大学物理上海交通大学出版社符五久完整习题全解(上下册)

第8章 真空中的静电场

8-1 把某一电荷分成q 与Q-q 两个部分，且此两部分相隔一定距离，如果使这两部分有最大库仑斥力，则Q 与q 有什么关系?

8-2 在边长为a 的正方形的四角，依次放置点电荷q 、2q 、一4q 和2q ，它的正中放着一个单位正电荷．求这个电荷受力的大小和方向.

解 各点电荷在正方形中心产生的电场方向如图8-2所示，它们的大小为

方向如图8-2所示，则在正方形中心处的场强为

E 的方向指向-4q 。该处单位正电荷的受力就等于该点的电场强度E 。

8-3 两根无限长的均匀带电直线相互平行，相距为2a ，线电荷密度分别为λ+和λ-，求每单位长度的带电直线所受的作用力.

解 设带电直线1的线电荷密度为λ+，带电直线2的线电荷密度为λ-。可得带电直线1在带电直线2处产生的场强为

在带电直线2上取电荷dq ，由场强的定义得该电荷元受的作用力为

带电直线1对带电直线2单位长度上的电荷的作用力为

同理，带电直线2对带电直线1单位长度上的电荷的作用力为

可见，两带电直线相互吸引。

8-4 —无限大带电平面，带有密度为σ的面电荷，如图所示.试证明：在离开平面为x 处一点的场强有一半是由图中半径为x 3的圆内电荷产生的.

解 带电圆圆在轴线上的场强为

8-5 (1)点电荷q 位于边长为a 的正立方体的中心，通过此立方体的每一面的电通量各是多少?(2)若点电荷移至正立方休的一个顶点上．那么通过每个面的电通量又各是多少?

解 (1)点电荷q 位于正立方体的中心，正立方体的六个面对该电荷来说都是等同的。因此通过每个面的电通量相等，且等于总电通量的1／6。对正立方体的某一面，其电通量为

(2)当点电荷移至正立方体的一个顶点上时，设想以此顶点为中心，作边长为2a 且与原边平行的大正方体，如图8—5所示。与(1)相同，这个大正方体的每个面上的电通量都相等，且均等于06/εq 。对原正方体而言，只有交于A 点的三个面上有电场线穿过，每个面的面积

是大正方体一个面的面积的1/4，则每个面的电通量也是大正方体一个面的电通量的1/4，即024/εq ，原正方体的其他不A 点相交的三个面上的电通量均为零。

8-6 实验表明，在靠近地面处有相当强的电场，E 垂直于地面向下，大小约为100 N ／C ；在离地面1.5km 高的地方，E 也是垂直于地面向下，大小约为25N ／C.

(1)试计算从地面到此高度的大气中的平均电荷体密度；

(2)如果地球上的电荷全部分布在表面，求地面上的电荷面密度.

解 (1)设平均电荷体密度为ρ，在靠近地表面附近取底面积为S ∆，高为h 高斯柱面(图8—6(a))，根据高斯定理得

(2)设地面的电荷面密度为σ．在地表面取底面积为S ∆，高为h 的高斯柱面(图8—6(b))，根据高斯定理得

8-7 一半径为R 的带电球，其电荷体密度为)/1(0R r -=ρρ，0ρ为一常量，r 为空间某点至球心的距离.试求：(1) 球内、外的场强分布；(2) r 为多大时，场强最大?等于多少?

解 由于电荷球对称分都，故电场也球对称分布。利用高斯定理．取半径为r 的同心高斯球面。

8-8 如图所示，一个均匀分布的正电荷球层，电荷体密度为ρ，球层内表面半径为R 1，外表面半径为R 2.试求：(1) A 点的电势； (2) B 点的电势.

解 内电荷的球对称分布，用高斯定理可求出各区域的电场强度E 。

8-9 一个细玻璃捧，被弯成半径为R 的半圆形，其上均匀分布有电量q +，试求圆心O 处电场强度及电势．

分析 此题电量是连续分布的，此类问题的解题思路是将整个带电体分割成无限多的电荷元，先计算任意一个电荷元在给定点产生的场强和电势，再用积分法求给定点的总场强和总电势．如何取微元并建立微分式是难点，此外，用积分法求解电场强度时要注意，场强积分是矢量积分，应先把d E 在坐标轴上进行投影，求出d E 的各分量x dE 、y dE 、z dE ，再对各分量进行积分．

解 选择如图所示坐标系．在细玻璃棒取一长为d l 的线元，此线元与圆心的连线与y 轴的夹角为θ，所张圆心角为d θ，则该线元所带电量dq 为

8-10 一半径为R 的无限长圆柱形带电体，其体电荷密度)(R r Ar ≤=ρ，A 为正常数．试求：(1)圆柱体内外各点场强大小的分布；(2)选距轴线距离为)(R l l >处为零势0点，计算圆柱体内外各点的电势分布．

8-11 如图所示，一半径为R1的均匀带电绝缘固体球．电荷体密度为ρ，从球中挖去一半径为R2的球形空腔，,空腔中心O'与球心O的距离为a，试求：(1)空腔中心O'处的电场强度．(2)空腔中心O'处的电势.

8-12 电量q 均匀分布在长度为2L 的细直导线上，如图所示．

(1)求其延长线上距离线段中心为x 处(x ＞L)的电势(设无限远处电势为零)；

(2)利用电势梯度求该点的电场强度．

分析 本题可用电势叠加原理求电势．

解 (1)取如图所示的坐标系，在带电直线上取一线d l ，该线元所含电荷为dq ＝dl L

q dl 2=λ，电荷元dq 在延长线上x 处产生的电势为

8-13 如图所示，一带电均匀的平面圆环，内外半径分别为

R 1和R 2，电荷面密度为)0(>σσ．一质子被加速后，自P 点

沿圆环轴线处射向圆心O ，若质子达到O 点时的速度恰好为零，

试求质子位于P 点的动能E k ．(忽略重力影响，OP ＝L)

分析 这是一道力学与静电学的综合习题．根据动能定理，质子在OP 上运动时受到电场力做的功等于质子动能的增量．电场力做的功有两种求解方法：一种是利用电势差求解，即W ＝e (V P —V O )；另外一种方法是利用功的定义求解，即⎰⋅=

O P d e W l E 。第一种方法需要

求O 、P 两点的电势，第二种方法需要求OP 上的场强。