《有趣的杨辉三角》教学设计 - 中学数学信息网

《有趣的杨辉三角》教学设计
广西钦州市灵山县灵山中学赵金成
一、教学内容解析
1．“杨辉三角”的内涵实际上就是二项式系数的性质，其内容丰富，值得学生深入探讨。

对于杨辉三角所蕴含的规律，学生不难发现，而难点就在于如何把学生通过观察发现的规律进行归纳，进而推理论证，揭示其数学本质。

本节课利用了转化和化归的数学思想，把对观察得到的规律的证明化归为组合数性质的应用上。

2．本节课的教学内容属于事实性知识，其特点是易懂难记，难于上升到理性的解释。

3．本节课是在学生学习了两个计数原理、组合及组合数的性质的基础上，又具体学习了二项式定理、二项式系数等概念的基础上进行的。

4．从知识发生发展过程的角度上看，学生可以从直观上很好地观察发现杨辉三角中蕴含的数字规律，但对于高二的学生，他们思考问题的思维已经不仅仅满足于“知其然”，他们更渴望的是“知其所以然”，在老师适当的点拨下，学生能很自然地联系到上位知识，即组合数的性质与二项式系数的联系，通过师生合作完成知识发展过程的探究，这符合学生的认知规律，也体现了互助学习的价值观教育。

二、教学目标设置
新课程改革的课程目标要求，课堂教学应实现三维目标，即知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观。

因此，本节课制定了如下教学目标及教学重难点：
教学目标：
1．掌握二项展开式中的二项式系数的基本性质及其推导方法。

2．通过对杨辉三角中蕴含的数字规律的初步探究，培养学生发现问题、提出问题、经过分析——猜想——证明以后解决问题的能力，激励学生自主创新。

通过从不同的角度观察杨辉三角，培养学生要从多角度看问题的意识，提高学生解决实际问题的能力。

3．鼓励学生在学习中学会交流、合作，培养学生团结协作的精神。

同时，通过了解我国古代数学的伟大成就，培养学生的爱国情感。

教学重、难点：
教学重点：掌握二项展开式中二项式系数性质，探讨“杨辉三角”中蕴含的数字规律，培养学生发现问题并运用所学的知识解决问题的能力。

教学难点：如何发现、证明规律。

通过本节课的学习，学生可以深刻地感知知识的形成过程，对于规律性的结论可以做出判断，并上升到理性的思考。

通过小组合作学习的方式，学生更加感受到在互助中学习，在竞争中学习的重要性，达到培养学生团结协作精神的目的。

三、学生学情分析
1. 在初中甚至小学，学生都在不同程度上进行过数字规律探究方面的活动，到了高中
阶段，学生已经具备了更为理性的思考，对发现的规律能够尝试证明。

同时学生已掌握了组合及组合数的性质，这是突破本节课难点的基础。

对于高二的学生来说，基本接触了高中阶段常见的四种数学思想方法，即函数与方程，转化和化归，分类讨论以及数形结合的思想方法。

本节课授课班级1015班为文科实验班，在数学科的学习特点是个体存在较大差距，但学习积极性都很高。

另外，该班设有合作基层小组①，即小组内拥有稳定的成员，持续了一年多的相互支持、鼓励和帮助，小组内部及小组之间有了一定的解决问题的能力，但对于本节课的难点——证明规律，学生还需要在老师的指导下共同完成。

四、教学策略分析
本节课的教材所具有的特点是所涉及的内容都是以结论的形式直接呈现，对于这些结论学生也不难理解。

但是如果以讲授课的形式来学习本节课的内容，那么学生将陷入一种被动学习的局面，学生不仅难于发现课本以外的其他规律，更甚者使学生能力缺失，对学习缺乏兴趣，不能有效开展课堂教学，提高课堂教学质量。

因此，这就要求我们必须从学生的认知规律出发，去暴露知识的发生、发展过程。

1．根据教学内容的特点，实现情感目标，本节课先是以学生观看视频的方式，激励学生探索的欲望，同时结合本节课的历史材料，对学生进行情感教育。

2．依据知识的发生发展过程和学生的思维规律，本节课设计了“问题串”的形式，让不同程度的学生都有所收获，有所成功，充分体现新课程“面向全体，让不同的学生在学习上都能得到发展”的思想。

通过填表的方式初步找规律，再独立思考找规律，最后进行合作交流，共同找规律并尝试证明，在知识的形成过程中去培养学生思维的逻辑性、深刻性，这体现了学生学习由具体感知到理性思考的过程，为不同认知基础的学生提供合理的学习机会。

3．为突出重点，本节课采取观察启发和问题解决的方式引导学生思考，使学生主动参与提出问题和探索问题的过程。

同时采用学生以分组讨论的方式，通过观察分析——归纳猜测——推理论证——巩固反馈来理解和掌握内容。

（1）为突破难点，对结论的推理证明将由师生共同完成。

在结论的推证过程中去培养学生思维的严谨性和演绎推理的能力以及化归的思想方法。

（2）为了给学生提供学习反馈的机会，以更好地揭示学生对知识发生、发展过程的认知，本节课借助教育技术在内的教学媒体，让学生进一步交流，帮助学生正确理解数学知识，发展数学思维，同时显示计算机辅助教学的优势。

①[美]戴维·W.约翰逊、罗杰·T.约翰逊著，唐宗清等译：《领导合作学校》，上海教育出版社2003年版，第54页。

五、教学过程
展开式的二项
（八）课后反思
对于本节课，一些教师可能会采取讲授课的形式进行教学，因为课本上已经直接给出了一些二项式系数的规律，教师也就因为课时所限、高考不重点考查等原因而直接讲结论，紧接着练习以完成教学任务。

以这样的方式培养出来的学生会习惯被动接受，会丧失自主创新的能力。

因此，在本节课的实际教学中，我的设计力求学生能在学习中体验──在体验中探
究──在探究中创新。

在创设问题情境时，我用22岁数学奇才刘路的事迹引入，既让学生产生“临渊羡鱼，不如退而结网”的干劲，又对学生进行了爱国主义教育；在介绍数学家杨辉时，我特意提到勾股定理以及圆周率的发现，激发学生的爱国情感，实现本节课的情感目标。

我在进行教学设计时，考虑到学生的参与程度和能力的不同，决定采取开放式设计，即让他们发挥有效联想和猜想，独立思考，得到一些初步猜想。

经过这一环节，学生心中会因自己的发现而有了一定的成就感，同时又渴望能发现更多的规律。

而此时的学习小组讨论正是一场“及时雨”，能让不同层次的学生的思想互相碰撞，产生火花。

本节课的升华阶段是学生成果的展示，因此我大胆采用“兵教兵”的学习方式，让学生主动充当“小老师”的角色，既展示了成果，又锻炼了胆量和语言组织能力。

那么在这个过程中，教师最具挑战性的地方就在于如何将学生发现的规律与已有的知识结合起来，并进行理性的证明。

为了更好地解决这个问题，我在课前复习了二项式定理的有关内容，让学生能自然地联系到组合数的性质，并可以自己尝试证明。

当然，受得所学知识的限制，有些规律暂时还不能证明，但这更激发了学生继续学习的热情。

我认为，一节成功的课，不应该是一节学生完全没有疑问的看似“完美”的课，而是能够让学生有收获，同时又想收获更多的课。

附件一
探索杨辉三角中蕴含的数字排列规律
【活动一】：
计算展开式的二项式系数并填入表格
展开式的二项式系数
通过填表，你发现了什么规律
【活动二】
上表经过整理得到如下形式：
观察上表，你能得到表中蕴含的哪些数字规律？请把最后一行空缺的数据补充完整。

【活动三】
从不同的方向观察杨辉三角，你能发现什么数字规律？
附件二
探索杨辉三角中蕴含的数字排列规律
【活动一】：
计算展开式的二项式系数并填入表格
展开式的二项式系数
通过填表，你发现了什么规律？
【活动二】
上表经过整理得到如下形式：
观察上表，你能得到表中蕴含的哪些数字规律？请把最后一行空缺的数据补充完整。

【活动三】
从不同的方向观察杨辉三角，你能发现什么数字规律？
，当，
，即：
式系数的和，即：
行除了两端的。