第6章 三角函数 6.6 函数y=Asin(ωx+φ)的图像与性质(1)
(解析版)函数y=Asin(ωx+φ)的图像与性质PPT课件
∴π4＋φ＝kπ＋π2(k∈Z)．
∵－π<φ<0，
∴φ＝－34π.
32
【变式训练】
设函数 f(x)＝sin(2x＋φ)(－π<φ<0)，y＝f(x)的图像的一条对称轴是直线 x＝π8. (1)求 φ； (2)求函数 y＝f(x)的单调递增区间； (3)画出函数 y＝f(x)在[0，π]上的图像．
(2)由(1)知，φ＝－34π，因此 y＝sin2x－34π.由题意得 2kπ－π2≤2x－34π≤2kπ ＋π2(k∈Z)，∴kπ＋π8≤x≤kπ＋58π(k∈Z)，
－
3π 4
≤
3π 2
＋
2kπ(k∈Z)
，
得
原
函
数
的
单
调
增
区
间
为
58π＋kπ，98π＋kπ(k∈Z)．
即函数 y＝sin34π－2x的单调减区间是π8＋kπ，58π＋kπ(k∈Z)，
单调增区间是58π＋kπ，98π＋kπ(k∈Z)．
22
规律方法
1. 关于函数 y＝Asin(ωx＋φ)的对称性与奇偶性 (1)将 ωx＋φ 看作整体，代入到 y＝sin x 的对称中心、对称轴的表 达式可以求出函数 y＝Asin(ωx＋φ)的对称中心、对称轴或求 φ 值． (2)若函数 y＝Asin(ωx＋φ)为奇函数，则 φ＝π＋kπ，k∈Z，若函数 y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则 φ＝π2＋kπ，k∈Z，函数 y＝Asin(ωx＋φ) 的奇偶性实质是函数的对称中心、对称轴的特殊情况．
37
又∵函数图像过点(0， 2)，0<φ<π2， ∴2sin φ＝ 2，∴φ＝π4， ∴函数解析式为 y＝2sin13x＋π4. 由－π2＋2kπ≤13x＋π4≤π2＋2kπ， 得－94π＋6kπ≤x≤34π＋6kπ(k∈Z)，
6.6 正弦函数的图象与性质课件-2023届广东省高职高考数学第一轮复习第六章三角函数
【解析】 (1)y＝sin 2xcos 2x＝12×2sin 2xcos 2x＝12sin4x，
周期 T＝2|ωπ|＝2π 4 ＝π2 ，值域－21，12
(2)y＝sin(2x－30°)·cos 30°＋cos(2x－30°)·sin 30°＝sin(2x－30° ＋30°)＝sin 2x，
周期 T＝2|ωπ|＝2π 2 ＝π，值域[－1，1]
(2)最小正周期是 T＝2|ωπ|； (3)函数 y＝Asinωx 是奇函数．
学一学
例1 用描点法画出函数y＝sinx－2在区间[0，2π]上的简图，并求 它的最大值和最小值． 【分析】 作简图一般用“五点作图法”，即作出区间的五个四等分
点：0、π2 、π、3π 2 、2π对应的函数值所对应的点．由图象就可以看 出函数的最值了．
【融会贯通】 先填写下表，再画出下列函数 y＝2sinx 在区间[0，2π]
上的简图，并写出函数的最值．
x
0
π 2
π
3π 2
2π
sinx y＝2sinx
【解析】 ∵当 sinx＝1 时，y＝2；当 sinx＝－1 时，y＝－2，
∴ymax＝2，ymin＝－2.
x
0
π π 3π
2
2
2π
sinx 0 1 0 －1 0
【解析】 最小正周期为 T＝2|ωπ|＝2π 3 ；当 sin3x＋π4＝1 时有最大值14.
8．函数f(x)＝bsinx－1，若f(2)＝1，则f(－2)＝___－__3__． 【解析】 f(x)＝bsinx－1，f(2)＝bsin 2－1＝1，得 bsin 2＝2.
f(－2)＝bsin(－2)－1＝－bsin 2－1＝－3.
例4 函数f(x)＝3－2sinx是(
函数Y=ASIN的图象课件
3．掌握 A、ω、φ 对图象形状的影响．(难点)
自主 预习 探新 知
1．周期变换 (1)在函数 y＝sin ωx(ω＞0)中，ω 决定了函数的周期 T＝2ωπ，通 常称周期的倒数 f＝T1＝2ωπ为 频率 ． (2)对于函数 y＝sin ωx(ω＞0，ω≠1)的图象，可以看作是把 y＝ sin x 的图象上所有点的横坐标缩短(当 ω＞1 时)或伸长(当 0＜ω＜1
第一章 三角函数
§6 函数y＝Asinωx＋φ的性质与图象 第1课时 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象
学习目标 1.了解振幅、初相、相位、频率等有关概念，
核心素养
会用“五点法”画出函数 y＝Asin(ωx＋φ)的 通过画函数 y＝
图象．(重点) Asin(ωx＋φ)的图象，培
2．理解并掌握函数 y＝Asin(ωx＋φ)图象的平 养直观想象素养.
A．1，π3
B．2，π3
C．12，π6
D．12，π3
B [ 依 题 意 得 f(x) 第 一 次 变 换 得 到 的 函 数 解 析 式 为 m(x) ＝ 2cosω2 x＋φ，第二次变换得到
函数 g(x)＝2cosω2 x＋ω12π＋φ. 因为函数 g(x)的最小正周期为 2π，所以 ω＝2， 则 g(x)＝2cosx＋π6＋φ. 又因为函数为奇函数，0<φ<π，所以 φ＋π6＝kπ＋π2(k∈Z)，则 φ＝π3.]
)
A．－2x＋π3，π3
B．2x－π3，－π3
C．2x＋23π，23π
D．2x＋23π，π3
C [y＝2sin－2x＋π3＝2sinπ－－2x＋π3＝2sin2x＋23π.
∴相位和初相分别为 2x＋23π，23π.]
函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质(一)
你认为应该按怎样的思路进行研究?
答案
能.可以先研究 φ 对函数 y=sin(x+φ)图象的影响,再依次研究 ω,A 对函数
y=Asin(ωx+φ)图象的影响.
问题 2:函数 y=sin x 的图象与 y=sin(x+φ)的图象有什么关系?
π
π
3
3
(2)将函数 y=sin x 的图象上所有的点向右平移 个单位长度得到函数 y=sin 的图象,再把函数 y=sin y=sin
3
-
π
3
的图象.
π
3
的图象上各点的横坐标扩大到原来的 3 倍,就得到函数
课前预学
方法总结
课堂导学
伸缩变换的解题关键及方法
关键:确定伸缩量.
1
解决方法:已知函数 y=f(x)的图象,作函数 y=f(ωx)(ω>0)的图象, 为伸缩量.
π
6
图象上的一点,则点 G'
1
2
, 与 G″(2x,y)分别
在哪个函数图象上?
答案
G'
1
2
, 是 y=sin 2 +
问题 3:(1)函数 y=sin 2 +
π
6
图象上一点;G″(2x,y)是 y=sin
π
1
2
+
π
6
图象上的一点.
π
,x∈R 的图象,可看作是把 y=sin + ,x∈R 图象上
30
+
π
6
π
函数y=Asin(ωx+φ)的性质及应用 课件
1．函数y＝Asin(ωx＋φ)，x∈[0，＋∞)(其中A>0，ω>0)中各量的物理意义 物理中，描述简谐运动的物理量， 如振幅、周期和频率等都与函数y＝Asin(ωx＋φ)中的常数有关： (1)A：它表示做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离，称为振幅(amplitude of vibration)；
(3)由 y＝sin(2x－34π)知，
x
0
π
3π
5π
7π
8
8
8
8
π
2x－34π
－34π
－π2
0
π 2
π
5π 4
y
－
2 2
－1
0
1
0
－
2 2
故函数y＝f(x)在区间[0，π]上的图象是
相位、初相概念理解错误
典例 4 函数 y＝2sin(－2x＋π3)的相位和初相分别是( )
A．－2x＋π3，π3
[解析] (1)由 2x＋φ＝kπ＋π2，k∈Z 得 x＝k2π＋π4－φ2， 令k2π＋π4－φ2＝π8，解得 φ＝kπ＋π4，k∈Z． ∵－π<φ<0，∴φ＝－34π． (2)由(1)知，f(x)＝sin(2x－34π)． 由 2kπ－π2≤2x－34π≤2kπ＋π2(k∈Z)
解得 kπ＋π8≤x≤kπ＋58π(k∈Z) 故函数的单调递增区间是[kπ＋π8，kπ＋58π](k∈Z)． 同理可得函数的单调递减区间是[kπ＋58π，kπ＋98π](k∈Z)． 当 2x－34π＝2kπ＋π2(k∈Z)，即 x＝kπ＋58π(k∈Z)时函数有最大值 1； 当 2x－34π＝2kπ－π2(k∈Z)，即 x＝kπ＋π8(k∈Z)时函数有最小值－1．
三角函数f(x)=Asin(wx+φ)图像(1)
3
2 5 7 3 6 12
3
o
-1
6
7 6
5 3
2
x
-2 -3
y sin( 2 x ) sin 2( x ) 3 6
y sin 2 x
y sin x
y=Asin(x+) 总结: y=sinx 方法1:(按 , ω, A顺序变换)
例2：为了得到y sin x的图像，可由 函数y 3sin(2 x
5
)如何变换得到？
变式：函数y sin x可由y cos x如何变换得到
例3：已知函数y sin(2 x
4 平移m ( m 0)个单位长度，所得函数的图像 关于y轴对称，求m的最小值
)的图像向左
例1：如何由y sin x变换得到y 3sin(2 x
3
)图像
方法1:(按 , ω, A 顺序变换)
y 3 2 1
y 3 sin( 2 x ) 3 y sin( 2 x ) 3
6
3
2 5 7 3 6 12
sin x 3sin(2 x
y=sinx
向左>0 (向右<0)
平移||个单位
y=sin(x+)
横坐标缩短>1 (伸长0<<1)到原来的1/倍 纵坐标不变
y=sin(x+)
横坐标不变
y=Asin(x+)
纵坐标伸长A>1 (缩短0<A<1)到原来的A倍
y=Asin(x+) 总结: y=sinx 方法2:(按 ω, , A顺序变换)
第5部分 第7讲函数y=Asin(ωx φ)的图象及性质---文本资料
大变化，而不是“角变化”多少．
【变式迁移】
2 ． (2010· 天津卷 ) 下图是函数 y ＝ Asin(ωx ＋ φ)(x∈R)
在区间 上的图象，为了得到这个函数的图象， ) 只要将y＝sinx(x∈R)的图象上所有的点(
A．向左平移
个单位长度，再把所得各点的横
坐标缩短到原来的
B．向左平移 C．向左平移 坐标缩短到原来的
(2)说明y＝f(x)的图象可由y＝sinx的图象经过怎样的变换
得到．
点评：(1)由图象写解析式，要注意数形结合，要
注意它和“五点法”作图的联系．
(2)图象变换的两种途径：先相位变换后周期变换 (先平移再伸缩)；先周期变换后相位变换(先伸缩再
平移)．一般采用先平移再伸缩，要注意每一个变换
总是对字母 x 而言，即图象变换要看 “ 变量 ” 起多
解法 2： 函数 f(x) 的图象向左平移 m个单位后所对应 g(x)是偶函数当且仅当g(－x)＝g(x)对x∈R恒成立，
亦即sin(－3x＋3m＋
恒成立．
)＝sin(3x＋3m＋
)对x∈R
点评：要善于利用f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象直观性地
得到函数的性质，如：①图象与x轴的交点中，相邻两 个交点之间的距离为半周期；②两相邻的对称轴之间 的距离为半周期；③对称中心都是它们的零点；④对 称轴都经过它们的最高点或最低点，且与x轴垂直的直 线等．
( A )
在区间
的简图是
解：排除法：因为x＝0时，y<0，所以排除B，D.
又因为x＝
时，y＝0，排除C，故选A.
3．(2010·四川卷)将函数y＝sinx的图象上所有的点向
右平行移动
是( C )
函数y=Asin(ωx+φ)的性质-三角函数
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自主通道
填一填
函数 y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的性质
定义域
R
值域
1 __[_－___A__，___A__]_____
周期
T＝2ωπ
第3 页
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第4 页
奇偶性 φ＝ 2 kπ，k∈Z 时，y＝Asin(ωx＋φ)是奇函数；φ＝ 3 kπ＋π2，k∈Z
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第 12 页
类型 二 函数 y＝Asin(ωx＋φ)的性质及应用(自主探究) 1．若函数 y＝sin(x＋φ)(0≤φ≤π)是 R 上的偶函数，则 φ＝( C )
A．0
π B.4
π C.2
D．π
解析 因为函数 y＝sin(ωx＋φ)在 φ＝kπ±2π(k∈Z)时为偶函数，且 0≤φ≤π，所以
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第 20 页
类型 三 函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质的综合应用 【例】 函数 h(x)＝Asin(ωx＋φ)A>0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示．若把函 数 h(x)的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的 2 倍，得到函数 f(x)的图 象． (1)求函数 f(x)的解析式； (2)若函数 y＝f(x＋φ′)0<φ′<2π是奇函数，求函数 g(x)＝cos(2x－φ′)在[0,2π]上的单调递减区间．
正弦型函数y=Asin（ωx+φ）的图像和性质
正弦型函数y=Asin(ωx+φ)的图像和性质导入新课思路1(情境引入)在物理和工程技术的许多问题中,都要遇到形如y=Asin(ωx+φ)的函数(其中A 、ω、φ是常数)。
例如，物体做简谐振动时位移y 与时间x 的关系，交流电中电流强度y 与时间x 的关系等，都可用这类函数来表示。
这些问题的实际意义往往可从其函数图象上直观地看出，因此，我们有必要画好这些函数的图象。
揭示课题：函数y=Asin(ωx+φ)的图象。
思路2（直接导入）从解析式来看，函数y=sinx 与函数y=Asin(ωx+φ)存在着怎样的关系？从图象上看，函数y=sinx 与函数y=Asin(ωx+φ)存在着怎样的关系？接下来，我们就分别探索φ、ω、A 对y=Asin(ωx+φ)的图象的影响。
一、新知探究 提出问题（1）你能用学过的三角函数知识描述大观览车周而复始的运动吗？（2）你能算出某一时刻你的“座位”离开地面的高度吗？活动：教师可先制作一个大观览车模型，让学生动手画出大观览车的示意图，或先演示课件然后和学生一起探究上述问题。
如图1是大观览车的示意图。
设观览车转轮半径长为R ，转动的角度为ωrad/s.点P 0表示座椅的初始位置.此时∠xoP 0=φ,当转轮转动t 秒后,点P 0P 位置,射线OP 的转角为ωt+φ,由正弦函数的定义,得点P 的纵坐标y 与时间t 的函数关系为y=Rsin(ωt+φ).这样，如果已知车轮半径R ，转动的角速度ω和初始的角度φ你就可计算出某一时刻你的“座位”离开地面的高度了。
在函数y= Rsin(ωt+φ)中，点P 旋转一周所需要的时间 T=ϖπ2，叫做点P 的转动周期。
在一秒内，点P 旋转的周数f=,2π=T 叫做转动的频率。
OP 0与x 轴正向的夹角φ叫做初相。
例如一动点以角速度4πrad/s 做匀速圆周运动，则T=.21,2142Hz Tf s ===ππ形如y=Asin(ωx+φ)（其中A ，ω，φ都是常数)的函数，在物理、工程等科学的研究中经常遇到，这种类型的函数通常叫做正弦函数。
函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质 人教课标版精品课件
可设y 2 sin( x ),由 6 得
8
8
4
f (x) 2 sin( x )
84
作业:
课本：P65 3、4、5
教学目的:
(1)掌握函数 y Asin(x ) 的 最值和单调区间的求法.
(2) 能利用转化思想解决一些基 本的问题.
(3)能根据图象写出函数 y=Asin(ωx+φ)的解析式。
教学重点及解决方法:
换元转化思想方法.通过 配置典型性习题，学生练习， 教师分析、小结，形成能力,在 练习的过程熟练应用.
教学方法: (1)讲练结合,练习为主. (2)学生自主探究,教师协助互动。
小心翼翼珍藏着，和母亲在一起的美好时光。母亲身体一直不好，最后的几年光景几乎 长大后，才发现生活不像我们想象的那样的简单，我们时刻面临着不同的选择，学习、工作、家庭……我们总是小心翼翼，在每一条路上，我们总是想追求最好的，努力付出过后，结局如何，只有我们自己慢慢去体会。
的递减
[ 2k , 2k ), k Z
2
思考: 形如y=f[g(x)]的函数称为
复合函数。
求函数的单调区间应注意 什么问题？
（1）定义域； （2）内外函数“同增异减”。
（三）根据图象写出函数的解析式
例 由下列 f (x) Asin(x )(A 0, )
2
的一段图象确定各图象对应的 f(x)的
时光在飞逝，父母容颜渐渐沧桑，望着父母佝偻的背影，心里一阵阵莫名的心酸。年轻时不努力拼搏，老了就自己受苦，这是现在年轻人经常激励自己的话，为了所谓的以后，我们牺牲了自己最美好的年华，却没有谁知道以后的样子又会是如何，也许这就是所谓的选择。
我们每个人都有很多在选择，学业、事业、爱情……我们都有各种各样的选择，可以说生活中我们时刻面临着选择，选择不一样，结局也会不一样，只是你的选择是否真正发自内心还是出自于生活的无奈，已经无人理会。人生路需要走很久，我们总会遇到各种各样的人，各种各样的事，正如我们工作平台选择不一样，起点也会不一样，领导选择不一样，或许你的结局也会不一样，我们不能选择自己的出生，所以不要怨天尤人，更不要去指责，生活对谁都一样，选择永远在你手中，跟着心走，或许你就能找到一个真正的自己。
函数y=Asin(ωx+φ )的图象与性质 课件-高一上学期数学湘教版(2019)必修第一册
)、
4
内的图象，分析它们之间的变化关系。
= sin( −
)在一个周期
4
新知探究|一、函数=sin(+)的图象与性质
可以看出:
4
● = sin( + )的图象可以由 = sin 的图像上每一点的纵坐标不变、横坐
标减去
4
得到。即将 =
sin 的图象向左平移
4
个单位长度得到。
分析周期性、最值与值域之间的关系。
1
sin 在[−2, 2]上的图象，
2
新知探究|一、函数=sin(+)的图象与性质
可以看出:
● = sin 2的图象可以由 = sin 的图像上每一点的纵坐标不变、横坐标
1
2
除以2 ( 即到轴的距离缩短到原来的 倍)得到。 = sin 2的值域、最大值和
湘教版高中必修第一册
正弦型函数的图象与性质
教学课件
湘教版高中必修第一册
目
01
新课导入
02
新知探究
03
典型例题
录
04
作业布置
1
新 课 导 入
新课导入
在现实世界中，人们常常用形如 = sin( + ) (其中A、、φ是常数)的函数来
表示各种周期性现象。
简谐振动中，弹簧下悬挂着的小球在位置0处于平衡状态。将小球竖直向下拉到某个
sin 的图像向左( > 0 )或向右( < 0 )平移| | 个单位长度得到。
新知探究| 练一练
试说明 =
3
3sin 的图象是如何由
2
= sin 变化得到的？
函数y=Asin(ωx φ)的性质及应用
[解析]
T 2π 依题意知：A＝ 2 ， ＝4，故T＝ ＝16，ω＝ 4 ω
π π ，∴y＝ 2sin( x＋φ) 8 8 π π π 又由函数最高点(2， 2)得sin( ×2＋φ)＝1，故 ＋φ＝ ＋ 8 4 2 2kπ，k∈Z， π ∴φ＝2kπ＋ ，k∈Z 4 π π 又由|φ|< 得φ＝ ， 2 4
2．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的性质
R (1)定义域：____.
－A，A] ． (2)值域：[ _________ π 2kπ＋2－φ 当π x＝___________(k∈Z)时，y取最大值A；当x＝ ω 2kπ－2－φ __________( k∈Z)时，y取最小值－A. ω
2π (3)周期性：周期函数，周期为 ω .
(4)奇偶性：当且仅当φ＝kπ(k∈Z)时，函数y＝Asin(ωx＋φ) π 是奇函数；当且仅当φ＝kπ＋ 2 (k∈Z)时，函数y＝Asin(ωx＋φ) 是偶函数． (5)单调性：单调递增区间是 π π 2kπ－2－φ 2kπ＋2－φ (k∈Z)； ， ω ω π 3π 2kπ＋2－φ 2kπ＋ 2 －φ 单调递减区间是 (k∈Z)． ， ω ω
3π π 5π 当2xຫໍສະໝຸດ ＝2kπ＋ (k∈Z)，即x＝kπ＋ (k∈Z)时函数有最 4 2 8 大值1； 3π π π 当2x－ 4 ＝2kπ－ 2 (k∈Z)，即x＝kπ＋ 8 (k∈Z)时函数有最 小值－1.
(2011～2012· 郑州高一检测)已知曲线y＝Asin(ωx＋ π φ)(A>0，ω>0，|φ|<2)上最高点为(2， 2)，该最高点到相邻的 最低点间曲线与x轴交于一点(6,0)，求函数解析式，并求函数 在x∈[－6,0]上的值域．
第六节函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的应用
± 1， π π k 1 所以2ωπ－6＝kπ＋2(k∈Z)，即ω＝ 2＋ 3(k∈Z)．
1 5 又ω∈2，1，k∈Z，所以k＝1，故ω＝6.
6π 所以f(x)的最小正周期是 5 .
高考总复习•数学（理科）
π π (2)由y＝f(x)的图象过点4，0，得f4＝0， 5 π π 即λ＝－2sin2×6×4－6＝－2sin 5 π 故f(x)＝2sin3x－6－
Asin(ωx＋φ)为例]分别令ωx＋φ＝0， ，π，
再解出相应的纵坐标，就得到五个关键点．
，2π，解得对
应的五个x值，这五个x值即为函数图象上五个点的横坐标，
高考总复习•数学（理科）
变式探究
1．已知函数y＝Asin ，给出下面4个命题，其中正 ③将函数图象向
确命题的个数是______________． ①函数的最大值为A ②函数的初相位是
A．先把各点的横坐标缩短到原来的
，再向右平移
个单
高考总复习•数学（理科） C．先把各点的横坐标缩短到原来的 ，再向左平移 单位长度 D．先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移 个 单位长度 个
高考总复习•数学（理科）
高考总复习•数学（理科）
∴y＝f(x)的图象可由函数g(x)＝sin x的图象(纵坐标不变)
高考总复习•数学（理科） 三角函数模型的简单应用 【例5】 受日月的引力，海水会发生涨落，这种现象叫
做潮汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；
卸货后落潮时返回海洋．某港口水的深度 y(单位：米 ) 是时间
t(0≤t≤24，单位：时)的函数，记作y＝f(t)．下面是该港口在 某季节每天水深的数据： t/时 0 3 6 9 12 15 18 21 24 10.0
函数y=Asin(ωx+φ)的图象ppt课件
探究新知识
探究二 探索参数A(A>0)对函数 y＝Asin(ωx＋φ) 图象的影响
新课引入
探究新知识
探究二 探索参数A(A>0)对函数 y＝Asin(ωx＋φ) 图象的影响
函数 y=Asinx(A>0且A1) 的图象可以看作是把y=sinx的图象上 所有点的纵坐标伸长(当A>1时)或缩短(当0< A<1时)到原来的A倍
y=sinx 或向右( <0)平移 y=sin(x+)
| | 个单位
左加右减
注意：这里平移的对象都是相对于x平移！
新课引入
探究新知识
探究二 探索参数ω(ω>0)对函数 y＝sin(ωx＋φ)图象的影响
新课引入
探究新知识
探究二 探索参数ω(ω>0)对函数 y＝sin(ωx＋φ)图象的影响
新课引入
有多个参数的函数，你认为应该按怎样的思路进行研究？ ●答案：类比对二次函数y=a(x－h)²+k图象的研究过程，用的是“控制变量
法”．
具体的研究过程是：先给两个参数赋特值，依次探究第三个参数变化对函数图
象的影响，再综合考虑三个参数的情况．
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●问题3 :首先从研究参数φ对函数y=sin(x＋φ)的影响开始，即探究函数 y=sinx与y=sin(x＋φ)之间图象的关系.对与单一参数的问题我们怎么研 究呢？
所有点的横坐标缩短(>1)
y=sinx
或伸长(0< <1) 1/倍 纵坐标不变
y=sinx
决定函数的周期:
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探究二 探索参数A(A>0)对函数 y＝Asin(ωx＋φ) 图象的影响
y=Asin(ωx+φ)的图象与性质(解析版)
考点30 y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象与性质【命题解读】三角函数图象与性质的考查力度有所加强，往往将三角恒等变换与三角函数的图象和性质结合考查，先利用三角公式进行化简，然后进一步研究三角函数的性质.其中三角函数的定义域值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性以及图象变换是主要考查对象，难度以中档以下为主 【基础知识回顾】4、与三角函数奇偶性相关的结论三角函数中，判断奇偶性的前提是定义域关于原点对称，奇函数一般可化为y ＝A sin ωx 或y ＝A tan ωx 的形式，而偶函数一般可化为y ＝A cos ωx ＋b 的形式．常见的结论有：(1)若y ＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，则有φ＝k π＋π2(k ∈Z)；若为奇函数，则有φ＝k π(k ∈Z)． (2)若y ＝A cos(ωx ＋φ)为偶函数，则有φ＝k π(k ∈Z)；若为奇函数，则有φ＝k π＋π2(k ∈Z)． (3)若y ＝A tan(ωx ＋φ)为奇函数，则有φ＝k π(k ∈Z)．1．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3在区间⎣⎡⎦⎤－π2，π上的简图是( )【答案】A【解析】：令x ＝0得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π3＝－32，排除B ，D 项，由f ⎝⎛⎭⎫－π3＝0，f ⎝⎛⎭⎫π6＝0，排除C 项，故选A.2．为了得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的图象，可以将函数y ＝sin 2x 的图象( )A ．向右平移π6个单位长度 B ．向右平移π12个单位长度 C ．向左平移π6个单位长度 D ．向左平移π12个单位长度 【答案】B【解析】：y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＝sin 2⎝⎛⎭⎫x －π12，故将函数y ＝sin 2x 的图象向右平移π12个单位长度，可得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的图象．3、 函数f(x)＝A sin (ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图所示，则f ⎝⎛⎭⎫11π24的值为( )第1题图A . －62B . －32C . －22 D . －1 【答案】D【解析】 由图象可得A ＝2，最小正周期T ＝4×⎝⎛⎭⎫7π12－π3＝π，则ω＝2πT ＝2.又f ⎝⎛⎭⎫11π24＝2sin ⎝⎛⎭⎫7π6＋φ＝－2，得φ＝π3，则f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，f ⎝⎛⎭⎫11π24＝2sin ⎝⎛⎭⎫11π12＋π3＝2sin 5π4＝－1.故选D .4、(2018苏北四市期末） 若函数f(x)＝A sin (ωx ＋φ)(A>0，ω>0)的图象与直线y ＝m 的三个相邻交点的横坐标分别是π6，π3，2π3，则实数ω的值为________． 【答案】、. 4【解析】、由题意得函数f(x)的最小正周期T ＝2π3－π6＝2πω，从而ω＝4.5、(2018镇江期末） 函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图象两相邻对称轴的距离为________．【答案】、 π2【解析】、由题知函数最小正周期T ＝2π2＝π.图象两相邻对称轴间的距离是最小正周期π的一半即π2. 6、（2020江苏镇江期中考试）设函数()()(sin ,,f x A x A ωϕωϕ=+为参数，且)0,0,0A ωϕπ>><<的部分图象如图所示，则ϕ的值为______．【答案】3π【解析】由图象可得()f x 最小正周期：473126T πππ⎛⎫=⨯+= ⎪⎝⎭，即2ππω=，2ω∴=，又77sin 126f A A ππϕ⎛⎫⎛⎫=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，73262k ππϕπ∴+=+，k Z ∈，23k πϕπ∴=+，k Z ∈，又0ϕπ<<，3πϕ∴=，本题正确结果：3π． 7、 已知函数()sin(2)6f x x π=-的图象C 1向左平移π4个单位得到图象C 2，则C 2在[0，π]上的单调减区间是________．【答案】：[π12，712π] 【解析】、：由题设可知C 2的曲线方程sin(2)3y x π=+，令222232k x k ππ3ππ+≤+<π+，得1212k x k π7ππ+≤<π+．令k ＝0得C 2在[0，π]上的单减区间为[π12，712π]．考向一 函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象及其变换设函数()sin (0)f x x x ωωω=>的周期为π． (1) 求它的振幅、初相；(2) 用“五点法”作出它在长度为一个周期的闭区间上的图象； (3) 说明函数f (x )的图象可由y ＝sin x 的图象经过怎样的变换而得到．【解析】：(1) ()sin f x x x ωω=12(sin )2x x ωω=+2sin()3x ωπ=+,∵ T ＝π，∴2πω＝π，即ω＝2．∴()2sin()3f x x ωπ=+．∴ 函数(x)sin f x x ωω=的振幅为2，初相为3π．(2) 令X ＝2x ＋π3，则2sin(2)2sin 3y x x π=+=． 列表，并描点画出图象：(3) (解法1)把sin y x =的图象上所有的点向左平移3π个单位，得到sin()3y x π=+的图象；再把sin()3y x π=+的图象上的点的横坐标变为原来的12(纵坐标不变)，得到sin(2)3y x π=+的图象；最后把sin(2)3y x π=+上所有点的纵坐标变为原来的2倍(横坐标不变)，即可得到2sin(2)3y x π=+的图象． (解法2)将sin y x =的图象上每一点的横坐标x 变为原来的12，纵坐标不变，得到sin 2y x =的图象；再将sin 2y x =的图象向左平移π6个单位，得到sin 2()sin(2)63y x x ππ=+=+的图象；再将sin(2)3y x π=+的图象上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得到2sin(2)3y x π=+的图象．变式1、已知函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3.(1)求它的振幅、周期、初相；(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象；(3)说明y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象可由y ＝sin x 的图象经过怎样的变换而得到．【解析】 (1)y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的振幅A ＝2，周期T ＝2π2＝π，初相φ＝π3.(2)令X ＝2x ＋π3，则y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝2sin X.(3)(方法1)把y ＝sin x 的图象上所有的点向左平移π3个单位长度，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象；再把y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象；最后把y＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，即可得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象．(方法2)将y ＝sin x 的图象上所有点的横坐标缩短为原来的12倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin 2x 的图象；再将y ＝sin 2x 的图象向左平移π6个单位长度，得到y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象；再将y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍(横坐标不变)，即得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象．变式2、（2020届山东师范大学附中高三月考）为了得函数23y sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需把函数2y sin x =的图象（ ） A ．向左平移6π个单位 B ．向左平移3π单位 C ．向右平移6π个单位 D ．向右平移3π个单位【答案】A 【解析】不妨设函数2y sin x =的图象沿横轴所在直线平移ϕ个单位后得到函数23y sin x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象． 于是，函数2y sin x =平移ϕ个单位后得到函数，sin 2()y x ϕ=+，即sin(22)y x ϕ=+， 所以有223k πϕπ=+，6k πϕπ=+，取0k =，6π=ϕ．答案为A ． 变式3、（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）将曲线()cos 2y f x x =上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移4π个单位长度，得到曲线cos 2y x =，则6f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．1B ．-1C D ．【答案】D 【解析】把cos 2y x =的图象向左平移4π个单位长度，得cos 2()cos(2)sin 242y x x x ππ=+=+=-的图象，再把所得图象各点的横坐标变为原来的12倍，纵坐标不变，得图象的函数式为sin(22)sin 4y x x =-⨯=-，sin 42sin 2cos2()cos2y x x x f x x =-=-=，∴()2sin 2f x x =-，∴()2sin63f ππ=-=．故选：D.变式4、（2020届山东省潍坊市高三上学期统考）将函数()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移()0a a >个单位得到函数()πcos 24g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，则a 的值可以为（ ）A ．5π12B ．7π12C ．19π24D ．41π24【答案】C 【解析】由题意知，3()cos(2)sin(2)44g x x x ππ=+=+， 其图象向左平移a 个单位得到函数3()sin(22)4f x x a π=++， 而函数()πsin 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，所以有32243a k πππ+=+ 5224a k ππ=-+，取1k =得1924a π=.答案选C.方法总结：1．y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象可用“五点法”作简图得到，可通过变量代换z ＝ωx ＋φ计算五点坐标．2．由函数y ＝sin x 的图象通过变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)图象有两条途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．考向二 求函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的解析式例2、下图为函数sin()y A x ωϕ=+的一段图象． (1) 请写出这个函数的一个解析式；(2) 求与(1)中函数图象关于直线2x =π对称的函数图象的解析式．【解析】：(1) 13214,,332T T ωπππ=-=π==又A ＝3， 由13sin()2y x ϕ=+的图象过(,0)3π，∴103sin()23ϕπ=⨯+，6ϕπ=- (φ为其中一个值)． ∴13sin()26y x π=-为所求．(2) 设(,)x y 为所求函数图象上任意一点，该点关于直线2x =π的对称点为(4,)x y π-， 则点(4,)x y π-必在函数13sin()26y x π=-的图象上． ∴ 13sin[(4)]3sin(2)2626x y x ππππ=--=--， 即13sin()26y x π=-+，∴与13sin()26y x π=-的图象关于直线2x =π对称的函数图象的解析式是13sin()26y x π=-+．变式1、(2019苏北四市期末） 函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0)的部分图象如图所示，若AB ＝5，则ω的值为________．【答案】、 π3 【解析】、如图，过点A 作垂直于x 轴的直线AM ，过点B 作垂直于y 轴的直线BM ，直线AM 和直线BM 相交于点M ，在Rt △AMB 中，AM ＝4，BM ＝12·2πω＝πω，AB ＝5，由勾股定理得AM 2＋BM 2＝AB 2，所以16＋⎝⎛⎭⎫πω2＝25，πω＝3，ω＝π3.变式2、(1)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，0<φ<π)，其部分图象如图所示，则函数f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π4B ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋3π4C ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫14x ＋3π4D ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4(2)(2019·皖南八校联考)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，－π2≤φ≤π2的图象上的一个最高点和它相邻的一个最低点的距离为22，且过点⎝⎛⎭⎫2，－12，则函数f (x )＝________________.【答案】、 (1)B (2)sin ⎝⎛⎭⎫π2x ＋π6【解析】、(1)由题图可知A ＝2，T ＝2×⎣⎡⎦⎤3π2－⎝⎛⎭⎫－π2＝4π，故2πω＝4π，解得ω＝12.所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋φ.把点⎝⎛⎭⎫－π2，2代入可得2sin ⎣⎡⎦⎤12×⎝⎛⎭⎫－π2＋φ＝2， 即sin ⎝⎛⎭⎫φ－π4＝1，所以φ－π4＝2k π＋π2(k ∈Z )， 解得φ＝2k π＋3π4(k ∈Z )． 又0<φ<π，所以φ＝3π4.所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋3π4.(2)依题意得22＋⎝⎛⎭⎫πω2＝22，则πω＝2，即ω＝π2，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π2x ＋φ，由于该函数图象过点⎝⎛⎭⎫2，－12，因此sin(π＋φ)＝－12，即sin φ＝12，而－π2≤φ≤π2，故φ＝π6，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π2x ＋π6.方法总结：确定y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0)的解析式的步骤(1)求A ，B ，确定函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝M －m 2，B ＝M ＋m2. (2)求ω，确定函数的周期T ，则ω＝2πT .(3)求φ，常用方法有以下2种：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入；确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口考向三 三角函数图象与性质的综合问题例3、（多选题）（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）设函数()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（ ）A ．π-是()f x 的一个周期B ．()f x 的图象可由sin 2y x =的图象向右平移3π得到 C ．()f x π+的一个零点为6x π=D ．()y f x =的图象关于直线1712x π=对称 【答案】ACD 【解析】()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期为π，故π-也是其周期，故A 正确；()f x 的图象可由sin 2y x =的图象向右平移6π得到，故B 错误； ()77()()sin sin 066323f f ππππππ⎛⎫+==-== ⎪⎝⎭，故C 正确； sin sin 17175()1262sin 132f πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=== ⎪ =⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故D 正确. 故选：ACD变式1、（2020届山东省滨州市高三上期末）已知函数()2sin(2)f x x ϕ=+的图象过点,26A π⎛⎫⎪⎝⎭，则( ) A ．把()y f x =的图象向右平移6π个单位得到函数2sin 2y x =的图象 B ．函数()f x 在区间,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减C ．函数()f x 在区间[]0,2π内有五个零点 D ．函数()f x 在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为1 【答案】D 【解析】因为函数()2sin(2)f x x ϕ=+的图象过点,26A π⎛⎫⎪⎝⎭，所以2sin 23πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因此2,32k k Z ππϕπ+=+∈，所以2,6k k Z πϕπ=+∈，因此()2sin(2)2sin 222sin 266f x x x k x ππϕπ⎛⎫⎛⎫=+=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； A 选项，把()y f x =的图象向右平移6π个单位得到函数2sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，故A 错； B 选项，由3222,262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈得2,63k x k k Z ππππ+≤≤+∈，即函数()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的单调递减区间是：2,,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，故B 错； C 选项，由()2sin 206f x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭得2,6x k k Z ππ+=∈，即,122k x k Z ππ=-+∈， 因此[]0,2x π∈，所以5111723,,,12121212x ππππ=，共四个零点，故C 错； D 选项，因为0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以52,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，因此1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以[]2sin 21,26x π⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，即()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小值为1，故D 正确；故选：D.变式2、（多选题）（2020·蒙阴县实验中学高三期末）关于函数()22cos cos(2)12f x x x π=-+-的描述正确的是（ ）A ．其图象可由2y x =的图象向左平移8π个单位得到 B ．()f x 在(0,)2π单调递增C ．()f x 在[]0,π有2个零点D ．()f x 在[,0]2π-的最小值为【答案】ACD 【解析】由题：()22cos cos(2)1cos 2sin 2)24f x x x x x x ππ=-+-=+=+，由2y x =的图象向左平移8π个单位，得到)))84y x x ππ=+=+，所以选项A 正确；令222,242k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，得其增区间为3[,],88k k k Z ππππ-+∈ ()f x 在(0,)8π单调递增，在(,)82ππ单调递减，所以选项B 不正确；解()0,2,4f x x k k Z ππ=+=∈，得：,28k x k Z ππ=-∈，[0,]x π∈， 所以x 取37,88ππ，所以选项C 正确；3[,0],2[,],sin(2)[24444x x x πππππ∈-+∈-+∈-，()[f x ∈， 所以选项D 正确. 故选：ACD变式3、（2020届山东省临沂市高三上期末）已知函数2()2cos 12f x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭(0)>ω的图象关于直线4x π=对称，则ω的最小值为（ ）A ．13B ．16C ．43D ．56【答案】A 【解析】2()2cos 12f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()1cos 26f x x πω⎛⎫∴=+- ⎪⎝⎭，又因为2()2cos 12f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象关于4x π=对称，所以2()46k k Z ππωπ⨯-=∈，即12()3k k Z ω=+∈， 因为0>ω，所以ω的最小值为13.故选：A.方法总结：三角函数性质的综合问题：主要考查单调性、奇偶性、对称性、周期性及性质的应用． 函数零点(方程根)问题：三角函数图象与x 轴(或y ＝a )的交点，即数形之间的转化问题．1、【2019年高考天津卷理数】已知函数()sin()(0,0,||)f x A x A ωϕωϕ=+>><π是奇函数，将()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为()g x ．若()g x 的最小正周期为2π，且4g π⎛⎫= ⎪⎝⎭38f π⎛⎫= ⎪⎝⎭A ．2- B．CD ．2【答案】C【解析】∵()f x 为奇函数，∴(0)sin 0,=π,,0,f A k k k ϕϕ==∴∈∴=Z 0ϕ=；又12π()sin ,2π,122g x A x T ωω=∴==∴2ω=，又π()4g =，∴2A =，∴()2sin 2f x x =，3π()8f =故选C.2、【2018年高考天津理数】将函数sin(2)5y x π=+的图象向右平移10π个单位长度，所得图象对应的函数A ．在区间35[,]44ππ上单调递增B ．在区间3[,]4ππ上单调递减C ．在区间53[,]42ππ上单调递增D ．在区间3[,2]2ππ上单调递减【答案】A【解析】由函数图象平移变换的性质可知：将πsin 25y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移π10个单位长度之后的解析式为ππsin 2sin2105y x x ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. 则函数的单调递增区间满足()ππ2π22π22k x k k -≤≤+∈Z ，即()ππππ44k x k k -≤≤+∈Z ， 令1k =可得一个单调递增区间为3π5π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦.函数的单调递减区间满足：()π3π2π22π22k x k k +≤≤+∈Z ，即()π3πππ44k x k k +≤≤+∈Z ， 令1k =可得一个单调递减区间为：5π7π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 故选A.3、【2017年高考全国Ⅰ理数】已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +2π3)，则下面结论正确的是 A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2 【答案】D【解析】因为12,C C 函数名不同，所以先将2C 利用诱导公式转化成与1C 相同的函数名，则22π2πππ:sin(2)cos(2)cos(2)3326C y x x x =+=+-=+，则由1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍变为cos 2y x =，再将曲线向左平移π12个单位长度得到2C ，故选D.4、（2020·山东省淄博实验中学高三上期末）已知函数()sin cos f x x x =-，()g x 是()f x 的导函数，则下列结论中正确的是（ ）A ．函数()f x 的值域与()g x 的值域不相同B ．把函数()f x 的图象向右平移2π个单位长度，就可以得到函数()g x 的图象 C ．函数()f x 和()g x 在区间,44ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上都是增函数 D ．若0x 是函数()f x 的极值点，则0x 是函数()g x 的零点 【答案】CD【解析】∵函数f （x ）＝sinx ﹣cosx =（x 4π-）∴g （x ）＝f '（x ）＝cosx +sinx =（x 4π+），故函数函数f （x ）的值域与g （x ）的值域相同， 且把函数f （x ）的图象向左平移2π个单位，就可以得到函数g （x ）的图象， 存在x 0=+,4k k Z ππ-∈，使得函数f （x ）在x 0处取得极值且0x 是函数()g x 的零点，函数f （x ）在,44ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上为增函数，g （x ）在,44ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上也为增函数，∴单调性一致， 故选：CD ．5、（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）将函数()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移2π个单位长度得到()g x 图象，则下列判断正确的是（ ） A ．函数()g x 在区间,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 B ．函数()g x 图象关于直线712x π=对称 C ．函数()g x 在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减 D ．函数()g x 图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称 【答案】ABD 【解析】函数()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移2π个单位长度得到()ππsin 223g x x ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦2πsin 23x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.由于7π7π2ππsin sin 112632g ⎛⎫⎛⎫=-==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故7π12x =是()g x 的对称轴，B 选项正确.由于π2π2πsin sin 00333g ⎛⎫⎛⎫=-==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故,03π⎛⎫⎪⎝⎭是()g x 的对称中心，D 选项正确.由π2ππ2232x -≤-≤，解得π7π1212x ≤≤，即()g x 在区间π7π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增，故A 选项正确、C 选项错误. 故选：ABD.6、【2020江苏南京上学期开学考试】函数()Asin()f x x ωϕ=+(A ＞0，ω＞0)的部分图象如图所示．若函数()y f x =在区间[m ，n ]上的值域为[2]，则n ﹣m 的最小值是_______．【答案】3．【解析】由图象知：()max 2f x =，2A ∴=，又()22628T πω==⨯-=，4πω∴=，()22sin 22f πϕ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，2k ϕπ∴=，k Z ∈，()2sin 22sin 44f x x k x πππ⎛⎫∴=+= ⎪⎝⎭，当()f x =时，1244x k πππ=-+或15244x k πππ=+，1k Z ∈，181x k ∴=-或185x k =+，1k Z ∈； 当()2f x =时，2242x k πππ=+，2k Z ∈，282x k ∴=+，若n m -最小，则12k k =，()min 3n m ∴-=，本题正确结果：3．7、【2017年高考山东卷理数】设函数ππ()sin()sin()62f x x x ωω=-+-，其中.已知π()06f =.（1）求；（2）将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移π4个单位，得到函数的图象，求在π3π[,]44-上的最小值. 【答案】（1）；（2）最小值为.【解析】（1）因为ππ()sin()sin()62f x x x ωω=-+-，所以03ω<<ω()y f x =()y g x =()g x 2ω=32-1()cos cos 2f x x x x ωωω=--π)3xω=-.由题设知π()06f=，所以πππ63k-=ω，k∈Z.故，k∈Z，又，所以.（2）由（1）得()23f x xπ⎛⎫=-⎪⎝⎭.所以()4312g x x xπππ⎛⎫⎛⎫=+-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.因为π3π[,]44x∈-，所以2,1233xπππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以当123xππ-=-，即4xπ=-时，取得最小值.3cos2x xωω=-1sin cos)22x xωω=-62kω=+03ω<<2ω=()g x32-。
2010届高三数学函数y=Asin(ωx+φ)的图象和性质PPT课件
三基能力强化
3．已知简谐运动 f(x)＝2sin(3πx＋ φ)(|φ|<π2)的图象经过点(0,1)，则该简谐运 动的最小正周期 T 和初相 φ 分别为 _________________．
解析：由题意，知 1＝2sinφ 得出 sinφ ＝12，又|φ|<π2，得 φ＝6π；因此函数的周期 为 T＝2ππ＝6.
出ω的值；再把给定的特殊点的坐标代入
解析式来确定φ的值．
课堂互动讲练
注意：确定φ时，若能求出距离原点 最近的右侧图象上升(或下降)的零点的横 坐标x0，令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即 可求出φ，也可以用最高点或最低点的坐 标来求，如果对φ有范围要求，则可用诱 导公式转化．
课堂互动讲练
例2 已知函数f(x)＝ Asin(ωx＋φ)(A>0， ω>0，|φ|<)的部分 图象如图所示． (1)求函数f(x) 的解析式； (2)如何由函数y＝2sinx的图象通过 适当的变换得到函数f(x)的图象，写出 变换过程．
图象关于直线x＝8对称，求函数y＝f(x) ＋g(x)的单调增区间．
课堂互动讲练
解：(1)由图象知 A＝ 2，2ωπ＝2(6＋2)， 故 ω＝π8，即 f(x)＝ 2sin(π8x＋φ)． 又 x＝2，时 f(x)max＝ 2，即 sin(π4＋φ)＝1， 从而 φ＝π4(∵|φ|<π2)． 故 f(x)＝ 2sin(π8x＋π4)． (2)设(x，y)为 y＝g(x)图象上任一点， 则(x，y)关于直线 x＝8 的对称点为(16－ x，y)， 即有 y＝f(16－x)．
x≤2kπ
，
得
16k －
8≤x≤16k(k∈Z)．
即 y＝f(x)＋g(x)的单调增区间是[16k－
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一、解答题沪教版(上海) 高一第二学期 新高考辅导与训练 第6章 三角函数 6.6 函数y=Asin(ωx+φ)的图像与性
上海 高一 课时练习 2020-06-23 89次
1. 用“五点法”画出下列函数的图像，并指出该函数图像怎样由函数
的图像变换得到． （1）；
（2）
．2.
用五点法作出函数在一个周期上的大致图象．
3. 已知函数．
（1
）求函数的最小正周期和最大值；
（2）画出函数在上的图像．
4.
已知函数().
（1）当函数取得最大值时，求自变量的集合；
二、填空题（2
）该函数的图象可由的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？
5. 已知函数，其中常数.
（1）若在上单调递增，求的取值范围；
（2）令，将函数
的图象向左平移个单位，再向上平移1
个单位，得到函数的图象，区间
（
且）满足：
在上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的中，求的最小值.6. （1）要得到的图像，只需要把函数的图像上的对应点的横坐标_________，纵坐标_________；
（2）要得到
的图像，只需要把函数
的图像上的对应点的横坐标_________，纵坐标___________．7. 若将函数的图像向右平移个单位，所有点的横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变，则可得到函数______的图像．
8. 把函数图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）得到函数，再向左平移个单位得到函数解析式是____.
9. 函数的图像向________平移_______个单位可得到函数的图像．
10. 要得到函数
的图像，只需将函数的图像至少向右平移______个单位．
三、单选题11. 若函数
的图像上各点的纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍，再将整个图像向左平移个单位，向下平移1个单位，得到函
数的图像，则_____________．
12. 若将函数的图象向左平移
个单位，所得到的图象关于轴对称，则的最小值是______________．
13. 将函数的图象向左平移个单位后得到的图象解析式为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．14. 要得到函数的图象，可以将函数
的图象（ ）A ．向左平移个单位
B ．向右平移个单位
C ．向左平移个单位
D ．向右平移个单位。