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数值分析2007第二学期期末考试试题与答案(A)
期末考试试卷（A 卷）2007学年第二学期 考试科目： 数值分析 考试时间：120 分钟学号 姓名 年级专业一、判断题（每小题2分，共10分）1. 用计算机求1000100011n n=∑时，应按照n 从小到大的顺序相加。
（ ）2. 为了减少误差,进行计算。
（ ）3. 用数值微分公式中求导数值时，步长越小计算就越精确。
（ ）4. 采用龙格－库塔法求解常微分方程的初值问题时，公式阶数越高，数值解越精确。
（ ）5. 用迭代法解线性方程组时，迭代能否收敛与初始向量的选择、系数矩阵及其演变方式有关，与常数项无关。
（ ）二、填空题（每空2分，共36分）1. 已知数a 的有效数为0.01，则它的绝对误差限为________，相对误差限为_________.2. 设1010021,5,1301A x -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦则1A =_____，2x =______，Ax ∞=_____.3. 已知53()245,f x x x x =+-则[1,1,0]f -= ,[3,2,1,1,2,3]f ---= .4. 为使求积公式11231()((0)f x dx A f A f A f -≈++⎰的代数精度尽量高，应使1A = ，2A = ，3A = ，此时公式具有 次的代数精度。
5. n 阶方阵A 的谱半径()A ρ与它的任意一种范数A 的关系是 .6. 用迭代法解线性方程组AX B =时，使迭代公式(1)()(0,1,2,)k k XMX N k +=+= 产生的向量序列{}()k X收敛的充分必要条件是 .7. 使用消元法解线性方程组AX B =时，系数矩阵A 可以分解为下三角矩阵L 和上三角矩阵U 的乘积，即.A LU = 若采用高斯消元法解AX B =，其中4221A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则L =_______________，U =______________；若使用克劳特消元法解AX B =，则11u =____；若使用平方根方法解AX B =，则11l 与11u 的大小关系为_____（选填：>，<，=，不一定）。
数值分析期末考试和答案
数值分析期末考试和答案一、单项选择题（每题2分，共20分）1. 在数值分析中，下列哪个方法用于求解线性方程组？A. 插值法B. 迭代法C. 直接法D. 拟合法答案：C2. 以下哪个数值方法是用于求解非线性方程的？A. 高斯消元法B. 牛顿迭代法C. 线性插值法D. 拉格朗日插值法答案：B3. 在数值积分中，梯形法则的误差与下列哪个因素无关？A. 被积函数的二阶导数B. 积分区间的长度C. 积分区间的划分数量D. 被积函数的一阶导数答案：D4. 以下哪个数值方法是用于求解常微分方程的？A. 欧拉方法B. 牛顿迭代法C. 拉格朗日插值法D. 高斯消元法答案：A5. 在数值分析中，下列哪个方法用于求解特征值问题？A. 高斯消元法B. 幂迭代法C. 牛顿迭代法D. 梯形法则答案：B6. 以下哪个数值方法是用于求解线性最小二乘问题的？A. 高斯消元法B. 梯形法则C. 正交分解法D. 牛顿迭代法答案：C7. 在数值分析中，下列哪个方法用于求解非线性方程组？A. 高斯消元法B. 牛顿迭代法C. 线性插值法D. 欧拉方法答案：B8. 在数值分析中，下列哪个方法用于求解偏微分方程？A. 有限差分法B. 牛顿迭代法C. 线性插值法D. 梯形法则答案：A9. 在数值分析中，下列哪个方法用于求解优化问题？A. 高斯消元法B. 梯形法则C. 牛顿迭代法D. 单纯形法答案：D10. 在数值分析中，下列哪个方法用于求解插值问题？A. 高斯消元法B. 梯形法则C. 牛顿迭代法D. 拉格朗日插值法答案：D二、填空题（每题2分，共20分）1. 在数值分析中，求解线性方程组的直接法包括______消元法和______消元法。
答案：高斯；LU2. 牛顿迭代法的收敛速度是______阶的。
答案：二3. 梯形法则的误差与被积函数的______阶导数有关。
答案：二4. 欧拉方法是一种求解______阶常微分方程的数值方法。
答案：一5. 幂迭代法是求解______特征值问题的数值方法。
数值分析期末试卷A卷
数值分析期末试卷A卷第 1 页共 6 页西北农林科技⼤学本科课程考试试题（卷）2015—2016学年第⼆学期《数值分析》课程A 卷专业班级：命题教师：审题教师：学⽣姓名：学号：考试成绩：⼀、填空题（每空2分，共20分）得分：分1. 设x 1=1.216， x 2=3.654均具有3位有效数字，则x 1+ x 2的误差限为 .2. 近似值x *=0.231关于真值x =0.229有位有效数字.3. 误差有多种来源，数值分析主要研究误差和误差.4. 已知f (1)＝2，f (2)＝3，f (4)＝5.9，则2次Newton 插值多项式中x 2项前⾯的系数为 .5. 计算积分?15.0d x x , 计算结果取4位有效数字. ⽤梯形公式计算的近似值为，⽤Simpson 公式计算的近似值为 . 其中，梯形公式的代数精度为，Simpson 公式的代数精度为. ( 1.7321≈≈) 6. 假设n n H R ?∈是Householder 矩阵，n v R ∈是⼀个n 维向量，则Hv = .⼆、选择题（每⼩题 2分，共20分）得分：分1. ⽤13x+所产⽣的误差是误差.A. 舍⼊B. 观测C. 模型D. 截断2.1.732≈，计算)41x =，下列⽅法中最好的是 .A.28-B. (24-C. ()2164+D. ()4161 3. 在Newton-Cotes 求积公式中，当Cotes 系数为负值时，求积公式的稳定性不能保证. 因此在实际应⽤中，当时的Newton-Cotes 求积公式不使⽤.第 2 页共 6 页A. 8n ≥B. 7n ≥C. 5n ≥D. 6n ≥4. 解⽅程组Ax =b 的简单迭代格式(1)()k k x Bx g +=+收敛的充要条件是 .A. ()1A ρ<B. ()1B ρ<C. ()1A ρ>D. ()1B ρ>5. 已知⽅程3250x x --=在x =2附近有根，下列迭代格式中在02x =附近不收敛的是 .A. 1k x +=B.1k x +=C.315k kk x x x +=-- D.3122532k k k x x x ++=- 6. 设--=700150322A ，则)(A ρ为． A ． 2 B ． 5 C ． 7 D ． 37. 三点的⾼斯求积公式的代数精度为 .A ． 2B ．5C ． 3D ． 48. ⽤列主元消去法解线性⽅程组??-=+--=-+-=+-134092143321321321x x x x x x x x x ，第1次消元时，选择的主元为 .A.－4B. 3C.4D.－99. 假设cond (A )表⽰⾮奇异矩阵A 的条件数，则下列结论中错误的是 .A.()()1cond A cond A -=B.()(),cond A cond A R λλλ=∈C. ()1cond A ≥D.()1cond A A A -=?10. 设)(x f 可微, 求⽅程)(x f x =的⽜顿迭代格式是 .A. 1()1()k k k k k x f x x x f x +-=-'-B. 1()1()k k k k k x f x x x f x ++=+'+C. 1()()k k k k f x x x f x +=-'D. 1()()k k k k f x x x f x +=+'三、简答题（每⼩题5分，共20分）得分：分1. 什么是数值算法的稳定性？如何判断算法是否稳定？为什么不稳定的算法不能使⽤？2. 埃尔⽶特插值与⼀般函数插值有什么不同？3. 简述⼆分法的优缺点.4. 什么是矩阵的条件数？如何判断线性⽅法组是病态的？第 3 页共 6 页第 4 页共 6 页四、计算题（每⼩题8分，共32分）得分：分1. 已知下列函数表(1) 写出相应的3次(2) 作均差表，写出相应的3次Newton 插值多项式，并计算f (1.5)的近似值。
《数值分析》A卷期末考试试题及参考答案
一、单项选择题(每小题3分，共15分) 1、用Simpson 公式求积分1401x dx +⎰的近似值为 ( ).A.2924 B.2429C.65D. 562、已知(1)0.401f =，且用梯形公式计算积分2()f x dx ⎰的近似值10.864T =，若将区间[0,2]二等分，则用递推公式计算近似值2T 等于( ). A.0.824 B.0.401 C.0.864 D. 0.8333、设3()32=+f x x ,则差商0123[,,,]f x x x x 等于( ).A.0B.9C.3D. 64的近似值的绝对误差小于0.01%，要取多少位有效数字( ). A.3 B.4 C.5 D. 25、用二分法求方程()0=f x 在区间[1,2]上的一个实根，若要求准确到小数 点后第四位，则至少二分区间多少次( ).A.12B.13C.14D. 15二、填空题(每小题4分，共40分)1、对于迭代函数2()=(3)ϕ+-x x a x ，要使迭代公式1=()ϕ+k k x x则a 的取值范围为 .2、假设按四舍五入的近似值为2.312，则该近似值的绝对误差限为 .3、迭代公式212(3)=,03++>+k k k k x x a x a x a收敛于α= (0)α>. 4、解方程4()530f x x x =+-=的牛顿迭代公式为 . 5、设()f x 在[1,1]-上具有2阶连续导数，[1,1]x ∀∈-，有1()2f x ''≤，则()f x 在[1,1]-上的线性插值函数1()L x 在点0处的误差限1(0)R ≤______.6、求解微分方程初值问题2(0)1'=-⎧⎨=⎩y xy yy ，0x 1≤≤的向前Euler 格式为 .7、设310131013A -⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭，则A ∞= .8、用梯形公式计算积分112-⎰dx x 的近似值为 . 9、设12A 21+⎡⎤=⎢⎥⎣⎦a 可作Cholesky 分解，则a 的取值范围为 . 10、设(0)1,(0.5) 1.5,(1)2,(1.5) 2.5,(2) 3.4f f f f f =====，若1=h ，则用三点公式计算(1)'≈f .三、解答题（共45分） 1、给定数据用复化Simpson 公式计算1.381.30()f x dx ⎰的近似值，并估计误差，小数点后保留3位. (8分)2、用直接三角分解法求线性代数方程组⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡432631531321321x x x 的解. (8分) 3、求()λx ，使得迭代公式1()()λ+=+k k k k f x x x x 求方程2()31=+-f x x x 的根的相应迭代序列{}k x 具有平方收敛. (5分)4、已知数据试对数据用最小二乘法求出形如=+y x b的拟合曲线. (8分) 5、已知(2)8f -=，(0)4f =，(2)8=f ，试求二次拉格朗日插值多项式. (8分) 6、设矩阵A 如下，根据谱半径判断用Jacobi 迭代法求解方程组Ax b =的敛散性.（8分）1102111221012A ⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦一、单项选择题（每小题3分，合计15分） 1、A 2、D 3、C 4、C 5、D 二、填空题（每小题3分，合计30分） 1、0<<a ； 2、31102-⨯； 3；4、4135345++-=-+k k k k k x x x x x ； 5、14； 6、1(2)+=+-n n n n n y y h x y y ； 7、5；8、34-； 9、3>a ；10、1.2；三、计算题（合计55分） 1、给定数据用复化Simpson 公式计算 1.381.30()f x dx ⎰的近似值，并估计误差，小数点后保留3位. (8分)解： 401024S [()4()()]6-=++x x f x f x f x ………… 1分 1.38 1.30(3.624 4.20 5.19)6-=+⨯+ 0.341= ………… 2分20422012234S [()4()()][()4()()]66--=+++++x x x xf x f x f x f x f x f x =0.342 ………… 6分2211[]15-≈-I S S S =-⨯40.6710 ………… 8分 2、用直接三角分解法求线性代数方程组⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡432631531321321x x x 的解. (8分) 解：设111213212223313233u u u 123100135l 100u u 136l l 100u ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=*⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦………… 1分 111=u ，212=u ，313=u ，121=l ，131=l 122=u ，223=u ，132=l133=u ，133=l …………6分所以⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=111011001L ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100210321U …………7分 由b Ly =得Ty )1,1,2(=；由y Ux =得Tx )1,1,1(-=. ………… 8分3、求()λx ，使得迭代公式1()()λ+=+k k k k f x x x x 求方程2()31=+-f x x x 的根的相应迭代序列{}k x 具有平方收敛.(6分)解：要使迭代序列具有平方收敛，则()0ϕ'*=x ………… 2分 而()()()ϕλ=+f x x x x ，即 ………… 3分 2()()()()10()λλλ''**-**+=*f x x x f x x …………4分 而()0*=f x 则有()1()λ'*=-*f x x ………… 5分所以()()23λ'=-=--x f x x ………… 6分4、已知数据试对数据用最小二乘法求出形如=+ay x b的拟合曲线. (8分) 解：因为11=+b x y a a ，令0111,,,====b a a y x x a a y……2分 则有法方程01461061410⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭a a ……5分解出014,1==-a a ，则1,4=-=-a b ……7分 所以1=4-y x……8分5、已知(2)8f -=，(0)4f =，(2)8=f ，试求二次拉格朗日插值多项式. (7分)解：01()(2)8l x x x =- …………2分 211()(4)4l x x =-- …………4分21()(2)8l x x x =+ …………6分 2012()()(2)()(0)()(2)L x l x f l x f l x f =-++24=+x …………7分6、设矩阵A 如下，根据谱半径判断用Jacobi 迭代法求解方程组Ax b =的敛散性.（8分）1102111221012A ⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦解：100010001D ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，00010021002L ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，10021002000U ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦…………3分1100211()0221002J B D L U -⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦…………5分 2102111()0222102J E B λλλλλλ⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=--=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦…………6分()2J B ρ=…………7分 所以用Jacobi 迭代法求解方程组Ax b =收敛 …………8分。
数值分析期末试题及答案
数值分析期末试题及答案试题一：1. 简答题（共10分）a) 什么是数值分析？它的主要应用领域是什么？b) 请简要解释迭代法和直接法在数值计算中的区别。
2. 填空题（共10分）a) 欧拉方法是一种______型的数值解法。
b) 二分法是一种______法则。
c) 梯形法则是一种______型的数值积分方法。
3. 计算题（共80分）将以下函数进行数值求解：a) 通过使用二分法求解方程 f(x) = x^3 - 4x - 9 = 0 的近似解。
b) 利用欧拉方法求解微分方程 dy/dx = x^2 + 2x + 1, y(0) = 1 在 x = 1 处的解。
c) 使用梯形法则计算积分∫[0, π/4] sin(x) dx 的近似值。
试题二：1. 简答题（共10分）a) 请解释什么是舍入误差，并描述它在数值计算中的影响。
b) 请解释牛顿插值多项式的概念及其应用。
2. 填空题（共10分）a) 数值稳定性通过______号检查。
b) 龙格－库塔法是一种______计算方法。
c) 零点的迭代法在本质上是将方程______转化为______方程。
3. 计算题（共80分）使用牛顿插值多项式进行以下计算：a) 已知插值节点 (-2, 1), (-1, 1), (0, 2), (1, 4)，求在 x = 0.5 处的插值多项式值。
b) 已知插值节点 (0, 1), (1, 2), (3, 7)，求插值多项式，并计算在 x = 2 处的值。
c) 使用 4 阶龙格－库塔法求解微分方程 dy/dx = x^2 + 1, y(0) = 1。
答案：试题一：1. a) 数值分析是研究使用数值方法解决数学问题的一门学科。
它的主要应用领域包括数值微积分、数值代数、插值和逼近、求解非线性方程、数值积分和数值解微分方程等。
b) 迭代法和直接法是数值计算中常用的两种方法。
迭代法通过反复迭代逼近解，直到满足所需精度为止；而直接法则通过一系列代数运算直接得到解。
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模 拟 试 卷（一）一、填空题（每小题3分，共30分）1．有3个不同节点的高斯求积公式的代数精度是 次的.2．设，，则=.，= ______.152210142-⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦A 342⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭x ∞A1x3．已知y =f (x )的均差（差商），，，01214[,,]3f x x x =12315[,,] 3f x x x =23491[,,]15f x x x =, 那么均差=.0238[,,] 3f x x x =423[,,]f x x x 4．已知n =4时Newton －Cotes 求积公式的系数分别是：则,152,4516,907)4(2)4(1)4(0===C C C ＝ .)4(3C 5．解初始值问题的改进的Euler 方法是阶方法；0(,)()y f x y y x y '=⎧⎨=⎩6．求解线性代数方程组的高斯—塞德尔迭代公式为，123123123530.13260.722 3.51x x x x x x x x x --=⎧⎪-++=⎨⎪++=⎩若取, 则.(0)(1,1,1)=- x(1)=x 7．求方程根的牛顿迭代格式是 .()x f x =8．是以整数点为节点的Lagrange 插值基函数，则01(), (),, ()n x x x 01, ,, ,n x x x =.()nk jk k x x =∑9．解方程组的简单迭代格式收敛的充要条件是.=Ax b (1)()k k +=+x Bx g 10．设，则的三次牛顿插值多项式为(-1)1,(0)0,(1)1,(2)5f f f f ====()f x ，其误差估计式为 .二、综合题（每题10分，共60分）1．求一次数不超过4次的多项式满足：，，()p x (1)15p =(1)20p '=(1)30p ''=，.(2)57p =(2)72p '=2．构造代数精度最高的形式为的求积公式，并求出10101()()(1)2xf x dx A f A f ≈+⎰其代数精度.3．用Newton 法求方程在区间内的根, 要求.2ln =-x x ) ,2(∞8110--<-kk k x x x 4．用最小二乘法求形如的经验公式拟合以下数据：2y a bx=+i x 19253038iy 19.032.349.073.35．用矩阵的直接三角分解法解方程组.⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡71735 30103421101002014321x x x x 6 试用数值积分法建立求解初值问题的如下数值求解公式0(,)(0)y f x y y y '=⎧⎨=⎩，1111(4)3n n n n n hy y f f f +-+-=+++其中.(,),1,,1i i i f f x y i n n n ==-+三、证明题（10分）设对任意的，函数的导数都存在且,对于满足x ()f x ()f x '0()m f x M '<≤≤的任意，迭代格式均收敛于的根.20Mλ<<λ1()k k k x x f x λ+=-()0f x =*x 参考答案一、填空题1．5； 2. 8, 9 ; 3.； 4. ； 5. 二； 911516456. , (0.02，0.22，0.1543)(1)()()123(1)(1)()213(1)(1)(1)312(330.1)/5(220.7)/6(12)*2/7k k k k k k k k k x x x x x x x x x ++++++⎧=++⎪=+-⎨⎪=--⎩7. ; 8. ; 9. ;1()1()k k k k k x f x x x f x +-=-'-j x ()1B ρ<10.32(4)11,()(1)(1)(2)/24(1,2)66x x x f x x x x ξξ+-+--∈-二、综合题1．差商表：11122151515575720204272152230781233234()1520(1)15(1)7(1)(1)(2)5432p x x x x x x x x x x =+-+-+-+--=++++其他方法：设233()1520(1)15(1)7(1)(1)()p x x x x x ax b =+-+-+-+-+令，，求出a 和b.(2)57p =(2)72p '=2．取，令公式准确成立，得：()1,f x x =,, , .0112A A +=011123A A +=013A =116A =时，公式左右；时，公式左, 公式右2()f x x =14=3()f x x =15=524=∴ 公式的代数精度.2=3．此方程在区间内只有一个根，而且在区间（2，4）内。
数值分析期末试题及答案
数值分析期末试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 在数值分析中，下列哪个算法不是用于求解线性方程组的？A. 高斯消元法B. 牛顿法C. 雅可比法D. 追赶法答案：B2. 插值法中，拉格朗日插值法属于：A. 多项式插值B. 样条插值C. 线性插值D. 非线性插值答案：A3. 以下哪个选项不是数值分析中的误差来源？A. 截断误差B. 舍入误差C. 计算误差D. 测量误差答案：C4. 在数值积分中，梯形法则的误差项是：A. O(h^2)B. O(h^3)C. O(h)D. O(1)答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 牛顿插值法中，插值多项式的一般形式为：______。
答案：f(x) = a_0 + a_1(x-x_0) + a_2(x-x_0)(x-x_1) + ...2. 牛顿迭代法求解方程的根时，迭代公式为：x_{n+1} = x_n -f(x_n) / __________。
答案：f'(x_n)3. 在数值分析中，______ 用于衡量函数在区间上的近似积分值与真实积分值之间的差异。
答案：误差4. 线性方程组的解法中，______ 法是利用矩阵的LU分解来求解。
答案：克兰特三、解答题（每题10分，共60分）1. 给定函数f(x) = e^(-x)，使用拉格朗日插值法，求x = 0.5时的插值值。
解答：首先选取插值节点x_0 = 0, x_1 = 0.5, x_2 = 1，对应的函数值分别为f(0) = 1, f(0.5) = e^(-0.5), f(1) = e^(-1)。
拉格朗日插值多项式为：L(x) = f(0) * (x-0.5)(x-1) / (0-0.5)(0-1) + f(0.5) * (x-0)(x-1) / (0.5-0)(0.5-1) + f(1) * (x-0)(x-0.5) / (1-0)(1-0.5)将x = 0.5代入得：L(0.5) = 1 * (0.5-0.5)(0.5-1) / (0-0.5)(0-1) + e^(-0.5) * (0.5-0)(0.5-1) / (0.5-0)(0.5-1) + e^(-1) * (0.5-0)(0.5-0.5) / (1-0)(1-0.5)计算得L(0.5) = e^(-0.5)。
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9
1
xdx T4
h[ 2
f
1
3
2 k 1
f
xk
f
9]
2[ 1 2 3 5 7 9] 2
17.2277
（2）用 n 4 的复合辛普森公式
由于 h 2 ， f x
x
，
xk
1
2k k
1, 2,3，
x
k
1
2
2k k
0,1, 2,3，所以，有
2
3
9
1
xdx S4
h[ 6
f
1
若 span1, x，则0 (x) 1 ，1(x) x ，这样，有
2
1
0 ,0 1dx 1
0
1,1
1 0
x2dx
1 3
0
,1
1,0
1
0
xdx
1 2
1
f ,0 exdx 1.7183
0
1
f ,1 xexdx 1
0
所以，法方程为
1
1
1
2 1
a0
a1
1.7183 1
1 0
1
23
2 1
a0
a1
6 1
12
3
再回代解该方程，得到
a1
4
，
a0
11 6
故，所求最佳平方逼近多项式为
S1*
(
x)
11 6
4x
例 3、 设 f (x) ex ， x [0,1] ，试求 f (x) 在[0, 1]上关于 (x) 1 ， span1, x的最
佳平方逼近多项式。 解：
1
4
x1
1 5
北师大网络教育 数值分析 期末试卷含答案
注：1、教师命题时题目之间不留空白； 2、考生不得在试题纸上答题，教师只批阅答题册正面部分，若考北师大网络教育——数值分析——期末考试卷与答案一．填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）1.设有节点012,,x x x ，其对应的函数()y f x =的值分别为012,,y y y ，则二次拉格朗日插值基函数0()l x 为 。
2.设()2f x x =，则()f x 关于节点0120,1,3x x x ===的二阶向前差分为 。
3.设110111011A -⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，233x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则1A ＝ ，1x = 。
4. 1n +个节点的高斯求积公式的代数精确度为 。
二．简答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）1. 哪种线性方程组可用平方根法求解？为什么说平方根法计算稳定？2. 什么是不动点迭代法？()x ϕ满足什么条件才能保证不动点存在和不动点迭代序列收敛于()x ϕ的不动点？3. 设n 阶矩阵A 具有n 个特征值且满足123n λλλλ>≥≥≥，请简单说明求解矩阵A 的主特征值和特征向量的算法及流程。
三．求一个次数不高于3的多项式()3P x ，满足下列插值条件：并估计误差。
（10分）四．试用1,2,4n =的牛顿-科特斯求积公式计算定积分1011I dx x=+⎰。
（10分） 五．用Newton 法求()cos 0f x x x =-=的近似解。
（10分） 六．试用Doolittle 分解法求解方程组：注：1、教师命题时题目之间不留空白； 2、考生不得在试题纸上答题，教师只批阅答题册正面部分，若考 12325610413191963630x x x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎣⎦（10分） 七．请写出雅可比迭代法求解线性方程组123123123202324812231530x x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩ 的迭代格式，并判断其是否收敛？（10分）八．就初值问题0(0)y yy y λ'=⎧⎨=⎩考察欧拉显式格式的收敛性。
2019年数值分析第二学期期末考试试题与答案A
卷）期末考试试卷（A2007学年第二学期考试科目：数值分析分钟考试时间：120年级专业学号姓名题号一2二三0四总分分）分，共10一、判断题（每小题210001?n）（ 1. 用计算机求时，应按照从小到大的顺序相加。
1000n1n?219992001?为了减少误差2. ,应将表达式进行计算。
（改写为）19992001?）（ 3. 用数值微分公式中求导数值时，步长越小计算就越精确。
） 4. 采用龙格－库塔法求解常微分方程的初值问题时，公式阶数越高，数值解越精确。
（系数矩阵及其演变方式有用迭代法解线性方程组时，5. 迭代能否收敛与初始向量的选择、）（关，与常数项无关。
分）二、填空题（每空2分，共36_________.________，相对误差限为已知数a的有效数为0.01，则它的绝对误差限为1.0?110??????????xA?Ax,0?21,x??5A?_____.则设______，_____，2. ????21?????1?130????53f(x)?2x?4x?5x,f[?1,1,0]?f[?3,?2,?1,1,2,3]? 3. 已知则, .331?)?Af(0)?Af(f(x)dx?Af(?)的代数精度尽量高，应使4. 为使求积公式321331?A?A?A?，此时公式具有，，次的代数精度。
312?nA)(A的关系是 5. A阶方阵的谱半径与它的任意一种范数.(k?1)(k)BAX??N(k?XMX?0,1,2,)产时，使迭代公式用迭代法解线性方程组6.??)k(X .生的向量序列收敛的充分必要条件是AX?BAL和上三角矩7. 使用消元法解线性方程组系数矩阵时，可以分解为下三角矩阵14?2??BAX?.A?LUU?A，则阵若采用高斯消元法解的乘积，即，其中??21??L?U?AX?B，则，______________；若使用克劳特消元法解_______________u?lu BAX?的大小关系为_____（选填：则____；若使用平方根方法解>与，，111111<，=，不一定）。
数值分析期末考试题及答案
数值分析期末考试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 在数值分析中，下列哪个算法用于求解线性方程组？A. 牛顿法B. 高斯消元法C. 插值法D. 傅里叶变换答案：B2. 以下哪个选项不是数值分析中的误差类型？A. 舍入误差B. 截断误差C. 测量误差D. 累积误差答案：C3. 多项式插值中，拉格朗日插值法的特点是：A. 插值点必须等距分布B. 插值多项式的次数与插值点的个数相同C. 插值多项式是唯一的D. 插值多项式在插值点处的值都为1答案：B4. 在数值分析中，下列哪个方法用于求解非线性方程？A. 辛普森法则B. 牛顿迭代法C. 欧拉法D. 龙格-库塔法答案：B5. 以下哪个是数值稳定性的指标？A. 收敛性B. 收敛速度C. 条件数D. 误差传播答案：C二、简答题（每题10分，共20分）1. 简述高斯消元法求解线性方程组的基本原理。
答案：高斯消元法是一种直接解法，通过行变换将增广矩阵转换为上三角形式，然后通过回代求解线性方程组。
它包括三个基本操作：行交换、行乘以非零常数、行相加。
2. 解释什么是数值稳定性，并举例说明。
答案：数值稳定性是指数值解对输入数据小的扰动不敏感的性质。
例如，某些数值方法在计算过程中可能会放大舍入误差，导致结果不可靠，这样的方法就被认为是数值不稳定的。
三、计算题（每题15分，共30分）1. 给定线性方程组：\[\begin{align*}x + 2y - z &= 4 \\3x - y + 2z &= 1 \\-x + y + z &= 2\end{align*}\]使用高斯消元法求解该方程组，并给出解。
答案：首先将增广矩阵转换为上三角形式，然后回代求解，得到\( x = 1, y = 2, z = 1 \)。
2. 给定函数 \( f(x) = x^2 - 3x + 2 \)，使用拉格朗日插值法在\( x = 0, 1, 2 \) 处插值，并求出插值多项式。
(完整)数值分析学期期末考试试题与答案(A),推荐文档
期末考试试卷( A 卷)2007 学年第二学期 考试科目： 数值分析 考试时间： 120 分钟学号 姓名 年级专业100011. 用计算机求11000时，应按照 n 从小到大的顺序相加。
n1n2. 为了减少误差 ,应将表达式 2001 1999 改写为 2进行计算。
( )2001 19993. 用数值微分公式中求导数值时，步长越小计算就越精确。
( )4. 采用龙格－库塔法求解常微分方程的初值问题时， 公式阶数越高，数值解越精确。
( )5. 用迭代法解线性方程组时， 迭代能否收敛与初始向量的选择、 系数矩阵及其演变方式有关，与常数项无关。
( ) 二、填空每空 2 分，共 36 分)1. 已知数 a 的有效数为 0.01 ，则它的绝对误差限为 _______ ，相对误差限为 _1 0 1 02. 设 A0 2 1 ,x 5 ,则 A 1____________________________ _， x 2 ______ ，Ax1 3 0 13. 已知 f (x) 2x 54x 35x,则 f[ 1,1,0] , f[ 3, 2, 1,1,2,3] .14. 为使求积公式 f (x)dx A 1f ( 3) A 2f (0) A 3f ( 3)的代数精度尽量高，应使13 3A 1 ， A 2 ， A 3，此时公式具有 次的代数精度。
5. n 阶方阵 A 的谱半径 ( A)与它的任意一种范数 A 的关系是 .6. 用迭代法解线性方程组 AX B 时，使迭代公式 X (k 1)MX (k)N (k 0,1,2,K )产 生的向量序列X (k)收敛的充分必要条件是 .7. 使用消元法解线性方程组AX B时，系数矩阵A可以分解为下三角矩阵L 和上三角矩阵U 的乘积，即A LU. 若采用高斯消元法解AX B，其中A 4 2，则21L ___________ ，U ____________ ；若使用克劳特消元法解AX B ，则u11 _______ ；若使用平方根方法解AX B，则l11与u11的大小关系为（选填：＞，＜，=，不一定）。
《数值分析》2018-2019学年第二学期期末考试A卷
河海大学2018-2019学年第二学期期末考试《数值分析》试题(A)卷科目：数值分析考试时间：出题教师：集体考生姓名：专业：学号：题号一二三四总分分数一、单项选择题（每小题2分，共10分）1、n 阶方阵A 可作LU 分解的一个充分条件是A 为（）。
A.对角占优阵B.正交阵C.非奇异阵D.对称正定阵２、设n 阶方阵A 及单位阵E 满足0|3|=-A E ，则谱半径)(A ρ（）。
A.<3B.3≤C.>3D.3≥3、若迭代公式)(1k k x x ϕ=+是p 阶收敛，则=--+∞>-pkk k x x x x )(lim **1（）。
A.０B.p!C.)(*)(x p ϕ D.!/)(*)(p x p ϕ4、设)(x Ln 和)(x Nn 是相同的插值条件下关于)(x f 的拉格朗日插值和牛顿插值，则下述式子中正确的是（）。
（其中∏=-=nj jxx x w 0)()(）A.)(],...,,[)!1()(10)1(x w x x x f n f n n =++ξB.)()!1()()()()1(x w n f x Nn x f n +≠-+ξC.)(],...,,,[)()(10x w x x x x f x Ln x f n ≠-D.)(],...,,,[)()(10x w x x x x f x Ln x f n =-５、称函数)(x ε为［a,b ］上的三次样条函数，是指)(x ε满足条件（）。
A.为分段三次多项式且有二阶连续导数B.为分段三次多项式且有三阶连续导数C.为分段函数且有任意阶导数D.为分段三次埃尔米特插值多项式二、填空题（每小题4分，共20分）１、若已知x 的相对误差为%1，则)(x f ＝10x 的相对误差为。
２、设1)(3-=x x f ，则过节点－１，０，１的二次牛顿插值多项式为。
３、设有求积公式)31()31(10f A f A +-是插值型求积公式，则=0A ，=1A 。
数值分析(计算方法)期末试卷及参考答案
7,,3]= ,,3]=8个节点的牛顿-柯特斯公式代数精度是。
标准答案一． 填空1. 舍入误差2. 729，1，03. 54.21cos 2sin k kk k k kx x x x x x +-=-+ 5. 6，3二． 计算1. 构造重节点的差商表：所以，要求的Hermite 插值为：222()2(1)23H x x x x =+-=-+2(1.5)(1.5) 2.25f H ≈=2.2()()(1)(2)3!f R x x x ξ'''=-- 证明：由题意可知2()()()R x f x H x =-由插值条件知：(1)0,(1)0,(2)0,R R R '===所以，可设：2()()(1)(2)R x k x x x =-- （＃） 构造函数：22()()()()(1)(2)t f t H t k x t t ϕ=----易知：,1,2t x =时，()0t ϕ=，且(1)0ϕ'=()0t ϕ'''⇒=至少有一个根ξ，即()0ϕξ'''⇒= 对（＃）式求三阶导，并代入得：()()3!f k x ξ'''= 所以，2()()(1)(2)3!f R x x x ξ'''=-- 2. 解：设2()ln 4,f x x x =+-则1()2,f x x x'=+ 牛顿迭代公式为：1()()k k k k f x x x f x +=-'2ln 412k k k k kx x x x x +-=-+325ln 21k k k k k x x x x x +-=+将0 1.5x =代入上式，得1 1.8667x =，2 1.8412x =，3 1.8411x =3230.000110x x --=<所以，方程的近似根为：3 1.8411x =3.解：设()1f x =时，左10()1f x dx ==⎰，右A B C =++，左＝右得：1A B C ++=()f x x =时，左101()2f x dx ==⎰，右1Bx C =+，左＝右得：112Bx C += 2()f x x =时，左101()3f x dx ==⎰，右21Bx C =+，左＝右得：2113Bx C += 3()f x x =时，左101()4f x dx ==⎰，右31Bx C =+，左＝右得：3114Bx C += 联立上述四个方程，解得：11211,,,6362A B C x ==== 4()f x x=时，左101()5f x dx ==⎰，右41425Bx C =+=，左≠右 所以，该求积公式的代数精度是3 4.解：Euler 公式是：100(,)()n n n n y y hf x y y x y +=+⎧⎨=⎩ 具体到本题中，求解的Euler 公式是：10.1()0.90.1(0)0n n n n n ny y x y y x y +=+-=+⎧⎨=⎩代入求解得：10y =20.01y = 30.029y =5.解，设A 可以三解分解，即111213212223313233111u u u A LU l u u ll u ⎛⎫⎛⎫⎪⎪== ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭由矩阵的乘法及矩阵相等可得：121351L ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，1231424U ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭令,L ,Ux y Ax b y b Ux y ====则可转化为两个等价的三角方程组： 求解三角方程组：Ly b =，得：(14,10,72)y T =-- 求解三角方程组：Ux y =，得：(1,2,3)x T = 所以，原方程组的解为：(1,2,3)x T = 三． 证明证明：分别将1n y -，1n y -'，1n y +'在n x 处用Taylor 公式展开得：2331()2!3!nn n n ny y y y y h h h o h -''''''=-+-+ 221()2!n nn n y y y y h h o h -'''''''=-++ 221()2!nn n n y y y y h h o h +'''''''=+++将以上三式代入线性二步法中，得：23315()2!6nn n n ny y y y y h h h o h +''''''=++++ 又方程的真解的Taylor 展式为：2331()()()()()()2!3!n n n n n y x y x y x y x y x h h h o h +''''''=++++ 所以，局部截断误差为：331112()()3n n n n T y x y y h o h +++'''=-=-+ 所以，该方法是二阶的，局部截断误差首项为：323n y h '''-。
数值分析期末考试复习题及其答案
《计篥方法P 实验报告1. 已知X ； =325413, X ； =0.325413都有6位有效数字，求绝对误差限。
(4 分)解：由已知可知，n 二6X ： =0.325413x1()6* =6北一n = 0,绝对误差限^ =丄 xl0° =0.522X ； =0・325413xl0°,k=(U—〃 = —6,绝对误差限& =-xl0"62・ -2分心（"刃=皿{1,8,32} = 32 1分|H|2 =732=4^23. 设/(x) = (x 2-«)3(6 分)① 写岀f (x)二0解的Newton 迭代格式②当a 为何值时，仏|=卩(忑)(k 二0,1……)产生的序列伉｝收敛于、伍【值分析期末考试复习题及其答案1 02.已知4= 02 0 -2解：”州=max{l,4,8} = &分4求IKMJK （6分） 4||^||x =max{l,6,6} = 6,分皿讥如)分_1 0 0 ■ '1A TA = 0 2-20 4 40 0■ 24 二 08 0 -2 4.0 32_w ：①Newton 迭代格式为：丿（忑）0（戈）=竺+丄6 6%(屛-°)' _ 5x k a , ・・ , ,6忑(X ；_G )26 6x©⑴三一曲曲以血）卜10—6/~vF<1,即-2<“ <22时迭代收敛 4・给定线性方程组Ax 二b,其中：A =3 -1用迭代公式牙=才「+a(b- Ax (k}) (k=0,1 ........... )求解 Ax 二b, 问取什么实数Q ，可使迭代收敛 （8分）-a 1 一2a.其特征方程为|刀-=八° 一3a}2（X=02分aA-(l -2<z)即，解得=l-a,22 =l-4a2分 要使其满足题意，须使p （B ） < 1,当且仅当0 vav0・52分'12 -2"丁111,b = 6 2 2 1.7.迭代法的收敛性，并建立Gauss-Seidel 迭代格式 （9分）解：A=L+D+UB, =-D~\L + U)= -1-2 -2 0 -22 -1 0|/1/ — By | = A 3= 0,/lj = = Aj = 0即p （B y ） = 0<l,由此可知Jacobi 迭代收敛1一 3a-la所给迭代公式的迭代矩阵为B = I — aA =2分试讨论解此方程的Jacobi5. 设方程Ax 二b,其中A =Gauss-Seidel 迭代格式：X 严=5-2垮）+2宅） ＜垮+—6-尤严—才 兀严）=7 — 2#申一 2卅Z用Doolittle 分解汁算下列3个线性代数方程组：Ax f =b, (i=l,2,3)其中"2 1 r4' A = 2 3 2 ,s = 7 2 3 4 96. 解: 上2 =兀］上3 =X2 （12分） ① Ax l =b 、x\ =A=由 Ly=bl,由 lxl=y, ②虹=b 2=LU 即y= 4791 10 0 11 12 得xl 二12 0'2 1 rT 2 32 x2= 12 3 4.11 0 o'TT1 1 oy= 1得y= 01 1 11由 Ly=b2=xl,即 (k=0,1,2, 3……)"2 1r丁「OS由Ux2=y,即 02 1 x2= 0得x2二 00 0 2③山3 =仏"2 1r'0.5'2 3 2 x3= 023 4.)0 0"'0.5 '由 Ly=b3=x2,即 1 10 y= 0得y 二 -0.51 110 .0 .'2 1r0.5 ''0.375 -由Ux3二y,即2 1 x3= -0.5得x3二 -0.250 2要求一次数不超过3的H 插值多项式，使 H 3(x /) = y r ,/73(x 1) = y I解：作重点的差分表，如下:H 3(X)= f[x {)] + /[x^x^ ](x-x Q ) + f[x 0,x^x { ](x-x ())(x-x I ) + /[xD ,x p x p x 2](x-x 0)(x-x I )2 二T+(x+l)-x(x+l)+2x. x(x+l)二2x 3 + x 27•已知 函 数 8.有如下函数表:关 数 据(6分)试讣算此列表函数的差分表，并利用Newton前插公式给出它的插值多项式(7分) 解：由已知条件可作差分表，x f = x0 + ih = i (i=0, 1, 2, 3 )为等距插值节点,则Newton向前插值公式为:N3 = f0 + 气評农 + +(—。
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期末考试试卷（A 卷）2007学年第二学期 考试科目： 数值分析 考试时间：120 分钟学号 姓名 年级专业一、判断题（每小题2分，共10分）1. 用计算机求1000100011n n=∑时，应按照n 从小到大的顺序相加。
（ ）2. 为了减少误差,进行计算。
（ ）3. 用数值微分公式中求导数值时，步长越小计算就越精确。
（ ）4. 采用龙格－库塔法求解常微分方程的初值问题时，公式阶数越高，数值解越精确。
（ ）5. 用迭代法解线性方程组时，迭代能否收敛与初始向量的选择、系数矩阵及其演变方式有关，与常数项无关。
（ ）二、填空题（每空2分，共36分）1. 已知数a 的有效数为0.01，则它的绝对误差限为________，相对误差限为_________.2. 设1010021,5,1301A x -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦则1A =_____，2x =______，Ax ∞=_____.3. 已知53()245,f x x x x =+-则[1,1,0]f -= ,[3,2,1,1,2,3]f ---= .4. 为使求积公式11231()((0)f x dx A f A f A f -≈++⎰的代数精度尽量高，应使1A = ，2A = ，3A = ，此时公式具有 次的代数精度。
5. n 阶方阵A 的谱半径()A ρ与它的任意一种范数A 的关系是 .6. 用迭代法解线性方程组AX B =时，使迭代公式(1)()(0,1,2,)k k XMX N k +=+=K 产生的向量序列{}()k X收敛的充分必要条件是 .7. 使用消元法解线性方程组AX B =时，系数矩阵A 可以分解为下三角矩阵L 和上三角矩阵U 的乘积，即.A LU = 若采用高斯消元法解AX B =，其中4221A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则L =_______________，U =______________；若使用克劳特消元法解AX B =，则11u =____；若使用平方根方法解AX B =，则11l 与11u 的大小关系为_____（选填：>，<，=，不一定）。
8. 以步长为1的二阶泰勒级数法求解初值问题(0)1y x yy '=+⎧⎨=⎩的数值解，其迭代公式为___________________________.三、计算题（第1～3、6小题每题8分，第4、5小题每题7分，共46分）1. 以02x =为初值用牛顿迭代法求方程3()310f x x x =--=在区间(1,2)内的根，要求（1） 证明用牛顿法解此方程是收敛的；（2） 给出用牛顿法解此方程的迭代公式，并求出这个根（只需计算12,,x x 计算结果取到小数点后4位）。
2. 给定线性方程组1231231230.40.410.40.820.40.83x x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩（1） 分别写出用Jacobi 和Gauss-Seidel 迭代法求解上述方程组的迭代公式；（2） 试分析以上两种迭代方法的敛散性。
3. 已知函数()y f x =在如下节点处的函数值（1） （2） 根据后三个节点建立二阶牛顿后插公式2()P x ，并计算(1.1)y 的近似值； （3） 采用事后估计法计算（2）中近似值的截断误差（结果保留四位小数）。
4.5. 已知函数()y f x =在以下节点处的函数值，利用差商表求(3)f '和(3)f ''的近似值。
6. 写出前进欧拉公式、后退欧拉公式，并由这两个公式构造一个预估－校正公式求解下列常微分方程的数值解。
22(01,0.2)(0)0y x y x h y '⎧=+≤≤=⎨=⎩四、（8分）已知n+1个数据点(,)(0,1,2,,)i i x y i n L ，请用多种方法建立这些数据点之间的函数关系，并说明各种函数的适用条件。
期末考试答案及评分标准（A 卷）2007学年第二学期 考试科目： 数值分析一、判断题：（每小题2分，共10分）1. ×2. √3. ×4. ×5. ×二、填空题：（每空2分，共36分） 1. 0.005或20.510-⨯ ，0.5 2.3. 0,24. 1,0,1,35.()A A ρ≤6. ()1M ρ<7. 1042,,1,10212⎡⎤-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦8. 11()(1)2n n n n n n y y x y x y +=+++++或1 1.5 2.50.5,0,1,2,n n n y x y n +=++=L三、解答题（第1～4小题每题8分，第5、6小题每题7分，共46分） 1. （1）证明：3()31f x x x =--，由于a) (1)30,(2)10,f f =-<=> b) 2()330((1,2)),f x x x '=-≠∈c)()60((1,2)),f x x x ''=>∈ 即()f x ''在(1,2)上不变号，d) 对于初值02x =，满足(2)(2)0,f f ''> 所以用牛顿迭代法求解此方程是收敛的。
………………………………………4分（2）解：牛顿迭代法的迭代公式为312()31()33n n n n n n n n f x x x x x x f x x +--=-=-'- ………………………………………2分取初值02x =进行迭代，得1 1.8889,x =………………………………………1分2 1.8795.x =………………………………………1分2. 解：（1）Jacobi 迭代公式为(1)()()123(1)()()213(1)()()3120.40.410.40.820.40.83k k k k k k k k k x x x x x x x x x +++⎧=--+⎪=--+⎨⎪=--+⎩ ……………………………2分 Gauss-Seidel 迭代公式为(1)()()123(1)(1)()213(1)(1)(1)3120.40.410.40.820.40.83k k k k k k k k k x x x x x x x x x ++++++⎧=--+⎪=--+⎨⎪=--+⎩……………………………2分 （2）Jacobi 迭代矩阵的特征方程为0.40.40.40.800.40.8λλλ=，展开得30.960.2560λλ-+=，即(0.8)(0.40.40λλλ-+++-=，从而得 123-1.0928,0.8000,0.2928λλλ===，（或由单调性易判断必有一个大于1的特征根，）因此迭代矩阵的谱半径等于必大于1，所以Jacobi 迭代法发散。
……………………………2分Gauss-Seidel 迭代矩阵的特征方程为0.40.40.40.800.40.8λλλλλλ=，展开得2(0.8320.128)0λλλ-+=，解得1230,0.628,0.204,λλλ=≈≈迭代矩阵的谱半径小于1，所以Gauss-Seidel 迭代法收敛。
……………………………2分3. 解：（1）建立差分表………………………………………2分 （2）建立牛顿后插公式为2232022********()()()()!!()()()P x x x x x x x x =-----=-----=-+ 则所求近似值为211279(.).P =………………………………………3分（3）根据前三个节点建立牛顿后插公式为1221431112312124()()()()!!()()P x x x x x x x x x =----=----=-++ 则 1211268()(.).P =根据事后误差估计法1222209091()()(.)(.)x R x P P x -⎡⎤≈-⎣⎦+ 故截断误差209112792680047121.(.)(..)..R -≈⨯-≈- ………………………………………3分4. 解：设所求二次最小平方逼近多项式为22012().P x a a x a x =++ 根据已知数据，得01211111002,,11151240a M A a Y a -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦……………………………2分则4268268,468186M M M Y ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥''==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦……………………………1分建立法方程组为0124268268468186a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ ……………………………2分解得0123.5, 1.5, 1.5.a a a ===-……………………………1分从而得所求一次最小平方逼近多项式为21() 3.5 1.5 1.5.P x x x =+-……………………………1分5. 解：设2()P x 为已知节点数据的插值二次多项式。
构造如下差商表：……………………………2分因为二次多项式的二阶差商为常数，又2()P x 是()f x 的插值函数，故有225[4,3,3][3,3,3]2P P ==……………………………2分而22[3,3]75[4,3,3]342P P -==-，因此得29[3,3]2P =， ……………………………1分由于1L 1442443()()![,,,,]k n k f x k P x x x x +≈，从而得293332()[,],f P '==2323335()![,,].f P ''==……………………………2分6. 解：前进欧拉公式：221(,)0.20.2n n n n n n n y y h f x y y x y +=+⋅=++…………1分后退欧拉公式：2211111(,)0.20.2n n n n n n n y y h f x y y x y +++++=+⋅=++ ……1分预估时采用欧拉公式*2210.20.2n n n n y y x y +=++……………………………1分校正时采用后退欧拉公式()22*1110.20.2n n n n y y xy+++=++……………………………1分由初值000002,,.x y h ===知，节点分别为0.2,(1,2,3,4,5)i x i i ==当10.2,x =*2210000.20.20,y y x y =++=()22101102020008*...y y x y=++=，……………………………1分当20.4,x =*2221110.20.20.0160,y y x y =++≈()222122020200401*...y y x y =++≈.……………………………1分当30.6,x =*2232220.20.20.0724,y y x y =++≈()223233020201131*...y y x y =++≈.……………………………1分当40.8,x =*2243330.20.20.1877,y y x y =++≈()224344020202481*...y y x y=++≈.……………………………1分当51.0,x =*2254440.20.20.3884,y y x y =++≈()225455020204783*...y y x y=++≈.四、（8分）答：1、可以建立插值函数： （1）Newton 基本差商公式00100121001110()()()[,]()()[,,]()()()[,,,]L L L n n n P x f x x x f x x x x x x f x x x x x x x x x f x x x -=+-+--++---……………………………1分（2）Lagrange 插值多项式0011()()()()()L L n i i n n L x a f x a f x a f x a f x =+++++其中01101101()()()(),(,,,)()()()()L L L L L i i n i i i i i i i n x x x x x x x x a i n x x x x x x x x -+-+----==----.……………………………1分这两类插值函数的适用条件是：n 不太大；而且要求函数严格通过已知数据点。