高斯投影坐标正反算公式
高斯投影正反算
高斯投影正反算学院：资源与环境工程工程学院专业：测绘工程 学号：X51414012：超一、高斯投影概述想象有一个椭圆柱面横套在地球椭球体外面，并与某一条子午线相切，椭圆柱的中心轴通过椭球体的中心，然后用一定投影方法，将中央子午线两侧各一定经差围的地区投影到椭圆柱面上，再将此柱面展开即成为投影面。
高斯投影由于是正形投影，故保证了投影的角度不变性，图形的相似性以及在某点各方向上长度比的同一性。
由于采用了同样法则的分带投影，这即限制了长度变形，又保证了在不同投影带中采用相同的简便公式和数表进行变形引起的各项改正的计算，并且带与带间的互相换算也能用相同的公式和方法进行。
高斯投影的这些优点必将使它得到广泛的推广和具有国际意义。
二、高斯投影坐标正算公式1.高斯投影必须满足以下三个条件 1）中央子午线投影后为直线 2）中央子午线投影后长度不变 3）投影具有正形性质，即正形投影条件2.高斯正算公式推导1）由第一个条件可知，由于地球椭球体是一个旋转椭球体，所以高斯投影必然有这样一个性质，即中央子午线东西两侧的投影必然对称于中央子午线。
2）由于高斯投影是换带投影，在每带经差ｌ是不大的，ｌρ是一个微小量，所以可以将X=X （ｌ，q ），Y=Y （l ，q ）展开为经差为l 的幂级数，它可写成如下的形式X=m 0+m 2l 2+m 4l 4+…Y=m 1l+m 3l 2+m 5l 5+…式中m 0,m1,m2,…是待定系数，他们都是纬度B 的函数。
3）由第三个条件：∂y ∂l =∂x ∂q 和∂x ∂l =-∂y∂q ，将上式分别对l 和q 求偏导2340123423401234...........x m m l m l m l m l y n n l n l n l n l =+++++=+++++可得到下式0312123403121234111,,,, 234111,,,,234dm dm dm dm n n n n dq dq dq dq dn dn dn dn m m m m dq dq dq dq ⎧====⎪⎪⎨⎪=-=-=-=-⎪⎩经过计算可以得出232244524632235242225sin cos sin cos (594)224 sin cos (6158)720cos cos (1)6cos (5181458)120N N x X B B l B B t l NB B t t l Ny N B l B t l NB t t t l ηηηηη=+⋅+-+++-+=⋅+-++-++-三、高斯投影坐标反算公式推导1.思路：级数展开，应用高斯投影三个条件，待定系数法求解。
高斯坐标正反算
正形投影的一般条件基本出发点：在正形投影中，长度比与方向无关。
1、长度比的通用公式如图4-42，在微分直角三角形P1P2P3及P1′P2′P3′中有：其中l=L-L0，L0通常是中央子午线的经度，L是P点的经度令：()()222222d=d cos dd=d dS M B N B ls x y++(1)m平方可为：()()()22222222222d d d d dd d cos d dcos dcoss x y x ymS M B N B l M BN B lN B++⎛⎫===⎪⎡⎤⎝⎭+⎛⎫+⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦(2)为简化公式，令：ddcosM BqN B=dc o sB M BqN B=⎰(3) q称为等量纬度，因为它只与纬度B有关。
这样，式(2)可表示为：()()222222d dd dx ymr q l+=⎡⎤+⎣⎦(4)我们投影的目的是：建立平面坐标xy和大地坐标BL之间的函数关系，由式(3)可知，即建立xy和bl的函数关系。
令()(),,x x l q y y l q==(5) 对上式进行全微分可得：d d dd d dx xx q lq ly yy q lq l∂∂⎧=+⎪∂∂⎪⎨∂∂⎪=+⎪∂∂⎩(6)将上式代入式(1)中第二项，并令：2222x yEq qx x y yFq l q lx yGl l⎧⎛⎫⎛⎫∂∂=+⎪ ⎪ ⎪∂∂⎪⎝⎭⎝⎭⎪∂∂∂∂⎪=+⎨∂∂∂∂⎪⎪∂∂⎛⎫⎛⎫⎪=+⎪ ⎪∂∂⎪⎝⎭⎝⎭⎩(7)可得： ()()()()222d d 2d d d s E q F q l G l =++ (8) 则式(4)可写为： ()()()()()()222222d 2d d d d d E q F q l G l m r q l ++=⎡⎤+⎣⎦ (9)2 柯西-黎曼条件在上式引入方向，如图4-42所示：2313d d cot d d P P M B q A PP r l l === (10) 即： d tan d l A q = (11)将式(11)代入式(9)可得：注意sec 1cos A A =()()()()()222222222222222d 2tan d tan d d tan d 2tan tan sec cos 2sin cos sin E q F A q G A q m r q A q E F A G A r AE AF A AG A r ++=⎡⎤+⎣⎦++=++=(12)要想让m 和A 无关，必须使F=0，E=G ，即22220x x y y q l q l x y x y q q l l ∂∂∂∂⎧+=⎪∂∂∂∂⎪⎨⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫⎪+=+⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩ (13) 由上式第一式可得：y y x q l x lq∂∂∂∂∂=-∂∂∂(14)代入第二式可得： 222222y x y y x lq q q q x q ∂⎛⎫⎪⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂⎝⎭+=+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫∂⎣⎦⎪∂⎝⎭(15) 消去公共项可得： 22x y q l ⎛⎫∂∂⎛⎫= ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ (16)开方并代入式(13)的第一项：x y q l x y lq ∂∂⎧=⎪∂∂⎪⎨∂∂⎪=-⎪∂∂⎩ (17)高斯投影坐标正算高斯投影三条件：L0为直线；L0长度不变；正形投影 1、幂级数展开公式（x 偶y 奇）l /ρ微小量(ρ''=206265)，可进行级数展开，可得：2402435135x m m l m l y m l m l m l ⎧=+++⎪⎨=+++⎪⎩(18) 式中mi 为待定系数，是q 、B 的函数。
python高斯投影公式
python高斯投影公式
高斯投影是一种将地球椭球面上的经纬度线投影到平面上的方法，常用于地图制作和地理信息系统等领域。
在Python中，可以使用以下公式进行高斯投影：
1. 投影正反解公式：
正解公式：X=F(L)= L (1+sin(L))
反解公式：L=F^{-1}(X)
其中，L为经度，X为投影坐标。
2. 投影变换公式：
纬度变换公式：B=B0-g(L)
经度变换公式：L=L0-e(X)
其中，B为投影坐标，B0为地球椭球面上的纬度，L为投影坐标对应的经度，L0为地球椭球面上的经度，g(L)和e(X)分别为纬度和经度的变换函数。
需要注意的是，高斯投影公式是一种近似解法，其精度受到地球椭球模型、投影范围和投影方式等因素的影响。
在实际应用中，需要根据具体情况选择合适的投影公式和参数。
高斯平面直角坐标与大地坐标的相互转换——高斯投影的正算与反算.
昆明冶金高等专科学校测绘学院 （4）计算公式
3 2 2 2 4 ( 5 3 t 9 t ) y f f f f 2M f N f 2 4M f N 3 f tf 2 4 6 (6 1 9 0t f 4 5t f ) y 7 2 0M f N 5 f 1 1 2 2 3 l y (1 2t f f ) y 3 N f co s B f 6 N f co s B f 1 2 5 (5 2 8t 2 t4 2 2 f 24 f 6 f 8 f t f )y 5 1 2 0N f co s B f B Bf tf y2 tf
式中：
2 e 2 cos2 B
t 2 tan2 B l （L L0） X为B对应子午线弧长 N为卯酉圈曲率半径 20626 5
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2
高斯投影坐标反算公式
（1）高斯投影反算：
已知某点 x, y ，求该点 L, B ，即 x, y ( L, B) 的坐标变换。 （2）投影变换必须满足的条件
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二、高斯投影坐标正反算得实用公式及算例
1 高斯投影坐标正算公式 （1）高斯投影正算： 已知某点的 L, B ，求该点的 x, y ，即 （2）投影变换必须满足的条件： 中央子午线投影后为直线； 中央子午线投影后长度不变； 投影具有正形性质，即正形投影条件。 （3）投影过程 在椭球面上有对称于中央子午线的两点 P1 和 P2 ,它们的大地坐标 分别为 ( L1 , B1 )或（l1 , B1）及 （L2 , B2）或(l2 , B2 ) 式中 l 为椭球面上点的经 度与中央子午线 ( L0 ) 的经度差：l L L0 ,点在中央子午线之东, l 为正，在西则为负，则投影后的平面坐标一定为P1 ( x1 , y1 ) 和 P2 ( x 2 , y 2 ) 。
高斯投影坐标正反算公式
§8.3高斯投影坐标正反算公式任何一种投影①坐标对应关系是最主要的；②假设是正形投影，除了满足正形投影的条件外〔C-R 偏微分方程〕，还有它本身的特殊条件。
高斯投影坐标正算公式： B,l ⇒ x,y高斯投影必须满足以下三个条件：①中央子午线投影后为直线；②中央子午线投影后长度不变；③投影具有正形性质，即正形投影条件。
由第一条件知中央子午线东西两侧的投影必然对称于中央子午线，即(8-10)式中，x 为l 的偶函数，y 为l 的奇函数；0330'≤l ，即20/1/≈''''ρl ，如展开为l 的级数，收敛。
+++=++++=553316644220l m l m l m y l m l m l m m x 〔8-33〕式中 ,,10m m 是待定系数，它们都是纬度B 的函数。
由第三个条件知：qyl x l y q x ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂, (8-33)式分别对l 和q 求偏导数并代入上式----=++++++=+++5533156342442204523164253l dqdm l dq dm l dq dm l m l m l m l dqdm l dq dm dq dm l m l m m (8-34) 上两式两边相等，其必要充分条件是同次幂l 前的系数应相等，即dq dm m dqdm m dqdm m 2312013121⋅=⋅-==(8-35)(8-35)是一种递推公式，只要确定了0m 就可依次确定其余各系数。
由第二条件知:位于中央子午线上的点，投影后的纵坐标x 应等于投影前从赤道量至该点的子午线弧长X ，即(8-33)式第一式中，当0=l时有：0m X x == (8-36) 顾及(对于中央子午线)B V Mr M B N dq dB M dBdXcos cos 2==== 得：B V cB N r dq dB dB dX dq dX dq dm m cos cos 01===⋅===(8-37,38)B B Ndq dB dB dm dq dm m cos sin 22121112=⋅-=⋅-= (8-39)依次求得6543,,,m m m m 并代入(8-33)式，得到高斯投影正算公式6425644223422)5861(cos sin 720)495(cos 24cos sin 2lt t B B N lt B simB N l B B N X x ''+-''+''++-''+''⋅''+=ρηηρρ5222425532233)5814185(cos 120)1(cos 6cos l t t t B N lt B N l B N y ''-++-''+''+-''+''⋅''=ηηρηρρ (8-42) 高斯投影坐标反算公式x,y ⇒B,l投影方程：),(),(21y x l y x B ϕϕ== (8-43)满足以下三个条件：①x 坐标轴投影后为中央子午线是投影的对称轴；② x 坐标轴投影后长度不变；③投影具有正形性质，即正形投影条件。
高斯投影坐标计算
B
d B dq
2
dX dq dq
c
(
cos B dV V dB
2
dB dq
sin B dB V dq
2
)
2
d B dq
2
cos B c ( tan B V
2 2
3
V
sin B cos B
)
N sin B cos B
同理得
d X dq
3
N cos B ( 1
3
3
2
0
l
L
L
0
高斯投影坐标正算的函数式：
x y
l 是以弧度为单位的经度差。
F B , l F B , l
1 2
一 高斯投影坐标正算公式计算
如图，椭球面上一点投影 到平面后为d点，椭球面上 该点的平行圈（B或q为一 常数）与中央子午线的交 点为e点，若将上式中的展 开点z0设为e处，则很据高 斯投影条件，中央子午线 的长度比m=1，且纵坐标x 等于从赤道起到该平行圈 间的子午线弧长X。此时 可以写出下列方程：
4 2
二、高斯投影坐标反算公式
最后得到坐标反算的公式为：
B B
f
2M
f
t
f
y N
f
2
t 24 M
2 f
f
f
f
N
4 f
3 f
5 3 t
6
2 f
2 f
9 f t
2
2 f
y
4
t
高斯平面直角坐标系
大地测量学基础
4.9 高斯平面直角坐标系 三、高斯投影坐标正反算公式
（4）反算公式
当l＜3.5°时，上式换算精度达0.0001″。 欲使换算精确至0.01″，可对上式简化成：
大测量学基础
4.9 高斯平面直角坐标系 三、高斯投影坐标正反算公式
平 时 作 业 用编程进行高斯投影正反算。 已知
B 51 3843.9023 L 111 0213.1360
大地测量学基础
4.9 高斯平面直角坐标系 三、高斯投影坐标正反算公式
即有：
在数学上，F1为 l 的偶函数，F2为 l 的奇函数。 因为在每带中，l/ρ˝不大，是一个微小量，可展成幂级 数。
m０，ｍ１，ｍ２，…，是待定系数，它们都是纬度B的函 数。
大地测量学基础
4.9 高斯平面直角坐标系 三、高斯投影坐标正反算公式
大地测量学基础
4.9 高斯平面 直角坐标系
大地测量学基础
4.9 高斯平面直角坐标系 三、高斯投影坐标正反算公式
三、高斯投影坐标正反算公式 1、高斯投影坐标正反算的定义 （1）高斯投影正算： 已知椭球面上某点的大地坐标B、L，求其 该点在高斯平面直角坐标系中的坐标x、y的工作 叫高斯投影正算。 （2）高斯投影反算： 已知椭球面上某点在高斯平面直角坐标系中 的坐标x、y，求其该点的大地坐标B、L的工作 叫高斯投影反算。
大地测量学基础
4.9 高斯平面直角坐标系 三、高斯投影坐标正反算公式
（3）反算公式推导思路： 和正算公式基本一样，也是根据高斯投影的3个条件来 推导的。 ①由对称条件，同样可得： 把B、l 展成y的幂级数，而φ1为y的偶函数， φ2为y的奇 函数。
式中 n ０ ，ｎ １ ，ｎ ２ … 是待定系数，它们都是纵坐标 x 的函数 ,与y无关。
高斯投影正反算编程
高斯投影正反算编程一．高斯投影正反算基本公式（1）高斯正算基本公式（2）高斯反算基本公式以上主要通过大地测量学基础课程得到.这不进行详细的推导.只是列出基本公式指导编程的进行。
二．编程的基本方法和流程图（1）编程的基本方法高斯投影正反算基本上运用了所有的编程基本语句.本文中是利用C++语言进行基本的设计。
高斯正算中对椭球参数和带宽的选择主要运用了选择语句。
而高斯反算中除了选择语句的应用.在利用迭代算法求底点纬度还应用了循环语句。
编程中还应特别注意相关的度分秒和弧度之间的相互转换.这是极其重要的。
（2）相关流程图1）正算2）反算三．编程的相关代码（1）正算# include "stdio.h"# include "stdlib.h"# include "math.h"# include "assert.h"#define pi (4*atan(1.0))int i;struct jin{double B;double L;double L0;};struct jin g[100];main(int argc, double *argv[]) {FILE *r=fopen("a.txt","r"); assert(r!=NULL);FILE *w=fopen("b.txt","w"); assert(r!=NULL);int i=0;while(fscanf(r,"%lf %lf %lf",&g[i].B,&g[i].L,&g[i].L 0)!=EOF){double a,b;int zuobiao;printf("\n请输入坐标系：北京54=1.西安80=2.WGS84=3：");scanf("%d",&zuobiao);getchar();if(zuobiao==1){a=6378245;b=6356863.0187730473;}if(zuobiao==2){a=6378140;b=6356755.2881575287;}if(zuobiao==3){a=6378137;b=6356752.3142;} //选择坐标系//double f=(a-b)/a;double e,e2;e=sqrt(2*f-f*f);e2=sqrt((a/b)*(a/b)-1);//求椭球的第一.第二曲率//double m0,m2,m4,m6,m8;double a0,a2,a4,a6,a8;m0=a*(1-e*e);m2=3*e*e*m0/2;m4=5*e*e*m2/4;m6=7*e*e*m4/6;m8=9*e*e*m6/8;a0=m0+m2/2+3*m4/8+5*m6/16+35*m8/128;a2=m2/2+m4/2+15*m6/32+7*m8/16;a4=m4/8+3*m6/16+7*m8/32;a6=m6/32+m8/16;a8=m8/128;double Bmiao,Lmiao, L0miao;Bmiao=(int)(g[i].B)*3600.0+(int)((g[i].B-(int)(g[i].B) )*100.0)*60.0+(g[i].B*100-(int)(g[i].B*100))*100.0;Lmiao=(int)(g[i].L)*3600.0+(int)((g[i].L-(int)(g[i].L) )*100.0)*60.0+(g[i].L*100-(int)(g[i].L*100))*100.0;L0miao=(int)(g[i].L0)*3600.0+(int)((g[i].L0-(int)(g[i] .L0))*100.0)*60.0+(g[i].L0*100-(int)(g[i].L0*100))*100 .0;double db;db=pi/180.0/3600.0;double B1,L1,l;B1=Bmiao*db;L1= Lmiao*db;l=L1-L0miao*db;//角度转化为弧度//double T=tan(B1)*tan(B1);double n=e2*e2*cos(B1)*cos(B1);double A=l*cos(B1);double X,x,y;X=a0*(B1)-a2*sin(2*B1)/2+a4*sin(4*B1)/4-a6*sin(6*B1)/6 +a8*sin(8*B1)/8;//求弧长//double N=a/sqrt(1-e*e*sin(B1)*sin(B1));int Zonewide;int Zonenumber;printf("\n请输入带宽：3度带或6度带Zonewide=");scanf("%d",&Zonewide);getchar();if(Zonewide==3){Zonenumber=(int)((g[i].L-Zonewide/2)/Zonewide+1);}else if(Zonewide==6){Zonenumber=(int)g[i].L/Zonewide+1;}else{printf("错误");exit(0);}//选择带宽//doubleFE=Zonenumber*1000000+500000;//改写为国家通用坐标//y=FE+N*A+A*A*A*N*(1-T*T+n*n)/6+A*A*A*A*A*N*(5-18*T*T+T *T*T*T+14*n*n-58*n*n*T*T)/120;x=X+tan(B1)*N*A*A/2+tan(B1)*N*A*A*A*A*(5-T*T+9*n*n+4*n *n*n*n)/24+tan(B1)*N*A*A*A*A*A*A*(61-58*T*T+T*T*T*T)/7 20;printf("\n所选坐标系的转换结果：x=%lf y=%lf\n",x,y);fprintf(w,"%lf %lf\n",x,y);//输出结果到文本文件//}fclose(r);fclose(w);system("pause");return 0;}（2）反算# include "stdio.h"# include "stdlib.h"# include "math.h"# include "assert.h"#define pi (4*atan(1.0))double X,Y,B1,B2,B3,F,t;double m0,m2,m4,m6,m8;double a0,a2,a4,a6,a8,a1,b1;double BB,LL,Bf;double e,e1;int d,m,s,i,zuobiao;double sort(double,double);struct jin{double x;double y;double L0;};struct jin g[100];//x,y,L0为输入量：x,y坐标和中央子午线经度//main(int argc, double *argv[]){FILE *r=fopen("c.txt","r");assert(r!=NULL);FILE *w=fopen("d.txt","w");assert(r!=NULL);int i=0;while(fscanf(r,"%lf %lf %lf",&g[i].x,&g[i].y,&g[i].L 0)!=EOF)//文件为空.无法打开//{double a1=6378245.0000000000;//克拉索夫斯基椭球参数//double b1=6356863.0187730473;double a75=6378140.0000000000;//1975国际椭球参数//double b75=6356755.2881575287;double a84=6378137.0000000000;//WGS-84系椭球参数//double b84=6356752.3142000000;double M,N;//mouyou圈曲率半径.子午圈曲率半径// double t,n;double A,B,C;double BB,LL,Bf,LL0,BB0;double a,b;printf("\n选择参考椭球：1=克拉索夫斯基椭球.2=1975国际椭球.3=WGS-84系椭球:");scanf("%d",&zuobiao);getchar();if(zuobiao==1){a=a1;b=b1;}if(zuobiao==2){a=a75;b=b75;}if(zuobiao==3){a=a84;b=b84;}//选择参考椭球.求解第一偏心率e,第二偏心率e1// Bf=sort(a,b);//调用求解底点纬度的函数//double q=sqrt(1-e*e*sin(Bf)*sin(Bf));double G=cos(Bf);M=a*(1-e*e)/(q*q*q);N=a/q;double H,I;A=g[i].y/N;H=A*A*A;I=A*A*A*A*A;t=tan(Bf);n=e1*cos(Bf);B=t*t;C=n*n;BB0=Bf-g[i].y*t*A/(2*M)+g[i].y*t*H/(24*M)*(5+3*B+C-9*B *C)-g[i].y*t*I/(720*M)*(61+90*B+45*B*B);LL0=g[i].L0*pi/180.0+A/G-H/(6*G)*(1.0+2*B+C)+I/(120*G)*(5.0+28*B+24*B*B+6*C+8*B*C);//利用公式求解经纬度// int Bdu,Bfen,Ldu,Lfen;double Bmiao,Lmiao;Ldu=int(LL0/pi*180);Lfen=int((LL0/pi*180)*60-Ldu*60);Lmiao=LL0/pi*180*3600-Ldu*3600-Lfen*60;Bdu=int(BB0/pi*180);Bfen=int((BB0/pi*180)*60-Bdu*60);Bmiao=BB0/pi*180*3600-Bdu*3600-Bfen*60;//将弧度转化为角度//printf("\n所选坐标系的转换结果：%d度%d分%lf秒 %d 度%d分%lf秒 \n",Bdu,Bfen,Bmiao,Ldu,Lfen,Lmiao);fprintf(w,"%d°%d’%lf”%d°%d’%lf”\n",Bdu,Bfen,Bmiao,Ldu,Lfen,Lmiao);//将结果输出到文本文件//}fclose(r);fclose(w);system("pause");return 0;}double sort(double a,double b){double e,e1;e=sqrt(1-(b/a)*(b/a));e1=sqrt((a/b)*(a/b)-1);double m0,m2,m4,m6,m8;double a0,a2,a4,a6,a8;m0=a*(1-e*e);m2=3*e*e*m0/2;m4=5*e*e*m2/4;m6=7*e*e*m4/6;m8=9*e*e*m6/8;a0=m0+m2/2+3*m4/8+5*m6/16+35*m8/128;a2=m2/2+m4/2+15*m6/32+7*m8/16;a4=m4/8+3*m6/16+7*m8/32;a6=m6/32+m8/16;a8=m8/128;B1=g[i].x/a0;do{F=-a2*sin(2*B1)/2+a4*sin(4*B1)/4-a6*sin(6*B1)/6+a8*s in(8*B1)/8;B2=(g[i].x-F)/a0;B3=B1;B1=B2;} while(fabs(B3-B2)>10e-10);//利用迭代算法求解底点纬度//return B2;}。
高斯投影坐标反算公式
大地方位角＝坐标方位 角－子午线收敛角＋方 向改化 A1 2 1 2 1 2
高斯坐标反算实用步骤
1、根据高斯坐标确定带号、计算中央子午 线经度 ①计算带号
n int( y / 1000000 )
②计算中央子午线经度 六度带 L 6n 3 0 三度带 L0 3n
11 n 24 23 n 49
0.0067 l 2 ]l 2 cos2 B}l sinB )
对于1975国际椭球
{1 (C3 C5l 2 )l 2 cos2 B}l sin B
C3 0.33332 0.00678 cos2 B C5 0.2 cos2 B 0.0667
计算子午线收敛角的意义： 1、用于大地方位角和高斯平面坐标方位角的转换； 2、高斯正反算检核坐标计算的正确性。。
B Bf t3 f 2 4M f N
3 f
tf 2M f N f
y
2
5 3t
2 f
2 9 2 t 2 y 4 f f f
5、中央子午线收敛角和经度
2 y 2 2 y tan B f [1 (1 tan B f f )] 3 Nf 3N f
1 tan sin B l (1 t 2 3 2 2 4 ) sin B cos 2 Bl 3 3 1 (2 4t 2 2t 4 ) sin B cos 4 Bl 5 15
sin B l sin B cos 2 Bl 3 (1 3 2 2 4 )
L L0 l
小结
• • • • 了解反算公式的推导思路； 掌握反算公式保符号的意义； 用反算公式会进行计算； 掌握子午线收敛角的定义及作用；
高斯投影正反算
高斯投影正反算学院：资源与环境工程工程学院专业：测绘工程 学号：X51414012 姓名：孙超一、高斯投影概述想象有一个椭圆柱面横套在地球椭球体外面，并与某一条子午线相切，椭圆柱的中心轴通过椭球体的中心，然后用一定投影方法，将中央子午线两侧各一定经差范围内的地区投影到椭圆柱面上，再将此柱面展开即成为投影面。
高斯投影由于是正形投影，故保证了投影的角度不变性，图形的相似性以及在某点各方向上长度比的同一性。
由于采用了同样法则的分带投影，这即限制了长度变形，又保证了在不同投影带中采用相同的简便公式和数表进行变形引起的各项改正的计算，并且带与带间的互相换算也能用相同的公式和方法进行。
高斯投影的这些优点必将使它得到广泛的推广和具有国际意义。
二、高斯投影坐标正算公式1.高斯投影必须满足以下三个条件 1）中央子午线投影后为直线 2）中央子午线投影后长度不变 3）投影具有正形性质，即正形投影条件2.高斯正算公式推导1）由第一个条件可知，由于地球椭球体是一个旋转椭球体，所以高斯投影必然有这样一个性质，即中央子午线东西两侧的投影必然对称于中央子午线。
2）由于高斯投影是换带投影，在每带内经差ｌ是不大的，ｌρ是一个微小量，所以可以将X=X （ｌ，q ），Y=Y （l ，q ）展开为经差为l 的幂级数，它可写成如下的形式X=m 0+m 2l 2+m 4l 4+…Y=m 1l+m 3l 2+m 5l 5+…式中m 0,m1,m2,…是待定系数，他们都是纬度B 的函数。
3）由第三个条件：∂y ∂l =∂x ∂q 和∂x ∂l =-∂y∂q ，将上式分别对l 和q 求偏导2340123423401234...........x m m l m l m l m l y n n l n l n l n l =+++++=+++++可得到下式0312123403121234111,,,, 234111,,,,234dm dm dm dm n n n n dq dq dq dq dn dn dn dn m m m m dq dq dq dq ⎧====⎪⎪⎨⎪=-=-=-=-⎪⎩经过计算可以得出232244524632235242225sin cos sin cos (594)224 sin cos (6158)720cos cos (1)6cos (5181458)120N N x X B B l B B t l NB B t t l Ny N B l B t l NB t t t l ηηηηη=+⋅+-+++-+=⋅+-++-++-三、高斯投影坐标反算公式推导1.思路：级数展开，应用高斯投影三个条件，待定系数法求解。
第四章 7高斯投影坐标正反算
2
x y , q l
x y l q
柯西-黎曼条件（公式）是
椭球面与平面之间的正形投影的一般条件
考虑到F=0，E=G，长度比公式简化为
x y q q E m2 2 = r r2
2
2 2
x y l l G m2 2 = r r2
x m0 m 2 l 2 m 4 l 4 y m1l m3 l 3 m5 l 5
分别对l 和q 求偏导数
2) 由第三个条件正形投影条件
y x x y 和 l q l q
dm0 dm2 2 dm4 4 2 4 m1 3m3 l 5m5 l dq dq l dq l 2m l 4m l 3 dm1 l dm3 l 3 dm5 l 5 2 4 dq dq dq
§4.9.2 正形投影的一般条件
一、长度比的通用公式推导
dS 2 ( MdB)2 ( N cos Bdl )2
M dB
ds 2 dx 2 dy 2
N cos B d l
长度比平方为：
dx 2 dy 2 ds 2 m 2 2 dS ( MdB) ( N cos Bdl )
？
上式为与方向有关的长度比的通用公式。 上式在什么条件下与方向无关？
F 0
E G
柯西.黎曼条件（续）
正形条件：m与A无关，即满足： F 0
E G
2 2 2
x x y y 0 q l q l
y y x q l x l q
x y x y q q l l
高斯投影坐标正反算.ppt
2
4
6
8
高斯投影坐标正算（3）
dm0 = dX
dB =M
N cos B =N cos B
,
dq dB dq
M
c
m1 = N cos B
= V
cos B
子午线曲率半径
等量纬度定义式
m2
N 2
sin B cos B
m3
N b
cos3 B(1 t 2
2)
m4
N sin B cos3 24
y 2 dn4 dx
y4
N
cos M
B
(n1
3n3
y2
5n3
y4
)
2n2 y 4n4 y3
N cos B ( dn1 y dn3 y3 dn5 y5 )
M
dx
dx
dx
由恒等式两边对应系数相等，从而得待定系数的递推公式
n1
M N cos B
• 高斯平面直角坐标系： 区分为：自然坐标；国家统一坐标。（掌握两者的换算）
§4.9.2 正形投影的一般条件
一、长度比的通用公式推导
dS 2 (MdB)2 ( N cos Bdl )2
ds2 dx2 dy2
长度比平方为：
m2
ds dS
2
dx2 dy2 (MdB)2 (N cos
dn2 dx
y2 dn4 dx
y4
N
cos M
B
(n1
(完整版)高斯投影正反算
高斯投影正反算学院：资源与环境工程工程学院专业：测绘工程学号：X51414012姓名：孙超一、高斯投影概述想象有一个椭圆柱面横套在地球椭球体外面，并与某一条子午线相切，椭圆柱的中心轴通过椭球体的中心，然后用一定投影方法，将中央子午线两侧各一定经差范围内的地区投影到椭圆柱面上，再将此柱面展开即成为投影面。
高斯投影由于是正形投影，故保证了投影的角度不变性，图形的相似性以及在某点各方向上长度比的同一性。
由于采用了同样法则的分带投影，这即限制了长度变形，又保证了在不同投影带中采用相同的简便公式和数表进行变形引起的各项改正的计算，并且带与带间的互相换算也能用相同的公式和方法进行。
高斯投影的这些优点必将使它得到广泛的推广和具有国际意义。
二、高斯投影坐标正算公式1.高斯投影必须满足以下三个条件1）中央子午线投影后为直线2）中央子午线投影后长度不变3）投影具有正形性质，即正形投影条件2.高斯正算公式推导1）由第一个条件可知，由于地球椭球体是一个旋转椭球体，所以高斯投影必然有这样一个性质，即中央子午线东西两侧的投影必然对称于中央子午线。
2）由于高斯投影是换带投影，在每带内经差ｌ是不大的，ｌρ是一个微小量，所以可以将 X=X （ｌ，q ），Y=Y （l ，q ）展开为经差为l 的幂级数，它可写成如下的形式X=m 0+m 2l 2+m 4l 4+…Y=m 1l+m 3l 2+m 5l 5+…式中m 0,m1,m2,…是待定系数，他们都是纬度B 的函数。
3）由第三个条件：∂y ∂l =∂x ∂q 和∂x ∂l =-∂y ∂q ，将上式分别对l 和q 求偏导2340123423401234...........x m m l m l m l m l y n n l n l n l n l =+++++=+++++可得到下式0312123403121234111,,,, 234111,,,,234dm dm dm dm n n n n dq dq dq dq dn dn dn dn m m m m dq dq dq dq ⎧====⎪⎪⎨⎪=-=-=-=-⎪⎩L L 经过计算可以得出232244524632235242225sin cos sin cos (594)224sin cos (6158)720cos cos (1) 6cos (5181458)120N N x X B B l B B t l N B B t t l N y N B l B t l N B t t t l ηηηηη=+⋅+-+++-+=⋅+-++-++-三、高斯投影坐标反算公式推导1.思路：级数展开，应用高斯投影三个条件，待定系数法求解。
「高斯投影坐标正反算公式及适合电算的高斯投影公式」
「高斯投影坐标正反算公式及适合电算的高斯投影公式」高斯投影坐标正反算公式是用于计算高斯投影坐标的数学公式。
高斯投影坐标是一种地理坐标系统，常用于测量和测绘工作中。
高斯投影坐标正算是指已知一个点的经纬度坐标，通过公式计算出该点的高斯投影坐标。
而高斯投影坐标反算是指已知一个点的高斯投影坐标，通过公式计算出该点的经纬度坐标。
一、高斯投影坐标正算公式：已知一个点的经纬度坐标(φ,λ)，其中φ为纬度，λ为经度，以及椭球体参数a、f和中央经线经度L0，可以通过以下步骤计算出该点的高斯投影坐标(X,Y)：1.计算扁率f'：f'=(a-b)/a其中，b=a*(1-f)是椭球体的短半轴。
2.计算黄赤交角ε：ε = atan(b / a)3.计算辅助量t：t = tan(π/4 - φ/2) / [(1 - f' * sin²φ)⁰.⁵ * (1 + e' *sinφ)⁰.⁵]其中，e'=f'*(2-f')是椭球体的第一偏心率。
4.计算辅助量η：η = e'^2 * cos²φ5.计算系数A、B、C和D：A = (L - L0) * cosφC = (L - L0) * cos⁵φ * (5 - tan²φ + 9e'^² + 4e'^⁴ - 24e'^² * tan²φ - 45e'^⁴ * tan²φ)D = (L - L0) * cos⁷φ * (61 - 58tan²φ + tan⁴φ + 270e'^² - 330e'^² * tan²φ)6.计算高斯坐标X和Y：X=k0*a*(A+B/2+C/4+D/6)Y=k0*a*(C/2+D/8)其中，k0是比例系数，一般情况下取1二、高斯投影坐标反算公式：已知一个点的高斯投影坐标(X,Y)，以及椭球体参数a、f、中央经线经度L0、比例系数k0和起始经度L1，可以通过以下步骤计算出该点的经纬度坐标(φ,λ)：1.计算扁率f'：f'=(a-b)/a其中，b=a*(1-f)是椭球体的短半轴。
高斯投影正反算公式83
§8.3高斯投影坐标正反算公式任何一种投影①坐标对应关系是最主要的；②如果是正形投影，除了满足正形投影的条件外（C-R 偏微分方程），还有它本身的特殊条件。
8.3.1高斯投影坐标正算公式： B, x,yl ⇒高斯投影必须满足以下三个条件：①中央子午线投影后为直线；②中央子午线投影后长度不变；③投影具有正形性质，即正形投影条件。
由第一条件知中央子午线东西两侧的投影必然对称于中央子午线，即(8-10)式中，x 为的偶函数，y 为的奇函数；，即，l l 0330'≤l 20/1/≈''''ρl 如展开为的级数，收敛。
l （8-33）+++=++++=553316644220l m l m l m y l m l m l m m x 式中是待定系数，它们都是纬度B 的函数。
,,10m m 由第三个条件知：qyl x l y q x ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂,(8-33)式分别对和q 求偏导数并代入上式l (8-34)----=++++++=+++5533156342442204523164253l dqdm l dq dm l dq dm l m l m l m l dqdm l dq dm dq dm l m l m m 上两式两边相等，其必要充分条件是同次幂前的系数应相等，即l(8-35)dq dm m dqdm m dqdm m 2312013121⋅=⋅-==(8-35)是一种递推公式，只要确定了就可依次确定其余各系数。
0m 由第二条件知:位于中央子午线上的点，投影后的纵坐标x 应等于投影前从赤道量至该点的子午线弧长X ，即(8-33)式第一式中，当时有：0=l(8-36)0m X x==顾及(对于中央子午线)B V Mr M B N dq dB M dBdXcos cos 2====得：(8-37,38) B Vc B N r dq dB dB dX dq dX dq dm m cos cos 01===⋅===(8-39)B B Ndq dB dB dm dq dm m cos sin 22121112=⋅-=⋅-=依次求得并代入(8-33)式，得到高斯投影正算公式6543,,,m m m m6425644223422)5861(cos sin 720)495(cos 24cos sin 2lt t B B N lt B simB N l B B N X x ''+-''+''++-''+''⋅''+=ρηηρρ (8-42)5222425532233)5814185(cos 120)1(cos 6cos l t t t B N lt B N l B N y ''-++-''+''+-''+''⋅''=ηηρηρρ8.3.2高斯投影坐标反算公式x,y B,⇒l投影方程：(8-43)),(),(21y x l y x B ϕϕ==满足以下三个条件：①x 坐标轴投影后为中央子午线是投影的对称轴；② x 坐标轴投影后长度不变；③投影具有正形性质，即正形投影条件。
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高斯投影坐标正反算公式
未知2010-04-03 10:47:15 本站
§高斯投影坐标正反算公式
任何一种投影①坐标对应关系是最主要的；②如果是正形投影，除了满足正形投影的条件外（ C-R 偏微分方程），还有它本身的特殊条件。
1.1 高斯投影坐标正算公式： B, x,y
高斯投影必须满足以下三个条件：
①中央子午线投影后为直线；②中央子午线投影后长度不变；③投影具有正形性质，即正形投影条件。
由第一条件知中央子午线东西两侧的投影必然对称于中央子午线，即 (8-10) 式中， x 为
的偶函数， y 为的奇函数；，即，如展开为的级数，收敛。
（ 8-33 ）
式中是待定系数，它们都是纬度 B 的函数。
由第三个条件知：
(8-33) 式分别对和 q 求偏导数并代入上式
(8-34) 上两式两边相等，其必要充分条件是同次幂前的系数应相等，即
(8-35)
(8-35) 是一种递推公式，只要确定了就可依次确定其余各系数。
由第二条件知 : 位于中央子午线上的点，投影后的纵坐标 x 应等于投影前从赤道量至该点的子午线弧长 X ，即 (8-33) 式第一式中，当时有：
(8-36)
顾及 ( 对于中央子午线 )
得：
(8-37,38)
(8-39)
依次求得并代入 (8-33) 式，得到高斯投影正算公式
(8-42)
1.2 高斯投影坐标反算公式
x,y B,
投影方程：
(8-43)
满足以下三个条件：
①x 坐标轴投影后为中央子午线是投影的对称轴；② x 坐标轴投影后长度不变；③投影具有正形性质，即正形投影条件。
高斯投影坐标反算公式推导要复杂些。
①由 x 求底点纬度 ( 垂足纬度 ), 对应的有底点处的等量纬度，求 x,y 与
的关系式，仿照 (8-10) 式有，
由于 y 和椭球半径相比较小 (1/16.37) ，可将展开为 y 的幂级数；又由于是对称投影， q 必是 y 的偶函数，必是 y 的奇函数。
(8-45)
是待定系数，它们都是 x 的函数 .
由第三条件知：
，
， (8-21)
(8-45) 式分别对 x 和 y 求偏导数并代入上式
上式相等必要充分条件，是同次幂 y 前的系数相等，
第二条件，当 y=0 时，点在中央子午线上，即 x=X ，对应的点称为底点，其纬度为底点纬度，
也就是 x=X 时的子午线弧长所对应的纬度，设所对应的等量纬度为。
也就是在底点展开为 y 的幂级数。
由 (8-45)1 式
依次求得其它各系数
(8-51)
(8-51)1 …………
将代入 (8-45)1 式得
(8-55)1
(8-55)
将代入 (8-45)2 式得 (8-56)2 式。
( 最后表达式 )
②求与的关系。
由 (8-7) 式知：
(8-47)
(8-48)
按台劳级数在展开
(8-49)
(8-50) 由 (8-7) 式可求出各阶导数：
(8-53)
(8-54)1
(8-54)2 …………………
将式 (8-55)1,(8-55),(8-53),(8-54) 代入 (8-50) 式并按 y 幂集合得高斯投影坐标反算公式
(8-56)1,
(8-56) 归纳由求的基本思想：由点得到底点，将底点 f 作为过渡，也就是说将坐标原点 o 移到 f 点，先求关系式，再将
关系式代入关系式得
关系式，最后将坐标原点移回到 o 点 , 从而求得点。
1.3 高斯投影坐标正反算公式的几何解释
①当 B=0 时 x=X=0 ， y 则随 l 的变化而变化，这就是说，赤道投影为一直线且为 y 轴。
当 l=0 时 , 则 y=0,x=X, 这就是说，中央子午线投影亦为直线，且为 x 轴，其长度与中央子午线长度相等。
两轴的交点为坐标原点。
②当 l= 常数时 ( 经线 ), 随着 B 值增加， x 值增大， y 值减小，这就告诉我们，经线是凹向中央子午线的曲线，且收敛于两极。
又因，即当用 -B 代替 B 时， y 值不变，而 x 值数值相等符号相反，这就说明赤道是投影的对称轴。
③当 B= 常数时 ( 纬线 ) ，随着的 l 增加， x 值和 y 值都增大，这就是说，纬线是凸向赤道的曲线。
又当用 -l 代替 l 时， x 值不变，而 y 值数值相等符号相反，这就说明，中央子午线是投影对称轴。
由于满足正形投影条件，所以经线和纬线的投影是互相垂直的。
④距中央子午线愈远的子午线，投影后弯曲愈厉害，表明长度变形愈大。
（注：本资料素材和资料部分来自网络，仅供参考。
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