数学选修2-2人教新课标A版第二章推理与证明复习课课件(33张)
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第二章 推理与证明
章末复习课
问题导学
百度文库
题型探究
问题导学
新知探究 点点落实
知识点一 合情推理
(1)归纳推理：由 部分 到整体 、由 个别 到 一般的推理.
(2)类比推理：由特殊 到 特殊 的推理.
(3)合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分
析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它
们统称为合情推理.
答案
知识点二 演绎推理
(1)演绎推理：由 一般 到 特殊 的推理. (2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括： ①大前提 ——已知的一般原理； ② 小前提 ——所研究的特殊情况； ③ 结论 ——根据一般原理，对特殊情况做出的判断.
答案
知识点三 直接证明和间接证明
(1)直接证明的两类基本方法是综合法和 分析法 ：
3.直接证明和间接证明是数学证明的两类基本证明方法.直接证明的两类 基本方法是综合法和分析法：综合法是从已知条件推导出结论的证明方 法；分析法是由结论追溯到条件的证明方法，在解决数学问题时，常把 它们结合起来使用，间接证法的一种方法是反证法，反证法是从结论反 面成立出发，推出矛盾的证明方法. 4.数学归纳法主要用于解决与正整数有关的数学问题.证明时，它的两个 步骤缺一不可.它的第一步(归纳奠基)n＝n0时结论成立.第二步(归纳递推) 假设n＝k时，结论成立，推得n＝k＋1时结论也成立.数学归纳法是在可 靠的基础上，利用命题自身具有的传递性，运用有限的步骤(两步)证明 出无限的命题成立.
差数列.类比以上结论有：设等比数列{bn}的前n项积为Tn, 则T4，__T_4___， T12
___T_8 __，T16成等比数列. T12
解析 等差数列类比于等比数列时，和类比于积，减法类比于除法，可 得类比结论为：设等比数列{bn}的前n项积为Tn，则T4，TT84，TT182，TT1162 成等比数列.
③Rt△ABC的外接圆半径为r＝ a2＋b2 . 2
把上面的结论类比到空间写出相类似的结论；试对其中一个猜想进行证明.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练1 (1)观察下列图形中小正方形的个数，则第n个图形中有 ________个小正方形.
解析答案
(2)设等差数列{an}的前n项和为Sn，则S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等 T8
＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α－2cos(α＋β)sin α
＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α
＝sin[(α＋β)－α]＝sin β，
两边同除以sin α得
sins2inα＋α β－2cos(α＋β)＝ssiinn
β α.
解析答案
类型三 反证法 1＋x 1＋y
①综合法 是从已知条件推出结论的证明方法；
② 分析法 是从结论追溯到条件的证明方法.
(2)间接证明的一种方法是 反证法 ，是从结论反面成立出发，推出矛盾的
方法.
知识点四 数学归纳法
数学归纳法主要用于解决与正整数有关的数学命题.证明时，它的两个步
骤缺一不可，它的第一步(归纳奠基)是证n＝ n0 时结论成立；第二步(归纳
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本课结束
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解析答案
类型四 数学归纳法 例4 用数学归纳法证明当n∈N*时，1·n＋2·(n－1)＋3·(n－2)＋…＋ (n－2)·3＋(n－1)·2＋n·1＝1 n(n＋1)·(n＋2).
6
反思与感悟
解析答案
跟踪训练 4 数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝12an＋1. (1)写出a2，a3，a4； 解 因为 a1＝1，an＋1＝12an＋1， 所以 a2＝12a1＋1＝12＋1＝32. a3＝12a2＋1＝12·32＋1＝74. a4＝12a3＋1＝12·74＋1＝185.
递推)是假设n＝ k 时结论成立，推得n＝ k＋1 时结论也成立.
答案
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题型探究
重点难点 个个击破
类型一 合情推理的应用
例1 (1)有一个奇数列1,3,5,7,9，…，现在进行如下分组：第一组含一个 数{1}；第二组含两个数{3,5}；第三组含三个数{7,9,11}；第四组含四个 数{13,15,17,19}；…试观察每组内各数之和f(n)(n∈N*)与组的编号数n的关 系式为__f(_n_)＝__n_3_.
例 3 若 x，y 都是正实数，且 x＋y>2，求证： y <2 或 x <2 中至少 有一个成立.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练3 已知：ac≥2(b＋d). 求证：方程x2＋ax＋b＝0与方程x2＋cx＋d＝0中至少有一个方程有实数根. 证明 假设两方程都没有实数根， 则Δ1＝a2－4b<0与Δ2＝c2－4d<0，有a2＋c2<4(b＋d)，而a2＋c2≥2ac，从 而有4(b＋d)>2ac，即ac<2(b＋d)，与已知矛盾，故原命题成立.
解析答案
类型二 综合法与分析法 例2 设a>0，b>0，a＋b＝1，求证 1a＋1b＋a1b≥8.试用综合法和分析法 分别证明.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练 2
求证：sins2inα＋α β－2cos(α＋β)＝ssiinn
β α.
证明 ∵sin(2α＋β)－2cos(α＋β)sin α
＝sin[(α＋β)＋α]－2cos(α＋β)sin α
解析答案
(2)求数列{an}的通项公式.
解析答案
规律与方法
1.归纳和类比都是合情推理，前者是由特殊到一般，部分到整体的推理， 后者是由特殊到特殊的推理，但二者都能由已知推测未知，都能用于猜 想，推理的结论不一定为真，有待进一步证明. 2.演绎推理与合情推理不同，是由一般到特殊的推理，是数学中证明的基 本推理形式.也是公理化体系所采用的推理形式，另一方面，合情推理与 演绎推理又是相辅相成的，前者是后者的前提，后者论证前者的可靠性.
解析 由于1＝13，3＋5＝8＝23， 7＋9＋11＝27＝33，13＋15＋17＋19＝64＝43，…，猜想第n组内各数之 和f(n)与组的编号数n的关系式为f(n)＝n3.
解析答案
(2)在平面几何中，对于Rt△ABC，AC⊥BC，设AB＝c，AC＝b，BC＝a，则
①a2＋b2＝c2；
②cos2A＋cos2B＝1；
章末复习课
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问题导学
新知探究 点点落实
知识点一 合情推理
(1)归纳推理：由 部分 到整体 、由 个别 到 一般的推理.
(2)类比推理：由特殊 到 特殊 的推理.
(3)合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分
析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它
们统称为合情推理.
答案
知识点二 演绎推理
(1)演绎推理：由 一般 到 特殊 的推理. (2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括： ①大前提 ——已知的一般原理； ② 小前提 ——所研究的特殊情况； ③ 结论 ——根据一般原理，对特殊情况做出的判断.
答案
知识点三 直接证明和间接证明
(1)直接证明的两类基本方法是综合法和 分析法 ：
3.直接证明和间接证明是数学证明的两类基本证明方法.直接证明的两类 基本方法是综合法和分析法：综合法是从已知条件推导出结论的证明方 法；分析法是由结论追溯到条件的证明方法，在解决数学问题时，常把 它们结合起来使用，间接证法的一种方法是反证法，反证法是从结论反 面成立出发，推出矛盾的证明方法. 4.数学归纳法主要用于解决与正整数有关的数学问题.证明时，它的两个 步骤缺一不可.它的第一步(归纳奠基)n＝n0时结论成立.第二步(归纳递推) 假设n＝k时，结论成立，推得n＝k＋1时结论也成立.数学归纳法是在可 靠的基础上，利用命题自身具有的传递性，运用有限的步骤(两步)证明 出无限的命题成立.
差数列.类比以上结论有：设等比数列{bn}的前n项积为Tn, 则T4，__T_4___， T12
___T_8 __，T16成等比数列. T12
解析 等差数列类比于等比数列时，和类比于积，减法类比于除法，可 得类比结论为：设等比数列{bn}的前n项积为Tn，则T4，TT84，TT182，TT1162 成等比数列.
③Rt△ABC的外接圆半径为r＝ a2＋b2 . 2
把上面的结论类比到空间写出相类似的结论；试对其中一个猜想进行证明.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练1 (1)观察下列图形中小正方形的个数，则第n个图形中有 ________个小正方形.
解析答案
(2)设等差数列{an}的前n项和为Sn，则S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等 T8
＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α－2cos(α＋β)sin α
＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α
＝sin[(α＋β)－α]＝sin β，
两边同除以sin α得
sins2inα＋α β－2cos(α＋β)＝ssiinn
β α.
解析答案
类型三 反证法 1＋x 1＋y
①综合法 是从已知条件推出结论的证明方法；
② 分析法 是从结论追溯到条件的证明方法.
(2)间接证明的一种方法是 反证法 ，是从结论反面成立出发，推出矛盾的
方法.
知识点四 数学归纳法
数学归纳法主要用于解决与正整数有关的数学命题.证明时，它的两个步
骤缺一不可，它的第一步(归纳奠基)是证n＝ n0 时结论成立；第二步(归纳
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类型四 数学归纳法 例4 用数学归纳法证明当n∈N*时，1·n＋2·(n－1)＋3·(n－2)＋…＋ (n－2)·3＋(n－1)·2＋n·1＝1 n(n＋1)·(n＋2).
6
反思与感悟
解析答案
跟踪训练 4 数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝12an＋1. (1)写出a2，a3，a4； 解 因为 a1＝1，an＋1＝12an＋1， 所以 a2＝12a1＋1＝12＋1＝32. a3＝12a2＋1＝12·32＋1＝74. a4＝12a3＋1＝12·74＋1＝185.
递推)是假设n＝ k 时结论成立，推得n＝ k＋1 时结论也成立.
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重点难点 个个击破
类型一 合情推理的应用
例1 (1)有一个奇数列1,3,5,7,9，…，现在进行如下分组：第一组含一个 数{1}；第二组含两个数{3,5}；第三组含三个数{7,9,11}；第四组含四个 数{13,15,17,19}；…试观察每组内各数之和f(n)(n∈N*)与组的编号数n的关 系式为__f(_n_)＝__n_3_.
例 3 若 x，y 都是正实数，且 x＋y>2，求证： y <2 或 x <2 中至少 有一个成立.
反思与感悟
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跟踪训练3 已知：ac≥2(b＋d). 求证：方程x2＋ax＋b＝0与方程x2＋cx＋d＝0中至少有一个方程有实数根. 证明 假设两方程都没有实数根， 则Δ1＝a2－4b<0与Δ2＝c2－4d<0，有a2＋c2<4(b＋d)，而a2＋c2≥2ac，从 而有4(b＋d)>2ac，即ac<2(b＋d)，与已知矛盾，故原命题成立.
解析答案
类型二 综合法与分析法 例2 设a>0，b>0，a＋b＝1，求证 1a＋1b＋a1b≥8.试用综合法和分析法 分别证明.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练 2
求证：sins2inα＋α β－2cos(α＋β)＝ssiinn
β α.
证明 ∵sin(2α＋β)－2cos(α＋β)sin α
＝sin[(α＋β)＋α]－2cos(α＋β)sin α
解析答案
(2)求数列{an}的通项公式.
解析答案
规律与方法
1.归纳和类比都是合情推理，前者是由特殊到一般，部分到整体的推理， 后者是由特殊到特殊的推理，但二者都能由已知推测未知，都能用于猜 想，推理的结论不一定为真，有待进一步证明. 2.演绎推理与合情推理不同，是由一般到特殊的推理，是数学中证明的基 本推理形式.也是公理化体系所采用的推理形式，另一方面，合情推理与 演绎推理又是相辅相成的，前者是后者的前提，后者论证前者的可靠性.
解析 由于1＝13，3＋5＝8＝23， 7＋9＋11＝27＝33，13＋15＋17＋19＝64＝43，…，猜想第n组内各数之 和f(n)与组的编号数n的关系式为f(n)＝n3.
解析答案
(2)在平面几何中，对于Rt△ABC，AC⊥BC，设AB＝c，AC＝b，BC＝a，则
①a2＋b2＝c2；
②cos2A＋cos2B＝1；