同济大学高等数学教案第四章微分方程
微分方程高等数学同济教材
微分方程高等数学同济教材微分方程作为高等数学的重要内容之一，在同济教材中有着详细而系统的讲解。
本文将以同济教材为基础，介绍微分方程的相关概念、解法以及应用，并对其在高等数学学习中的重要性进行探讨。
第一部分：微分方程的基本概念与分类微分方程是研究变化率与变化过程的数学工具，在实际问题中具有广泛的应用。
根据方程中出现的未知函数的阶数，微分方程可分为常微分方程和偏微分方程两大类。
常微分方程中的未知函数仅含有一元变量，而偏微分方程中的未知函数则含有多元变量。
第二部分：常微分方程的解法及应用常微分方程的解法因方程不同形式而异，其中常见的解法包括分离变量法、齐次方程法、一阶线性方程法、二阶线性齐次方程法等。
通过这些解法，可以获得常微分方程的特解，并在实际问题中进行应用。
第三部分：偏微分方程的解法及应用偏微分方程的解法相对复杂，常见的解法包括分离变量法、特征线法和变量分离法等。
通过这些解法，可以求得偏微分方程的特解，并应用于实际问题的求解过程。
第四部分：微分方程在其他学科中的应用微分方程作为一门基础数学课程，在物理学、工程学以及生物学等学科中具有广泛应用。
例如，微分方程可以用于描述物体运动的变化规律、电路中电流的变化以及生物中的种群增长模型等。
第五部分：微分方程在高等数学学习中的重要性微分方程作为高等数学的重要内容，不仅仅是为了应用于实际问题的求解，更是提高学生数学建模和解决实际问题的能力。
通过学习微分方程，学生能够培养出扎实的数学基础，并在未来的学习和实践中发挥重要作用。
结语：微分方程是高等数学中重要的内容之一，在同济教材中有着详细而系统的讲解。
通过学习微分方程的基本概念与分类、常微分方程与偏微分方程的解法与应用以及微分方程在其他学科中的应用，我们能够更好地理解并掌握微分方程的相关知识，提高数学建模和解决实际问题的能力，为未来的学习和实践打下坚实的基础。
高等数学同济教案
高等数学同济教案教案标题：高等数学同济教案教案目标：1. 理解高等数学的基本概念和原理。
2. 掌握高等数学的基本运算和方法。
3. 培养学生的数学思维和解决问题的能力。
4. 培养学生的数学推理和证明能力。
教案内容：课时一：导数与微分1. 导数的定义和性质2. 导数的计算方法和应用3. 微分的定义和性质4. 微分的计算方法和应用课时二：不定积分与定积分1. 不定积分的定义和性质2. 不定积分的计算方法和应用3. 定积分的定义和性质4. 定积分的计算方法和应用课时三：微分方程1. 微分方程的基本概念和分类2. 一阶常微分方程的解法3. 二阶常微分方程的解法4. 微分方程的应用课时四：级数与数项级数1. 级数的概念和性质2. 数项级数的概念和性质3. 数项级数的收敛性判定4. 数项级数的求和方法教学方法：1. 讲授结合实例：通过具体的例子引入新的概念和原理，帮助学生理解和记忆。
2. 案例分析：选取一些实际问题，引导学生运用所学知识解决问题，培养学生的应用能力。
3. 互动讨论：鼓励学生在课堂上提问和讨论，促进学生的思维活跃和合作学习。
4. 课堂练习：安排一定数量的练习题，巩固学生的基本运算和方法。
评估方式：1. 课堂表现：学生在课堂上的积极参与和回答问题的能力。
2. 作业完成情况：学生按时完成作业并正确计算和解答问题的能力。
3. 小测验：定期进行小测验，检验学生对所学知识的掌握程度。
4. 期末考试：综合考察学生对整个学期所学内容的理解和应用能力。
教学资源：1. 教材：《高等数学同济版》2. 多媒体教学资源：投影仪、电脑、PPT等3. 额外练习题和习题解析：辅助教材、习题集等教学建议：1. 鼓励学生主动思考和解决问题，培养他们的数学思维和解决问题的能力。
2. 注重理论与实践的结合，通过实际问题的引入，增加学生对数学知识的兴趣和应用意识。
3. 给予学生足够的练习机会，巩固基本运算和方法，提高他们的计算和解题能力。
高等数学同济版第四章教案
授课教案课程名称：高等数学授课专业：总学时：开课单位：制定人：审核人：制定时间：教案注：1．每2学时至少制定一个教案。
2．课型包括新授课、练习课、复习课、讲评课、实验课等。
3．上新课和新上课的教师要求写详案。
4．要求教师上课必带教案。
5．“备注”填写历年更新的内容（手写）。
6．教案可带附件（课程内容补充材料）。
教案C+⎰++dxx x 1022+3+5)5+C 注：1．每2学时至少制定一个教案。
2．课型包括新授课、练习课、复习课、讲评课、实验课等。
3．上新课和新上课的教师要求写详案。
4．要求教师每学期上交教案。
教案注：1．每2学时至少制定一个教案。
2．课型包括新授课、练习课、复习课、讲评课、实验课等。
3．上新课和新上课的教师要求写详案。
4．要求教师每学期上交教案。
教案注：1．每2学时至少制定一个教案。
2．课型包括新授课、练习课、复习课、讲评课、实验课等。
3．上新课和新上课的教师要求写详案。
4．要求教师上课必带教案。
5．“备注”填写历年更新的内容（手写）。
6．教案可带附件（课程内容补充材料）。
教案例1求⎰xdx x ln解：⎰⎰=2ln 21ln xdx xdx x [][]C x x x C x x x xdx x x x d x x x +-=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-=-=⎰⎰222222241ln 2121ln 21ln 21ln ln 21例2 求dx x ⎰arccos解 把x arccos 作为u ，dx 作为dvC x x x dx x x x x dx x +--=---=∴⎰⎰221arccos )11(arccos arccos例3 求⎰xdx x arctan解：⎰⎰=2arctan 21arctan xdx xdx x[][]C x x x x dx x x x dx x x x x x d x x x ++-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=-=⎰⎰⎰arctan arctan 21)111(arctan 211arctan 21arctan arctan 2122222222例4 求⎰xdx x ln 2解 C x x x dx x x x x x xd xdx x +-=-==⎰⎰⎰9ln 3]1ln [31)(ln 31ln 333332⎰dx xx2ln练习设计 课后习题1教学反思与学生一起做练习，边讲边练注：1．每2学时至少制定一个教案。
高等数学(同济大学)第六版课件上第4章
例2. 质点在距地面 处以初速 垂直上抛 , 不计阻
力, 求它的运动规律.
解: 取质点运动轨迹为坐标轴, 原点在地面, 指向朝上 ,
质点抛出时刻为
此时质点位置为 初速为
设时刻 t 质点所在位置为
则
dx v(t)
(运动速度)
dt
再由此求 x(t)
d2 x d t2
dv dt
g
(加速度)
先由此求 v(t)
y
的所有积分曲线组成 的平行曲线族.
o
x0
x
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例1. 设曲线通过点( 1 , 2 ) , 且其上任一点处的切线
斜率等于该点横坐标的两倍, 求此曲线的方程.
解:
y
所求曲线过点 ( 1 , 2 ) , 故有
(1, 2)
因此所求曲线为 y x2 1
o
x
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C2
由x(0) x0 , 得C2 x0 , 于是所求运动规律为
x(t)
1 2
gt
2
v0t
x0
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从不定积分定义可知:
(1)
d dx
f (x)d x
f (x)
或 d
f (x)dx
f (x)dx
(2) F(x) dx F(x) C 或 d F(x) F(x) C
x
x x(t)
x0 x(0) o
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先求 由
知
v(t) ( g) d t gt C1
由v(0) v0 , 得C1 v0 , 故
v(t) gt v0
再求
同济大学高等数学§4.2(续)二阶常系数线性微分方程
二阶常系数非齐次线性方程特解的解法
自由项 f (x)
方程 aybycy f ( x) 的特解 y
ex pm ( x)
(1) 不是特征方程的根 (2) 是特征方程的单根
y Qm ( x)ex
y x Qm ( x)ex
(3) 是特征方程的重根 y x2 Qm ( x)ex
ex[Pm ( x)cosx Pn( x)sinx]
解：由方程的特解可知齐次方程对应的特征方程 的特征根为 r1,2 1 ，r3 1 ， 于是特征方程为(r1)2(r1)0 ，
即 r 3 r 2 r 10 ，
故三阶常系数齐次微分方程为 y y y y0 。
故应选（B）。
（三）二阶常系数线性非齐次微分方程的解法
设二阶常系数线性齐次方程为ay by cy 0
即 r2(r2 2r5)0 ， 特征根为 r1,2 0 （2 重）；r3,4 12i 。
故方程的通解为 yC1C2 xe x (C3cos2xC4sin2x) 。
例 6．具有特解形式 y1e x ， y2 2xe x ， y3 3e x 的 三阶常系数齐次微分方程是（ ）
（A） y y y y0 ； （B） y y y y0 ； （C） y6 y11y6 y0 ； （D） y2 y y2 y0 。
方程②是一个一元 n 次方程，有 n 个根 。类似二阶常系 数线性齐次方程，相应地可得到方程①的 n 个线性无关 的解，把这 n 个 线 性 无 关的解分别乘以任意常数后相加， 即得方程①的通解。
特征方程的根 方程①通解中的对应项
单实根 r
给出一项 Cerx
k 重实根r
给出k 项 erx (C1 C2xCk xk1)
把 Qm ( x) 代入 ④ 式，比较等式两端x 同次幂 的系数， 就得到以 A , A1,,Am1, Am 作为未知数的m 1 个方程
同济大学高等数学§4.1微分方程的初等积分法
2．通解公式的结构
一阶线性非齐次方程 y P( x) yQ( x) 的通解公式为
y e P( x)dx [ Q( x)e P( x)dx dx C ]
此通解是由两项组成的，一项 Ce P( x)dx 是对 应的一阶线性齐次方程 y P( x) y0 的通解，另一项
e P( x)dx Q( x)e P( x)dxdx 是原方程①的特解。
S
1 2
gt
2
C1t
C
2
，
④
把条件②代入③和④，得
0v12g0g20CC110C2 CC12v0 ，
∴所求自由落体的运动规律为S
1 2
gt
2
vt
.
1.微分方程的定义
含有自变量、未知函数及未知函数的导数(或微分)的
等式称为微分方程。 未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程，未
知函数是多元函数的微分方程称为偏微分方程。
例 4．求方程 dy y a(lnx) y2 的通解。（伯努利方程）
dx x
解： y2 dy 1 y1 al nx ， dx x
令 z y1 ， dz y2 dy ，则得 dz 1 zal nx ，
dx
dx
dx x
∴
ze
1dx
x[
(al
nx)e
1dx
x dxC
]
x[ a l
nx d x C ] x
， y 3 eC1
sin x
sin x
化简得： y C 3 （C 0 ）。 s i nx
∵ y3 也是方程的解，
∴方程的通解为 y C 3 (CR) 。 s i nx
代入初始条件 y( )0 ，得到C 3 ， 2
同济高数第4章课件第三节
目
CONTENCT
录
• 引言 • 知识点一：极限的定义与性质 • 知识点二：连续函数的概念与性质 • 知识点三：导数的概念与性质 • 知识点四：微积分基本定理
01
引言
背景介绍
本节内容是同济大学高等数学教材第4章的第三节， 主题是导数的概念及其几何意义。
导数作为微积分的基本概念之一，是研究函数变化 率的重要工具。
极限的性质
唯一性
若 $lim_{x to x_0} f(x)$ 存在，则极限值唯一。
有界性
若 $lim_{x to x_0} f(x) = A$，则函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 的去心邻域内有界。
局部保号性
若 $lim_{x to x_0} f(x) = A$ 且 $A > 0$，则存在 $x_0$ 的去心邻域，在该邻域内 $f(x) > 0$。
极限的计算方法
四则运算法则
若 $lim_{x to x_0} f(x) = A$ 和 $lim_{x to x_0} g(x) = B$，则 $lim_{x to x_0} [f(x) pm g(x)] = A pm B$。
等价无穷小替换
在求极限过程中，当两个无穷小量在一定条件下可以相互替换时，可以使用等价无穷小替换 简化计算。例如，当 $x to 0$ 时，$sin x approx x$，$tan x approx x$ 等。
知识点二：连续函数的概念与性质
连续函数的定义
函数在某点连续是指，当自变 量在该点处接近时，因变量的 极限值等于函数值。
具体来说，如果函数在某点的 极限值等于该点的函数值，则 称函数在该点连续。
数学表达式为：$lim_{{x to a}} f(x) = f(a)$
高等数学(上册)第4章 微分方程
第4章 数积方程
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第4章 数积方程
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第4章 数积方程
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第4章 数积方程
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第4章 数积方程
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第4章 数积方程
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第4章 数积方程
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第4章 数积方程
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第4章 数积方程
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第4章 数积方程
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第4章 数积方程
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第4章 数积方程
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第4章 数积方程
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第4章 数积方程
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第4章 数积方程
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第4章 数积方程
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第4章 数积方程
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第4章 数积方程
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第4章 数积方程
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第4章 数积方程
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第4章 数积方程
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第4章 数积方程
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第4章 数积方程
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第4章 数积方程
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第4章 数积方程
第4章 数积方程
第4章 微 分 方 程
4.1 微分方程的基本概念 4.2 一阶微分方程 4.3 特殊的可降阶的微分方程 4.4 二阶线性微分方程
1
第4章 数积方程
2
第4章 数积方程
3
第4章 数积方程
4
第4章 数积方程
5
第4章 数积方程
定义3 如果有这样的函数, 把它们代入微分方程能使方 程成为恒等式, 那么这个函数就称为微分方程的解.
20
第4章 数积方程
第4章 数积方程
22
第4章 数积方程
23
第4章 数积方程
第四章 微分方程讲稿
第四章 微分方程§4. 1 微分方程的基本概念导入：(8分钟)函数是客观事物的内部联系在数量方面的反映, 利用函数关系又可以对客观事物的规律性进行研究. 因此如何寻找出所需要的函数关系, 在实践中具有重要意义. 在许多问题中, 往往不能直接找出所需要的函数关系, 但是根据问题所提供的情况, 有时可以列出含有要找的函数及其导数的关系式. 这样的关系就是所谓微分方程. 微分方程建立以后, 对它进行研究, 找出未知函数来, 这就是解微分方程.引例 一曲线通过点(1, 2), 且在该曲线上任一点M (x , y )处的切线的斜率为2x , 求这曲线的方程.解 设所求曲线的方程为y =y (x ). 根据导数的几何意义, 可知未知函数y =y (x )应满足关系式(称为微分方程)x dxdy2=. (1) 此外, 未知函数y =y (x )还应满足下列条件:x =1时, y =2, 简记为y |x =1=2. (2) 把(1)式两端积分, 得(称为微分方程的通解)⎰=xdx y 2, 即y =x 2+C , (3) 其中C 是任意常数.把条件“x =1时, y =2”代入(3)式, 得2=12+C ,由此定出C =1. 把C =1代入(3)式, 得所求曲线方程(称为微分方程满足条件y |x =1=2的解):y =x 2+1.几个概念:微分方程: 表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程, 叫微分方程. 常微分方程: 未知函数是一元函数的微分方程, 叫常微分方程. 偏微分方程: 未知函数是多元函数的微分方程, 叫偏微分方程.微分方程的阶: 微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数, 叫微分方程的阶. x 3 y '''+x 2 y ''-4xy '=3x 2 , y (4) -4y '''+10y ''-12y '+5y =sin2x , y (n ) +1=0, 一般n 阶微分方程:F (x , y , y ', ⋅ ⋅ ⋅ , y (n ) )=0. y (n )=f (x , y , y ', ⋅ ⋅ ⋅ , y (n -1) ) .微分方程的解: 满足微分方程的函数(把函数代入微分方程能使该方程成为恒等式)叫做该微分方程的解. 确切地说, 设函数y =ϕ(x )在区间I 上有n 阶连续导数, 如果在区间I 上, F [x , ϕ(x ), ϕ'(x ), ⋅ ⋅ ⋅, ϕ(n ) (x )]=0,那么函数y =ϕ(x )就叫做微分方程F (x , y , y ', ⋅ ⋅ ⋅, y (n ) )=0在区间I 上的解.通解: 如果微分方程的解中含有任意常数, 且任意常数的个数与微分方程的阶数相同, 这样的解叫做微分方程的通解.初始条件: 用于确定通解中任意常数的条件, 称为初始条件. 如 x =x 0 时, y =y 0 , y '= y '0 . 一般写成00y y x x ==, 00y y x x '='=. 特解: 确定了通解中的任意常数以后, 就得到微分方程的特解. 即不含任意常数的解. 初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题称为初值问题. 如求微分方程y '=f (x , y )满足初始条件00y y x x ==的解的问题, 记为⎩⎨⎧=='=00),(y y y x f y x x .积分曲线: 微分方程的解的图形是一条曲线, 叫做微分方程的积分曲线.§4. 2 一阶微分方程导入：（8分钟）1. 求微分方程y '=2x 的通解. 为此把方程两边积分, 得y =x 2+C .一般地, 方程y '=f (x )的通解为C dx x f y +=⎰)((此处积分后不再加任意常数). 2. 求微分方程y '=2xy 2 的通解.因为y 是未知的, 所以积分⎰dx xy 22无法进行, 方程两边直接积分不能求出通解.为求通解可将方程变为xdxdy y 212=, 两边积分, 得C x y +=-21, 或Cx y +-=21, 可以验证函数Cx y +-=21是原方程的通解. 一般地, 如果一阶微分方程y '=ϕ(x , y )能写成g (y )dy =f (x )dx形式, 则两边积分可得一个不含未知函数的导数的方程G (y )=F (x )+C ,由方程G (y )=F (x )+C 所确定的隐函数就是原方程的通解对称形式的一阶微分方程:一阶微分方程有时也写成如下对称形式:P (x , y )dx +Q (x , y )dy =0在这种方程中, 变量x 与y 是对称的.若把x 看作自变量、y 看作未知函数, 则当Q (x ,y )≠0时, 有),(),(y x Q y x P dx dy -=. 若把y 看作自变量、x 看作未知函数, 则当P (x ,y )≠0时, 有),(),(y x P y x Q dy dx -=. 一、可分离变量的微分方程: 如果一个一阶微分方程能写成g (y )dy =f (x )dx (或写成y '=ϕ(x )ψ(y ))的形式, 就是说, 能把微分方程写成一端只含y 的函数和dy , 另一端只含x 的函数和dx , 那么原方程就称为可分离变量的微分方程. 讨论: 下列方程中哪些是可分离变量的微分方程？ (1) y '=2xy , 是. ⇒y -1dy =2xdx . (2)3x 2+5x -y '=0, 是. ⇒dy =(3x 2+5x )dx . (3)(x 2+y 2)dx -xydy =0, 不是.(4)y '=1+x +y 2+xy 2, 是. ⇒y '=(1+x )(1+y 2). (5)y '=10x +y , 是. ⇒10-y dy =10x dx . (6)xyy x y +='. 不是. 可分离变量的微分方程的解法:第一步 分离变量, 将方程写成g (y )dy =f (x )dx 的形式;第二步 两端积分:⎰⎰=dx x f dy y g )()(, 设积分后得G (y )=F (x )+C ; 第三步 求出由G (y )=F (x )+C 所确定的隐函数y =Φ(x )或x =ψ(y )G (y )=F (x )+C , y =Φ (x )或x =ψ(y )都是方程的通解, 其中G (y )=F (x )+C 称为隐式(通)解. 例1 求微分方程xy dxdy2=的通解. 解 此方程为可分离变量方程, 分离变量后得xdx dy y21=, 两边积分得⎰⎰=xdx dy y 21,即 ln|y |=x 2+C 1, 从而 2112x C C xe e e y ±=±=+.因为1C e ±仍是任意常数, 把它记作C , 便得所给方程的通解2x Ce y =.例2 铀的衰变速度与当时未衰变的原子的含量M 成正比. 已知t =0时铀的含量为M 0, 求在衰变过程中铀含量M (t )随时间t 变化的规律. 解 铀的衰变速度就是M (t )对时间t 的导数dtdM . 由于铀的衰变速度与其含量成正比, 故得微分方程M dtdM λ-=, 其中λ(λ>0)是常数, λ前的曲面号表示当t 增加时M 单调减少. 即0<dtdM . 由题意, 初始条件为M |t =0=M 0.将方程分离变量得dt MdM λ-=. 两边积分, 得⎰⎰-=dt M dM )(λ, 即ln M =-λt +ln C , 也即M =Ce -λt . 由初始条件, 得M 0=Ce 0=C ,所以铀含量M (t )随时间t 变化的规律M =M 0e -λt .例3 设降落伞从跳伞塔下落后, 所受空气阻力与速度成正比, 并设降落伞离开跳伞塔时速度为零. 求降落伞下落速度与时间的函数关系.解 设降落伞下落速度为v (t ). 降落伞所受外力为F =mg -kv ( k 为比例系数). 根据牛顿第二运动定律F =ma , 得函数v (t )应满足的方程为kv mg dtdv m-=, 初始条件为v |t =0=0.方程分离变量, 得mdt kv mg dv =-, 两边积分, 得⎰⎰=-mdt kv mg dv ,1)ln(1C m t kv mg k +=--, 即t m k Ce k m g v -+=(ke C kC 1--=),将初始条件v |t =0=0代入通解得kmg C -=, 于是降落伞下落速度与时间的函数关系为)1(t m k e km gv --=. 例4 求微分方程221xy y x dxdy+++=的通解. 解 方程可化为)1)(1(2y x dxdy++=, 分离变量得dx x dy y )1(112+=+, 两边积分得⎰⎰+=+dx x dy y )1(112, 即C x x y ++=221arctan .于是原方程的通解为)21tan(2C x x y ++=.例5 有高为1m 的半球形容器, 水从它的底部小孔流出, 小孔横截面面积为1cm 2. 开始时容器内盛满了水, 求水从小孔流出过程中容器里水面高度h 随时间t 变化的规律. 解 由水力学知道, 水从孔口流出的流量Q 可用下列公式计算:gh S dtdV Q 262.0==, 其中0. 62为流量系数, S 为孔口横截面面积, g 为重力加速度. 现在孔口横截面面积S =1cm 2, 故gh dtdV 262.0=, 或dt gh dV 262.0=. 另一方面, 设在微小时间间隔[t , t +d t ]内, 水面高度由h 降至h +dh (dh <0), 则又可得到dV =-πr 2dh ,其中r 是时刻t 的水面半径, 右端置负号是由于dh <0而dV >0的缘故. 又因222200)100(100h h h r -=--=,所以 dV =-π(200h -h 2)dh . 通过比较得到dh h h dt gh )200(262.02--=π,这就是未知函数h =h (t )应满足的微分方程.此外, 开始时容器内的水是满的, 所以未知函数h =h (t )还应满足下列初始条件:h |t =0=100.将方程dh h h dt gh )200(262.02--=π分离变量后得dh h h gdt )200(262.02321--=π.两端积分, 得⎰--=dh h h g t )200(262.02321π,即 C h h g t +--=)523400(262.02523π,其中C 是任意常数. 由初始条件得C g t +⨯-⨯-=)100521003400(262.02523π,5101514262.0)52000003400000(262.0⨯⨯=-=g g C ππ.因此)310107(262.0252335h h gt +-⨯=π.上式表达了水从小孔流出的过程中容器内水面高度h 与时间t 之间的函数关系.二、一阶线性微分方程方程)()(x Q y x P dxdy=+叫做一阶线性微分方程. 如果Q (x )≡0 , 则方程称为齐次线性方程, 否则方程称为非齐次线性方程. 方程0)(=+y x P dx dy 叫做对应于非齐次线性方程)()(x Q y x P dxdy=+的齐次线性方程. 提问：下列方程各是什么类型方程？ (1)y dxdy x =-)2(⇒021=--y x dx dy是齐次线性方程.(2) 3x 2+5x -5y '=0⇒y '=3x 2+5x , 是非齐次线性方程. (3) y '+y cos x =e -sin x , 是非齐次线性方程. (4)y x dxdy+=10, 不是线性方程.(5)0)1(32=++x dxdy y ⇒0)1(23=+-y x dx dy 或32)1(x y dy dx +-, 不是线性方程. 1、齐次线性方程的解法: 齐次线性方程0)(=+y x P dxdy是变量可分离方程. 分离变量后得dx x P ydy)(-=, 两边积分, 得1)(||ln C dx x P y +-=⎰,或 )( 1)(C dxx P e C Ce y ±=⎰=-, 这就是齐次线性方程的通解（积分中不再加任意常数）. 例6 求方程y dxdyx =-)2(的通解. 解 这是齐次线性方程, 分离变量得2-=x dx y dy , 两边积分得ln|y |=ln|x -2|+lnC ,方程的通解为y =C (x -2).非齐次线性方程的解法:将齐次线性方程通解中的常数换成x 的未知函数u (x ), 把⎰=-dxx P e x u y )()(设想成非齐次线性方程的通解. 代入非齐次线性方程求得)()()()()()()()()(x Q e x u x P x P e x u e x u dxx P dx x P dx x P =⎰+⎰-⎰'---, 化简得⎰='dxx P e x Q x u )()()(,C dx e x Q x u dxx P +⎰=⎰)()()(,于是非齐次线性方程的通解为])([)()(C dx e x Q e y dx x P dx x P +⎰⎰=⎰-,或 dx e x Q e Ce y dxx P dx x P dx x P ⎰⎰⎰+⎰=--)()()()(.非齐次线性方程的通解等于对应的齐次线性方程通解与非齐次线性方程的一个特解之和.例7 求方程25)1(12+=+-x x y dx dy 的通解. 解 这是一个非齐次线性方程. 先求对应的齐次线性方程012=+-x y dx dy 的通解. 分离变量得12+=x dx y dy , 两边积分得ln y =2ln (x +1)+ln C ,齐次线性方程的通解为y =C (x +1)2.用常数变易法. 把C 换成u , 即令y =u ⋅(x +1)2, 代入所给非齐次线性方程, 得2522)1()1(12)1(2)1(+=+⋅+-+⋅++⋅'x x u x x u x u21)1(+='x u ,两边积分, 得C x u ++=23)1(32. 再把上式代入y =u (x +1)2中, 即得所求方程的通解为])1(32[)1(232C x x y +++=. 例8 有一个电路如图所示, 其中电源电动势为E =E m sin ωt (E m 、ω都是常数), 电阻R 和电感L 都是常量. 求电流i (t ).解 由电学知道, 当电流变化时, L 上有感应电动势dtdi L-. 由回路电压定律得出 0=--iR dtdi LE , 即LE i L R dt di =+. 把E =E m sin ω t 代入上式, 得t LE i L R dt di m sin ω=+. 初始条件为i |t =0=0.方程t LE i L R dt di m sin ω=+为非齐次线性方程, 其中 L R t P =)(, t LE t Q m s i n )(ω=.由通解公式, 得 ])([)()()(C dt e t Q et i dtt P dtt P +⎰⎰=⎰-) sin (C dt e t LE e dt L Rm dt L R+⎰⎰=⎰-ω)sin (C dt te e LE t L R t L Rm +=⎰-ω t L R mCe t L t R LR E -+-+=) cos sin (222ωωωω. 其中C 为任意常数.将初始条件i |t =0=0代入通解, 得222 L R LE C mωω+=,因此, 所求函数i (t )为) cos sin ( )(222222t L t R L R E e L R LE t i m t L R m ωωωωωω-+++=-. 总结：1、微分方程的相关概念a 、微分方程的阶b 、微分方程的通解与特解 2、可分离变量的微分方程a 、可分离变量的微分方程b 、可转化为可分离变量的微分方程 3、一阶线性微分方程a 、一阶线性齐次微分方程b 、一阶线性非齐次微分方程c 、常数变易法 教学后记：作业：。
同济大学微积分第三版课件第四章第三节
再由初始条件 y 1,得 C 1 , 故所求的函数为
x0
2
f (x) 1 (e2x 1). 2
由公式⑹得方程的通解
x
e
1 y ln
y
d
y
1 y
e
1 y ln
y
d
y
d
y
C
eln ln
y
1 y
eln ln
y
d
y
C
1 ln y
1 ln y
(1 2
ln2
y
C).
xy 2y sin x ,
将此式代入⑷，即得方程⑴的通解为：
y e P(x)d x ( Q(x) e P(x)d x d x C).
⑹
例1
求解方程
y
1
x x
2
y
1 2 x(1
x2
)
.
解 方程为一阶线性微分方程．由公式⑹，方程的通解
为
y
e
x 1 x2
dx
2
1 x(1
x2
x
y
1 x2
x cos
x
sin
x.
例4 设 f (x) 连续，且满足方程
x
0 [2 f (t) 1]d t f (x) 1,
求 f (x).
解 原式变形，得
x
f (x) 0 [2 f (t) 1]d t 1,
由条件，等式右边为可微函数，故方程两边求导，得
高等数学_同济大学教案
课程名称：高等数学授课对象：同济大学本科生授课时间：2课时教学目标：1. 理解高等数学的基本概念和原理，掌握微积分、微分方程、向量代数与空间解析几何、无穷级数等内容。
2. 能够运用所学知识解决实际问题，提高数学思维能力。
3. 培养学生的自学能力和团队协作精神。
教学内容：一、微积分1. 导数的概念和计算方法2. 偏导数和全微分3. 高阶导数和隐函数求导4. 微分方程及其解法二、向量代数与空间解析几何1. 向量的概念和运算2. 空间直角坐标系3. 向量积和混合积4. 平面和直线的方程5. 曲面和曲线的方程教学过程：第一课时一、导入1. 复习初等数学知识，如函数、极限等。
2. 介绍高等数学的基本概念和原理。
二、微积分1. 导数的概念和计算方法2. 举例讲解导数的几何意义和物理意义。
3. 讲解导数的计算方法，如求导法则、复合函数求导等。
三、课堂练习1. 学生独立完成例题，巩固所学知识。
2. 教师讲解学生作业中的问题。
第二课时一、复习1. 复习上节课所学内容，检查学生对导数的理解和掌握程度。
2. 解答学生提出的问题。
二、偏导数和全微分1. 介绍偏导数的概念和计算方法。
2. 讲解全微分的概念和计算方法。
3. 举例讲解偏导数和全微分在实际问题中的应用。
三、向量代数与空间解析几何1. 介绍向量的概念和运算。
2. 讲解空间直角坐标系和向量的表示方法。
3. 讲解向量积和混合积的计算方法。
4. 介绍平面和直线的方程。
四、课堂练习1. 学生独立完成例题，巩固所学知识。
2. 教师讲解学生作业中的问题。
教学评价：1. 课堂表现：观察学生的课堂参与度、回答问题的情况。
2. 作业完成情况：检查学生的作业质量，了解学生对知识的掌握程度。
3. 期末考试：评估学生对本课程知识的综合运用能力。
教学反思：1. 根据学生的学习情况，调整教学内容和教学方法。
2. 注重培养学生的自学能力和团队协作精神。
3. 提高教学效果，提高学生的学习兴趣。
同济大学高数课件ch4_4
arctan y ln(x2 y2) π ln 2 ．
x
4
例4 探照灯反射镜的设计 在 xOy 平面上有一曲线 L ，曲线 L 绕 x 轴旋转一周，形成一旋转曲面．假设由 O 点出发的光线经此旋转曲面形状的凹镜反射后与 x 轴平行，求曲线的方程．
y
O
x
解 如图所示，设 O 出发的的某条光线经 L 上一点
M (x, y) 反射后是一条与 x 轴平行的直线 MS ，又设
过点 M 的切线 AT 与 x 轴的夹角为 ， 则 SMT ．
另一方面，OMA 是入射角的余角. 由反射定律有
OMA SMT ，
由此得到 | AO || OM | x2 y2 ．
T
yM
S
注意到
| AO || AP | | OP |
原微分方程的隐式通解．
例1 求解微分方程 y y (1 ln y ln x) ． x
解 此方程为齐次型方程，令 u y ，则 x
u x d u u(1 ln u) ， dx
即
du dx ， u ln u x
两端积分后得
ln lnu ln x ln | C | ，
从而有
ln y ln x Cx ．
即得原微分方程的通解．
例5 求解微分方程 (2x y 4)d x (x y 1)d y 0 ．
解 作换元 x X h ，y Y k ，代入方程得 2h k 4 0 ， h k 1 0 ，
解得 h 3 ，k 2 ，即作换元 x X 3，y Y 2 ，则
原方程变形为
分离变量为 两端积分，得
du 1 d y， 1 u2 y
即 由上式得
ln(u 1 u2 ) ln y lnC ， u 1 u2 y ， C
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这个方程称为二阶齐次线性微分方程.相应地，方程(1)称为二阶非齐次线性微分方程.
二、定理与性质：
定理1如果函数 与 是方程(2)的两个解,则
(3)
例3设一物体的温度为100℃，将其放置在空气温度为20℃的环境中冷却.根据冷却定律：物体温度的变化率与物体和当时空气温度之差成正比，设物体的温度 与时间 的函数关系为 ，则可建立起函数 满足的微分方程
(1)
其中 为比例常数.这就是物体冷却的数学模型.
例4设一质量为 的物体只受重力的作用由静止开始自由垂直降落.根据牛顿第二定律：物体所受的力 等于物体的质量 与物体运动的加速度 成正比，即 ，若取物体降落的铅垂线为 轴，其正向朝下，物体下落的起点为原点，并设开始下落的时间是 ，物体下落的距离 与时间 的函数关系为 ，则可建立起函数 满足的微分方程
2、微分方程的阶：
微分方程中出现的未知函数的导数的最高阶数称为微分方程的阶.
一阶微分方程的一般形式为
.
二阶微分方程的一般形式为
.
阶微分方程的一般形式是:
其中 为自变量， 是未知函数.在方程中 必须出现，而其他变量可以不出现.
3、微分方程的解：
把函数代入微分方程能使方程称为恒等式，我们称这个函数为该微分方程的解.更确切地说，设函数 在区间 上有 阶连续导数，如果在区间 上，有
教学方法
讲授、课堂提问、讨论、启发、自学
教学手段
黑板多媒体结合
教学重点
可分离方程，一阶线性方程
教学难点
方程类型判别
参考教材
同济版、人大版《高等数学》；同济版《微积分》武汉大学同济大学 《微积分学习指导》
安玉伟等《高等数学定理 方法 问题》
作业布置
课后习题微积分标准化作业
大纲要求
掌握变量可分离的方程及一阶线性方程的解法。
其中 为重力加速度常数.这就是自由落体运动的数学模型.
例5试指出下列方程是什么方程，并指出微分方程的阶数.
例6求曲线族 满足的微分方程，其中 为任意常数.
例7验证函数 (C为任意常数)是方程
的通解,并求满足初始条件 的特解.
授课序号02
教 学 基 本 指 标
教学课题
第四章第二节一阶微分方程
课的类型
新知识课
高等数学教学教案
第四章微分方程
授课序号01
教 学 基 本 指 标
教学课题
第四章第一节微分方程的概念
课的类型
新知识课
教学方法
讲授、课堂提问、讨论、启发、自学
教学手段
黑板多媒体结合
教学重点
微分方程的基本概念
教学难点
特解，通解
参考教材
同济版、人大版《高等数学》；同济版《微积分》武汉大学同济大学 《微积分学习指导》
二、定理与性质：
三、主要例题：
例1一曲线通过点 ，且在该曲线上任一点 处的切线的斜率为 ，求这曲线的方程
例2列车在平直线路上以 (相当于 )的速度行驶，当制动时列车获得加速度 .开始制动后多少时间列车才能停住?列车在这段时间里行驶了多少路程?
例3已知放射性物质镭的裂变规律是：裂变速度与余存量成比例.记在某一时刻 镭的余存量为 克，试确定镭在任意时刻 的余存量 .
安玉伟等《高等数学定理 方法 问题》
作布置
课后习题微积分标准化作业
大纲要求
理解二阶线性微分方程解的结构。
掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并了解高阶常系数齐次线性微分方程的解法。
会求自由项形如 、 的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解。
教 学 基 本 内 容
一、基本概念：
型
型
型
2、函数组的线性相关与线性无关
三、主要例题：
例1求微分方程 的通解.
例2求微分方程 的通解.
例3求 满足 的特解.
例4已知 当 时，求
例5求微分方程 的通解.
例6求解微分方程 满足初始条件 的特解.
例7求解微分方程
例8利用变量代换法求方程 的通解.
例9求方程 的通解.
例10求下列微分方程满足所给初始条件的特解.
， .
例11求方程 的通解.
安玉伟等《高等数学定理 方法 问题》
作业布置
课后习题微积分标准化作业
大纲要求
了解微分方程、解、阶、通解、初始条件和特解等概念。
教 学 基 本 内 容
一、基本概念：
1、微分方程：
含有未知函数及其它的导数与自变量之间的关系式称为微分方程（其中自变量、未知函数可以在方程中不出现，但未知函数的导数必须出现）.
设 为定义在区间 上的 个函数，如果存在 个不全为零的常数 ，使得
在区间 上恒成立，则称 个函数 在 上线性相关，否则称线性无关，或者说要使 在区间 上恒成立，则必有
.
4、二阶线性方程
二阶线性常系数微分方程的一般形式是
，(1)
其中 、 是常数， 是自变量 的函数，函数 称为方程(1)的自由项.当 时,方程(1)成为
则称函数 为微分方程(10)在区间 上的解.
微分方程的解可能含有也可能不含有任意常数.一般地，微分方程的不含有任意常数的解称为微分方程的特解. 含有相互独立的任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相等的解称为微分方程的通解（一般解）.
4、微分方程的初值问题：
许多实际问题都要求寻找满足某些附加条件的解，此时，这类附加条件就可以用来确定通解中的任意常数，这类附加条件称为初始条件，也称为定解条件.带有初始条件的微分方程称为微分方程的初值问题.
授课序号03
教 学 基 本 指 标
教学课题
第四章第三节二阶微分方程
课的类型
新知识课
教学方法
讲授、课堂提问、讨论、启发、自学
教学手段
黑板多媒体结合
教学重点
可降阶微分方程，二阶线性齐次，简单非齐次
教学难点
二阶线性非齐次
参考教材
同济版、人大版《高等数学》；同济版《微积分》武汉大学同济大学 《微积分学习指导》
会解齐次方程方程，了解用变量代换求方程的思想。
教 学 基 本 内 容
一、基本概念：
1、设有一阶微分方程 ,如果其右端函数能分解成 ,即有 ,从而能够写成
（1）
的微分方程称为可分离的微分方程.
2、如果一阶微分方程 中的函数 可化为 ，则称此方程为齐次方程.齐次方程通过变量替换 转化为可分离变量方程求解.
3、形如
(2)
的方程称为一阶线性微分方程.其中函数 ， 是某一区间 上的连续函数.一阶线性方程的当 方程(2)成为
(3)
这个方程称为一阶齐次线性方程. 相应地，方程(2)称为一阶非齐次线性方程.
二、定理与性质：
定理1（一阶非齐次线性方程的解的结构）一阶非齐次线性方程的通解等于对应的齐次线性方程的通解与一阶非齐次线性方程的一个特解之和.