第3章概率密度函数的参数估计
三章参数估计ParametricEstimation
会有多项分布,
p( x1,..., xm | p1,..., pm )
n!
m
m
p
xi i
xi ! i1
i 1
m
m
l ( p1,..., pm ) log( n!) log xi! xi log pi
i 1
i 1
m
pi 1
i 1
m
m
m
l( p1,...,pm,) log(n!) logxi! xi logpi ( pi 1)
1.点估计的基本概念(Point Estimator)
点估计: 就是由样本x1,x2,…xn确定一个统计量
gx1,x2,,xn
用它估计总体的未知参数，称为总体参数的估 计量。当具体的样本抽出后，可求得出样本统 计量的值。用它作为总体参数的估计值，称作 总体参数的点估计值。
2.两种基本的点估计方法
• （1）总体的方差越大，需要的样本量越大。 • （2）样本量n和置信区间长度的平方成反比。 • （3）置信度越高，样本量越大。
样本量的确定
需要考虑问题：
➢ (1)要求什么样的精度？即我们想构造多宽的区间？ ➢ (2)对于构造的置信区间来说，想要多大的置信度？即我
k
阶中心矩。
矩法估计： V ^ k Ak, U ^ k Bk
这 是k包 个含 未 知 1， 参 ， k 数 的 联 立 方
A1 11 ，2 ， ，k
A2
21 ，2 ， ，k
Ak k 1 ，2 ， ，k
从中解出方,记 程为 组 ˆ1， 的 ，ˆ解 k,即
ˆˆ21
ˆ1 ˆ2
X1 ，X2 X1 ，X2
置信区间的含义
样本分布 /2
分布函数与概率密度函数的参数估计方法
分布函数与概率密度函数的参数估计方法在概率统计学中，分布函数和概率密度函数是用来描述随机变量的性质的重要工具。
而参数估计则是根据给定的样本数据，通过某种方法对分布函数和概率密度函数中的未知参数进行估计的过程。
本文将介绍分布函数与概率密度函数的参数估计方法，包括最大似然估计、矩估计以及贝叶斯估计。
最大似然估计（Maximum Likelihood Estimation，MLE）是一种常用的参数估计方法。
其核心思想是选择使得给定数据样本出现概率最大的参数值作为估计值。
对于给定的样本数据x1，x2，…，xn，假设其分布函数为F(x;θ)，其中θ为未知参数。
最大似然估计的目标是找到使得样本数据出现概率最大的参数值θ^。
具体来说，最大似然估计通过对似然函数L(θ)=∏(i=1)^n f(xi;θ)（其中f(x;θ)为概率密度函数）取对数，并对参数θ进行求导来求解参数值θ^。
矩估计（Method of Moments，MoM）是另一种常用的参数估计方法。
其基本原理是利用样本矩与理论分布矩的对应关系进行参数估计。
对于给定的样本数据x1，x2，…，xn，假设其概率密度函数为f(x;θ)，其中θ为未知参数。
矩估计的目标是使样本矩与理论矩之间的差异最小化，即找到使得原始矩和样本矩最接近的参数值θ^。
除了最大似然估计和矩估计之外，贝叶斯估计（Bayesian Estimation）是一种基于贝叶斯理论的参数估计方法。
其核心思想是将未知参数视为一个随机变量，并基于先验分布和样本数据来求得后验分布。
贝叶斯估计不仅考虑了样本数据的信息，还考虑了先验信息的影响，因此对于样本数据较少或者不确定性较高的情况下，贝叶斯估计能够提供更稳健的参数估计结果。
总结起来，分布函数与概率密度函数的参数估计方法主要包括最大似然估计、矩估计和贝叶斯估计。
最大似然估计通过最大化样本数据出现的概率来估计参数，矩估计通过比较样本矩和理论矩之间的差异来估计参数，而贝叶斯估计则综合考虑了先验分布和样本数据来求得后验分布。
第三讲 参数估计 (1)
L( x1 , x2 , x3;q ) =ˆ Pq { X1 = x1 , X 2 = x2 , X 3 = x3 }
= Pq { X1 = x1 }Pq { X 2 = x2 }Pq { X 3 = x3 }
= p( x1;q ) p( x2;q ) p( x3;q ) = q x1 (1 − q )1− x1q x2 (1 − q )1− x2 q x3 (1 − q )1− x3
其它
其中 −1
是未知参数,
X1,X2,…,Xn是取自X的样本,求参数 的矩估计.
解:
数学期望
是一阶
1
=
= E(X
( + 1)
)
1
1
= x( 0
x +1dx
+ =
1)
x dx +1
原点矩由矩估计法,
X
=
0
+1
+2
总体矩
样本矩
+2
从中解得 ˆ = 2 X − 1 , 即为 的矩估计.
Gauss
Fisher
最大似然法的基本思想
先看一个简单例子： 某位同学与一位猎人一起外 出打猎 . 一只野兔从前方窜过 . 只听一声枪响，野兔应声倒下 . 如果要你推测，是谁打中的呢？ 你会如何想呢?
你就会想，只发一枪便打中, 猎人命中的概率 一般大于这位同学命中的概率 . 看来这一枪是猎人 射中的 .
最大似然估计法就是用使L(q )达到最大值的qˆ去估计q . 称qˆ为q 的最大似然估计（MLE）.
怎样求最大似然估计呢？ 因为lnx是x 的严格单增函数，lnL与L有相同的极大值点， 故一般只需求lnL的极大值点即可----令其一阶偏导为0，得到 似然方程（组），求解即可。
概率论与数理统计-参数估计_图文
或
于是得到
的置信水平为 的置信区间为
为已知
其中
于是得到
的置信水平为 的置信区间为
其中
例3 为比较 I ,ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱⅡ 两种型号步枪子弹的枪口
速度 ,随机地取 I 型子弹 10 发 ,得到枪口速度的平
均值 为
标准差
随
机地取 Ⅱ 型子弹 20 发 ,得到枪口速度的平均值为
标准差
假设两总
体都可认为近似地服从正态分布.且生产过程可认
2. 估计的精度要尽可能的高. 如要求区间长度
尽可能短，或能体现该要求的其它准则.
可靠度与精度是一对矛盾，一般是在保证 可靠度的条件下尽可能提高精度.
二、置信区间的求法
在求置信区间时，要查表求分位点.
定义 设
, 对随机变量X，称满足
的点 为X的概率分布的上 分位点.
若 X 为连续型随机变量 , 则有 所求置信区间为
X~N( )
样本均值是否是 的一个好的估计量？
样本方差是否是 的一个好的估计量？
这就需要讨论以下几个问题: (1) 我们希望一个“好的”估计量具有什么特性？ (2) 怎样决定一个估计量是否比另一个估计量“好”？
(3) 如何求得合理的估计量？
常用的几条标准是：
1．无偏性 2．有效性 3．相合性
这里我们重点介绍前面两个标准 .
概率论与数理统计-参数估计_图文.ppt
参数估计
现在我们来介绍一类重要的统计推断问题 参数估计问题是利用从总体抽样得到的信息来估 计总体的某些参数或者参数的某些函数.
估计新生儿的体重
估计废品率
在参数估计问题
估计降雨量 中，假定总体分 布形式已知，未
… 知的仅仅是一个 … 或几个参数.
第三章 概率密度函数的估计
当 0 ≤ x ≤ θ 时 ， p (x | θ ) = 的最大似然估计是
解： 定义似然函数 l (θ ) =
k
1
θ
， 否则为0。证明θ
max x k 。
∏ p (x
k =1
N
k
|θ )
1 dH = 0， 即 − N ⋅ = 0 H (θ ) = ln l (θ ) = − N ln θ ，令 dθ θ 方程的解 θ ＝ ∝ ，但实际问题中，θ ≠∝ 。 1 已知有N个随机样本， 且 0 ≤ x ≤ θ 时 ， p (x | θ ) =
参数估计中的基本概念 统计量 参数空间 点估计、估计量和估计值 区间估计 参数估计判断标准 无偏性 有效性 一致性
3.2最大似然估计
（1）前提假设
参数θ（待估计）是确定（非随机）而未知的量 样本集分成c类，为A1，A2，…，Ac，Aj的样本是 从概率密度为 p x | ω j 的总体中独立抽取出来的。
i =1 i =1 i =1 i =1
N
(
)
N
N
例3.2：设x服从正态分N(μ,σ2)，其中参数μ、 σ2未知，求它们的最大似然估计量。
N
解： 设样本集 A = {x1 , x2 ,..., xN }， 定义似然函数 l (θ ) = ∏ p(xi | θ )
i =1 2 ⎧ ⎡ ( xi − μ ) ⎤ ⎫ ⎪ ⎪ 1 exp⎢− H (θ ) = ln l (θ ) = ∑ ln p (xi | θ ) = ∑ ln ⎨ ⎥⎬ 2 2σ ⎪ i =1 i =1 ⎣ ⎦⎪ ⎭ ⎩ 2π σ 2 N ⎧ ⎫ ( ) x − 1 1 μ 2 i = ∑ ⎨− ln 2π − ln σ − ⎬ 2 2 2σ i =1 ⎩ 2 ⎭ N N 2
概率密度函数的估计与应用
概率密度函数的估计与应用概率密度函数（probability density function，简称PDF）是概率论和数理统计中常用的概念，广泛应用于可变量的分布描述、数据拟合以及随机变量的概率计算中。
在实际应用中，我们经常用到概率密度函数的估计，以求得随机变量的分布特征和统计学参数，从而为数据分析和建模提供有力支撑。
一、概率密度函数的基本概念及分布函数概率密度函数是描述随机变量取值的概率分布的一种数学模型。
简单来说，概率密度函数是一个连续函数，其在某个点的导数表示该点处的概率密度，对于某个区间上的积分则表示该区间内的概率和。
当随机变量服从某一分布时，我们可以通过该分布的概率密度函数来描述其分布特征。
分布函数是概率密度函数的一个相关概念，其所描述的是随机变量取值在某一范围内的累积概率。
与概率密度函数不同的是，分布函数是一个非降的右连续函数，其在某一点的最左极限为该点处的概率。
二、概率密度函数的估计方法根据大数定律和中心极限定理，我们可以利用样本数据来对总体的概率密度函数进行估计。
这里介绍两种常用的概率密度函数估计方法，分别是核密度估计和最大似然估计。
1. 核密度估计核密度估计将样本数据和一个给定的核函数结合起来，通过计算核函数在每个观测值处的值和分布范围，得到在该点处的概率密度函数估计值。
核密度估计的优点在于其所得到的概率密度函数是一个连续函数，并且无需对数据做出具体的分布假设。
2. 最大似然估计最大似然估计是一种常用的参数估计方法，其原理是选择某个分布参数（如均值、方差、形状参数等），使得样本数据在该分布下的概率最大。
对于正态分布、指数分布等常见分布，最大似然估计具有较好的稳健性和准确性。
三、概率密度函数的应用概率密度函数的应用十分广泛，下面将简单介绍几个常见的应用场景。
1. 数据拟合在数据分析和建模中，常常需要使用概率密度函数来对数据进行拟合。
通过使用不同的概率密度函数，可以描述不同类型的随机变量，如正态分布、指数分布、泊松分布等。
概率密度函数估计
期望风险：
R Ed
(ˆ, ) p(x, )ddx
(ˆ, ) p( | x) p(x)ddx
Ed
R(ˆ | x) p(x)dx Ed 其中，x Ed ，
条件风险： R(ˆ | x) (ˆ, ) p( | x)d
xEd
X
k
T
1 X k
代入上式得
N
1 X k 0
k 1
1
N
X k 0
k 1
所以
1( N X k N ) 0
k 1
1 N
N
Xk
k 1
这说明未知均值的最大似然估计正好是训练样本的算术
平均。
如果必要条件有多解则需从中求似然函数最大者若不满足条件则无一般性方法用其它方法求最大以均匀分布32最大似然估计maximumlikelihoodestimation正态分布下的最大似然估计示例以单变量正态分布为例样本集似然函数32最大似然估计maximumlikelihoodestimation对数似然函数最大似然估计量满足方程32最大似然估计maximumlikelihoodestimation得方程组未知估计服从正态分布所以在正态分布时待估参数为代入上式得所以这说明未知均值的最大似然估计正好是训练样本的算术平均
非参数方法 (nonparametric methods)
不假定数学模型，直接用已知类别的学习样本的先验知识直 接估计数学模型。
二．监督学习与无监督学习 监督学习：在已知类别样本指导下的学习和训练，
参数估计和非参数估计都属于监督学习。
无监督学习：不知道样本类别，只知道样本的某些 信息去估计，如：聚类分析。
概率密度函数的估计
概率密度函数的估计参数估计
概率密度函数的估计参数估计概率密度函数（Probability Density Function，简称PDF）是概率统计学中一个非常重要的概念，用于描述连续随机变量的概率分布情况。
参数估计是统计学中一个关键的问题，它指的是通过样本数据来估计总体分布的参数。
本文将对概率密度函数的参数估计方法进行详细介绍。
一、参数估计的目标参数估计的目标是找到一组最合适的参数值，使得概率密度函数能够较好地拟合样本数据分布。
一般来说，参数估计可以分为两种类型：点估计和区间估计。
点估计是指利用样本数据直接估计出概率密度函数的参数值，而区间估计则是对参数进行区间估计，给出一个参数取值的范围。
二、点估计的方法1. 最大似然估计（Maximum Likelihood Estimation，简称MLE）最大似然估计是一种常用的参数估计方法，其基本思想是寻找一组参数值，使得样本观测值出现的概率最大。
对于给定的样本数据，若假设一个概率分布模型，并通过极大化似然函数来求解参数值，就得到了最大似然估计。
2. 矩估计（Moment Estimation）矩估计是通过样本矩直接估计总体矩的方法。
对于连续型分布而言，可以通过样本矩来估计分布的矩，从而得到参数的估计值。
3. 最大后验概率估计（Maximum A Posteriori Estimation，简称MAP）最大后验概率估计是贝叶斯估计的一种特殊情况，其基本思想是在最大化后验概率与似然函数的乘积，从而得到参数的估计值。
相对于最大似然估计，最大后验概率估计将先验分布考虑在内，可以有效地克服样本容量小引起的估计不准的问题。
三、区间估计的方法1. 置信区间估计（Confidence Interval Estimation）置信区间估计是通过样本数据计算出一个参数的区间估计范围，其置信水平表征了参数估计值位于置信区间内的可能性大小。
常用的置信区间估计方法有：正态分布置信区间估计、大样本置信区间估计、Bootstrap置信区间估计等。
参数估计的基本理论
第3章 参数估计的基本理论信号检测：通过准则来判断信号有无；参数估计：由观测量来估计出信号的参数；解决1）用什么方法求取参数，2）如何评价估计质量或者效果严格来讲，这一章研究的是参数的统计估计方法，它是数理统计的一个分支。
推荐两本参考书高等教育出版社《数理统计导论》，《Nonlinear Parameter Estimation 》。
我们首先从一个估计问题入手，来了解参数估计的基本概念。
3.1 估计的基本概念3.1.1 估计问题对于观察值x 是信号s 和噪声n 叠加的情况：()x s n θ=+其中θ是信号s 的参数，或θ就是信号本身。
若能找到一个函数()f x ，利用()12,,N f x x x 可以得到参数θ的估计值 θ，相对估计值 θ，θ称为参数的真值。
则称()12,,N f x x x 为参数θ的一个估计量。
记作 ()12,,Nf x x x θ= 。
在上面的方程中，去掉n 实际上是一个多元方程求解问题。
这时，如果把n 看作是一种干扰或摄动，那么就可以用解确定性方程的方法来得出()f x 。
但是我们要研究的是参数的统计估计方法，所以上面的描述并不适合我们的讨论。
下面给出估计的统计问题描述。
（点估计）设随机变量x 具有某一已知函数形式的概率密度函数，但是该函数依赖于未知参数θ，Ω∈θ ，Ω称为参数空间。
因此可以把x 的概率密度函数表示为一个函数族);(θx p 。
N x x x ,,,21 表示随机样本，其分布取自函数族);(θx p 的某一成员，问题是求统计量 ()12,,Nf x x x θ= ，作为参数θ的一个估计量。
以上就是用统计的语言给出的参数估计问题的描述。
数。
统计量的两个特征：1，随机变量的函数，因此也是随机变量；2，不依赖于未知参数，因此当我们得到随机变量的一组抽样，就可以计算得到统计量的值。
例3-1：考虑由(1,2,,)i ix s n i N =+= ，给定的观测样本。
第三章 概率密度函数的参数估计
均值的后验概率
均值的后验概率仍满足正态分布，其中：
1 n n = ∑ xi n i =1
2 nσ 0 σ2 n = 2 + 2 0 2 n 2 nσ 0 + σ nσ 0 + σ
σ σ σ = nσ + σ 2
2 n 2 0 2 0 2
均值分布的变化
类条件概率密度的计算
p ( x D) = ∫ p ( x ) p ( D) d
模型在时刻t处于状态wj的概率完全由t-1时刻 的状态wi决定，而且与时刻t无关，即：
P w(t ) W
(
T
) = P ( w ( t ) w ( t 1))
P w ( t ) = ω j w ( t 1) = ωi = aij
(
)
Markov模型的初始状态概率 模型的初始状态概率
模型初始于状态wi的概率用 π i 表示。 完整的一阶Markov模型可以用参数 θ = ( π, A ) 表示，其中：
3.0 引言
贝叶斯分类器中最主要的问题是类条件概 率密度函数的估计。 问题可以表示为：已有c个类别的训练样 本集合D1，D2，…，Dc，求取每个类别的 类条件概率密度 p ( x ωi ) 。
概率密度函数的估计方法
参数估计方法：预先假设每一个类别的概 率密度函数的形式已知，而具体的参数未 知；
最大似然估计(MLE, Maximum Likelihood Estimation)； 贝叶斯估计(Bayesian Estimation)。
p ( x θ ) = ∑ ai pi ( x θi ),
i =1 M
∑a
i =1
M
i
=1
最常用的是高斯混合模型(GMM，Gauss Mixture Model)：
数理统计之参数估计
X )2 ,
S2
1 n1
n
(Xi
i 1
X )2，试
比较 E(Sn2 - σ2)2 与 E(S 2 - σ2)2.
解: 由于
(n 1)S 2
2
~
2 (n 1)
(n 1)S 2
2
2(n 1)
(n 1)2
4
D(S 2 )，D(S 2 )
2
n1
4
D(Sn2 )
D( n 1 S2 )
j
j
解出似然估计 ˆjL ˆjL( X1, , Xn ).
否则可通过单调性或放大缩小的方法直接推求.
极大似然估计的性质：
(1) 若(^θ1, …, ^θm)是(θ1, …, θm)的极大似然计, η = g(θ1, …, θm)存在单值反函数，则g(θ^1, …, ^θm)是g(θ1, …, θm)的极大似然估计.
设X1，…，Xn 是来自总体 X 的样本，则
μk = E(Xk )= ∑ xk p(x; θ1, θ2), X 为离散型
或
μk = E(Xk )= xk f (x; θ1, θ2)dx,
X 为连续型
Ak
1 n
n i 1
Xik
1 n
X
k 1
1 n
X
k 2
1 n
X
k n
矩法思想: 用样本矩Ak 作为总体同阶矩μk 的近似,
例 设某种设备的寿命X (小时)服从指数分布，概
率密度为
et , t 0
f ( x; )
0,
其他
其中 λ>0为未知参数. 现从这批设备中任取n台在t =0
时刻开始寿命试验，试验进行到预定时间T0 结束， 此时有 k(0< k < n)台失效，求
概率密度函数的估计
21
3.3.1 一元正态分布例解
最大似 然估计
p( xk | 1 ,2 2 )
1 exp( ( xk 1)2 )
22
22
ln
p( xk
| 1,2 )
1 2
ln(
2
2
)
1
22
( xk
1)2
第三章 概率密度密度的估计
22
一元正态分布均值的估计
p(K )
N k 1
p( xk
| ) p() ~
N
(
N
,
2 N
)
N
N
2 0
N
2 0
2
mN
2
N
2 0
2
0
2 N
02 2
N
2 0
2
第三章 概率密度密度的估计
28
3.4 非参数估计
非参数估计：密度函数的形式未知，也不作 假设，利用训练数据直接对概率密度进行估 计。又称作模型无关方法。
最大似 然估计
N
θH (θ) |ˆML θ ln p( xk | θ) |ˆML 0 k 1
1
ln
p( xk
| 1,2 )
1
2
( xk
1)
代入前式,得
ˆ ML
1 N
N
xk
k 1
第三章 概率密度密度的估计
23
一元正态分布方差的估计
最大似 然估计
2
R R(ˆ | x)p(x)dx Ed
概率密度函数的估计
⒋区间估计
除点估计外，还有另一类估计，它要求用区间 (d1，d2)作为 θ 可能取值范围的一种估计。这个 区间称为置信区间，这类估计问题称为区间估 计。 要求估计总体分布的具体参数是点估计问题。 介绍两种主要的点估计方法 最大似然估计和贝叶斯估计。 它们都能得到相应的估计值，当然评价一个 估计的“好坏”，不能按一次抽样结果得到的 估计值与参数真值的偏差大小来确定，而必须 从平均的和方差的角度出发进行分析
θˆ2 = x( N )
二、贝叶斯估计和贝叶斯学习
㈠贝叶斯估计 前面从决策论的角度论述了最小风险贝 叶斯决策，实际上贝叶斯决策和贝叶斯 估计是统一的。 贝叶斯决策的论述 设状态空间 ={ω1，ω2，…ωc} 识别对象 x = [x1，x2，…，xd]T ， 决策空间 A ={ α1 ,α 2 ,… ,α i }
l (θ ) = p ( X | θ ) = p( x1 , x 2 ,…，x N | θ ) 这个密度可以看成是θ 的函数，具体地说，
l (θ ) = p ( x1 , x2 , …，x N | θ ) = p ( x1 | θ ) p ( x2 | θ ) … p ( x N | θ ) 似然函数 l (θ )给出了从总体中抽出x1，
k =1
θ 例如随机变量x服从均匀分布，但参数 θ1 、 2 未知， 1
p ( x | θ ) = θ 2 − θ 1 0
θ1 < x < θ 2
其它
设从总体中独立地抽取出N个样本x1， x2，…，xN。则其似然函数为
1 p( x1 , x 2 , …, x N | θ 1 ,θ 2 ) = (θ 2 − θ 1 ) N l (θ ) = p( X | θ ) = 0
第3章概率密度函数的估计new
1 2 N 1 2 N
ˆ 将 d ( x1 , x2 , , xN )称为 的最大似然估计量。 最大似然估计量：令( )为样本集D的似然函数， ˆ D {x , x , , x }，如果 d ( D) d ( x , x , , x )
[1 , 2 , ,S ]T
用 表示梯度算子:
(3-6)
求解似然函数最大值就需要对的每一维分别求导， ,..., (3-7) S 1 对似然函数求导并令梯度等于零： l ( ) 0 H( )为对数似然函数： H( ) ln[( )] lnp(D| ) lnp(x1 ,x2 , ,xN |1 , 2 , ,S ) (3-8)
13
第3章 概率密度函数估计
3.2 参数估计的基本概念
（3）点估计、估计量和估计值： 点估计问题是要构造一个统计量d ( x1 ,..., xN )作为参数的 ˆ 估计, 在统计学中称 为 的估计量。如果x ( i ) , , x (i )是属于
1 N
类别i的几个样本观察值，代入统计量d 就得到对于第i类 ˆ 的 的具体数值，这个数值在统计学中称为 的估计值. （4）区间估计： 除点估计外，还有另一类估计，它要求用区间(d1 , d 2 )作为
k 1
N
从： H ( ) 0
(3 -11)
的S 个方程能够获得 的最大似然估计量的必要条件。 ˆ ˆ 如果式(3 -11)的解 能够使得似然函数值最大，则 就是 的最大似然估计。
29
3.2.1 最大似然估计
需要注意的是： 1，有时式(3 -11)无唯一解。如图3.1中有5个解。虽然这 5个都是解，但有的解可能是真正的全局最大值点， 也可能是局部极值点，或者还可能是函数的拐点。 2，此外，我们必须注意检查所得到的解是否位于函数 H ( )定义域的边界上。如果所有的极值解都已经求得了 ，我们就能确定其中必有一个是全局的最大值。然后 检查确定真正的全局最优点。
概率密度函数的估计非参数估计
第3章 概率密度函数的估计
可编辑ppt
1
总体分布的非参数估计
前面的方法
密度函数的形式已知
存在问题
密度函数的形式常常未知 一些函数形式很难拟合实际的概率密度
经典的密度函数都是单峰的，而在许多实际情况 中却是多峰的
因此用非参数估计
可编辑ppt
2
总体分布的非参数估计
非参数估计
处理问题
直接用已知类别样本去估计总体密度分布p(x|ωi)
需要计算^p(x|ωi)的每个点的值 方法
① 用样本直接去估计类概率密度p(x|ωi)以此来设 计分类器, 如窗口估计
② 用学习样本直接估计后验概率p(ωi|x)作为分类 准则来设计分类器如k近邻法.
本章只考虑第一种方法
可编辑ppt
3
总体分布的非参数估计
k
pˆ(x) N
V
所以如果样本有限，则估计值一定有方差。
可编辑ppt
11
总体分布的非参数估计
p(x)估计值的收敛性讨论
考虑无限多样本情况
构造一串包括x的区域序列R1,R2,…RN. 对R1采用1个样本进行估计， 对R2采用2个样本进行估计， ……
VN是RN的体积，KN是N个样本落入VN的样本数则
7
总体分布的非参数估计
估计概率p(x)
密度p(x)的估计:
k pˆ ( x) N
V
(V足够小)
上式就是对x点概率密度p(x)的估计值
可编辑ppt
8
真实概率是 0.7 横坐标是k/N 纵坐标是概率分布
可编辑ppt
9
总体分布的非参数估计
p(x)估计值的收敛性讨论
当V固定的时候
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• 高斯模型样本的产生：每一个样本都是按 照正态分布产生的；
• GMM样本的产生：先按照先验概率ai选择 一个子类，然后按照这个子类满足的正态 分布产生样本。
模式识别 – 概率密度函数的参数估计
GMM模型产生的2维样本数据
模式识别 – 概率密度函数的参数估计
GMM模型的参数估计
• GMM的参数：
EM算法
模式识别 – 概率密度函数的参数估计
混合密度模型的参数估计
• 混合密度模型的参数可以表示为：
θ a1, a2 ,L , aM ,θ1,θ2 ,L ,θM
• 参数的估计方法：
1. 梯度法：利用最优化方法直接对似然函数进行 优化；
2. EM算法：引入未知隐变量Y对问题进行简化， 将Y看作丢失的数据，使用EM算法进行优化。
模式识别 – 概率密度函数的参数估计
第三章 概率密度函数的 参数估计
模式识别 – 概率密度函数的参数估计
3.0 引言
• 贝叶斯分类器的学习：类条件概率密度函数的 估计。
• 问题的表示：已有c个类别的训练样本集合D1，
D2，…，Dc，求取每个类别的类条件概率密
度
p。x i
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θ a1, a2,L , aM ,μ1, Σ1,L ,μM , ΣM
• 参数估计：已知样本x1,…,xn，估计参数θ。 • 存在的问题：每个样本是由哪一个子集产
生的未知。
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训练样本： x1 来自子类： y1
x2 L y2 L
xn yn
已知y的条件下，参数的估计：
M
px θ ai pi x θi , i1
M
ai 1
i1
• 高斯混合模型：GMM，Gauss Mixture Model
M
p x ai N x;μi , Σi i 1
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两个高斯函数的混合
px 0.7N 10,2 0.3N(5,3)
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ai
1 n
n t 1
I
yt
i
n
n
μi I yt i xt I yt i
t 1
t 1
n
Σi I yt i xt μi xt μi t t 1
n
I yt i
t 1
已知参数条件下，y的估计：
yt arg max ai N xt ;μi , Σi
i
K-mean算法
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似然函数
• 样本集D出现的概率：
n
p D θ p x1,x2,L ,xn θ pxi θ i1
• 对数似然函数：
n
l θ ln p D θ ln pxi θ i1
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最大似然估计
• 最大似然估计：寻找到一个最优矢量θˆ ，使 得似然函数 l θ 最大。
p D θ p X,Y θ
• 似然函数：由于Y未知，在给定参数θ时，似 然函数可以看作Y的函数：
l θ l θ D l θ X,Y ln p X,Y θ
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基本EM算法
• 由于Y未知，因此我们需要寻找到一个在Y的 所有可能情况下，平均意义下的似然函数最 大值，即似然函数对Y的期望的最大值：
θˆ arg max l θ θ
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正态分布的似然估计
• Gauss分布的参数：由均值矢量μ和协方 差矩阵Σ构成，最大似然估计结果为：
μˆ
1 n
n i1
xi
Σ
1 n
n i1xiFra bibliotekμˆ xi
μˆ t
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3.2 期望最大化算法(EM算法)
• 存在的问题：样本xt可能来自于任何一个子类，但 在参数估计时只出现在一个子类中。
• 修改计算过程：
ai
1 n
n t 1
P
yt
i
n
n
μi P yt i xt P yt i
t 1
t 1
n
Σi P yt ixt μi xt μi t t 1
n
P yt i
t 1
M
P yt i ai N xt ;μi , Σi ai N xt ;μi , Σi i 1
概率密度函数的估计方法
• 参数估计方法：预先假设每一个类别的概 率密度函数的形式已知，而具体的参数未 知；
– 最大似然估计(MLE, Maximum Likelihood Estimation)；
– 贝叶斯估计(Bayesian Estimation)。
• 非参数估计方法。
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3.
E步：计算 Q θ θi1 ;
4.
M步：θi arg max Q θ θi1
θ
5.
until Q θi1 θi Q θi θi1 T
6. return θˆ θi1
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EM算法的性质
• 收敛性：EM算法具有收敛性；
• 最优性：EM算法只能保证收敛于似然函数 的局部最大值点（极值点），而不能保证 收敛于全局最优点。
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基本EM算法
• 样本集：令X是观察到的样本数据集合，Y为 丢失的数据集合，完整的样本集合D=X Y。
• EM算法的应用可以分为两个方面：
1. 训练样本中某些特征丢失情况下，分布参数 的最大似然估计；
2. 对某些复杂分布模型假设，最大似然估计很 难得到解析解时的迭代算法。
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混合密度模型
• 混合密度模型：一个复杂的概率密度分布函 数可以由多个简单的密度函数混合构成：
E步： Q θ θi1 EY l θ X, Y X,θi1
EY ln p X, Y θ X,θi1
M步：
θi arg max Q θ θi1 θ
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基本EM算法
1. begin initialize θ0，T，i0； 2. do ii+1
3.1 最大似然估计
• 独立同分布假设：样本集D中包含n个样本：x1，
x2， …, xn，样本都是独立同分布的随机变量 (i.i.d，independent identically distributed)。
• 对类条件概率密度函数的函数形式作出假设，参 数可以表示为参数矢量θ：
p x i ,θi