电磁场与电磁波 ppt 第三章 静态场边值问题解法

+ y +h
2
2
)
3
2
∂Φ 2 =ε ∂z
z =0
=
(x
qh + q′′h
2
+ y +h
2
2
)
3
2
有
q′ = −q′′
ε − ε0 q′ = − q ε + ε0
ε − ε0 q′′ = q ε + ε0
联立求解，得到
两待定的镜像电荷一旦确定后，原来的边界值问题的解便很容 易求得。
2.3 接地导体球与球外点电荷
2、镜像法应用举例
2.1 无限大接地金属平面上的点电荷
设在无限大接地导体平面 无限大接地导体平面（z=0）附近有一点电荷q，与平面的 无限大接地导体平面 距离为z=h，如图所示，假设导电平面的电位为零，求上半空 间的电场。 显然，当点电荷靠近导体平面时， 导体平面上会产生感生电荷，上 半空间的电场是点电荷与感生电 荷电场的合成的结果。 直接求解感生电荷的分布显 然是一个比较困难的问题。 然是一个比较困难的问题。 而且不均匀表面感应电荷产 生电场的计算很复杂。 生电场的计算很复杂。
m=1
∞
对于球外，由边界条件： 当r＞＞a时，有
φ1 = φ 0
即只有 m=1的项存在，于是
Φ1 = A11r + B11r
又当
(
−2
)cosθ
r →∞
时，有
A11r cosθ = −E0r cosθ
所以
A11 = −E0
∂Φ2 Φ1 r=a = Φ2 r=a r =a = ε r =a ∂r ∞ 1 m ∑ Am2a Pm (cosθ ) = − E0a + B11 a2 cosθ m=1 ∂Φ1 ε0 ∂r
φ1 =
其中：
q 4πε 0 R
2
+
q′ 4πε 0 R′
2
Z＞0
R = x + y + (z − h)
2
2
R′ = x + y + (z + h)
2
2
对于下半空间，在真实电荷位置，同样放置电量为q"的镜象 电荷，这样在下半空间，电位为：
Φ
2
q + q ′′ = 4 πε R
Z＜0 （想想，为什么这样处理？）
又根据球面的边界条件
有
利用勒让德函数的正交性，得到
B11 A12 a cos θ = − E0 a + 2 cos θ a
B11 A12 a = − E0 a + a2
即 又
（1）
Φ 2 = A12r cosθ
∂Φ1 ε0 ∂r 2ε0 B11 ∂Φ2 cosθ = ε r =a = − ε 0 E0 − 3 a ∂r
由于电荷q1与镜像电荷q2在球面上任一点处的电位为零， 所以，导体球的电位是（导体球面为等位面）：
a Q0 + q Q0 − q 2 d Φ r =a = = 4πε 0 a 4πε 0 a
Example 3.4
如图所示，在无限大接地平面上有一凸起的半球，在半 球的正上方有一点电荷q，半球的半径为a，点电荷距平 面的距离为h（h>a)，求空间的电位。
解： 首先观察电场满足的边界条
件，设上半空间 上半空间的电位为 上半空间
Φ1,下半空间 下半空间的电位为Φ2， 下半空间 则在分界面上满足的边界条 件为：
Φ1
z =0
= Φ2
z =0
z =0
∂Φ 1 ε0 ∂z
∂Φ 2 =ε ∂z
z =0
在下半空间与真实电荷对称 的位置放置电荷量为q'的镜象 电荷，则在上半空间的电位为:
s
ρ s = D r (a ) = ε E r (a )
2.4 不地导体球与球外点电荷
对于不接地导体球，其球面电位为常数 球面电位为常数，同时，整个 球面电位为常数 整个 球面的净电荷为零，则为保持球面电位为常数，应在 球面的净电荷为零 在 球心再放置一电量为-q2的镜像电荷，如图所示。则总 球心再放置 的球外电位为:
1 q Φ= 4πε 0 x 2 + y 2 + ( z − h )2
(
)
1
−
2
(x
1
2
+ y 2 + (z + h )
2
)
1 2
q 1 1 ar1 2 2 电场为 E = x + y + (z − h)2 − ar 2 x2 + y2 + (z + h)2 4πε0
分离变量法 镜 像 法
复变函数法 （略） 有限差分法
分离变量法（连接） §1 分离变量法（连接）
Example 3.1
在均匀外电场E0 中放置一个半径为a的介质球，球外为空气， 球的介电常数为ε，如图所示。求球内和球外的电位。 ε
解： 取球坐标，使极轴和外加电场方向重合，则外加电场为
φ0 = −E0 cosθ
2.2 角形区域的镜象
其规律为：若夹角为θ，满足360°/θ°= n（n为整数）， 则像电荷的个数为n-1 如平面夹角为90°，则像电荷有4-1=3个。见P91
其它夹角时的像电 荷位置如右图。
Example 3.2
在z<0的下半空间是介电常数为ε的介质，上半空间是空气。在 距离介质平面h处有一点电荷q，求 z>0 和 z<0 两半空间的场。
q1 aq1 − Φ= 4πε 0 r1 r2 d 1 1
其中：
r1 = r + d − 2rd1 cosθ
2 2 1
(
(
)
1
1 2
2 r2 = r 2 + d 2 − 2rd2 cosθ
)
2
2 a a = r + 2 − 2r cosθ d1 d1
3ε 0 Φ2 = − E0 r cosθ ε + 2ε 0
球内的电场强度为
1 ∂φ2 ∂φ2 E2 = −∇φ2 = − ar + aθ r ∂θ ∂r
3ε 0 3ε 0 = E0 (ar cosθ − aθ sinθ ) = az E0 ε + 2ε 0 ε + 2ε 0
位分布。如图所示：
注: 镜象电荷只是代 表导体平面感应电荷 对上部空间的影响.有 对上部空间的影响 两个问题值得讨论: 若导体平面的下方 为介电常数为ε的介 质，将会对上部空间 电场有何影响？ 导体下方空间的电 场能否由左图中的两 电荷共同确定？
实际上不仅无穷大平面，而且相交成直角、 实际上不仅无穷大平面，而且相交成直角、180°/n (n=2， ° ， 3，4，…)的两个导体平面间的电场也可用镜像法求解。 的两个导体平面间的电场也可用镜像法求解。 ， ， 的两个导体平面间的电场也可用镜像法求解
q1 1 a 1 a 1 − Φ= r d r + d r 4πε 0 1 1 2 1
问:
导体球的电位是怎样的? 导体球的电位是怎样的
Example 3.3
半径为a的导体球不接地，距球心为d的地方置一电荷q,且球 上充有电荷为Q0，如图所示。试求: 球外及球面上的电位
解：
即球内的电场是均匀的。 即球内的电场是均匀的。
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§2 镜像法
(method of images)
1、镜像法的原理
在已知边界条件，已知电荷分布时，由于边界条件和电荷分布 相互影响，直接求解泊松方程和拉普拉斯方程是比较困难的。 此时，可在研究的区域之外，用假想的电荷来代替原来的 边界，即：由假想的电荷和原来的电荷共同产生的场在边界上 满足原来的边界条件，则在所研究的区域内的场即为真实电 荷与假想电荷（又称为镜像电荷）产生的场的叠加。 采用镜像法可以使这类问题的场解过程变得简单， 采用镜像法可以使这类问题的场解过程变得简单，但它的应用 范围是有限的——只适应于对称性好的边界。 只适应于对称性好的边界 范围是有限的 只适应于对称性好的边界。
对于A点有：
q1 q2 + =0 a + d1 a + d 2
对于B点有： 即：
q1 q2 + =0 d1 − a a − d 2
q1(a + d2 ) = −q2 (a + d1 )
a2 = d1
q1 (a − d2 ) = −q2 (d1 − a)
d
2
联立求解：
a q 2 = − q1 d1
可以证明，将此结果代入，完全能满足球面电位为零的条件 完全能满足球面电位为零的条件。 完全能满足球面电位为零的条件 从而得到球外电位表达式为：
用镜象法的原理，在z=0的平面之下与q对称地放置一个 电量为-q的镜象电荷，显然，这个镜象电荷与原来电荷的 合成电场满足无限大导体平面的边界条件，即无 限大导体平面的影响由镜象电荷-q来代替，上半空间的电 场或电位分布就由原来电荷和镜象电荷的场的叠加得出。 如图所示：
由此得到在上半空间的电位为 ：
ρ s = ε 0 Ez
z =0
=−
(x
2hq
2
+ y +h
2
2
)
3
=−
2
(r
2hq
2
+h
2
)
3
2
对感生电荷密度在整个 平面上积分，
qh qin = − 2π
∫ ∫
0
∞
2π
0
(r
rdrdϕ
2
+ h2
∞ 0