初二数学秋季讲义 第2讲.倍长中线与截长补短 教师版

三角形9级 全等三角形的经典模型（二）三角形8级全等三角形的经典模型（一） 三角形7级倍长中线与截长补短倍长中线与截长补短满分晋级漫画释义2倍长中线 与截长补短定 义示例剖析倍长中线：即延长三角形的中线，使得延长后的线段是原中线的两倍．其目的是构造一对对顶的全等三角形； 其本质是转移边和角．EDABC其中BD CD =，延长AD 使得DE AD =，则BDE CDA △≌△．【例1】 已知ABC △中，AD 平分BAC ∠，且BD CD =，求证：AB AC =．【解析】 延长AD 到E ，使DE AD =，连接CE ． 则CDE BDA △≌△，∴CE AB =，CED BAD ∠=∠，∵AD 平分BAC ∠，∴BAD CAD ∠=∠，∴CED CAD ∠=∠，∴CE AC =， ∴AB AC =．【教师备选】教师可借用例1对等腰三角形三线合一性质的逆命题进行简单归纳： 思路导航例题精讲知识互联网题型一：倍长中线EAB C DAB CD已知角平分线+中线证等腰三角形，如例1； 已知角平分线+高证等腰三角形，如拓展1； 已知中线+高证等腰三角形，如拓展2．【拓展1】已知△ABC 中，AD 平分∠BAC ，且AD ⊥BC ，求证：AB =AC ． 【解析】∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAD =∠CAD∵AD ⊥BC ，∴∠ADB =∠ADC =90° ∴△ABD ≌△ACD (SAS) ∴AB =AC ． 【拓展2】已知△ABC 中，AD ⊥BC ，且BD CD =，求证：AB =AC ． 【解析】∵AD ⊥BC ，且BD CD =∴AD 所在直线是线段BC 的垂直平分线根据垂直平分线上的点到线段两端点距离相等 故AB =AC ．【例2】 ⑴如图，已知ABC △中，AB AC =，CE 是AB 边上的中线，延长AB 到D ，使BD AB =．给出下列结论：①AD =2AC ；②CD =2CE ；③∠ACE =∠BCD ；④CB 平分∠DCE ，则以上结论正确的是 ．【解析】 ①正确．∵AB AC =，BD AB =，∴AD =2AC ．②、④正确．延长CE 到F ，使EF CE =，连接BF ． ∵CE 是AB 的中线，∴AE EB =． 在EBF △和EAC △中AE BE AEC BEF CE FE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴EBF EAC ≌△△∴BF AC AB BD ===，EBF EAC ∠=∠∴FBC FBE EBC A ACB DBC ∠=∠+∠=∠+∠=∠ 在FBC △和DBC △中 FB DB FBC DBC BC BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴FBC DBC ≌△△∴2CD CF CE ==，∠FCB =∠DCB 即CD =2CE ，CB 平分∠DCE ．③错误．∵∠FCB =∠DCB ，而CE 是AB 边上中线而不是∠ACB 的角平分线故∠ACE 和∠BCD 不一定相等．⑵如图，在△ABC 中，点D 、E 为边BC 的三等分点，给出下列结论：①BD =DE =EC ；②AB +AE ＞2AD ；③AD +AC ＞2AE ；④AB +AC ＞AD +AE ，则以上结论正确的典题精练ABDE DC B A FCA EB D是 ．NM ED CBAEDCBA【解析】 点D 、E 为边BC 的三等分点，∴BD =DE =CE 延长AD 至点M ，AE 至点N ，使得DM =AD ，EN =AE ，连接EM 、CN ，则可证明△ABD ≌△MED ，进而可得AB +AE ＞2AD ，再证明△ADE ≌△NCE ，进而可得AD +AC ＞2AE ，将两式相加可得到AB +AE +AD +AC ＞2AD +2AE ，即AB +AC ＞AD +AE ． ∴①②③④均正确．【例3】 如图，已知在ABC △中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，延长BE 交AC 于F ，AF EF =，求证：AC BE =．【解析】 延长AD 到G ，使DG AD =，连接BG∵BD CD =，BDG CDA ∠=∠，AD GD =∴ADC GDB △≌△， ∴AC GB =，G EAF ∠=∠ 又∵AF EF =，∴EAF AEF BED ∠=∠=∠ ∴G BED ∠=∠，∴BE BG =，∴AC BE =．【例4】 在正方形ABCD 中，PQ ⊥BD 于P ，M 为QD 的中点，试探究MP 与MC 的关系．GFEDCBA FE D CBANABCDMPQ Q PMDCBA【解析】 延长PM 至点N ，使PM =MN ，连结CP 、CN 、DN ．易证△PMQ ≌△NMD ，∴PB =PQ =DN ，∠PQD =∠NDM∴PQ ∥DN ，又∵∠BPQ =∠BDN= 90° ∴∠PBQ =∠BDC=∠NDC =45° 再证△BPC ≌△DNC (SAS)易证△PCN 为等腰直角三角形，又∵PM =MN ，∴PM ⊥MC ,且PM =CM ．定 义示例剖析截长：即在一条较长的线段上截取一段较短的线段DCBA在线段AB 上截取AD AC =补短：即在较短的线段上补一段线段使其和较长的线段相等AB C D延长AC ，使得AD AB =例题精讲思路导航题型二：截长补短DCB AED CB A D CE BAEDCBA【例5】 在ABC △中，A ∠的平分线交BC 于D ，AB AC CD =+，40B ∠=︒，求C ∠的大小．（希望杯培训题）D C B AED CB A【解析】 在AB 上截取AE AC =，连接DE ．∵AE AC =，BAD CAD ∠=∠，AD AD =， ∴ACD AED △≌△，∴C AED ∠=∠，CD DE =，∵AB AC CD =+，AE AC =，∴CD BE DE == ∴40EBD EDB ∠=∠=︒，80C AED ∠=∠=︒【例6】 如图，在ABC △中，2B C ∠=∠，BAC ∠的平分线AD 交BC 于点D ．求证：AB BD AC +=．【解析】方法一：（截长）在AC 上截取AB AE =，连接DE ．在ABD △和AED △中AB AE =，BAD EAD ∠=∠，AD AD = ∴ABD AED △≌△∴BD ED =，B AED ∠=∠又∵2AED EDC C B C ∠=∠+∠=∠=∠ ∴EDC C ∠=∠，∴ED EC = ∴AB BD AC +=．方法二：（补短）延长AB 到点E 使得AC AE =，连接DE ． 在AED △和ACD △中，AE AC =，EAD CAD ∠=∠，AD AD = ∴AED ACD △≌△，∴C E ∠=∠又∵22ABC E BDE C BDE ∠=∠+∠=∠=∠ ∴E BDE ∠=∠∴BE BD =，∴AB BD AC +=． 方法三：（补短）延长DB 到点E 使得AB BE =，连接AE则有EAB E ∠=∠，2ABC E EAB E ∠=∠+∠=∠ 又∵2ABC C ∠=∠，∴C E ∠=∠∴AE AC =EAD EAB BAD E DAC ∠=∠+∠=∠+∠C DAC ADE =∠+∠=∠ ∴AE DE =，∴AB BD EB BD ED AE AC +=+=== ∴AB +BD=AC若题目条件或求证结论中含有“a b c =+”的条件，需要添加辅助线时多考虑“截长补典题精练短”.建议教师此题把3种解法都讲一下，方便学生更加深刻理解这种辅助线添加方法.【例7】 已知：在ABC △中，AB CD BD =-，AD BC ⊥，求证：2B C ∠=∠．【解析】 方法一：在DC 上取一点E ，使BD DE =，如图1，在ABD △和AED △中，AD BC ⊥，BD ED =，AD AD =． ∴ABD AED △≌△．∴AB AE =，B AED ∠=∠．又∵AE AB CD BD CD DE EC ==-=-= ∴C EAC ∠=∠，∴2C EAC AED C ∠+∠=∠=∠ ∴2B C ∠=∠．图1E AB CD图2EAB CD方法二：延长DB 到点E ，使BE AB =，如图2， ∴E EAB ∠=∠．∵AB CD BD =-，∴ED CD =．在AED △和ACD △中，AD BC ⊥，ED CD =，AD AD =． ∴AED ACD △≌△． ∴E C ∠=∠． ∵2ABD E ∠=∠ ∴2B C ∠=∠．【探究对象】截长补短法是几何证明题中十分重要的方法，通常来证明几条线段的数量关系，常见做辅助线方法有： 截长法：⑴过某一点作长边的垂线；⑵在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与另一短边相等。

补短法： ⑴延长短边。

⑵通过旋转等方式使两短边拼合到一起，证与长边相等。

【变式一】正方形ABCD 中，点E 在CD 上，点F 在BC 上，∠EAF =45°，求证：EF =DE +BF ．D CBAGAD BCEFFEC BDA【解析】 延长CD 到点G ，使得DG =BF ，连接AG由四边形ABCD 是正方形得：∠ADG =∠ABF =90°，AD =AB 又∵DG =BF∴△ADG ≌△ABF （SAS ） ∴∠GAD =∠F AB ，∴AG =AF 由四边形ABCD 是正方形得∠DAB =90°=∠DAF +∠F AB =∠DAF +∠GAD =∠GAF ∴∠GAE =∠GAF -∠EAF =90°-45°=45° ∴∠GAE =∠F AE =45° 又∵AG =AF ，AE =AE∴△EAG ≌△EAF （SAS ） ∴EF =GE =GD +DE =BF +DE【变式二】正方形ABCD 中，点E 在CD 延长线上，点F 在BC 延长线上，∠EAF =45°，请问现在EF 、DE 、BF 又有什么数量关系？GFECB DAADBCEF【解析】 数量关系为：EF =BF -DE ．理由如下：在BC 上截取BG ，使得BG =DF ，连接AG 由四边形ABCD 是正方形得∠ADE =∠ABG =90°，AD =AB 又DE =BG∴△ADE ≌△ABG （SAS ） ∴∠EAD =∠GAB ，AE =AG由四边形ABCD 是正方形得∠DAB =90°=∠DAG +∠GAB =∠DAG +∠EAD =∠GAE ∴∠GAF =∠GAE -∠EAF =90°-45°=45° ∴∠GAF =∠EAF =45° 又∵AG =AE ，AF =AF∴△EAF ≌△GAF （SAS ） ∴EF =GF =BF -BG =BF -DE【变式三】正方形ABCD 中，点E 在DC 延长线上，点F 在CB 延长线上，∠EAF =45°，请问现在EF 、DE 、BF 又有什么数量关系？F EC BDAADBC E FG【解析】 数量关系为：EF =DE -BF .理由如下：在DC 上截取DG ，使得DG =BF ，连接AG 由四边形ABCD 是正方形得∠ADG =∠ABF =90°，AD =AB 又∵DG =BF∴△ADG ≌△ABF （SAS ） ∴∠GAD =∠F AB ，AG =AF 由四边形ABCD 是正方形得∠DAB =90°=∠DAG +∠GAB =∠BAF +∠GAB =∠GAF ∴∠GAE =∠GAF -∠EAF =90°-45°=45° ∴∠GAE =∠F AE =45° 又∵AG =AF ，AE =AE∴△EAG ≌△EAF （SAS ） ∴EF =EG =ED -GD =DE -BF【变式四】正三角形ABC 中，E 在AB 上，F 在AC 上∠EDF =60°，DB =DC ，∠BDC =120°，请问现在EF 、BE 、CF 又有什么数量关系？GABDC EFFE CDBA【解析】 数量关系为：EF =BE +FC ，理由如下延长AC 到点G ，使得CG =BE ，连接DG由△ABC 是正三角形得：∠ABC =∠ACB =60° 又∵DB =DC ，∠BDC =120°，∴∠DBC =∠DCB =30° ∴∠DBE =∠ABC +∠DBC =60°+30°=90°，∠ACD =∠ACB +∠DCB =60°+30°=90°∴∠GCD =180°-∠ACD =90°∴∠DBE =∠DCG =90°又∵DB =DC ，BE =CG ，∴△DBE ≌△DCG （SAS ） ∴∠EDB =∠GDC ， DE =DG 又∵∠DBC =120°=∠EDB +∠EDC =∠GDC +∠EDC =∠EDG ∴∠GDF =∠EDG -∠EDF =120-60°=60° ∴∠GDF =∠EDF =60° 又∵DG =DE ，DF =DF∴△GDF ≌△EDF （SAS ） ∴EF =GF =CG +FC =BE +FC【变式五】正方形ABCD 中，点E 在CD 上，点F 在BC 上，∠EAD =15°，∠F AB =30°，求△AEF 的面积．HGAD BCEFFEC BDA【解析】 延长CD 到点G ，使得DG =BF ，连接AG ，过E 作EH ⊥AG前面如变式一所证，△ADG ≌△ABF ，△EAG ≌△EAF∠GAD =∠F AB =30°，S △EAG =S △EAF在Rt△ADG中，∠GAD=30°，AD=3∴∠AGD =60°，AG=2设EH=x在Rt△EGH中和Rt△EHA中∵∠AGD=60°，∠HAE=45°∴HG=33x，AH=xAG=2=HG+AH=33x x+，∴EH=x=33-S△EAG=S△EAF =12EH⨯AG=3-．【例8】已知：正方形ABCD中，∠MAN=45°，绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC （或它们的延长线）于点M、N．⑴如图1，当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时，有BM+DN=MN．当∠MAN绕点A旋转到BM DN≠时，如图2，请问图1中的结论还是否成立？如果成立，请给予证明，如果不成立，请说明理由；⑵当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM、DN和MN之间有怎样的等量关系？请写出你的猜想，并证明．（2012密云一模）【解析】⑴图1中的结论仍然成立，即BM DN MN+=．证明：如图2，在MB的延长线上截取BE=DN，连结AE ．易证ABE ADN△≌△（SAS）．1112∴AE =AN ；∠EAB =∠NAD ． 90,45BAD NAM ∠=∠=∴45.BAM NAD ∠+∠= ∴45.EAB BAM ∠+∠=∴EAM NAM ∠=∠．又AM 为公共边， ∴AEM ANM △≌△． ∴ME =MN ． ∴MN ME BE BM DN BM ==+=+ 即 DN BM MN +=．⑵猜想：线段BM 、DN 和MN 之间的等量关系为：DN BM MN -= ． 证明：如图3，在DN 延长线上截取DE =MB ，连结A E ． 易证 ABM ADE △≌△（SAS ）． ∴AM =AE ；∠MAB =∠EAD ． 易证 AMN AEN △≌△（SAS ）． ∴MN EN = ．∵DN DE EN -=， ∴DN BM MN -=．13FE N AB D CD C B A EDC BA训练1. 已知AD 为ABC △的中线，ADB ∠、ADC ∠的平分线分别交AB 于E 、交AC 于F ．求证：BE CF EF +>．FE AB D C【解析】 延长FD 到N ，使DN DF =，连接BN 、EN ．易证BND CFD △≌△，∴BN CF =，又∵ADB ∠、ADC ∠的平分线分别交AB 于E 、交AC 于F ， ∴90EDF EDN ∠=∠=︒，利用SAS 证明EDN EDF △≌△，∴EN EF =， 在EBN △中，BE BN EN +>，∴BE CF EF +>．训练2. 如图，在正方形ABCD 中，F 是CD 的中点，E 是BC 边上的一点，且AF 平分DAE ∠，求证：AE EC CD =+【解析】 解一：（截长)作FH AE ⊥于点H分别证明AFH AFD EFH EFC △≌△，△≌△， ∴AH AD HE EC ==，∴AE AH HE CD EC =+=+ 解二：（补短）延长AF BC ，交于点G先证明ADF GCF △≌△，∴CG DA CD ==，G FAD ∠=∠， ∵DAF EAF ∠=∠，∴G EAF ∠=∠∴AE EG =，∴AE EC CG EC CD =+=+．HFEDC BAG FE DCBA训练3. 如图，ABC △中，AB AC =，108A ∠=︒，BD 平分ABC ∠交AC 于D 点．求证：BC AC CD =+．【解析】 方法一：在BC 上截取E 点使BE BA =，连结DE ．∵BD 平分ABC ∠，∴ABD EBD ∠=∠．思维拓展训练(选讲)FE DCB A14DCBAF在ABD △与EBD △中∵AB EB =，ABD EBD ∠=∠，BD BD = ∴ABD EBD △≌△，∴A DEB ∠=∠∵108A ∠=︒， ∴108DEB ∠=∠︒∴72DEC ∠=︒． 又∵361854ADB ∠=︒+︒=︒∴72CDE ∠=︒，∴CDE DEC ∠=∠，∴CD CE = ∵BC BE EC =+，∴BC AC CD =+方法二：如图，延长CA 到F ，使CF CB =，连结BF ． ∵AB AC =，且108BAC ∠=︒， ∴36ABC C ∠=∠=︒．∵CB CF =，∴F FBC ∠=∠．∴FAB C ABC ∠=∠+∠．∴72FAB ∠=︒．∵12ADB C ABC ∠=∠+∠，∴54ADB ∠=︒．又∵54FBD ∠=︒∴BF AB AC FD ===．∴AF CD =．∴BC AC CD =+．训练4. 五边形ABCDE 中，AB =AE ，BC +DE =CD ，∠ABC +∠AED =180°，求证：AD 平分∠CDE ．【解析】 延长DE 至F ，使得EF =BC ，连接AC 、AF .∵∠ABC +∠AED =180°，∠AEF +∠AED =180° ∴∠ABC =∠AEF∵AB =AE ，BC =EF ，∴△ABC ≌△AEF ∴EF =BC ，AC =AF ∵BC +DE =CD ，∴CD =DE +EF =DF∴△ADC ≌△ADF ，∴∠ADC =∠ADF 即AD 平分∠CDE .C EDB AAB DEFC15题型一 倍长中线 课后演练【演练1】 在ABC △中，59AB AC ==，，则BC 边上的中线AD 的长的取值范围是什么？ 【解析】中线倍长，27AD <<【演练2】 在Rt ABC △中，F 是斜边AB 的中点，D 、E 分别在边CA 、CB 上，满足90DFE ∠=︒．若3AD =，4BE =，则线段DE 的长度为_________．FEDCBA图 6G E FDBC A【解析】如图，延长DF 至点G ，使得DF FG =，联结GB 、GE ． 由AF FB =，有ADF BGF △≌△∴3BG AD ==，ADF BGF ∠=∠，∴AD GB ∥∴180GBE ACB ∠+∠=︒，∴90GBE ∠=︒,∴225GE GB EB =+=． 又DF FG =，EF DG ⊥，∴5DE GE ==．题型二 截长补短 课后演练【演练3】 如图，点M 为正三角形ABD 的边AB 所在直线上的任意一点(点B 除外)，作60DMN ∠=︒，射线MN 与DBA ∠外角的平分线交于点N ，DM 与MN 有怎样的数量关系?(提示：过点M 作MG BD ∥交AD 于点G )N E B M A DGNEB M A D【解析】 猜测DM MN =.过点M 作MG BD ∥交AD 于点G ，AG AM =，∴GD MB =又∵120ADM DMA +∠=∠，120DMA NMB +=∠∠ ∴ADM NMB =∠∠，而120DGM MBN ==∠∠， ∴DGM MBN △≌△，∴DM MN =． 复习巩固DCBA16【演练4】 如图所示，已知ABC △中，AC BC =，90C ∠=︒，AD 平分BAC ∠，求证：AC CD AB +=．【解析】 解法一：如图，过D 作DE AB ⊥于E ．CD AC ⊥∵，12∠=∠， Rt Rt ACD AED ∴△≌△，,CD DE AC AE ==∴．又DE BE ⊥∵，45B ∠=︒，DEB ∴△为等腰直角三角形．有DE BE =，故 BE CD =． AB AE BE AC CD =+=+∴． 解法二：如图，延长AC 到E ，使CE CD =．90ECD ∠=︒∵，45E ∠=︒∴．又12∠=∠∵，45E B ∠=∠=︒，AD 公共，ADE ADB ∴△≌△，有AE AB =．故AB AC CE AC CD =+=+．【演练5】 已知：如图，ABCD 是正方形，∠F AD =∠F AE . 求证：BE +DF =AE .【解析】 延长CB 至M ，使得BM =DF ，连接AM .∵AB =AD ，AD ⊥CD ，AB ⊥BM ，BM =DF ∴ABM ADF △≌△∴∠AFD =∠AMB ，∠DAF =∠BAM ∵AB CD ∥ ∴∠AFD =∠BAF =∠EAF +∠BAE =∠BAE +∠BAM =∠EAM∴∠AMB =∠EAM∴AE =EM =BE +BM =BE +DF .21DC B A EE AB CD 12F E DCB AM F E D C B A17测试1. 如图所示，已知ABC △中，AD 平分BAC ∠，E 、F 分别在BD 、AD 上．DE CD =，EF AC =．求证：EF ∥AB ．【解析】 延长AD 到M ，使DM AD =，连结EM ，利用SAS 证明ADC MDE △≌△，∴3M ∠=∠，AC EM =， 又AC EF =，∴EM EF =，∴1M ∠=∠，∴13∠=∠，∵AD 平分BAC ∠，∴23∠=∠，∴12∠=∠，∴EF ∥AB ．测试2. 已知ABC △中，60A ∠=，BD 、CE 分别平分ABC ∠和ACB ∠，BD 、CE 交于点O ，试判断BE 、CD 、BC 的数量关系，并加以证明．AB CDEO4321O FED CBA【解析】 BE CD BC +=，理由是：在BC 上截取BF BE =，连结OF ， 利用SAS 证得BEO △≌BFO △，∴12∠=∠，∵60A ∠=︒，∴1901202BOC A ∠=+∠=，∴120DOE ∠=，∴180A DOE ∠+∠=，∴180AEO ADO ∠+∠=，∴14180∠+∠=， ∵23180∠+∠=，12∠=∠，∴34∠=∠，利用AAS 证得CDO △≌CFO △，∴CD CF =，∴BC BF CF BE CD =+=+．课后测F A C D E B 321M FAC D E B第十五种品格：创新巧问巧答从前，有个有智慧的国王在大臣们的陪同下，来到御花园散步。