自动控制系统第四章共50页

R(z)T22z(11(1z1z)31)
由最少拍控制器设计时选择的 Ф(z)=1-(1-z-1)3=3z-1-3z-2+z-3
可以得到
E(z)1T2z11T2z2
2
2
上式说明，只需三拍(三个采样周期)输出就能跟踪输入，达 到稳态。
3．最少拍控制器的局限性
局限性的含义？
最少拍控制器的设计是使系统对某一典型输入的响应为 最少拍，但对于其它典型输入不一定为最少拍，甚至会引起大 的超调和静差。
主要介绍下面三个内容： (1)最少拍控制器对典型输入的适应性差 (2)最少拍控制器的可实现性问题 (3)最少拍控制的稳定性问题
(1)最少拍控制器对典型输入的适应性差
对某一典型输入的响应为最少拍的控制器，对于其它典型输入不一 定为最少拍！
例如，当Ф(z)是按等速输入设计时，有Ф(z)=2z-1-z-2，
r(t)=1(t)；R(z)=1/（1-z-1）
Y (z) R (z) (z) 2 z 1 1 z z 1 2 2 z 1 z 2 z 3
等速输入时 r(t)=t
Tz1 R(z) (1 z1)2
Y (z)T 1z(2 z 1 z 2 ) 2 T 2z 3 T 3z 4 T 4z (1 z 1 )2
对应的z变换
R(z) B(z) (1 z1)q
B(z)是不包含(1-z-1)因子的关于z-1的多项式。
典型输入类型
对应的z变换
q=1 单位阶跃函数
q=2 单位速度函数 q=3 单位加速度函数
R(z) 1 1 z1
R(z)
Tz-1 (1 z1)2
R(z) T22z(1-1(1z1z)3-1)
根据z变换的终值定理，系统的稳态误差为
F(z)=1+f１z-1+fБайду номын сангаасz-2+…+fpz-p
可以看出，Ф(z)具有z-1的最高幂次为N=p+q，这表明系统闭 环响应在采样点的值经N拍可达到稳态。 特别当P=0时，即F(z)=1时，系统在采样点的输出可在最少拍 (Nminn=q拍)内达到稳态，即为最少拍控制。因此最少拍控制 器
设计时选择Ф(z) Ф(z)=1-(1-z-1)q
e()lz i1m (1z1)E(z)lz i1m (1z1)R(z)e(z) lz i1m (1z1)(1 B(zz)1)qe(z)
由于B(z)没有(1-z-1)因子，因此要使稳态误差e(∞) 为零，必须有
Фe(z)=1-Ф(z)=(1-z-1)qF(z) →Ф(z)=1-Фe(z)=1-(1-z-1)qF(z) 这里F(z)是关于z-1的待定系数多项式。显然，为了 使Ф(z)能够实现， F(z)中的首项应取为1，即
E(z)R (z) e(z)R (z)1 (z)1 1 z 1(1z 1)1
1•z00•z 10•z2
进一步求得
Y (z ) R (z ) (z ) 1 1 z 1z 1 z 1 z 2 z 3
以上两式说明，只需一拍(一个采样周期)输出就能跟踪 输入，误差为零，过渡过程结束。
(3) 单位加速度输入(q=3) 单位加速度输入r(t)=（1/2）t２ 的Z变换为
m
D(z)U(z) E(z)
bizi
i0 n
1 aizi
,
i1
(nm)
因此，数字控制器D(z)
m
n
u(k)bie(ki)aiu(ki)
i0
i1
按照上式，就可编写出控制算法程序。
4.2.2 最少拍控制器的设计
工程应用背景：随动系统，伺服系统，运动控制，…
最少拍控制的定义： 所谓最少拍控制，就是要求闭环系统对于某种特
等加速输入时 r(t)=（1/2）t２ R(z)T22z(1 1 (1z1z) 31)
Y(z)R(z)(z)T2 2z(1 1 (1z 1z)3 1)(2z1z2) T2z23.5T2z37T2z41.15T2z5
画出三种输入下的输出图形，与输入进行比较
2
6
14
5
12
1.5
10
4
8
1
3
6
2
0.5
4
4.2.1 数字控制器的离散化设计步骤
1．根据控制系统的性能指标要求和其它约束条件，确 定所需的闭环脉冲传递函数Ф(z)
2．求广义对象的脉冲传递函数G(z)。
G (z)B A ( (z z) )Z H (s)G C (s)Z 1 S e TG sC (s)
3．求取数字控制器的脉冲传递函数D(z)。
1
2
0
0
0
0123456
0
2
4
6
0
2
4
6
从图形可以看出，对于阶跃输入，直到2拍后，输出才达到稳 定，而在上面单独设计控制器，只需要一拍；这样，过渡时间 延长了，而且存在很大的超调量，在1拍处！
对于加速度输入，输出永远都不会与输入曲线重合，也就是说 按等速输入设计的控制器用于加速度输入会产生误差。
结论：
Φ(z) D(z)G(z) 1 D(z)G(z)
D(z) 1 (z) G(z)1(z)
4．根据D(z)求取控制算法的递推计算公式
m
D(z)U(z) E(z)
bizi
i0 n
1 aizi
,
i1
(nm)
设数字控制器D(z)的一般形式为
m
n
U(z) biziE(z) aiziU(z)
数字控制器的i 输0 出U(z)为 i1
T
u(k) T
H(s) u(t) GGc(s() y(t) s)
由上图可知，误差E(z)的脉冲传递函数为 e(z)E R ( (z z) )R (zR )( zY )(z)1 (z)
E(zR ) ( ze)(z)
R(z) T1z-1 1(1zz11)2
典型输入函数
r(t) 1 tq1 (q1)!
最少拍控制器D(z)为
D (z)G 1 (z)1 (z()z)G 1( z()11 ( zz1 1 ))qq
2．典型输入下的最少拍控制系统分析
(1)单位阶跃输入(q=1)
输入函数r(t)=1(t),其z变换为
1 R(z) 1z1
由最少拍控制器设计时选择的Ф(z) =1-(1-z-1)q=z-1 可以得到
定的输入在最少个采样周期内达到无静差的稳态，且
(z )1 z 12 z 2 N z N
式中N是可能情况下的最小正整数。这一形式表明闭环系统 的脉冲响应在N个采样周期后变为零，输出保持不变，从而 意味着系统在N拍之内达到稳态。
1．闭环脉冲传递函数Ф(z)的确定
r(t) + _
e(t) e(k) D(z)
一般来说，针对一种典型的输入函数R(z)设计，得到系 统的闭环脉冲传递函数Ф(z)，用于次数较低的输入函数 R(z)时，系统将出现较大的超调，响应时间也会增，但在 采样时刻的误差为零。 反之，当一种典型的最少拍特性用于次数较高的输入函 数时，输出将不能完全跟踪输入以致产生稳态误差。 由此可见，一种典型的最少拍闭环脉冲传递函数Ф(z) 只适应一种特定的输入而不能适应于各种输入。