高考数学一轮复习第二十一章概率统计21.1离散型随机变量及其分布超几何分布

高考数学
第二十一章 概率统计
§21.1 离散型随机变量及其分布、超几何分布
知识清单
1.离散型随机变量的分布列 (1)如果随机试验的结果可以用一个变量来表示,那么这样的变量叫做 随机变量;所有取值可以一一列出的随机变量叫做离散型随机变量. (2)一般地,假定随机变量X有n个不同的取值,它们分别是x1,x2,…,xn,且P (X=xi)=pi,i=1,2,…,n, 则称上式为随机变量X的概率分布列,简称为X的分布列.
解析 (1)记“在一次游戏中摸出3个白球”为事件A,
则P(A)=
C
2 3
C
1
=2
1.
C
2 5
C
2 3
5
故在一次游戏中摸出3个白球的概率为 1 .
5
(2)X的所有可能取值为0,1,2,
记“在一次游戏中摸出的白球少于2个”为事件B,
则P(B)=1C=31C21C.22 C22C21 3
C52C32
10
不合格品数X的概率分布如表所示.
X
0
1
2
…
l
P
C
0 M
C
n N
M
C C 1 n 1 M N M
C C 2 n 2 M N M
…
C C l n l M N M
C
n N
C
n N
C
n N
C
n N
其中l=min{n,M}.
一般地,若一个随机变量X的分布列为P(X=r)=
C
r M
C,Nn其 rM 中r=0,1,2,3,…,
例 (2017江苏苏州高三暑假自主学习测试)在公园游园活动中有这样 一个游戏项目:甲箱子里装有3个白球和2个黑球,乙箱子里装有1个白球 和2个黑球,这些球除颜色外完全相同,每次游戏都从这两个箱子里各随 机地摸出2个球,若摸出的白球不少于2个,则获奖.(每次游戏结束后将球 放回原箱) (1)求在一次游戏中摸出3个白球的概率; (2)在两次游戏中,记获奖次数为X,求X的数学期望.
C
n N
l,l=min{n,M},且n≤N,M≤N,n,M,N∈N*,则称X服从超几何分布,记为X~
H(n,M,N),并将P(X=r)=C
r M
C
nr
记N M为H(r;n,M,N).
C
n N
方法技巧
方法 求离散型随机变量分布列的方法
1.求离散型随机变量的分布列,应按下述三个步骤进行: (1)明确随机变量的所有可能取值以及取每个值所表示的意义. (2)利用概率的有关知识,求出随机变量取每个值的概率. (3)按规范形式写出分布列,并用分布列的性质验证. 2.分布列中某一栏的概率如果比较复杂,直接求不方便,可利用p1+p2+… +pn=1来求.
则P(X=0)= 3 ×3 =9 ,
10 10 100
P(X=1)= C
×1 7
2 10
×3
10
2=1
50
,
P(X=2)= 7 ×7 =4 9 .
10 10 100
所以X的分布列为
X
0
1
2
P
9
21
49
100
50
100
故X的数学期望E(X)=0× 9 +1×2 1 +2×4 9 =7 .
100 50 100 5
X
x1
x2
…
xn
P
p1
p2
…pnBiblioteka 我们将上表称为随机变量X的概率分布表.
显然,这里的pi(i=1,2,…,n)满足条件① pi≥0 ,② p1+p2+…+pn=1 . 离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值
的概率之和.
2.超几何分布
若有一批产品共有N件,其中有M件不合格品,则随机取出的n件产品中,