高斯投影坐标正反算公式

高斯投影坐标正反算公式

未知2010-04-03 10:47:15 本站

§高斯投影坐标正反算公式

任何一种投影①坐标对应关系是最主要的；②如果是正形投影，除了满足正形投影的条件外（ C-R 偏微分方程），还有它本身的特殊条件。

1.1 高斯投影坐标正算公式： B, x,y

高斯投影必须满足以下三个条件：

①中央子午线投影后为直线；②中央子午线投影后长度不变；③投影具有正形性质，即正形投影条件。

由第一条件知中央子午线东西两侧的投影必然对称于中央子午线，即 (8-10) 式中， x 为

的偶函数， y 为的奇函数；，即，如展开为的级数，收敛。

（ 8-33 ）

式中是待定系数，它们都是纬度 B 的函数。

由第三个条件知：

(8-33) 式分别对和 q 求偏导数并代入上式

(8-34) 上两式两边相等，其必要充分条件是同次幂前的系数应相等，即

(8-35)

(8-35) 是一种递推公式，只要确定了就可依次确定其余各系数。

由第二条件知 : 位于中央子午线上的点，投影后的纵坐标 x 应等于投影前从赤道量至该点的子午线弧长 X ，即 (8-33) 式第一式中，当时有：

(8-36)

顾及 ( 对于中央子午线 )

得：

(8-37,38)

(8-39)

依次求得并代入 (8-33) 式，得到高斯投影正算公式

(8-42)

1.2 高斯投影坐标反算公式

x,y B,

投影方程：

(8-43)

满足以下三个条件：

①x 坐标轴投影后为中央子午线是投影的对称轴；② x 坐标轴投影后长度不变；③投影具有正形性质，即正形投影条件。

高斯投影坐标反算公式推导要复杂些。

①由 x 求底点纬度 ( 垂足纬度 ), 对应的有底点处的等量纬度，求 x,y 与

的关系式，仿照 (8-10) 式有，

由于 y 和椭球半径相比较小 (1/16.37) ，可将展开为 y 的幂级数；又由于是对称投影， q 必是 y 的偶函数，必是 y 的奇函数。

(8-45)

是待定系数，它们都是 x 的函数 .

由第三条件知：

，

， (8-21)

(8-45) 式分别对 x 和 y 求偏导数并代入上式

上式相等必要充分条件，是同次幂 y 前的系数相等，

第二条件，当 y=0 时，点在中央子午线上，即 x=X ，对应的点称为底点，其纬度为底点纬度，

也就是 x=X 时的子午线弧长所对应的纬度，设所对应的等量纬度为。也就是在底点展开为 y 的幂级数。

由 (8-45)1 式

依次求得其它各系数

(8-51)

(8-51)1 …………

将代入 (8-45)1 式得

(8-55)1

(8-55)

将代入 (8-45)2 式得 (8-56)2 式。 ( 最后表达式 )

②求与的关系。

由 (8-7) 式知：

(8-47)

(8-48)

按台劳级数在展开

(8-49)

(8-50) 由 (8-7) 式可求出各阶导数：

(8-53)

(8-54)1

(8-54)2 …………………

将式 (8-55)1,(8-55),(8-53),(8-54) 代入 (8-50) 式并按 y 幂集合得高斯投影坐标反算公式

(8-56)1,

(8-56) 归纳由求的基本思想：由点得到底点，将底点 f 作为过渡，也就是说将坐标原点 o 移到 f 点，先求关系式，再将

关系式代入关系式得

关系式，最后将坐标原点移回到 o 点 , 从而求得点。

1.3 高斯投影坐标正反算公式的几何解释

①当 B=0 时 x=X=0 ， y 则随 l 的变化而变化，这就是说，赤道投影为一直线且为 y 轴。当 l=0 时 , 则 y=0,x=X, 这就是说，中央子午线投影亦为直线，且为 x 轴，其长度与中央子午线长度相等。两轴的交点为坐标原点。②当 l= 常数时 ( 经线 ), 随着 B 值增加， x 值增大， y 值减小，这就告诉我们，经线是凹向中央子午线的曲线，且收敛于两极。又因，即当用 -B 代替 B 时， y 值不变，而 x 值数值相等符号相反，这就说明赤道是投影的对称轴。③当 B= 常数时 ( 纬线 ) ，随着的 l 增加， x 值和 y 值都增大，这就是说，纬线是凸向赤道的曲线。又当用 -l 代替 l 时， x 值不变，而 y 值数值相等符号相反，这就说明，中央子午线是投影对称轴。由于满足正形投影条件，所以经线和纬线的投影是互相垂直的。④距中央子午线愈远的子午线，投影后弯曲愈厉害，表明长度变形愈大。

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