数学北师版七年级上第五章6应用一元一次方程——追赶小明

6 应用一元一次方程——追赶小明
1．行程问题中的基本关系式 行程问题是在匀速运动的条件下，所有研究物体运动的路程、速度和时间，及运动状态的问题的统称．
行程问题中路程、速度和时间三个量之间的关系
①路程＝速度×时间；
②速度＝路程时间
； ③时间＝路程速度
. 【例1】 一列火车从车头进隧洞到车尾出隧洞共用了10分钟，已知火车的速度是500米/分，隧洞长为4 800米，问这列火车长是多少米？
分析：隧洞用AB 表示，火车用CD 表示，画出示意图如图所示．设火车长为x 米，从图中易见：火车从进洞前的D 点行驶到出洞后的D 点，共行驶了(4 800＋x )米，用了10分钟，然后根据“4 800＋x ＝火车的速度×10”列出方程求解．
解：设火车长为x 米，依题意，得4 800＋x ＝500×10.
解得x ＝200.
答：这列火车长是200米．
2．相遇问题的解决方法 相遇问题是比较重要的行程问题，其特点是相向而行．如图1就是相遇问题．图2也可看成相遇问题来解决．
相遇问题中的相等关系 ①甲、乙的速度和×相遇时间＝总路程；
②甲行的路程＋乙行的路程＝总路程，即s 甲＋s 乙＝s 总； ③甲用的时间＝乙用的时间．
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【例2】 A ，B 两地间的路程为360千米，甲车从A 地出发开往B 地，每小时行驶72千米．甲车出发25分钟后，乙车从B 地出发开往A 地，每小时行驶48千米．
(1)几小时后两车相遇？
(2)两车相遇后，各自仍按原速度和原方向继续行驶．那么相遇以后两车相距100千米时，甲车从出发共行驶了多少小时？
分析：(1)本小题属于相遇问题．相等关系是：甲车的行程＋乙车的行程＝360千米．
(2)相等关系是：甲车行驶的路程＋乙车行驶的路程＝(360＋100)千米．
解：(1)设经过x 小时两车相遇，则据题意，得72⎝⎛⎭⎫2560＋x ＋48x ＝360.解得x ＝234
. 答：234
小时后两车相遇． (2)设相遇以后两车相距100千米时，甲车共行驶了x 小时，则乙车共行驶了⎝⎛⎭
⎫x －2560小时，由题意可知，甲车行驶的路程是72x 千米，乙车行驶的路程是48⎝⎛⎭
⎫x －2560千米． 根据题意，得72x ＋48⎝⎛⎭
⎫x －2560＝360＋100. 解这个方程，得x ＝4.
答：甲车共行驶了4小时．, 3.追及问题的解决方法
追及问题的特点是同向而行．追及问题有两类：
①同时不同地，如下图：
等量关系：乙的行程－甲的行程＝行程差；速度差×追及时间＝追及距离．即s 乙－s 甲
＝s 差．甲用的时间＝乙用的时间．
②同地不同时，如下图：
等量关系：甲的行程＝乙的行程．即s 甲＝s 乙．
“同时不同地”中，双方行驶所用的时间相同，行驶的路程却不同(出发点不同)；而“同地不同时”中，由于行驶双方出发时间有先后，故行驶过程中用的时间不同，双方出发地相同，故行驶的路程相同．
【例3－1】 李成在王亮的前方10米处，若李成每秒跑7米，王亮每秒跑7.5米，同时起跑，问王亮跑多少米可以追上李成？
分析：本题是追及问题，属于“同时不同地”的类型，可根据“王亮跑的路程－李成跑的路程＝10米”，列方程求解．
解：设x 秒时王亮追上李成，根据题意，得7.5x －7x ＝10.解得x ＝20.
所以7.5×20＝150(米)．
答：王亮跑150米可追上李成．
【例3－2】 甲、乙两人从同地出发前往某地．甲步行，每小时行6千米，先出发1.5小时后，乙骑自行车出发，又过了50分钟，两人同时到达目的地，问乙每小时行多少千米？
分析：本题是“同地不同时”的追及问题，可画出线段图帮助解答．
本题的相等关系是：甲行驶的路程＝乙行驶的路程．
解：设乙每小时行x 千米，根据题意，得5060
x ＝6⎝⎛⎭⎫1.5＋5060. 解这个方程，得x ＝16.8.
答：乙每小时行16.8千米．
4．航行(飞行)问题与环行问题
(1)航行(飞行)是指轮船的航行或飞机的飞行，也属于行程问题．
航行问题中的基本概念：
①静水速度：轮船在不流动的水中行驶的速度；②顺水速度：轮船顺着水流的方向航行的速度；③逆水速度：轮船行驶方向与水流的方向相反时的航行速度；④水速：水自身流动的速度．
航行或飞行中会受到水速或风速的影响，因此此类问题的基本关系是：①顺水速＝静水速＋水速，顺风速＝无风速＋风速；②逆水速＝静水速－水速，逆风速＝无风速－风速．
(2)环行问题
环行问题即沿环行路的行程问题，有以下两种情况：
①甲、乙两人在环形道上同时同地同向出发：快的必须多跑一圈才能追上慢的．即快者走的路程＝慢者走的路程＋一圈的路程．
②甲、乙两人在环形道上同时同地反向出发：两人首次相遇时的总路程为环形道的一圈长．即甲走的路程＋乙走的路程＝一圈的路程．
【例4－1】一名极限运动员在静水中的划船速度为12千米/时，今往返于某河，逆流时用了10时，顺流时用了6时，求此河的水流速度．
分析：逆水速＝静水速－水速，顺水速＝静水速＋水速，顺流行程＝逆流行程．
解：设此河的水流速度为x千米/时，根据题意，得6(12＋x)＝10(12－x)，解这个方程，得x＝3.
答：此河的水流速度为3千米/时．
【例4－2】甲、乙两人在环形跑道上练习跑步，已知环形跑道一圈长400米，乙每秒跑6米，甲每秒跑8米．
(1)如果甲、乙两人在跑道上相距8米处同时反向出发，那么经过多少秒两人首次相遇？
(2)如果甲在乙前面8米处同时同向出发，那么经过多少秒两人首次相遇？
分析：(1)属于相遇问题，相等关系：甲的行程＋乙的行程＝环形跑道一圈的长－8米；
(2)属于追及问题，相等关系：甲走的路程＝乙走的路程＋两地间的距离－8米．
解：(1)设经过x秒，甲、乙两人首次相遇．
根据题意得8x＋6x＝400－8，
解这个方程，得x＝28.
答：经过28秒两人首次相遇．
(2)设经过x秒，甲、乙两人首次相遇，
根据题意得8x＝6x＋400－8，
解这个方程，得x＝196.
答：经过196秒两个人首次相遇．。