常用不等式,放缩技巧
基本不等式放缩法
基本不等式放缩法是解决数学问题中的一种常用技巧，特别是在证明不等式时。
放缩法的核心思想是通过适当的放大或缩小某些项，使得原始的不等式更容易处理或者更容易证明。
以下是一些常见的放缩技巧：
1. 添加或舍弃一些正项（或负项）：在保持不等式方向不变的前提下，可以适当添加或去掉一些不影响不等式成立的正项或负项。
2. 先放缩再求和（或先求和再放缩）：根据问题的需要，可以先对某些项进行放缩，然后再进行求和，或者先求和再对结果进行放缩。
3. 逐项放大或缩小：对不等式中的每项单独进行放缩，然后合并结果。
4. 固定一部分项，放缩另外的项：在某些情况下，可以固定一部分项不变，只对其他项进行放缩。
5. 函数放缩：利用函数的单调性进行放缩，例如，对于递增函数，可以放大小的值，缩小大的值。
6. 裂项放缩：将复杂的项分解成更简单的形式，然后进行放缩。
7. 均值不等式放缩：利用算术平均值大于等于几何平均值的性质进行放缩。
8. 二项放缩：在涉及二项式的情况下，可以利用二项式的性质进行放缩。
9. 指数函数放缩：例如，对于指数函数e^x，有e^x ≥x + 1 当x ≥0。
10. 利用导数判断函数的单调性：通过求导数来判断函数的单调性，然后根据单调性进行放缩。
在实际应用中，放缩法往往需要结合具体问题灵活运用，有时还需要与其他数学方法（如代换法、综合法、反证法等）结合使用。
通过放缩，可以将复杂的不等式转化为更易于处理的形式，从而简化问题的解决过程。
常用不等式-放缩技巧
一：一些重要恒等式ⅰ：12+22+…+n2=n(n+1)(2n+1)／6ⅱ: 13+23+…+n3=(1+2+…+n)2Ⅲ：cosa+cos2a+…+cos2n a=sin2n+1a／2n+1sinaⅳ:e=2+1／2！+1/3！+…+1/n！+a/(n！n) (0<a<1) ⅴ:三角中的等式（在大学中很有用）cosαcosβ= 1/2[cos(α+β)+cos(α-β)]sinαcosβ= 1/2[sin(α+β)+sin(α-β)]cosαsinβ= 1/2 [sin(α+β)+sin(α-β)]sinαsinβ=-1/2[cos(α+β)-cos(α-β)]sinθ+sinφ=2sin(θ/2+θ/2)cos(θ/2-φ/2)sinθ-sinφ=2cos(θ/2+φ/2)sin(θ/2-φ/2)cosθ+cosφ=2cos(θ/2+φ/2)cos(θ/2-φ/2)cosθ-cosφ=-2sin(θ/2+φ/2)sin(θ/2-φ/2)tan＋tanB＋tanC=tanAtanBtanCcotAcotB+cotBcotC+cotCcotA=1tan(A/2)tan(B/2)+tan(B/2)tan(C/2)+tan(C/2)tan(A/2)=1sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinC ⅵ:欧拉等式 e∏i=-1 (i是虚数，∏是pai)ⅶ：组合恒等式（你们自己弄吧，我不知怎样用word 编）二重要不等式1:绝对值不等式︱︱x︱-︱y︱︱≤∣x±y∣≤︱x︱+︱y︱(别看简单，常用)2：伯努利不等式（1+x1）（1+x2）…（1+x n）≥1+x1+x2+…+x n(x i符号相同且大于-1)3：柯西不等式(∑ a i b i)2≤∑a i2∑b i24:︱sin nx︱≤n︱sin x︱5; (a+b)p≤2p max(︱a p︱,︱b p︱)(a+b)p≤a p+ b p (0<p<1)(a+b)p≥a p+ b p (p>1)6:(1+x)n≥1+nx (x>-1)7:切比雪夫不等式若a1≤a2≤…≤a n, b1≤b2≤…≤b n∑a i b i≥(1/n)∑a i∑b i若a1≤a2≤…≤a n, b1≥b2≥…≥b n∑a i b i≤(1/n)∑a i∑b i三：常见的放缩(√是根号)(均用数学归纳法证)1：1/2×3/4×…×(2n-1)/2n<1/√(2n+1)；2：1+1/√2+1/√3+…+1/√n>√n;3：n！<【(n+1/2)】n4：n n+1>(n+1)n n！≥2n-15：2！4！…(2n)！>｛(n+1)！｝n6：对数不等式（重要）x/(1+x)≤㏑（1+x）≤x 7：(2/∏)x≤sinx≤x8:均值不等式我不说了（绝对的重点）9：（1+1/n）n<4四：一些重要极限(书上有，但这些重要极限需熟背如流)。
不等式放缩技巧十法
不等式放缩技巧十法一、Cauchy-Schwarz不等式：Cauchy-Schwarz不等式是不等式放缩的基础。
对于任意实数a1,a2, …, an和b1, b2, …, bn，有如下不等式成立：(a1^2 + a2^2 + … + an^2)(b1^2 + b2^2 + … + bn^2) ≥ (a1b1+ a2b2 + … + anbn)^2Cauchy-Schwarz不等式可以解决很多不等式问题，如证明两个序列的和的平方大于等于两个序列平方的和。
二、Holder不等式：Holder不等式是Cauchy-Schwarz不等式的推广形式。
对于任意实数a1, a2, …, an和b1, b2, …, bn以及p, q满足1/p + 1/q = 1（其中p，q为正实数），有如下不等式成立：(，a1，^p + ，a2，^p + … + ，an，^p)^(1/p) * (，b1，^q + ，b2，^q + … + ，bn，^q)^(1/q) ≥ ，a1b1 + a2b2 + … + anbn Holder不等式是Cauchy-Schwarz不等式的推广形式，不仅适用于实数，也适用于复数，可以使用Holder不等式解决更多类型的不等式问题。
三、Schur不等式：Schur不等式是不等式放缩中的重要不等式。
对于任意非负实数a, b, c和非负实数r，有如下不等式成立：a^r(a-b)(a-c)+b^r(b-a)(b-c)+c^r(c-a)(c-b)≥0Schur不等式在证明其他不等式时经常被使用，尤其在三角形不等式的证明中发挥着重要作用。
四、AM-GM不等式：AM-GM不等式是代数平均-几何平均不等式的缩写，对于任意非负实数a1, a2, …, an，有如下不等式成立：(a1 + a2 + … + an)/n ≥ (a1*a2*…*an)^(1/n)AM-GM不等式是解决不等式问题中常用的一种方法，可以将最大化或最小化转化为相加或相乘的形式。
不等式放缩法常用公式
不等式放缩法常用公式1.AM-GM不等式：对于任意的非负实数$a_1,a_2,cdots,a_n$，有 $frac{a_1+a_2+cdots+a_n}{n}geqsqrt[n]{a_1a_2cdots a_n}$。
2. Cauchy-Schwarz不等式：对于任意的实数$a_1,a_2,cdots,a_n$ 和 $b_1,b_2,cdots,b_n$，有$(a_1b_1+a_2b_2+cdots+a_nb_n)^2leq(a_1^2+a_2^2+cdots+a_n^2) (b_1^2+b_2^2+cdots+b_n^2)$。
3. 切比雪夫不等式：对于任意的实数 $a_1,a_2,cdots,a_n$，有$max_i|a_i-frac{a_1+a_2+cdots+a_n}{n}|leqfrac{sum_{i=1}^n|a _i-frac{a_1+a_2+cdots+a_n}{n}|}{n}$。
4. Jensen不等式：设函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上连续，$a_1,a_2,cdots,a_nin I$ 且 $sum_{i=1}^nalpha_i=1$，则有$f(sum_{i=1}^nalpha_ia_i)leqsum_{i=1}^nalpha_if(a_i)$。
5. 柯西不等式：对于任意的非负实数 $a_1,a_2,cdots,a_n$ 和$b_1,b_2,cdots,b_n$，有$(sum_{i=1}^na_ib_i)^2leq(sum_{i=1}^na_i^2)(sum_{i=1}^nb_i^ 2)$。
6. 反柯西不等式：对于任意的非负实数$a_1,a_2,cdots,a_n$ 和 $b_1,b_2,cdots,b_n$，有$(sum_{i=1}^na_ib_i)^2geqfrac{(sum_{i=1}^na_i)^2(sum_{i=1}^ nb_i)^2}{n^2}$。
7. 平均值不等式：对于任意的非负实数 $a_1,a_2,cdots,a_n$，有 $frac{a_1+a_2+cdots+a_n}{n}geqsqrt[n]{a_1a_2cdots a_n}$。
不等式的放缩法基本公式
不等式的放缩法基本公式1.加减法：对于不等式a<b，可以加上一个等式(或不等式)的两边，得到a+c<b+c。
同样地，可以减去一个等式(或不等式)的两边，得到a-c<b-c。
2. 乘除法：对于不等式a < b，如果c > 0，则乘以一个正数的两边，不等号方向不变，得到ac < bc。
如果c < 0，则乘以一个负数的两边，不等号方向反转，得到ac > bc。
同样地，除以一个正数的两边，不等号方向不变；除以一个负数的两边，不等号方向反转。
3.平方：对于不等式a<b，如果a和b都是非负数，可以对其进行平方运算，得到a^2<b^2、如果a和b都是负数，得到a^2>b^24.开方：对于不等式a<b，如果a和b都是非负数且不超过1，可以对其进行开方运算，得到√a<√b。
如果a和b都是正数且大于1，得到√a>√b。
5.绝对值：对于不等式，a，<，b，可以根据a和b的正负情况分别讨论。
如果a和b都是非负数，得到a<b。
如果a和b都是负数，得到-a<-b。
6.倍增法：对于不等式a<b，可以重复加或者减一个相同的数，直到得到符合条件的不等式。
这些是不等式的放缩法的基本公式和方法，但实际问题中常常还需要结合具体情况进行灵活运用。
同时，需要注意的是，放缩法只是解决不等式问题的一种方法，不是唯一的方法，有时候可能需要结合其他方法一起使用。
最重要的是，解决不等式问题时需要保持逻辑性和推理能力，严谨地进行分析和求解。
常见的不等式的放缩方法
常见的不等式的放缩方法天门中学高三数学组一、先求和再放缩类型1、设数列{}n a 的前n 项的和为，n S 42n n a n=-，设2n n n T S =，1,2,3,n =⋅⋅⋅，证明：132nii T =<∑解: 由得S n = 4n 2nna =-23×(2n+1－1)(2n－1) T n = ⇒2n S n= 32×2n (2n+1－1)(2n－1) = 32×(12n －1 － 12n+1－1)，所以, = 1ni =∑i T 321(ni =∑12i －1 － 12i+1－1) = 32×(121－1 － 12i+1－1) < 322、已知2113,12n n n a a a a +==-+，求证：20101112k ka =<<∑。
证明：2112737(1)0,,416n n n n n a a a a a a a ++-=->⇒>==>321 ⇒ 当时，，3n ≥2n a >13(1)113n n n n n a a a a a a n n +=-+>+⇒>+-=-()20112011120100,11a a ⇒>⇒∈-21111111(1)11n n n n n n n n a a a a a a a a +++=-+⇒-=-⇒=---1na ()20101112011201111111112111111k n n n ka a a a a a a =+⇒=-⇒=-=-∈-----∑,2 二、先放缩为等比数列再求和类型1、设，证明：n N +∈11nni i e n e =⎛⎫<⎪-⎝⎭∑ 证明：()ln(1)1x x x +≤<- 111111ln 1ln 1111nnnn n ii i i i i i i i i i e e e n n n n n e --+∞--===⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫i -∴-≤-⇒-≤-⇒-≤⇒-<<=⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑11111nni i e n e e =⎛⎫⇒<+=⎪--⎝⎭∑2、已知：113443n n n a k k --⋅=⋅+-，当13k <<时，求证：138nii n k a k =->∑。
不等式放缩技巧
不等式常用放缩技巧：模型一、等比数例倒求放缩目标。
小于常值题是重点，因为它涉及一个考点，例如：证明不等式：11112112123123n++++<⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯首先这个2不是随便的一个数，为什么不是5/3，不是3？ 我们首先代入一下：q-11=5/3，3，2分别解得： q=52，32，21那么通项公式：an=(52)1-n,(32)1-n ,( 21)1-n <1+2)25(1+3)25(1+…+n )25(1<5211-=5/3(n 取多少开始才有可能后式大于前式，就很难求出。
)<1+2)23(1+3)23(1+…+n)23(1<5211-=5/3(n>2)<1+2)2(1+3)2(1+…+n)2(1<2111-=2(n>1)后两种很容易发现不超三项就开始成立。
所以一般出题出n>1时就开始成立 再见青海高考2014年高考题：解：（1）a n+1=3an +1,根据模型求解：是一次函数斜截式肯定可以用点斜式表示 （a n+1-Y0）=3（an –X0），为构成等比式，直接X0=Y0 解得Y0=X0=-1/2所以（a n+1+1/2）=3（a n +1/2） 所以a n +1/2为等比数列所a n +1/2=（a1+1/2）31-n =23n所以a n =213-n（2）小于3/2，不妨用等比数列极限=q-11=3/2，解得q=1/3 所以通项Bn=(31)1-n ,只需n a 1=132-n <(31)1-n =131-n ,也即2.13-n <13-n ,也即 1<n 3-2.13-n = .13-n (只要N>1显然成立)则<1+31+(31)2+…+(31)n<3111-=3/2当然考试时不用那么啰嗦。
这只是思路建立目标与已知的关系。
上述放缩是等比数列为模板倒求放缩比，此方法用在指数型，首先考虑，等比数列模型放缩。
常见级数不等式放缩公式
常见级数不等式放缩公式常见级数不等式放缩公式是数学中常用的一种技巧，可以用来对级数进行估计和近似计算。
在实际问题中，我们经常会遇到各种级数，通过对级数进行适当的放缩，可以更好地了解级数的性质和行为。
我们来介绍一些常见的级数不等式放缩公式。
这些公式可以帮助我们对级数进行估计，从而得到级数的一些重要性质。
下面是其中一些常见的放缩公式：1. 比较判别法：对于两个正项级数，如果它们的通项之间存在大小关系，那么级数之和也有相同的关系。
例如，如果对于所有的n，有an ≤ bn，那么an的级数之和小于等于bn的级数之和。
2. 比值判别法：对于正项级数，如果存在常数q，使得an+1/an ≤ q，那么级数收敛；如果an+1/an ≥ q，那么级数发散。
3. 根值判别法：对于正项级数，如果存在常数q，使得lim┬(n→∞)〖(an)〗^(1/n) ≤ q，那么级数收敛；如果lim┬(n→∞)〖(an)〗^(1/n) ≥ q，那么级数发散。
4. 积分判别法：对于正项级数，如果存在连续函数f(x)，使得an = f(n)，那么级数与定积分∫_(1 to ∞)▒f(x)dx之间有相同的收敛性。
以上是一些常见的级数不等式放缩公式，它们在级数的研究中起着重要的作用。
通过使用这些公式，我们可以得到级数的一些重要性质，比如级数的收敛性、发散性以及级数之和的估计。
接下来，我们来看一些具体的例子，展示如何应用这些级数不等式放缩公式。
以比较判别法为例，我们考虑两个级数an=1/n和bn=1/n^2。
显然，对于所有的n，an ≤ bn，根据比较判别法，我们可以得到an的级数之和小于等于bn的级数之和。
而bn的级数之和是一个著名的数学常数，即π^2/6。
因此，我们可以得到1/n 的级数之和小于等于π^2/6。
这个结果对于研究级数的性质和行为非常有用。
除了比较判别法，还有其他的级数不等式放缩公式可以应用到各种级数的研究中。
例如，比值判别法和根值判别法可以用来判断级数的收敛性，积分判别法可以用来估计级数的和。
大学中常用不等式放缩技巧
大学中常用不等式放缩技巧关键信息项1、不等式放缩的基本概念和定义定义：＿___________________________目的：＿___________________________应用场景：＿___________________________2、常见的不等式放缩方法加法放缩：＿___________________________乘法放缩：＿___________________________分式放缩：＿___________________________指数放缩：＿___________________________对数放缩：＿___________________________3、放缩的原则和注意事项原则：＿___________________________注意事项：＿___________________________4、不等式放缩在数学分析中的应用数列极限：＿___________________________函数极限：＿___________________________积分计算：＿___________________________5、不等式放缩在实际问题中的应用优化问题：＿___________________________估计问题：＿___________________________11 不等式放缩的基本概念和定义不等式放缩是一种数学方法，通过对不等式中的项进行适当的增大或减小，以达到简化不等式、证明不等式或求解相关问题的目的。
111 定义不等式放缩指的是在不改变不等式方向的前提下，对不等式中的式子进行合理的变形和调整，使得不等式变得更容易处理或证明。
112 目的其主要目的包括简化复杂的不等式、证明难以直接证明的不等式、求解不等式相关的极限问题等。
113 应用场景在数学分析、概率论、统计学等领域都有广泛的应用。
例如，在证明数列的收敛性、求解函数的极值、估计数值范围等方面。
不等式放缩技巧范文
不等式放缩技巧范文1. 平方差公式：对于任意实数a和b，有(a-b)^2 = a^2 - 2ab +b^2、这个公式可以用来处理包含平方项的不等式，通过展开和整理可以得到不等式的更简洁的形式。
2.三角不等式：对于任意两个实数a和b，有，a+b，<=，a，+，b。
这个不等式可以用来处理绝对值的不等式，将不等式中的绝对值化简成和的形式，从而更方便地进行推导和放缩。
3. AM-GM不等式：对于任意若干个非负实数a1，a2，...，an，有(a1+a2+...+an)/n >= (a1*a2*...*an)^(1/n)。
这个不等式是数学中最常用的不等式之一，通过将待求实数的平均值与它们的几何平均值进行比较，可以得到很多有用的结果。
4. Cauchy-Schwarz不等式：对于任意若干个实数a1，a2，...，an和b1，b2，...，bn，有(a1b1+a2b2+...+anbn)^2 <=(a1^2+a2^2+...+an^2)(b1^2+b2^2+...+bn^2)。
这个不等式提供了一种将不等式中的乘法项转化成平方项的方法，从而可以简化不等式的处理。
5. Jensen不等式：对于一个凸函数f(x)和若干个实数x1，x2，...，xn，以及对应的非负实数α1，α2，...，αn，满足α1+α2+...+αn = 1，有f(α1x1+α2x2+...+αnxn) <= α1f(x1) + α2f(x2) + ... +αnf(xn)。
这个不等式提供了一种将不等式中的加权平均值与函数的值进行比较的方法，通过选择合适的权重，可以得到有关凸函数性质的重要结果。
6.子集法：当不等式中存在多个变量时，可以通过将不等式的一边提取出一个或多个公共因子，另一边提取出剩余的因子，并通过变换得到两边都以一个或多个变量的函数形式表示的不等式，从而将原问题减小到子集上。
这些不等式放缩技巧是解决不等式问题的常用策略，可以帮助我们更好地理解不等式的性质和结构，并通过巧妙的变形和调整，将复杂的问题转化为更简单的形式，从而提供了解决不等式问题的有效方法。
【精品】高考数学不等式放缩大全
【精品】高考数学不等式放缩大全高考数学中，不等式是一个重要的考点，也是考生容易出错的地方。
在解不等式的过程中，我们经常需要进行放缩，以便更好地求解不等式。
下面是一些高考数学中常用的不等式放缩方法。
1. 加减法放缩：当需要对一个不等式进行放缩时，可以通过加减法来实现。
例如，对于不等式a < b，可以加上一个正数c，得到a + c < b + c；或者减去一个正数d，得到a - d < b - d。
通过加减法放缩，可以改变不等式的形式，使其更容易求解。
2. 乘除法放缩：当需要对一个不等式进行放缩时，可以通过乘除法来实现。
例如，对于不等式a < b，可以乘以一个正数c，得到ac < bc；或者除以一个正数d，得到a/d <b/d。
通过乘除法放缩，可以改变不等式的形式，使其更容易求解。
3. 平方放缩：当需要对一个不等式进行放缩时，可以通过平方来实现。
例如，对于不等式a < b，可以平方两边得到a^2 < b^2。
通过平方放缩，可以将不等式中的平方项转化为一次项，使其更容易求解。
4. 开平方放缩：当需要对一个不等式进行放缩时，可以通过开平方来实现。
例如，对于不等式a < b，可以开平方两边得到√a < √b。
通过开平方放缩，可以将不等式中的开方项转化为一次项，使其更容易求解。
5. 反向不等式放缩：当需要对一个不等式进行放缩时，可以通过反向不等式来实现。
例如，对于不等式a < b，可以将其改写为-b < -a。
通过反向不等式放缩，可以改变不等式的形式，使其更容易求解。
6. 绝对值不等式放缩：当需要对一个绝对值不等式进行放缩时，可以通过绝对值的性质来实现。
例如，对于绝对值不等式|a| < b，可以将其改写为-b < a < b。
通过绝对值不等式放缩，可以将不等式中的绝对值项转化为一次项，使其更容易求解。
大学中常用不等式放缩技巧资料
大学中常用不等式放缩技巧资料
1、放大法：乘上常数，如将 2a + 3b（均为正数）转换为4a + 6b，方法是将右边乘以2。
3、交换法：将左右两边的系数等号反转，如将3x + 4y = 5z + 6d转换为4y - 3x = 6d - 5z，方法是将等号两边的变量的系数交换。
4、拆分法：将不等式中的变量拆成独立的项，如将2a + 3b ≥ 5c + 6d转换为2a - 5c ≥ -3b + 6d，方法是将不等式中的变量拆分为独立的项进行处理。
5、比例法：若某不等式中有2个变量，可求出它们之间的比例，如将x/y ≥ 7转换为x ≥ 7y，方法是将不等式中的x和y求出比例关系。
二、最大值问题求解
1、累加法：累加法是渐进地求出朳各变量的最大值，如求取最大值时，其中的一个
变量m的最大值可以通过以下算式求得：m =∑1/(a1 + a2 +a3 + …+ am)(均为正数)。
2、减法法：根据有减有得的原则，在求取最大值时，往往可以通过限定最小值，使
得最大值受到一定程度的制约，然后综合来寻找最大值，如在最大值问题中，求得一个变量m的最大值时，可以将其它变量x、y、z之一最小话，使得m最大。
不等式放缩方法大全
不等式放缩技巧十法证明不等式，其基本方法参阅<数学是怎样学好的>(下册)有关章节.这里以数列型不等式的证明为例说明证明不等式的一个关键问题: 不等式的放缩技巧。
证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。
这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下十种：一 利用重要不等式放缩1. 均值不等式法例1 设.)1(3221+++⋅+⋅=n n S n 求证.2)1(2)1(2+<<+n S n n n 解析 此数列的通项为.,,2,1,)1(n k k k a k=+=2121)1(+=++<+<k k k k k k ， )21(11∑∑==+<<∴nk n nk k S k ，即.2)1(22)1(2)1(2+<++<<+n n n n S n n n 注：①应注意把握放缩的“度”：上述不等式右边放缩用的是均值不等式2ba ab +≤，若放成1)1(+<+k k k 则得2)1(2)3)(1()1(21+>++=+<∑=n n n k S nk n ，就放过“度”了！ ②根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式，这里na a n a a a a a a nnnn n n22111111++≤++≤≤++其中，3,2=n 等的各式及其变式公式均可供选用。
例2 已知函数bx a x f 211)(⋅+=，若54)1(=f ，且)(x f 在[0，1]上的最小值为21，求证：.2121)()2()1(1-+>++++n n n f f f[简析] 411()11(0)141422x x x xf x x ==->-≠++•1(1)()(1)22f f n ⇒++>-⨯211(1)(1)2222n+-++-⨯⨯ 1111111(1).42222n n n n -+=-+++=+- 例3 求证),1(221321N n n n C C C C n n nnnn∈>⋅>++++- .简析 不等式左边123nn n n n C C C C ++++=12222112-++++=-n nn n n 122221-⋅⋅⋅⋅⋅> =212-⋅n n ，故原结论成立.【例4】已知222121n a a a +++=，222121n x x x +++=，求证：n n x a x a x a +++ 2211≤1.【解析】使用均值不等式即可：因为22(,)2x y xy x y R +≤∈，所以有22222211221122222n n n n a x a x a x a x a x a x ++++++≤+++2222221212111.2222nna a a x x x ++++++=+=+= 其实，上述证明完全可以改述成求n n x a x a x a +++ 2211的最大值。
不等式的放缩法
放缩法证明不等式放缩法：为放宽或缩小不等式的范围的方法。
常用在多项式中“舍掉一些正（负）项”而使不等式各项之和变小（大），或“在分式中放大或缩小分式的分子分母”，或“在乘积式中用较大（较小）因式代替”等效法，而达到其证题目的。
所谓放缩的技巧：即欲证B A ≤，欲寻找一个（或多个）中间变量C ，使B C A ≤≤，由A 到C 叫做“放”，由B 到C 叫做“缩”。
常用的放缩技巧还有：（1）若,A t A ,A t A ,0t <->+>（2）,n 1n <-n n 2>,1n 11n ,1n ->-+-+),0n (n n )1n (n 2>=>+<<+=+-2n 1)1n (n 11n 1n 1).1n n (2n1n n 21n n 2)n 1n (2),1n (n 11n 1)1n (n 1--<=+<++=-+>--=-（3）若,R m b a +∈、、则.b m a b a ,m b a b a +<+> （4）+++<++++221211!n 1!31!211 .211n -+ （5）.n 12)n 11n 1()3121()211(1n 131211222-=--++-+-+<++++ （6）11n n 1n 11n 11n 1n 212n 11n 1<+=++++++≤+++++ 或≥+++++n 212n 11n 1 .21n 2n n 21n 21n 21==++（7）nn n n 1n 1n 1n 131211==+++>++++ 等等。
用放缩法证明下列各题。
例1 求证：.133lg 3lg <⋅ 证明：因为,)2b a (ab 2+≤所以左边,)299lg ()233lg 3lg (22=+≤[因为99＜100（放大）]＜,1)2100lg (2=所以.133lg 3lg <⋅例2 （2000年海南理11）若,2n ,N n >∈求证：.1)1n (log )1n (log n n ≤+⋅- 证明：因为,11n ,2n >->所以,0)1n (log ,0)1n (log n n >+>-因为4)]1n ([log ]2)1n (log )1n (log [)1n (log )1n (log 22n 2n n n n -=++-≤+⋅-［因为22n 1n <-（放大），所以,n log )1n (log 2n 2n <-又,2n >所以x log n 是增函数］，所以14)n (log 4)]1n ([log 22n 22n =<-，所以.1)1n (log )1n (log n n <+⋅-例3 （2001年云南理1）求证：).N n ,1n )(2n (log )1n (log 1n n ∈>+>++证明：n log )2n (log )1n (log )2n (log 1n 1n n 1n +++⋅+=++=左边右边（因为1a log b log b a =⋅）21n 21n 1n ]2)2n (n log []2n log )2n (log [+=++≤+++［又因为2)1n ()2n (n +<+（放大）］，所以,1]2)1n (log []2)2n (n log [221n 21n =+<+++所以).2n (log )1n (log 1n n +>++例4 已知,0b a >>求证：.b a b a -<- 证明：因为⇒>>0b a.b a b a b a )b a (b a ),(b a b a ,0b a ,b a 2-<-⇒-<-⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+<->->两边同乘放大例5 求证：.2b a )2b a (222+≤+证明：因为4b ab 2a )2b a (222++=+（因为22b a ab 2+≤）4b b a a 2222+++≤（放大）.2b a 22+=所以.2b a )2b a (222+≤+例 6 （2000年湖南省会考）求证：当0a >时，函数c bx ax y 2++=的最小值是;a 4b ac 42-当0a <时，函数c bx ax y 2++=的最大值是.a 4b ac 42-证明：因为原函数配方得,a 4b ac 4)a 2b x (a y 22-++=又因为,0)a 2b x (a 0)a 2b x (,0a 22≥+⇒⎪⎩⎪⎨⎧≥+>所以a 4b ac 4a 4b ac 4)a 2b x (a y 222-≥-++=（缩小），所以函数y 的最小值是a 4b ac 42-。
放缩法证明不等式例题
放缩法证明不等式一、放缩法原理为了证明不等式B A ≤，我们可以找一个或多个中间变量C 作比较，即若能判定B C ,C A ≤≤同时成立，那么B A ≤显然正确。
所谓“放”即把A 放大到C,再把C 放大到B ；反之，由B 缩小经过C 而变到A,则称为“缩”，统称为放缩法。
放缩是一种技巧性较强的不等变形，必须时刻注意放缩的跨度，做到“放不能过头，缩不能不及”。
二、常见的放缩法技巧１、基本不等式、柯西不等式、排序不等式放缩 2、糖水不等式放缩：)b a ,0m (ma mb a b >≥++≤. 3、添（减）项放缩4、先放缩，后裂项（或先裂项再放缩）5、逐项放大或缩小：)1n (n 1n 1)1n (n 12-<<+ 21n 2)1n (n n +<+<)12)(32(1)12(12--<-n n n )12)(12(1)12(12+->-n n n )22(21)12(12+<+n n n三、例题讲解例1：设a 、b 、c 是三角形的边长，求证cb a cb ac b a c b a -++-++-+≥3例2：设a 、b 、c ≥0，且3=++c b a ，求证abc c b a 23222+++≥29例3：已知*21().n n a n N =-∈求证：*122311...().23n n a a a n n N a a a +-<+++∈例４：函数f （x ）=xx 414+，求证：f （1）+f （2）+…+f （n ）>n +)(2121*1N n n ∈-+.例5：已知a n =n ，求证：∑nk=1 ka 2k＜3．例6： 已知数列{}n a ，，132a =，113(2,*)21n n n na a n n N a n --=≥∈+-．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）对一切正整数n ，不等式123!n a a a a n λ⋅⋅<⋅恒成立，试求正整数的最小值。
不等式放缩的万能解法
不等式放缩的万能解法不等式放缩是一种重要的不等式技巧，可以用来化简和证明复杂的不等式问题。
不等式放缩法可以分为取平均数和加均值不等式两种方法。
下面详细介绍这两种方法。
一、取平均数法取平均数法是不等式放缩中常用的一种方法。
它的基本思想是用不等式两边的平均数代替两个数，从而使不等式更易于处理。
下面描述取平均数法的运用步骤：1.将不等式中的变量全部提到一边，令不等式右边为0，即将不等式转化为a(x)≥0（其中a(x)是函数表达式）。
2.对a(x)进行适当的平均化处理，将其表示为两个平方数之差或两个次幂之比。
3.应用柯西不等式或均值不等式等不等式，将不等式继续简化。
4.进一步处理化简后的不等式，尽量将其化为简单明了的形式。
例如，我们要证明：当x>0时，有以下不等式成立：(1+x)ln(1+x) > x1.将不等式转化为：f(x)=(1+x)ln(1+x)−x>0。
2.考虑将f(x)表示成两个平方数之差，可以作如下变换：f(x)=(x+1)(ln(x+1)−x/(x+1))=(x+1)ln[(x+1)/e^(x/(x+1))]3.令y=(x+1)/e^(x/(x+1))，那么f(x)就可以表示成f(x)=ln(y)(y−e^−x)>0。
4.根据$f(x)=ln(y)(y−e^{-x})>0$，则y>e^x，即(y−e^-x)/y<1。
故有：f(x)=ln(y)(y−e^−x)>ln(y)(1−y/e^x)。
应用柯西不等式，有：f(x)=ln(y)(y−e^−x)>ln[y(1−y/e^x)]4.化简上式，执行以下步骤：f(x)>ln[(1+x)/(1+(1/e^x^))]. 因此，$f(x)>ln[(1+x)/(1+(1/e^x^))]−1/e^x$5.由于ln(x)是一个凸函数，使用函数的凸性可以证明上式成立。
因此，原命题得证。
二、加均值不等式法加均值不等式是不等式放缩中常用的一种方法。
常见的不等式的放缩方法
常见的不等式的放缩方法1. AM-GM不等式：AM-GM不等式是最常用的不等式之一，它指出对于任意非负实数a和b，有a+b≥2√(ab)。
根据AM-GM不等式，可以通过对不等式中的两个或多个变量进行加权平均，然后再用AM-GM不等式进行放缩。
2. Cauchy-Schwarz不等式：Cauchy-Schwarz不等式是一种常见的向量不等式，它可以用来放缩两个向量的内积。
对于任意向量a和b，Cauchy-Schwarz不等式表达式为∣∣∣ab∣∣∣2≤∣∣∣a∣∣∣2∣∣∣b∣∣∣2、该不等式可以通过取等条件来得到最优的放缩结果。
3. Jensen不等式：Jensen不等式是一种关于凸函数的不等式，它可以用来放缩函数的平均值与函数值的关系。
对于一个凸函数f和一组满足条件的实数x1，x2，…，xn，以及对应的权重w1，w2，…，wn，Jensen 不等式表达式为f(∑(i=1)^(n)(wi*xi))≤∑(i=1)^(n)(wi*f(xi))。
该不等式可以通过选择合适的凸函数和权重，对不等式进行放缩。
4. 柯西不等式：柯西不等式是一种常见的积分不等式，它可以用来放缩两个函数的内积的模。
对于两个可积函数f(x)和g(x)，柯西不等式表达式为∣∣∫[a,b]f(x)*g(x)dx∣∣≤√(∫[a,b]∣∣f(x)∣∣^2dx)*√(∫[a, b]∣∣g(x)∣∣^2dx)。
该不等式可以通过选择合适的函数f(x)和g(x)，对不等式进行放缩。
5. Höld er不等式：Hölder不等式是Cauchy-Schwarz不等式的一种推广形式，它可以用来放缩多个函数的内积的模。
对于n个可积函数f1(x)，f2(x)，…，fn(x)和相应的权重w1，w2，…，wn，Hölder不等式表达式为∣∣∫[a,b]f1(x)*f2(x)*…*fn(x)dx∣∣≤∫[a,b]∣∣f1(x)∣∣*∣∣f2(x)∣∣*…*∣∣fn(x)∣∣dx。
数学所有不等式放缩技巧及证明方法
文档收集于互联网，已重新整理排版word 版本可编辑•欢迎下载支持.高考数学所有不等式放缩技巧及证明方法一、裂项放缩畀 2 15例1.⑴求芥门 --------- 7的值； （2）求证：>2 7T V —・A=1 4* — 1Ar = l k3例2・⑴求证：1 +丄+丄+・・・+ —>1-一!一> 2）32 52⑵Li ）， 6 2（2n-1）1 1 1 1 114 16 364n 2 2 4n⑶求证丄+12+空+」"•…⑵i2 2-4 2-4-6 2-4-6••…2n例 3•求证: ---- - ---- <i + l +l + ... + -L<-(n +1)( 2/1 + 1)4 9 ir 3例4・（2008年全国一卷）设函数f ⑴二X-H1U.数列仇｝满足0<q<l ・％ 明：畋+】>b.例 5.已知"，加 e 他,兀 > -1,S,” 二 r n + T +3川 + …+ 心求证：/严 < (m +1)5,, <(〃 + 1严 -1例 6.已知® = 4" - T , T n= ------ 二 ----- ,求证：£+◎+◎人 < —.a { + a 2 + ・• • + a n2例7.已知坷=1, £ = < W (mi,"Z),求证：亠*亠+ •..+亠>逅(耐®訓) W - l(n = 2k 、k wZ) 护2 ・x 3 化・x 5.. 4丁 /、 In 2a In 3a In n a hr -n-l例 9.求证——<^—^^>2)例 10.求证:—+ - + ・・・ + —< ln(n + 1) < 1 + —4-・・• +」■2 3 77 + 1 2 n例 11.求证：(1 + \(1 +、•….(1 + ^-Xe 和(1 + ；)(1 + 厶)•….(1 + 点)<辰 2! 3! n\ 9 81 3" 例 12•求证：(1 +1 x 2) • (1 + 2 x 3) ••…[1 + n(n +1)] > 严I12例14.已知4=1。
常用不等式放缩技巧
常用不等式放缩技巧常用的不等式和放缩技巧在数学问题和证明中扮演着重要的角色。
它们可以用来解决各种类型的问题，包括代数、几何、概率和数论等领域。
在本文中，我们将介绍一些常用的不等式和放缩技巧，以及它们在解决数学问题中的应用。
一、常用不等式：1. 平均值不等式（AM-GM不等式）：对于非负实数$a_1, a_2,\ldots, a_n$，有$$\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1 a_2 \cdots a_n}$$当且仅当$a_1=a_2=\cdots=a_n$时等号成立。
2. 柯西-施瓦茨不等式：对于任意实数$a_1, a_2, \ldots, a_n$和$b_1, b_2, \ldots, b_n$，有$$(a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + \cdots + b_n^2) \geq (a_1 b_1 + a_2 b_2 + \cdots + a_n b_n)^2$$等号成立当且仅当$\frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2} = \cdots = \frac{a_n}{b_n}$。
3.三角不等式：对于任意实数$a$和$b$，有$$a+b， \leq ，a， + ，b$$等号成立当且仅当$a$和$b$同号。
4.杨辉三角不等式：对于任意正整数$n$和非负实数$x$，有$$(1+x)^n \geq 1 + nx$$等号成立当且仅当$x=0$或$n=1$。
5.马尔可夫不等式：对于任意非负实数$x$和$x$的任意递增函数$f(x)$，有$$f(ax) \geq a f(x)$$其中$a \geq 1$。
这些不等式都是常用的，并且在证明问题时经常能够发挥重要作用。
二、常用放缩技巧：1. 二次函数放缩：对于一个二次函数$f(x) = ax^2+bx+c$，我们可以通过补全平方或者配方法来将其转化为一个方便处理的形式。
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常用不等式,放缩技巧-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII
一：一些重要恒等式
ⅰ：12+22+…+n2=n(n+1)(2n+1)／6
ⅱ: 13+23+…+n3=(1+2+…+n)2
Ⅲ：cosa+cos2a+…+cos2n a=sin2n+1a／2n+1sina
ⅳ:e=2+1／2！+1/3！+…+1/n！+a/(n！n) (0<a<1)
ⅴ:三角中的等式（在大学中很有用）
cosαcosβ= 1/2[cos(α+β)+cos(α-β)]
sinαcosβ= 1/2[sin(α+β)+sin(α-β)]
cosαsinβ= 1/2 [sin(α+β)+sin(α-β)]
sinαsinβ=-1/2[cos(α+β)-cos(α-β)]
sinθ+sinφ=2sin(θ/2+θ/2)cos(θ/2-φ/2)
sinθ-sinφ=2cos(θ/2+φ/2)sin(θ/2-φ/2)
cosθ+cosφ=2cos(θ/2+φ/2)cos(θ/2-φ/2)
cosθ-cosφ=-2sin(θ/2+φ/2)sin(θ/2-φ/2)
tan＋tanB＋tanC=tanAtanBtanC
cotAcotB+cotBcotC+cotCcotA=1
tan(A/2)tan(B/2)+tan(B/2)tan(C/2)+tan(C/2)tan(A/2)=1
sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinC
ⅵ:欧拉等式 e∏i=-1 (i是虚数，∏是pai)
ⅶ：组合恒等式（你们自己弄吧，我不知怎样用word 编）
二重要不等式
1:绝对值不等式
︱︱x︱-︱y︱︱≤∣x±y∣≤︱x︱+︱y︱(别看简单，常用) 2：伯努利不等式
（1+x1）（1+x2）…（1+x n）≥1+x1+x2+…+x n(x i符号相同且大于-1)
3：柯西不等式
(∑ a i b i)2≤∑a i2∑b i2
4:︱sin nx︱≤n︱sin x︱
5; (a+b)p≤2p max(︱a p︱,︱b p︱)
(a+b)p≤a p+ b p (0<p<1)
(a+b)p≥a p+ b p (p>1)
6:(1+x)n≥1+nx (x>-1)
7:切比雪夫不等式
若a1≤a2≤…≤a n, b1≤b2≤…≤b n
∑a i b i≥(1/n)∑a i∑b i
若a1≤a2≤…≤a n, b1≥b2≥…≥b n
∑a i b i≤(1/n)∑a i∑b i
三：常见的放缩(√是根号)(均用数学归纳法证) 1：1/2×3/4×…×(2n-1)/2n<1/√(2n+1)；
2：1+1/√2+1/√3+…+1/√n>√n;
3：n！<【(n+1/2)】n
4：n n+1>(n+1)n n！≥2n-1
5：2！4！…(2n)！>｛(n+1)！｝n
6：对数不等式（重要）x/(1+x)≤㏑（1+x）≤x 7：(2/∏)x≤sinx≤x
8:均值不等式我不说了（绝对的重点）
9：（1+1/n）n<4
四：一些重要极限
(书上有，但这些重要极限需熟背如流)。