初二数学秋季讲义 第2讲.倍长中线与截长补短 教师版

三角形9级 全等三角形的经典模型（二）

三角形8级

全等三角形的经典模型（一） 三角形7级

倍长中线与截长补短

倍长中线与截长补短

满分晋级

漫画释义

2

倍长中线 与截长补短

定 义

示例剖析

倍长中线：即延长三角形的中线，使得延长后的线段是原中线的两倍．

其目的是构造一对对顶的全等三角形； 其本质是转移边和角．

E

D

A

B

C

其中BD CD =，延长AD 使得DE AD =，则BDE CDA △≌△．

【例1】 已知ABC △中，AD 平分BAC ∠，且BD CD =，求证：AB AC =．

【解析】 延长AD 到E ，使DE AD =，连接CE ． 则CDE BDA △≌△，

∴CE AB =，CED BAD ∠=∠，

∵AD 平分BAC ∠，∴BAD CAD ∠=∠，

∴CED CAD ∠=∠，∴CE AC =， ∴AB AC =．

【教师备选】教师可借用例1对等腰三角形三线合一性质的逆命题进行

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题型一：倍长中线

E

A

B C D

A

B C

D

已知角平分线+中线证等腰三角形，如例1； 已知角平分线+高证等腰三角形，如拓展1； 已知中线+高证等腰三角形，如拓展2．

【拓展1】已知△ABC 中，AD 平分∠BAC ，且AD ⊥BC ，求证：AB =AC ． 【解析】∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAD =∠CAD

∵AD ⊥BC ，∴∠ADB =∠ADC =90° ∴△ABD ≌△ACD (SAS) ∴AB =AC ． 【拓展2】已知△ABC 中，AD ⊥BC ，且BD CD =，求证：AB =AC ． 【解析】∵AD ⊥BC ，且BD CD =

∴AD 所在直线是线段BC 的垂直平分线

根据垂直平分线上的点到线段两端点距离相等 故AB =AC ．

【例2】 ⑴如图，已知ABC △中，AB AC =，CE 是AB 边上的中线，延长AB 到D ，使

BD AB =．

给出下列结论：①AD =2AC ；②CD =2CE ；③∠ACE =∠BCD ；④CB 平分∠DCE ，则以上结论正确的是 ．

【解析】 ①正确．∵AB AC =，BD AB =，∴AD =2AC ．

②、④正确．

延长CE 到F ，使EF CE =，连接BF ． ∵CE 是AB 的中线，∴AE EB =． 在EBF △和EAC △中

AE BE AEC BEF CE FE =⎧⎪

∠=∠⎨⎪=⎩

∴EBF EAC ≌△△

∴BF AC AB BD ===，EBF EAC ∠=∠

∴FBC FBE EBC A ACB DBC ∠=∠+∠=∠+∠=∠ 在FBC △和DBC △中 FB DB FBC DBC BC BC =⎧⎪

∠=∠⎨⎪=⎩

∴FBC DBC ≌△△

∴2CD CF CE ==，∠FCB =∠DCB 即CD =2CE ，CB 平分∠DCE ．

③错误．∵∠FCB =∠DCB ，而CE 是AB 边上中线而不是∠ACB 的角平分线故∠ACE 和∠BCD 不一定相等．

⑵如图，在△ABC 中，点D 、E 为边BC 的三等分点，给出下列结论：①BD =DE =EC ；②AB +AE ＞2AD ；③AD +AC ＞2AE ；④AB +AC ＞AD +AE ，则以上结论正确的

典题精练

A

B

D

E D

C B A F

C

A E

B D

是 ．

N

M E

D C

B

A

E

D

C

B

A

【解析】 点D 、E 为边BC 的三等分点，∴BD =DE =CE 延长AD 至点M ，AE 至点N ，使得DM =AD ，

EN =AE ，连接EM 、CN ，则可证明△ABD ≌△MED ，进而可得AB +AE ＞2AD ，再证明△ADE ≌△NCE ，进而可得AD +AC ＞2AE ，将两式相加可得到AB +AE +AD +AC ＞2AD +2AE ，即AB +AC ＞AD +AE ． ∴①②③④均正确．

【例3】 如图，已知在ABC △中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，延长BE 交AC 于F ，

AF EF =，求证：AC BE =．

【解析】 延长AD 到G ，使DG AD =，连接BG

∵BD CD =，BDG CDA ∠=∠，AD GD =

∴ADC GDB △≌△， ∴AC GB =，G EAF ∠=∠ 又∵AF EF =，

∴EAF AEF BED ∠=∠=∠ ∴G BED ∠=∠，

∴BE BG =，∴AC BE =．

【例4】 在正方形ABCD 中，PQ ⊥BD 于P ，M 为QD 的中点，试探究MP 与MC 的关系．

G

F

E

D

C

B

A F

E D C

B

A

N

A

B

C

D

M

P

Q Q P

M

D

C

B

A

【解析】 延长PM 至点N ，使PM =MN ，连结CP 、CN 、DN ．

易证△PMQ ≌△NMD ，

∴PB =PQ =DN ，∠PQD =∠NDM

∴PQ ∥DN ，又∵∠BPQ =∠BDN= 90° ∴∠PBQ =∠BDC=∠NDC =45° 再证△BPC ≌△DNC (SAS)

易证△PCN 为等腰直角三角形，

又∵PM =MN ，∴PM ⊥MC ,且PM =CM ．

定 义

示例剖析

截长：即在一条较长的线段上截取一段较短的线段

D

C

B

A

在线段AB 上截取AD AC =

补短：即在较短的线段上补一段线段使其和较长的线段相等

A

B C D

延长AC ，使得AD AB =

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题型二：截长补短