有限元基础课程学习总结

有限元基础理论学习总结报告

中国矿业大学（北京）14级硕士王涛

通过课上和课下的学习，对有限元基础理论有了一定的了解和认识。经过学习，更加深刻的理解了有限元的离散、单元类型、插值函数构造和等参变换等知识，现对有限元的基本理论和用法做了如下学习和报告。

已经发展的偏微分方程数值分析方法可以分为两大类。一类是有限差分法，其特点是直接求解基本方程和相应定解条件的近似解，求解步骤归纳为：首先将求解域划分为网格，然后在网格的节点上用差分方程来近似微分方程。借助于有限差分法能够求解相当复杂的问题，特别是求解方程建立于固结在空间的坐标系（Euler坐标系）的流体力学问题，有限差分法有自身的优势，因此在流体力学领域内，至今仍占支配地位。但是对于固体结构问题，由于方程通常建立于固结的物体上的坐标系（Lagrange坐标系）和形状复杂，另一类数值分析方法——有限元法则更为合适。

有限差分法：

特点：以差分方程近似微分方程，直接数值求解原问题的微分方程，在流体力学，岩土力学领域占重要地位。

有限元法：

特点：区别于有限差分法，即不是直接从问题的微分方程和相应的定解条件出发，而是从等效的积分形式出发，数值求解原问题的

等效积分方程。

基本思想：1 将求解域离散为有限个子域（单元）的集合

2 分片逼近待求函数

分析过程：1 单元特性分析，单元节点位移与节点力之间的关系

2 系统特性分析，将单元刚度矩阵集成整体刚度方程

1. 有限元法的理论基础——加权余量法和变分原理

1.1 微分方程的等效积分形式和加权余量法

1.1.1 微分方程的等效积分形式

工程或物理学中的许多问题，通常是以未知场函数应满足的微分方程和边界

条件形式提出来的，可以一般地表示为未知函数应满足微分方程组

()0A u =（在Ω内） （1.1.1） 域Ω可以是体积域、面积域等。同时未知函数还应满足边界条件

()0B u =（在Г内） （1.1.2） Г是域Ω的边界。

由于微分方程组（1.1.1）在域Ω中每一点都必须为零，因此就有

0...))()(()(2211=Ω++=Ω⎰⎰ΩΩd A A d A T μυμυμυ （1.1.3）

其中

是函数向量，它是一组和微分方程个数相等的任意函数。（1.1.3）式与微分方程组（1.1.1）式是完全等效的积分形式。同理，加入边界条件（1.1.2）也同时在边界上每一点都得到满足，则其等效积分形式（微分方程）为

0)()(=Γ+Ω⎰⎰ΓΩd B d A T

T μυμυ (1.1.5) 对（1.1.5）分部积分得到等到另一种形式 0)()()()(=Γ+Ω⎰⎰ΓΩd F E d D C T μυμυ (1.1.6) 其中C 、D 、E 、F 是微分算子，它们中包含的阶数较（1.1.5）式的A 低，这样对函数只需要求较低阶的连续性就可以了。在（1.1.6）式中降低的连续性要求是以提高υ和υ的连续性要求为代价的。这种通过适当提高对任意函数υ和υ的连续性要求，以降低对微分方程场函数的连续性要求所建立的等效积分形式称为微分方程的等效积分“弱”形式。

1.1.2 基于等效积分形式的近似方法——加权余量法

对微分方程（1.1.1）式和边界条件（1.1.2）式所表达的物理问题，假设未知场函数可以采用近似函数来表示。近似函数是一族带有待定参数的已知函数，一般形式是

Na a N i i n

i ==≈∑=1μμ （1.1.7）

其中i a 是待定参数；i N 是称之为试探函数（或基函数、形函数）的已知函

数，它取自完全的函数序列，是线性独立的。

显然，近似解不能精确满足微分方程（1.1.1）式和全部边界条件（1.1.2）式，它们将产生残差R 和R ，即R Na A =)(;R Na B =)(。残差R 和R 亦称为余量。在（1.1.5）式中用n 个规定的函数来代替任意函数υ和υ，即

j W =υ； j W =ν )~1(n j = （1.1.8） j W 和j W 称为权函数。

对应等效积分“弱”形式（1.1.6）式，同样可以得到它的近似形式为

0)()()()(=Γ+Ω⎰⎰Γ

Ωd Na F W E d Na D W C j T j T ),...,1(n j = （1.1.9） 采用使余量的加权积分为零来求得微分方程近似解得方法称为加权余量法。 对于权函数不同的选择可分为配点法，子域法，最小二乘法，力矩法和伽辽金法。

1.2 变分原理

如果微分方程具有线性和自伴随的性质，则不仅可以建立它的等效积分形式，并利用加权余量法求其近似解，还可以建立与之相等效的变分原理，并进而得到基于它的另一种近似求解方法，即里兹方法。

1.2.1 线性、自伴随微分方程变分原理的建立

1. 线性、自伴随微分算子

若有微分方程

0)(=+b u L （在Ω域内） （1.2.1） 其中微分算子L 具有如下性质

)()()(2121u L u aL u au L ββ+=+ （1.2.2）

则称L 为线性算子，方程（1.2.1）为线性微分方程。其中a 和β是两个常数。

现定义)(u L 和任意函数的内积为

⎰

ΩΩvd u L )( （1.2.3） 对上式进行分部积分直至u 的倒数消失，这样就可以得到转化后的内积并伴

随有边界项。结果可表示如下：

),.(.)()(*v u t b d v L vd u L +Ω=Ω⎰⎰Ω

Ω （1.2.4） ),.(.v u t b 表示在Ω的边界Г上由u 和v 及其导数组成的积分项。*L 称为L 的伴随算子。若*L =L ，则称算子是自伴随的。微分方程（1.2.1）为线性、自伴随的微分方程。

2. 泛函的构造

原问题的微分方程和边界条件表达如下

0)()(=+=f u L u A （在Ω内）

0)(=u B （在Г上） （1.2.5） 和以上微分方程及边界条件相等效的伽辽金提法可表示如下

0)(])([=Γ-Ω+⎰⎰Γ

Ωd u B u d f u L u T T δδ （1.2.6） 利用算子是线性、自伴随的，就可得到原问题的变分原理

0)(=∏u δ （1.2.7）

其中

).(.])(2

1[)(u t b d f u u L u u T T +Ω+=∏⎰Ω 是原问题的泛函，以为内此泛函中u （包含u 的导数）的最高次为二次，所以称为二次泛函。

原问题的微分方程和边界条件的等效积分的伽辽金提法等效于它的变分原理，即原问题的微分方程和边界条件等效于泛函的变分等于零，亦即变分取驻值。

1.3 弹性力学的基本方程和变分原理

1.3.1弹性力学基本方程的张量形式

1. 平衡方程

0,=+i j ij f σ（在V 内） )3,2,1(=i （1.3.1）

2. 几何方程——应力-位移关系

)(2

1

,,i j j ij ij u u +=ε（在V 内） )3,2,1,(=j i （1.3.2）