电磁场与电磁波第四版第一章 ppt

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电磁场与电磁波：第一章静电场

适用条件 • 两个可视为点电荷的带电体之间相互作用力;
• 无限大真空情况 (式中
0
109
36
8.851012F/m)
可推广到无限大各向同性均匀介质中( 0 )
库仑定律描述点电荷之间作用力，给出了对应的数学表达式，它是一切静电场问题分析的出发点。我们将从库仑定律出发，采用严格的数学分析研究静电场的各种性质（散度、旋度性质）。
的E 方向一致，若
故电力线微分方程
E dl 0
是dl电力
在直角坐标系中： Ex E y Ez dx dy dz
微分方程的解即为电力线 E的方程。
在静电场中电位相等的点的曲面称为等位面，即等位线(面)方程:
( x, y,z ) C
当取不同的 C 值时，可得到不同的等位线（面）。
图1.2.4 点电荷与不接地导体的电场
本章任务：阐述静电荷与电场之间的关系，在已知电荷或电位的情况下求解
电场的各种计算方法，或者反之。
静电场是本课程的基础。由此建立的物理概念、分析方法在一定条件下可类比推广到恒定电场,恒定磁场及时变场。
E 的散度
基本实验定律（库仑定律）基本物理量（电场强度）E
基本方程
分界面衔接条件数值法
微分方程边值问题唯一性定理
例如：点电荷产生的电场： q C 4 0 r
r0 0
C
表达式无意义
r 0 C 0
q 4 0 r
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱR 0
q C
4 0 R
q q 4 0r 4 0 R
• 电荷分布在有限区域时，选择无穷远处为参考点；
• 电荷分布在无穷远区时，选择有限远处为参考点。
电力线与等位线（面） •线的E线长：度曲元线，上每矢一量E点将切与线方方向向d应一l与致该，点电场强度

电磁场与电磁波第一章 ppt课件

电磁学的建立，根源于人类对早期发现的一些电磁现象进行的物理解释，如静电吸物、摩擦生电、磁石相吸、库仑实验等。
电磁场理论的发展经历三个阶段：
• （一）静电学、静磁学的建立阶段（19世纪前）
这一阶段，电、磁现象是作为两种独立的物理现象分别进行研究，当时还没有发现电与磁的联系，这些早期的研究为电磁学理论的建立奠定了基础。
o 2
坐标单位矢量 e,e,ez
z
e e ez
位置矢量
reezz
微分单元关系
线元矢量
d r e d e d e z d z
圆柱坐标系
面元矢量体积元
dS edldlz e ddz dS edldlz eddz dSz ezd积元
赫兹 1888年用实验方法证实了电磁波的存在后，麦克斯韦方程组成为经典电动力学的公理，麦克斯韦成为宏观电磁场理论的奠基人。
三、电磁场理论的主要研究与应用领域
电磁场理论的主要研究
领域
作为理论物理学的一个重要研究分支，主要致力于统一场理论和微观量子电动力学的研究。
作为电子信息技术的理论基础，集中于三大类应用问题的研究。
• 信息类专业与电有关的两大核心知识基础：
电路理论
电磁场理论
• 本课程的主要任务：在大学物理和高等数学的基础上，帮助学生建立场的观念，学会运用场的观点对宏观电磁现象进行分析和求解，为进一步学习有关专业课程奠定必要的理论基础。
二、电磁场理论的发展简史
电磁学是研究电场、磁场以及电磁相互作用的现象、规律和应用的学科。
体积元
dVdxdydz
z
z
z0
（平面） ez
P
ey
ex
o

电磁场与电磁波(第4版之1)

x, y , z
增加的方向，相互垂直且满足右手螺旋法则
v ˆ ˆ ˆ 矢量表示： A = e x Ax + e y Ay + e z Az
v 位置矢量： r = e x x + e y y + e z z ˆ ˆ ˆ
v ˆ ˆ ˆ dr = e x dx + e y dy + e z dz 微分长度元：
说明：、说明： a、两个矢量的叉乘为矢量 b、矢量的叉乘不符和交换律，但符合分配律矢量的叉乘不符和交换律，
v v v v v v v v v v v A× B ≠ B × A A × (B + C) = A × B + A × C r r r r A × B = −B × A
c、、
v v v v A × B = 平行四边形面积，方向：垂直于 A、B 所在的平面平行四边形面积，方向：
,θ ,ϕ 0 ≤ r < ∞ , 0 ≤ θ ≤ π , 0 ≤ ϕ ≤ 2π
ˆ 单位矢量： er
ˆ , eθ
ˆ , eϕ
ˆ ˆ ˆ er = eθ × eφ
ˆ ˆ ˆ eθ = eϕ × er
ˆ ˆ ˆ eϕ = er × eθ
矢量表示： A = e A + e A + e A ˆr r ˆθ θ ˆϕ ϕ 位置矢量：
2 体元： dv = r sin θdrdθdϕ
拉梅系数： hr = 1, hθ = r , hϕ = r sin θ 讨论：（1）球面坐标系与直角坐标系的变换关系讨论
x = r sin θ cos ϕ , y = r sin θ sin ϕ , z = r cos θ ˆ ˆ ˆ ˆ e r = e x sin θ sin ϕ + e y sin θ sin ϕ + e z cos θ ˆ ˆ ˆ ˆ eθ = e x cos θ cos ϕ + e y cos θ sin ϕ − e z sin θ ˆ ˆ ˆ eϕ = − e x sin ϕ + e y cos θ ˆ ˆ ez = ez

精品课件-电磁场与电磁波-第1.1节

(2) 叉积（续）
在直角坐标系中，叉积还可以表示为
ax ay az A B Ax Ay Az
Bx By Bz
ax Ay Bz Az By ay Az Bx Ax Bz az Ax By Ay Bx
结论
如果两个不为零的矢量的叉积等于零，则这两个矢量
必然相互平行。 a x a y a z ,a y a z a x ,a z a x a y
每一种知识都需要努力，都需要付出，感谢支持！
知识就是力量，感谢支持！
----谢谢大家！！
ax
ay
ay
az
az
1
矢量的标量积
(2) 叉积(cross product) 任意两个矢量的叉积是一个矢量，故也称为矢量积。
C A B an AB sin
方向垂直于矢量 A与B
C
组成的平面，且 A、B
与C成右手螺旋关系
大小等于两个矢量的大小与它们的夹角的正弦
之乘积 B
A
矢量的叉积
在直角坐标系中 a x a x a y a y a z a z 0
结论
矢量的加减运算同向量的加减，符合平行四边形法则。任意两个矢量的点积是一个标量，任意两个矢量的叉积是一个矢量如果两个不为零的矢量的点积等于零，则这两个矢量必然相互垂直。如果两个不为零的矢量的叉积等于零，则这两个矢量必然相互平行。
矢量的代数运算
加法和减法
矢量的乘积
1. 矢量的加法和减法
C A B ax Ax Bx a y Ay By az Az Bz
D A B ax Ax Bx ay Ay By az Az Bz
结论:矢量的加减运算同向量的加减，符合平行四边形法则。

电磁场与电磁波(1)幻灯片PPT

(z)Ur(z)Ir(z) Ui(z) Ii(z)
▪ 对无耗传输线γ=jβ，终端负载为Zl，得 (z ) A A 2 1 e e j j z z Z Z L L Z Z 0 0 e j2 z L e j2 z
▪ 其中
LZ ZL L Z Z0 0Lejl
称为终端反射系数
7.1 均匀传输线的分析
U min
A1[1
l
]
I
max
A1 Z0
[1
l
]
▪ 电压波节点阻抗也为纯电阻，其值为
Rmin
Z011 ll
Z0
7.2 传输线的等效
❖ 行驻波状态
▪ 可见电压波腹点和波节点相距λ/4，且两点阻抗有如下关系： Rm axRm inZ0 2
7.2 传输线的等效
❖ 传输线的等效
▪ 终端短路的无耗传输线的等效
前向波与后向波的叠加
U(z)A1ez A2ez
I(z) 1 Z0
(A1ez
A2ez)
7.1 均匀传输线的分析
❖ 传输线的重要参量
▪ 特性阻抗Z0
Z0
R jL C jC
▪ 对于均匀无耗传输线， R=G=0，因此均匀无耗传输
线的特性阻抗为
Z0
L C
▪ 此时，特性阻抗Z0为实数，且与频率无关。
7.1 均匀传输线的分析
❖ 传输线中的重要参量
▪ 传播常数γ
( R jL )G ( jC ) j
▪ 对于均匀无耗传输线，R=G=0，有jLCj ▪ 对于损耗很小的传输线，即满足R<<ωL, G<<ωC时：
(R j L )(G j C )
j L (1 j R ) j C (1 j G )

电磁场与电磁波(第四版之第一章)

∫∫
∑
⇔ ⇔ ⇔
∫∫
S
⇔ ⇔ ⇔
∫
S
∫∫
∑
∫∫
S
∫
S
∫∫∫
Ω
∫∫∫
V
∫
V
v v v v v v v v A = Pi + Qj + Rk ⇔ A = Ax ex + Ay ey + Az ez
大连民族学院电磁场理论课程组大连民族学院电磁场理论课程组
矢量表示差异
电磁场与电磁波
第1章矢量分析
1.1 矢量代数
r r r r r = ex x + ey y + ez z
r r r r dl = exdx + eydy + ezdz r r r dSy = eydlxdlz = eydxdz
r r r dSz = ezdlxdly = ezdxdy r r r dSx = exdlydlz = exdydz
x
x = x0 （平面）平面）
直角坐标系
z
dz
r r dS z = ez dxdy
r r dS y = e y dxdz
o x
dx r r d y dS x = ex dydz
y
体积元
dV = dxdydz
直角坐标系的长度元、面积元、直角坐标系的长度元、面积元、体积元
大连民族学院电磁场理论课程组大连民族学院电磁场理论课程组
电磁场与电磁波
第1章矢量分析
本课程的目的
电磁场理论是无线通信、移动通信、电磁场理论是无线通信、移动通信、微波通信的基础后续课程有：后续课程有：微波技术天线技术光纤通信等

电磁场与电磁波CAI课件第一章

∫ A dS = ∑ ∫
S i =1
n
SiΒιβλιοθήκη A dS i = ∑ Adτ i = ∫ Adτ
i =1
n
S1
S2
τ
1.4 矢量的环流 ---- 旋度 1.环流环流
讨论矢量场 F 的线积分:F dl ∫
c
∫ A dl = ∫ A cosθ dl
l l
l
2.旋度旋度
为了了解某点附近环流的状态,可将上述的环流收缩并令s → 0则:(闭合路径及面元的收缩方法任意)
1.3 矢量的通量,散度矢量的通量,
面元矢量dS= 法向矢量
穿越方向
面大小
分析矢量穿过一个曲面的通量
n dS
n 有两个要素:{
右手螺旋法则闭合面外法线(鸡蛋壳外表面)
通量= A ( r ) d S ( r ) = A ( r ) dS ( r ) cos θ 其中θ = e , n) ( 为面元法向矢量与矢量A 的夹角
τ
S
∵ lim
τ →0
∫
s
A(r )idS (r ) τ
= i A
证明:将闭合面包围的体积τ 切分为一系列的小体积dτ 1 , dτ 2 ,...dτ n ..., 对每个小体积均可利用散度定理
∫
si
A(r ) dS (r ) = Adτ i
i = 1,, n
将上面所有体积相加,并注意到相邻面的流出刚好是另一面的流入,最后成为体积的表面即:
矢量的运算 (加法/减法,点积,叉积) 加法/减法,点积,叉积)
矢量的模:表示矢量的大小模方向: A矢量的方向 a = A / A 方向矢量的加法:每个分量对应相加如: = 1 i + 3 j + 4k A 则: + B = 7 i + 10 j + 12k A B = 6 i + 7 j + 8k 矢量的点积矢量的点积:(标量积,投影积)-- 对应分量相点积 A B = A1B1 + A 2 B2 + A 3B3 = 6 + 21 + 32 = 59 乘的和矢量的叉积叉积: 矢量的叉积:(矢量积)--行列式展开行列式展开

电磁场与电磁波第一章.ppt

第1章矢量场
物理量随空间的分布称为场。本书涉及的物理量主要是标量和矢量。前者称为标量场，后者称为矢量场。 1.1 矢量及其矢量场
1.2 三种常用坐标系中的矢量场 1.3 梯度 1.4矢量场的散度 1.5 矢量场的旋度
1.1 矢量及其矢量场
1.矢量的表示方法
a矢量的概念
E, H, F,v
b矢量的特点
反映曲面边界上的矢量场与曲面中旋度源的关系
1.6无旋场与无散场
() 0 ( A) 0
矢量场的唯一性定理
2.矢量的代数运算法
a.加减法：法则和规律
A B
平行四边形法则：
A B
B
A B B A A (B C) (A B) C
A
三角形法则： A B来自BABAB B A
A
b.标积：
A B A B cos Ax Bx Ay By Az Bz
满足乘法交换律： A B B A
直角坐标系：三个单位矢相互垂直且为常矢量，不随空间的变化而变化；
圆柱坐标系与圆球坐标系的三个单位矢量不全是常矢量。
一：位置矢量（位矢）
r
o
p 有向线段 r 可以表示p点的位置，称为位置矢量。只与
参考点选择有关，与坐标系选择无关。位矢的基本特征：起点始终在参考点O上。
二：正交坐标系
1：直角坐标系
单位矢量： ex , ey , ez （常矢量）
1．2 三种常见坐标系中的矢量场
场是物理量的空间分布，矢量场是矢量的空间分布。随着空间点的不同，每个空间点上对应的矢量也不同。因此，矢量场是空间坐标变量的函数，对矢量场的分析很大程度上依赖于采用的坐标系。
共同特征：正交坐标系，各自的三个单位矢量都互相垂直。

电磁场与电磁波第四版第一章矢量分析

电磁场与电磁波
矢量的混合运算
—— 分配律 ( A B) C A C B C ( A B) C A C B C —— 分配律 A ( B C ) B (C A) C ( A B) —— 标量三重积 A ( B C ) ( A C ) B ( A B)C —— 矢量三重积
a12 a22 ... an 2
... a1n ... a2 n ... ann
x1 x X 2 xn
y1 y Y 2 yn
可记为Y=AX 则 X=A-1Y，A-1为A的逆矩阵，要求X，
坐标变量
线元矢量
z z0 （平面）
P( 0 , 0 , z0 )
（圆柱面）
0
dl e d e d ez dz
0 （半平面）
圆柱坐标系
面元矢量
dS e dl dl z e ddz dS e dl dl z e ddz dS z ez dl dl ez dd
符合右手螺旋法则
特点： A B B A 结论：若两不为零矢量的叉积为零，则两矢量互相平行直角坐标系中：ex ex e y e y ez ez 0
右手螺旋法则
ex e y ez
e y ez ex
ez ex e y
电磁场与电磁波
数学知识补充—矩阵和行列式的计算
A11 1 * 1 A A A12 | A| A13 A21 A22 A23 A31 1 1 1 1 1 1 1 A32 1 0 2 0 2 A33 1 2 1 1 2 1

电磁场与电磁波(第四版)(王家礼) (2)

第一章矢量分析 1.1.3 标量场的等值面和矢量场的矢量线
在研究场的特性时，以场图表示场变量在空间逐点分布的情况具有很大的意义。对于标量场，常用等值面的概念来描述。
所谓等值面，是指在标量场j(x，y，z)中，使其函数 j取相同数值的所有点组成的集合，这些点组成一个曲面，该曲
面称为等值面。如温度场的等值面，就是由温度相同的点所组成的一个曲面，此曲面称为等温面。等值面在二维空间就变为等值线。如地图上的等高线，就是由高度相同的点连成的一条曲线。
表该代数量的大小。在物理学中,任意一个代数量一旦被赋予物理
单位,则成为一个具有物理意义的标量,即所谓的物理量,如电压u、电流i、面积S、体积V等等。
在二维空间或三维空间内的任一点P是一个既存在大小(或称为模)又有方向特性的量,故称为实数矢量,实数矢量可用黑体A表示,而白体A表示A的大小(即A的模)。若用几何图形表示,实数矢量是从原点出发的一条带有箭头的直线段,直线段的长度表示矢量A 的模,箭头的指向表示该矢量A的方向。矢量一旦被赋予物理单位, 便成为具有物理意义的矢量,如电场强度E、磁场强度H、速度v等
(1-2)
若函数j=j(x，y，z)在点M0(x0，y0，z0)处可微，cosα、 cosβ、cosγ为l方向的方向余弦，则函数j=j(x，y，z)在点M0(x0，
y0，z0)处沿l方向的方向导数必定存在，且为
j j cos j cos j cos
l M 0 x
y
z
(1-3)
第一章矢量分析
A=A(t) 而G[a，b]为A(t)的定义域。矢性函数A(t)在直角坐标系中的三个坐标分量都是变量t的函数，分别为Ax(t)、Ay(t)、Az(t)，则矢性函数A(t)也可用其坐标表示为

《电磁场和电磁波》PPT课件

a
返回
演示4
二、电磁振荡的产生：
1、与电场能和磁场能有关的因素：
(1)与电场能有关的因素：
电场能
电场线密度 L 电场强度E
++++
CE
－－－－
S
电容器极板间电压u
电容器带电量q a
5
(2)与磁场能有关的因素：
磁场能
磁感线密度磁感强度B
线圈中电流 i
a
6
2、电磁振荡的产生过程：
q ↓ → u↓ → i ↓
o
t
u o
t
电场能
磁场能
o
t
o
a
t
演示一
演示二
12
3、电磁振荡：
在振荡电路产生振荡电流的过程中，电容器极板上的电荷、通过线圈的电流，以及跟电荷和电流相联系的电场和磁场都发生周期性的变化，这种现象叫电磁振荡。
a
13
4、电磁振荡与简谐运动的类比
电磁振荡
简谐运动
过程特点
对应的物理量
规律
充电：加在电容器两端的电压产生充电电流；线圈的电感阻碍充电电流的突变。
LC振荡电路产生振荡电流的物理原因是电容器的充放电作用和线圈的自感作用；
LC振荡电路产生振荡电流的物理实质是电场能和磁场能的周期性转换。
在解决振荡电路问题时，电场能与磁场能的交替转化是解决问题的线索和关键；与电场能和磁场能相关的各量的变化规律是解决问题的依据；q—t 和I－t 图线及其相互转化是解决问题的直观手段。
t=T/4
t=T/2 t=3T/4
t=T
电容器带电量
电路中电流
电场能

《电磁场与电磁波》课件

研究磁场的能量密度和能量传递，探索电流元间的相互作用。
第三章电磁感应
法拉第电磁感应定律
深入研究法拉第电磁感应定律，了解磁场变化对电场和电流的影响。
感生电动势的应用
探索感生电动势在变压器和发电机等装置中的应用。
变化磁场中的安培环路定理
自感和互感
理解变化磁场对闭合回路的感应电流产生的作用。学习自感和互感的概念和特性，探索它们在电路中的应用。
1 电磁场在物理学、化学、生物学等中的应用
探索电磁场在不同学科领域中的重要应用，如粒子加速器和磁共振成像。
2 电磁波在通信、雷达、医疗等中的应用
了解电磁波在现代通信、雷达和医疗技术中的关键作用。
3 总结与展望
回顾本课程的重点内容，并展望电磁场和电磁波在未来的应用前景。
第四章电磁波
电磁波的基本性质
介绍电磁波中的传播规律，理解折射和反射现象。
电磁波谱
探索不同频率的电磁波，了解它们在光谱中的位置和应用。
天线和电磁波的辐射
研究天线的原理和电磁波的发射、接收及调制技术。
第五章电磁场与电磁波的应用
《电磁场与电磁波》PPT 课件
欢迎来到《电磁场与电磁波》的课程PPT！在本课程中，我们将深入探讨电磁场和电磁波的概念和应用，帮助您理解这一重要的物理学领域。
第一章电场
电荷与电场
电磁场的基础，探索电荷对周围空间产生的影响。
电势与电势差
学习电势的概念和计算方法，探索电势差对电荷运动的影响。
静电场基本定律
深入研究库仑定律和电场强度，理解静电场的本质。
静电场的能量
了解静电场的能量密度和能量传递，探索电荷间的相互作用。
第二章磁场

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x, y, z
ex , ey , ez
r ex x ey y ez z
dl exdx eydy ezdz
dSx
exdlydlz
exdydz
dSy dSz
eydlxdlz
ezdlxdly
eydxdz
ezdxdy
体积元
dV dxdydz
10
z
z z0 （ez平面）
P
ey
ex
坐标单位矢量的关系
z
ez
er
e
单位圆
e
o
柱坐标系与求坐标系之间
坐标单位矢量的关系
1.3 标量场的梯度
标量场和矢量场确定空间区域上的每一点都有确定物理量与之对应，称在该区域上定义了一个
场。
如果物理量是标量，称该场为标量场。
例如：温度场、电位场、高度场等。
如果物理量是矢量，称该场为矢量场。
r
r
r gF (x,
y, z)
lim
ÑS F(x, y, z) dS
V 0
V
称为矢量场的散度。
散度是矢量通过包含该点的任意闭合小曲面的通量与曲面元体积之比的极限。
26
散度的表达式：
直角坐标系
F
Fx
Fy
Fz
x y z
柱面坐标系
F
(F )
F
Fz
z
球面坐标系
F
1 r2
r
(r 2Fr )
16
2. 方向导数
概念：式中：
u |
l M0
lim
l 0
u l
u x
cos
cos、cos、cos
u y
——
cos u cos
z 的方l 向余弦。
意义：方向性导数表示场沿某方向的空间变化率。
•
u——0u(M)沿 l
r l 方向增加；
lr • u——0u(M)沿方向减小；
•
l
u ——0u(M)沿
S F gdS Fx Fy Fz
V 0 V
x y z
28
4、散度定理
从散度的定义出发，可以得到矢量场在空间任意闭合曲面的通量等于该闭合曲面所包含体积中矢量场的散度的体积分，即
SF dS V FdV
散度定理是闭合曲面积分与体积分之间的一个变换关系，在电磁理论中有着广泛的应用。
例如：流速场、重力场、电场、磁场等。
如果场与时间无关，称为静态场，反之为时变场。
从数学上看，场是定义在空间区域上的函数：静态标量场和矢量场可分别表示为：
时变标量场和矢量场可分别表示为：
14
u(x, y, z)、F(x, y, z)
u(x, y, z,t)、 F(x, y, z,t)
15
1. 标量场的等值面
1
本章内容
1.1 矢量代数 1.2 常用正交曲线坐标系 1.3 标量场的梯度 1.4 矢量场的通量与散度 1.5 矢量场的环流和旋度 1.6 无旋场与无散场 1.7 拉普拉斯运算与格林定理 1.8 亥姆霍兹定理
2
1. 标量和矢量
1.1 矢量代数
标量：一个只用大小描述的物理量。
矢量：一个既有大小又有方向特性的物理量，常用黑体字母或带箭头的字母表示。
通量的概念：
ψ
rr dψ F dS
S
S
r F
ern
dS
dS
其中：
r dS
erndS
——面积元矢量；
r en
——面积元的法向单位矢量；
dψ
r F
erndS
——穿过面积元
的通dSr量；
面积元矢量
如果曲面 S 是闭合的，则规定曲面法矢由闭合曲面内指向外，矢量场对闭合曲
面的通量是：
23
蜒 S Fr
r l 方向无变化。
l
r
特点：方向性导数既与点M0有关，也与
l
方向有关。
l
M0
M
r l
方向导数的概念
问题：在什么方向上变化率最大、其最大的变化率为多少？
3、标量场的梯度（
g或radu） u
| 概念：
u
en
，u 其中 l max
er取n 得最大值ul 的方向
意义：描述标量场在某点的最大变化率及其变化最大的方向
1
r sin
(sin F )
1
r sin
(F )
C C 0 (C为常矢量)
散度的有关公式：
(Cf ) C f
(kF ) k F (k为常量)
( f F ) f F F f
(F G) F G
直角坐标系下散度表达式的推导不失一般性，令包围P点的微体积V 为一直平行六面体，如图所示。则
Ax
Bx
)
ey
(
Ay
By
)
ez
(
Az
Bz
)
矢量的加减符合交换律和结合律
交换律
rr rr AB B A
结合律
r rr rr r A (B C) (A B) C
B
A
AB
B
矢量的减法
5
6
（2）标量乘矢量
kA
exkAx
ey k Ay
ez k Az
（3）矢量的标积（点积）
A B AB cos AxBx Ay By Az Bz
梯度的表达式：直角面坐标系圆柱面坐标系球面坐标系
17
u
ex
u x
ey
u y
ez
u z
u
e
u
e
1
u
ez
u z
u
er
u r
e
1 r
u
e
1
r sin
u
梯度的性质：
• 标量场的梯度是矢量场，它在空间某点的方向表示该点场变化最大（增大）的方向，其数值表示变化最大方向上场的空间变化率。
0
圆柱坐标与球坐标系
e
er sin
e
0
e cos
0
e
0
1
ez
0 0 1
ez
cos sin
0
直角坐标与球坐标系
er
e
ex
sin cos
cos sin
ey
sin sin cos sin
ez
cos sin
e sin
cos
0
y e
13
ey e
ex
o
单位圆
x
直角坐标系与柱坐标系之间
P
(1,1,1)
20
而该点的梯度值为
(2x)2 (2 y)2 (1)2 3
P
(1,1,1)
显然，梯度描述了P点处标量函数的最大变化率，即最大的方向导数，
P
故
恒成立。
l
P
P
21
1.4 矢量场的通量与散度
1、矢量线概念：矢量线是这样的曲线，其上每一点的切线方向代表了该点矢量场的方向。
等值面: 标量场取得同一数值的点在空间形成的曲面。
意义: 形象直观地描述了物理量在空间的分布状态。
等值面方程： u(x, y, z) C
等值面的特点：
标量场的等值线(面)
• 常数C 取一系列不同的值，就得到一系列不同的等值面，形成等值面族；
• 标量场的等值面充满场所在的整个空间； • 标量场的等值面互不相交。
erx
2 3
er y
2 3
erz
1 3
(1,1,1)
(2) 由方向导数与梯度之间的关系式可知，沿el方向的方向导数为
l
r gel
rr (ex 2x ey 2 y
rr ez )g(ex
1 2
r ey
2 2
r ez
12)
x
2
y
1 2
对于给定的P点，上述方向导数在该点取值为
l
x
2
y
1 2
1 2 2 2
e
rd
e rsin d
dSr
er dl dl
er r 2sin dd
dS dS
e dlrdl
e dlr dl
ez
rsin
drd
erdrd
球面坐标系
dV r2sindrdd
球坐标系中的线元、面元和体积元
•4、坐标单位矢量之间的关
系
直角坐标与圆柱坐标系
eeez
ex
cos sin
0
ey
sin cos
[Fx (x0
x 2
,
y0 ,
z0 )
Fx (x0
x 2
,
y0 ,
z0 )]yz
Fx x
xyz
27
同理，分析穿出另两组侧面的净通量，并合成之，即得由点P 穿出该六面体的净通量为
Ñ r r
F gdS
Fx
xyz
Fy
xyz
Fz
xyz
S
x
y
z
根据定义，则得到直角坐标系中的散度表达式为
rr
Ñ r
gF lim
o
点P(x0,y0,z0)
y
y y0（平面） x x x0 （平面）
直角坐标系
z
dS z
ezdxdy
dz
dS y
eydxdz
dx
o
dy
dSx
exdydz
y
x
直角坐标系的长度元、面积元、体积元
11
•2、圆柱面坐标系