matlab牛顿插值法例题与程序

题目一：多项式插值

某气象观测站在8：00（AM ）开始每隔10分钟对天气作如下观测，用三次多项式插值函数（Newton ）逼近如下曲线，插值节点数据如上表，并求出9点30分该地区的温度（x=10）。

二、数学原理

假设有n+1个不同的节点及函数在节点上的值（x 0，y 0），……（x n ，y n ），插值多项式有如下形式：

）（）

）（（）（）（）（n 10n 102010n x -x )(x -x x -x x P x x x x x x -⋯⋯-+⋯⋯+-++=αααα （1）

其中系数i α（i=0,1,2……n ）为特定系数，可由插值样条i i n y x P =）

（（i=0,1,2……n ）确定。

根据均差的定义，把x 看成[a,b]上的一点,可得

f(x)= f （0x ）+f[10x x ，]（0x -x ） f[x, 0x ]= f[10x x ，]+f[x,10x x ，] （1x -x ）

……

f[x, 0x ，…x 1-n ]= f[x, 0x ，…x n ]+ f[x, 0x ，…x n ](x-x n )

综合以上式子，把后一式代入前一式，可得到：

f(x)= f[0x ]+f[10x x ，]（0x -x ）+ f[210x x x ，，]（0x -x ）（1x -x ）+

…+ f[x, 0x ，…x n ]（0x -x ）…(x-x 1-n )+ f[x, 0x ，…x n ,x ]）

（x 1n +ω= N n （x ）+）

（x n R 其中

N n （x ）= f[0x ]+f[10x x ，]（0x -x ）+ f[210x x x ，，]（0x -x ）（1x -x ）+

…+ f[x, 0x ，…x n ]（0x -x ）…(x-x 1-n ) （2）

）（x n R =

f(x)- N n

（x ）= f[x,

0x ， (x)

n

,x ]）

（x 1n +ω （3）

）

（x 1n +ω=（0x -x ）…(x-x n ) Newton 插值的系数i α（i=0,1,2……n ）可以用差商表示。一般有

f k =α[

k

10x x x ⋯⋯，] （k=0,1,2，……，n ）

（4）

把（4）代入（1）得到满足插值条件N ）（）

（i i n x f x =（i=0,1,2，……n ）的n 次Newton 插值多项式

N n （x ）=f （0x ）+f[10x x ，]（1x -x ）+f[210x x x ，，]（1x -x ）（2x -x ）+……+f[n 10x x x ⋯⋯，]（1x -x ）（2x -x ）…（1-n x -x ）.

其中插值余项为：

）

（）！

（）

（）（）（）（x 1n f x N -x f x R 1n 1

n n +++==ωξ ξ介于k 10x x x ⋯⋯，之间。 三、程序设计

function [y,A,C,L]=newdscg(X,Y,x,M)

% y 为对应x 的值，A 为差商表，C 为多项式系数，L 为多项式 % X 为给定节点，Y 为节点值，x 为待求节点 n=length(X); m=length(x); % n 为X 的长度 for t=1:m

z=x(t); A=zeros(n,n);A(:,1)=Y'; s=; p=; q1=; c1=;

for j=2:n for i=j:n

A(i,j)=(A(i,j-1)- A(i-1,j-1))/(X(i)-X(i-j+1)); end

q1=abs(q1*(z-X(j-1)));c1=c1*j; end

C=A(n,n);q1=abs(q1*(z-X(n))); for k=(n-1):-1:1

C=conv(C,poly(X(k))); d=length(C);C(d)=C(d)+A(k,k); end

y(k)= polyval(C, z); %输出y 值

end

L(k,:)=poly2sym(C); %输出多项式

>> syms M,X=[1,3,5,7];Y=[,,,];x=10;

>> [y,A,C,L]=newdscg(X,Y,x,M)

y =

A =

0 0 0

0 0

C =

L =

- x^3/480 - (19*x^2)/160 + (697*x)/480 + 3387/160

四、结果分析和讨论

对于不超过三次的插值多项式，x如果选取1,3,5,7这三个点能够得到较好的三次插值多项式L=^^2++。当x=10时，也即9点30分时的温度为度，结果分析知此值应是偏小的。对于选取不同的插值节点，能够得到不同的插值多项式，误差也不尽相同。

五、完成题目的体会与收获

对于牛顿插值法有了更深的了解，合理选择插值节点很重要。加深了对其原理的认识，学会了牛顿插值法的matlab编程，对matlab计算方法更加熟悉。通过完成这道题使我受益匪浅。