组的第一行，再化三角形再求解。

3.设计思想高斯消元法：先把方程组的第一行保留，再利用第一行的方程将其余几行的含有x1的项都消去，再保留第二行，同理利用第二行的方程把第二行以下的几行的含有x2项的都消去，以此类推。

直到最后一行只含有一个未知数，化为上三角形，求得最后一行的这个未知数的值，再回带到倒数第二个方程求出另一个解，再依次往上回带即可求出这个方程组的值。

而列主消元法与高斯消元法类似，只不过在最开始时找出x1项系数的最大值与第一行交换再进行与高斯算法相似的运算来求出方程组的解。

4.源代码高斯消元法的程序：f unction [RA,RB,n,X]=gaus(A,b)B=[A b]; n=length(b); RA=rank(A);RB=rank(B);zhica=RB-RA;if zhica>0,disp('请注意：因为RA~=RB，所以此方程组无解.')returnendif RA==RBif RA==ndisp('请注意：因为RA=RB=n，所以此方程组有唯一X=zeros(n,1); C=zeros(1,n+1);for p= 1:n-1for k=p+1:nm= B(k,p)/ B(p,p);B(k,p:n+1)= B(k,p:n+1)-m*B(p,p:n+1);endendb=B(1:n,n+1);A=B(1:n,1:n);X(n)=b(n)/A(n,n);for q=n-1:-1:1X(q)=(b(q)-sum(A(q,q+1:n)*X(q+1:n)))/A(q,q);endelsedisp('请注意：因为RA=RB<n，所以此方程组有无穷多解.')endend在工作窗口输入程序：A=[1 -1 1 -3; 0 -1 -1 1;2 -2 -4 6;1 -2 -4 1];b=[1;0; -1;-1]; [RA,RB,n,X] =gaus (A,b)请注意：因为RA=RB=n，所以此方程组有唯一解.运行结果为：RA =4RB =4n =4X =-0.50000.5000.列主消元发的程序：function [RA,RB,n,X]=liezhu(A,b)B=[A b]; n=length(b); RA=rank(A);RB=rank(B);zhica=RB-RA;if zhica>0,disp('请注意：因为RA~=RB，所以此方程组无解.')returnendif RA==RBif RA==ndisp('请注意：因为RA=RB=n，所以此方程组有唯一解.')X=zeros(n,1); C=zeros(1,n+1);for p= 1:n-1[Y,j]=max(abs(B(p:n,p))); C=B(p,:);B(p,:)= B(j+p-1,:); B(j+p-1,:)=C;for k=p+1:nm= B(k,p)/ B(p,p);B(k,p:n+1)= B(k,p:n+1)-m*B(p,p:n+1);endendb=B(1:n,n+1);A=B(1:n,1:n);X(n)=b(n)/A(n,n);for q=n-1:-1:1X(q)=(b(q)-sum(A(q,q+1:n)*X(q+1:n)))/A(q,q);endelsedisp('请注意：因为RA=RB<n，所以此方程组有无穷多解.')endend在工作窗口输入程序：A=[1 -1 1 -3; 0 -1 -1 1;2 -2 -4 6;1 -2 -4 1];b=[1;0; -1;-1]; [RA,RB,n,X]=liezhu(A,b)请注意：因为RA=RB=n，所以此方程组有唯一解.运行结果为：RA =4RB =4n =4X =-0.50000.5000实验体会：通过这次实验我了解了高斯消元法和列主消元方法的基本思想，虽然这两个程序的编写是有点困难的，但运行起来还是比较容易的，解决了不少实际问题的计算。

gauss消去法matlab

gauss消去法matlabGauss消去法是一种常用的线性方程组求解方法，它可以通过消元和回代的方式，将一个复杂的线性方程组转化为一个简化的三角形方程组，从而得到方程组的解。

在MATLAB中，我们可以使用高斯消去法函数来求解线性方程组。

我们需要明确线性方程组的形式。

一个典型的线性方程组可以表示为：Ax = b其中，A是一个n×n的系数矩阵，x是一个n×1的未知向量，b是一个n×1的常数向量。

接下来，我们可以使用MATLAB中的高斯消去法函数来求解线性方程组。

在MATLAB中，我们可以使用“[L,U,P] = lu(A)”函数来进行高斯消去法的分解，其中L是单位下三角矩阵，U是上三角矩阵，P 是置换矩阵。

通过高斯消元法的分解，我们可以得到三角形方程组：L(Ux) = b然后，我们可以使用“y = L\b”函数来求解下三角方程Ly = b，再使用“x = U\y”函数来求解上三角方程Ux = y。

最终，我们可以得到线性方程组的解x。

除了使用MATLAB中的高斯消去法函数，我们还可以手动实现高斯消去法。

首先，我们可以通过消元操作将系数矩阵A转化为上三角矩阵U。

消元操作的基本步骤如下：1.选择主元：选择第一列中绝对值最大的元素作为主元，并将其所在的行交换到第一行。

2.消元操作：对于第一行以下的每一行，将其第一列元素消为0。

具体操作是，将第一行乘以一个适当的倍数，然后从当前行中减去第一行的倍数。

3.重复以上步骤，直到所有的主元都不为0或者所有的行都消元结束。

接下来，我们可以使用回代操作将上三角矩阵U转化为解向量x。

回代操作的基本步骤如下：1.确定最后一个未知量：将最后一行的最后一个元素设为1。

2.回代计算：从最后一行开始，依次计算每个未知量的值。

具体操作是，将当前行的右侧元素减去已知的未知量的倍数，然后除以当前行对角线上的系数。

通过手动实现高斯消去法，我们可以更好地理解高斯消去法的原理和过程。

高斯消去法求解方程组matlab程序

高斯消去法解方程组的GUI程序----基于MATLAB7.02013年08月13日一、软件演示二、软件代码1.主界面close all;clear;clc;figure('Position',[200264973583]);%预览图位置a11=uicontrol(gcf,'style','edit',...'unit','normalized','position',[0.34,0.75,0.4,0.1],...'BackgroundColor',[1,1,1],'ForegroundColor',[0.8,0.1,0.9],... 'string','方程解：','fontsize',16);a12=uicontrol(gcf,'style','edit',...'unit','normalized','position',[0.34,0.55,0.4,0.1],...'BackgroundColor',[1,1,1],'ForegroundColor',[0.8,0.1,0.9],... 'string','解的个数','fontsize',10);a1=uicontrol(gcf,'style','edit',...'unit','normalized','position',[0.20,0.35,0.3,0.1],...'BackgroundColor',[1,1,1],'ForegroundColor',[0.1,0.1,0.9],... 'callback','ex');a110=uicontrol(gcf,'style','text',...'unit','normalized','position',[0.20,0.25,0.05,0.05],...此处是自动显示的，不需要输入！！！'BackgroundColor',[1,1,1],'ForegroundColor',[0.8,0.1,0.9],'string','行数','fontsize',16);a111=uicontrol(gcf,'style','edit',...'unit','normalized','position',[0.25,0.25,0.1,0.05],...'BackgroundColor',[1,1,1],'ForegroundColor',[0.1,0.1,0.9]);a1178=uicontrol(gcf,'style','text',...'unit','normalized','position',[0.35,0.25,0.05,0.05],...'BackgroundColor',[1,1,1],'ForegroundColor',[0.8,0.1,0.9],'string','列数','fontsize',16);a222=uicontrol(gcf,'style','edit',...'unit','normalized','position',[0.4,0.25,0.1,0.05],...'BackgroundColor',[1,1,1],'ForegroundColor',[0.1,0.1,0.9]);a3=uicontrol(gcf,'style','edit',...'unit','normalized','position',[0.55,0.35,0.3,0.1],...'BackgroundColor',[1,1,1],'ForegroundColor',[0.1,0.1,0.9],...'callback','ex');a112=uicontrol(gcf,'style','edit',...'unit','normalized','position',[0.6,0.25,0.1,0.05],...'BackgroundColor',[1,1,1],'ForegroundColor',[0.1,0.1,0.9]);a118=uicontrol(gcf,'style','text',...'unit','normalized','position',[0.55,0.25,0.05,0.05],...'BackgroundColor',[1,1,1],'ForegroundColor',[0.8,0.1,0.9],'string','行数','fontsize',16);a119=uicontrol(gcf,'style','text',...'unit','normalized','position',[0.7,0.25,0.05,0.05],...'BackgroundColor',[1,1,1],'ForegroundColor',[0.8,0.1,0.9],'string','列数','fontsize',16);a212=uicontrol(gcf,'style','edit',...'unit','normalized','position',[0.75,0.25,0.1,0.05],...'BackgroundColor',[1,1,1],'ForegroundColor',[0.1,0.1,0.9]);a14=uicontrol(gcf,'style','text',...'unit','normalized','position',[0.34,0.85,0.4,0.03],...'string','方程的解','fontsize',10);a15=uicontrol(gcf,'style','text',...'unit','normalized','position',[0.34,0.65,0.4,0.03],...'string','解的个数','fontsize',10);a16=uicontrol(gcf,'style','text',...'unit','normalized','position',[0.20,0.45,0.3,0.03],...'string','系数矩阵','fontsize',10);a17=uicontrol(gcf,'style','text',...'unit','normalized','position',[0.55,0.45,0.3,0.03],...'string','得数矩阵','fontsize',10);a18=uicontrol(gcf,'style','text',...'unit','normalized','position',[0.22,0.13,0.36,0.05],...'string','高斯消元法求解方程组（制作人：snow）','fontsize',14);h1=uicontrol(gcf,'style','pushbutton','unit','normalized','position',[0.75,0.12,0.1,0.08],'string','退出','callback','exit');h2=uicontrol(gcf,'style','pushbutton','unit','normalized','position',[0.65,0.12,0.1,0.08],'string','关闭','callback','close(gcbf)');2.函数实现A=str2num(get(a1,'string'));b=str2num(get(a3,'string'));n=size(A,2);%列的维数t=size(A,1);%行的维数i=size(b,2);g=size(b,1);v=[];B=[A b];RA=rank(A);RB=rank(B);s=abs(RB-RA);if s~=0set(a12,'string','******因为RA不等于RB，所以此方程组无解*****'); set(a11,'string','NO roots');else if s==0&&RA==nset(a12,'string','*****因为RA=RB=n，所以此方程组有唯一解*****');X=zeros(n,1);for p=1:n-1for k=p+1:nm=B(k,p)/B(p,p);B(k,p:n+1)=B(k,p:n+1)-m*B(p,p:n+1);endendb=B(1:n,n+1);A=B(1:n,1:n);X(n)=b(n)/A(n,n);for q=n-1:-1:1X(q)=(b(q)-sum(A(q,q+1:n)*X(q+1:n)))/A(q,q);endfor q=1:nv=[v,X(q)];endset(a11,'string',num2str(v));else if s==0&&RA<=nset(a12,'string','*****此方程组有无穷多解*****');set(a11,'string','无穷多解');endendendset(a111,'string',num2str(t));set(a222,'string',num2str(n));set(a112,'string',num2str(g));set(a212,'string',num2str(i));。

matlab解三元方程

matlab解三元方程一、引言在数学中，三元方程是一种包含三个未知数的方程。

解决三元方程是数学中的一个重要问题，它在实际应用中有着广泛的应用。

而MATLAB作为一种强大的数学软件，可以帮助我们解决三元方程。

本文将介绍如何使用MATLAB解决三元方程。

二、MATLAB解三元方程的方法MATLAB提供了多种方法来解决三元方程，其中最常用的方法是高斯消元法和LU分解法。

1. 高斯消元法高斯消元法是一种基本的线性代数方法，它通过消元的方式将方程组转化为上三角矩阵，然后通过回代求解未知数。

在MATLAB中，可以使用“\”运算符来实现高斯消元法。

例如，我们要解决以下三元方程组：x + 2y + 3z = 64x + 5y + 6z = 157x + 8y + 9z = 24可以使用以下代码来解决：A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9];B = [6; 15; 24];X = A\B;其中，A是系数矩阵，B是常数矩阵，X是未知数矩阵。

通过“\”运算符，MATLAB会自动使用高斯消元法来解决方程组。

2. LU分解法LU分解法是一种将系数矩阵分解为下三角矩阵和上三角矩阵的方法，然后通过回代求解未知数。

在MATLAB中，可以使用“lu”函数来实现LU分解法。

例如，我们要解决以下三元方程组：x + 2y + 3z = 64x + 5y + 6z = 157x + 8y + 9z = 24可以使用以下代码来解决：A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9];B = [6; 15; 24];[L,U] = lu(A);Y = L\B;X = U\Y;其中，L是下三角矩阵，U是上三角矩阵，Y是中间变量矩阵，X是未知数矩阵。

通过“lu”函数，MATLAB会自动使用LU分解法来解决方程组。

三、总结MATLAB是一种强大的数学软件，可以帮助我们解决三元方程。

本文介绍了MATLAB解决三元方程的两种方法：高斯消元法和LU分解法。

高斯消元法(含MATLAB编程)

第2次选列主元后的增广矩阵
1 6 5 6 6 0 11/ 3 4 13/ 3 11 0 5/ 3 5 11/ 3 4 2 0 1 0 0
第2次消元后的增广矩阵
1 6 5 6 6 0 11/ 3 4 13 / 3 11 0 0 75 /11 62 /11 9 0 0 24 /11 37 /11 6
(1)输入增广矩阵A=[-3 2 6 4;10 -7 0 7;5 -1 5 6] 第1次选列主元后的增广矩阵 10 -3 -7 2 6 0 4 6 7 61/10 5/2 7
第1次消元后的增广矩阵 5 -1 5 10 -7 0 0 0 -1/10 5/2 6 5
第2次选列主元后的增广ห้องสมุดไป่ตู้阵 10 -7 0 0 0 5/2 -1/10 5 6
3 2 1 1 4 3 2 1 1 4 3/4 4 3 2 1 3/4 7/4 3/2 5/4 1/4 ( 2) A : b 1/2 3 4 3 1 1/2 6/7 4 3 1 4 1 1/4 2 3 4 1 1/4 5/7 3 3 2 1 1 4 3 2 1 1 4 3/4 7/4 3/2 5/4 1/4 3/4 7/4 3/2 5/4 1/4 , 1/2 6/7 12/7 10/7 -12/7 1/2 6/7 12/7 10/7 -12/7 1 1/4 5/7 5/6 5/3 0 1/4 5/7 5/6 4 2 1 1 4 3 3/ 4 1 7 / 4 3/ 2 5/ 4 ,U L 1/ 2 6 / 7 1 12 / 7 10 / 7 1 5/ 3 1/ 4 5 / 7

高斯列主元消去法

问题提出：采用高斯列主元消去法解线性方程组。

算法（公式）推导：高斯顺序消去法有一个最大的缺点就是一旦对角元素为0，就进行不下去了，为了解决这个问题就有了高斯主元消去法。

如果在高斯顺序消去法消去过程进行到第i 步时，先选取a ri ()n r i ≤≤中（即第i 列）绝对值最大的元素，设为第j 行的元素aji ，然后将第i+1行至第n 行中的每一行减去第i 行乘以ii kj a a （k 代表行号），依次进行消元，这样得到的算法叫高斯按列主元消去法。

高斯按列主元消去法的算法步骤介绍如下:1. 将方程组写成以下的增广矩阵的形式： 432144434241343332312423222114131211b b b b a a a a a a a a a a a a a a a a 2. 对k=1，2，3，…..，n-1,令∑==nk s sk pk a a max ，交换增广矩阵的第k 行与第p 行；对j=k+1,K+2,……..,n,计算*km jkjm jm kk a a a a a =-（m=k,k+1,....n)kk jk k j j a a b b b *-=算法结束。

3. 在MATLABE 中编程实现的高斯按列主元消去法函数为：GaussXQLineMain功能：高斯按列主元消去法求线性方程组Ax=b 的解调用格式：[x,XA]=GaussXQLineMain(A,b)其中，A ：线性方程组的系数矩阵；B：线性方程组中的常数向量；x：线性方程组的解：XA：消元后的系数矩阵（可选的输出参数）。

高斯列主元消去法用MATLAB实现如下所示：4.其中用到上三角矩阵求解函数：在MATLABE中编程实现的上三角系数矩阵求解函数为：SolveUPTriangle 功能：求上三角系数矩阵的线性方程组Ax=b的解调用格式：x=SolveUpTriangel(A,b)其中，A ：线性方程组的系数矩阵；b ：线性方程组中的常数向量； X ：线性方程组的解；上三角系数矩阵求解函数用MATLAB 实现如下所示：高斯按列主元消去法解线性方程组应用实例：用高斯按列主元消去法求解下列线性方程组的解。

matlab高斯消去文档

1.用LU分解及列主元高斯消去法解线性方程组10 -7 0 1 x1 8-3 2.099999 6 2 x2= 5.9000015 -1 5 -1 x3 52 1 0 2 x4 1输出AX=b中系数A=LU分解的矩阵L及U,解向量x及detA；列主元法的行交换次序，解向量x及detA；比较两种方法所得结果.(1)LU分解法：Command Window中输入：>>A=[10 -7 0 1;-3 2.099999 6 2;5 -1 5 -1;2 1 0 2]A=10.0000 -7.0000 0 1.0000-3.0000 2.1000 6.0000 2.00005.0000 -1.0000 5.0000 -1.00002.0000 1.0000 0 2.0000>> b=[8 5.900001 5 1];>> A=[10 -7 0 1;-3 2.099999 6 2;5 -1 5 -1;2 1 0 2];>> [l,u]=lu(a)l =1.0000 0 0 0-0.3000 -0.0000 1.0000 00.5000 1.0000 0 00.2000 0.9600 -0.8000 1.0000u =10.0000 -7.0000 0 1.00000 2.5000 5.0000 -1.50000 0 6.0000 2.30000 0 0 5.0800>> x=A/bx =0.31810.16340.46550.1915>> A=det(A)A =-762.0001(2)列主元高斯消去法：编写文件gauss.mfunction x=gauss (A,b)%系数矩阵非奇异的， %n = size(A,1);if abs(det(A))<= 1e-8error('系数矩阵是奇异的');return;end%for k=1:nak = max(abs(A(k:n,k)));index = find(A(:,k)==ak);if length(index) == 0index = find(A(:,k)==-ak); end%交换列主元temp = A(index,:);A(index,:) = A(k,:);A(k,:) = temp;temp = b(index);b(index) = b(k); b(k) = temp;%消元过程for i=k+1:nm=A(i,k)/A(k,k);%消除列元素A(i,k+1:n)=A(i,k+1:n)-m*A(k,k+1:n);b(i)=b(i)-m*b(k);endend%回代过程x(n)=b(n)/A(n,n);for k=n-1:-1:1;x(k)=(b(k)-A(k,k+1:n)*x(k+1:n)')/A(k,k);endx=x';endCommand Window中输入：>> A=[10 -7 0 1;-3 2.099999 6 2;5 -1 5 -1;2 1 0 2]; >> b=[8 5.900001 5 1];>> x=gauss(A,b)x =0.0000-1.00001.00001.0000>> A=det(A)A =-762.0001比较两种计算方法结果可以看出两者计算结果偏差较大。

高斯消元法,列主元素消元法及LU分解法的matlab程序

§2.2.1高斯消元法的MATLAB程序f unction [RA,RB,n,X]=gaus(A,b)B=[A b]; n=length(b); RA=rank(A);RB=rank(B);zhica=RB-RA;if zhica>0,disp('请注意：因为RA~=RB，所以此方程组无解.')returnendif RA==RBif RA==ndisp('请注意：因为RA=RB=n，所以此方程组有唯一解.')X=zeros(n,1); C=zeros(1,n+1);for p= 1:n-1for k=p+1:nm= B(k,p)/ B(p,p);B(k,p:n+1)= B(k,p:n+1)-m* B(p,p:n+1);endendb=B(1:n,n+1);A=B(1:n,1:n); X(n)=b(n)/A(n,n);for q=n-1:-1:1X(q)=(b(q)-sum(A(q,q+1:n)*X(q+1:n)))/A(q,q);endelsedisp('请注意：因为RA=RB<n，所以此方程组有无穷多解.') endend运行命令及结果a=[2.51 1.48 4.53;1.48 0.93 -1.30 ;2.68 3.04 -1.48];b=[0.05;1.03;-0.53];[RA,RB,n,X] =gaus (A,b)请注意：因为RA=RB=n，所以此方程组有唯一解.RA =3RB =3n =3X =1.4531-1.5892-0.2749§2.2.2 列主元素消元法的MATLAB程序function [RA,RB,n,X]=liezhu(A,b)B=[A b]; n=length(b); RA=rank(A);RB=rank(B);zhica=RB-RA;if zhica>0,disp('请注意：因为RA~=RB，所以此方程组无解.')returnendif RA==RBif RA==ndisp('请注意：因为RA=RB=n，所以此方程组有唯一解.')X=zeros(n,1); C=zeros(1,n+1);for p= 1:n-1[Y,j]=max(abs(B(p:n,p))); C=B(p,:);B(p,:)= B(j+p-1,:); B(j+p-1,:)=C;for k=p+1:nm= B(k,p)/ B(p,p);B(k,p:n+1)= B(k,p:n+1)-m* B(p,p:n+1);endendb=B(1:n,n+1);A=B(1:n,1:n); X(n)=b(n)/A(n,n);for q=n-1:-1:1X(q)=(b(q)-sum(A(q,q+1:n)*X(q+1:n)))/A(q,q);endelsedisp('请注意：因为RA=RB<n，所以此方程组有无穷多解.') endend运行命令及结果a=[2.51 1.48 4.53;1.48 0.93 -1.30 ;2.68 3.04 -1.48];b=[0.05;1.03;-0.53];[RA,RB,n,X]=liezhu(A,b)请注意：因为RA=RB=n，所以此方程组有唯一解.RA =3RB =3n =3X =1.4531-1.5892-0.2749§2.2.3 LU分解法的MATLAB程序function hl=zhjLU(A)[n n] =size(A); RA=rank(A);if RA~=ndisp('请注意：因为A的n阶行列式hl等于零，所以A不能进行LU分解.A的秩RA如下:'), RA,hl=det(A);returnendif RA==nfor p=1:nh(p)=det(A(1:p, 1:p));endhl=h(1:n);for i=1:nif h(1,i)==0disp('请注意：因为A的r阶主子式等于零，所以A不能进行LU分解.A的秩RA和各阶顺序主子式值hl依次如下：'), hl;RAreturnendendif h(1,i)~=0disp('请注意：因为A的各阶主子式都不等于零，所以A能进行LU分解.A的秩RA和各阶顺序主子式值hl依次如下：')for j=1:nU(1,j)=A(1,j);endfor k=2:nfor i=2:nfor j=2:nL(1,1)=1;L(i,i)=1;if i>jL(1,1)=1;L(2,1)=A(2,1)/U(1,1);L(i,1)=A(i,1)/U(1,1);L(i,k)=(A(i,k)- L(i,1:k-1)*U(1:k-1,k))/U(k,k);elseU(k,j)=A(k,j)-L(k,1:k-1)*U(1:k-1,j);endendendendhl;RA,U,Lendend运行命令及结果a=[2.51 1.48 4.53;1.48 0.93 -1.30 ;2.68 3.04 -1.48];hl=zhjLU(A)请注意：因为A的各阶主子式都不等于零，所以A能进行LU分解.A的秩RA和各阶顺序主子式值hl依次如下：RA =3U =2.5100 1.4800 4.53000 0.9300 -3.97110 0 -0.0837L =1.0000 0 00.5896 1.0000 01.0677 1.5696 1.0000hl =2.5100 0.1439 13.6410>> U=[2.5100 1.4800 4.53000 0.9300 -3.97110 0 -0.0837];>>L= [1.0000 0 00.5896 1.0000 01.0677 1.5696 1.0000];>> b=[0.05;1.03;-0.53];U1=inv(U); L1=inv(L); X=U1*L1*b,x=A\bX =-111.8440110.953125.7324x =1.4531-1.5892-0.2749例2.1：用高斯消元法求解下面的非齐次线性方程组。

matlab高斯消元法实验原理

matlab高斯消元法实验原理高斯消元法是一种常用的线性方程组求解方法，在数值计算和科学工程领域中广泛应用。

它通过将线性方程组转化为三角形式，从而简化求解过程。

本文将介绍高斯消元法的实验原理。

高斯消元法的实验原理主要分为三个步骤：正向消元、回代和唯一解判断。

首先，我们将线性方程组的系数矩阵化为上三角形式，这个过程称为正向消元。

然后，通过回代的过程求解出方程组的解向量。

最后，利用唯一解判断的方法确定线性方程组是否有唯一解。

在正向消元过程中，我们选择一个主元，通常选择系数矩阵的主对角线上的非零元素作为主元。

然后，通过行初等变换，将主元所在列下方的元素化为零，使系数矩阵变为上三角形式。

这个过程可用矩阵乘法和矩阵加法来表示。

接下来，在回代过程中，我们从最下方的方程开始，求解出最后一个未知数的值。

然后，将得到的解代入前面的方程中，依次求解出其他未知数的值。

这个过程与正向消元类似，但是方向相反，所以称为回代。

在唯一解判断中，我们需要判断线性方程组是否有唯一解。

如果系数矩阵的主对角线上存在零元素，或者方程组中的某个方程是其他方程的线性组合，则该方程组无解或有无穷多解。

否则，方程组有唯一解。

实际应用中，高斯消元法在数值计算、信号处理、图像处理、机器学习等领域都有广泛的应用。

它的优点是简单易行，求解速度较快，但是对于某些特殊的线性方程组，可能会出现数值稳定性较差的情况。

总结而言，高斯消元法是一种常用的线性方程组求解方法，通过正向消元、回代和唯一解判断三个步骤，可以求解出线性方程组的解向量。

该方法在科学计算和工程应用中被广泛使用，具有简单、快速的优点。