2011年浙江高考数学试题及答案解析版(理科)

2011年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）
理科数学
一、选择题 （本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）设函数2,0,
()()4,0.
x x f x f x x α-≤⎧==⎨〉⎩若,则实数α=
（A ）-4或-2 （B ）-4或2 （C ）-2或4 （D ）-2或2 【答案】B
【解析】当0≤α时，()4,4f ααα=-==-； 当0>α时，2
()4,2f ααα===.
（2）把复数z 的共轭复数记作z ，i 为虚数单位，若1z i =+,则(1)z z +⋅= （A ）3-i （B ）3+i （C ）1+3i （D ）3 【答案】A
【解析】∵i z +=1，∴i z -=1，∴(1)(11)(1)3z z i i i +⋅=++-=-.
(3)若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是
【答案】D
【解析】由正视图可排除A 、B 选项；由俯视图可排除C 选项.
（4）下列命题中错误的是
（A ）如果平面αβ⊥平面，那么平面α内一定存在直线平行于平面β （B ）如果平面不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β （C ）如果平面αγ⊥平面，平面βγ⊥平面，=l αβ⋂，那么l γ⊥平面 （D ）如果平面αβ⊥平面，那么平面α内所有直线都垂直于平面β 【答案】D
【解析】因为若这条线是αβ平面和平面的交线L ，则交线L 在平面α内，明显可得交线L 在平面β内，所以交线L 不可能垂直于平面β，平面α内所有直线都垂直于平面β是错误的
（5）设实数,x y 满足不等式组250270,0x y x y x +-⎧⎪
+-⎨⎪⎩
＞＞≥，y ≥0，若,x y 为整数，则34x y +的最小值是
（A ）14 （B ）16 （C ）17 （D ）19 【答案】B
【解析】可行域如图所示
联立⎩⎨⎧=-+=-+072052y x y x ，解之得⎩⎨⎧==1
3y x ，又∵边界线为虚线取不到，且目标函数线的斜率为43-，
∴当y x z 43+=过点（4，1）时，有最小值16.
（6）若02
π
α＜＜
，02π
β-
＜＜，1cos()43πα+=
，cos()423πβ-=
，则cos()2
β
α+= （A
（B
） （C
（D
）
【答案】C
【解析】∵31)4
cos(=
+απ
，20π
α<<
，∴sin()43πα+=，又∵33)24cos(=-βπ，
02
<<-
βπ
，∴36)2
4sin(
=
-
β
π
，∴)]2
4()4cos[()2cos(β
παπβα--+=+＝
)2
4sin()4sin()24cos()4cos(β
παπβπαπ-++-+
＝13333⨯+＝935. （7）若,a b 为实数，则“01ab ＜＜”是11a b b a
＜或＞的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件
（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】A
【解析】当0,0>>b a 时，由10<<ab 两边同除b 可得b
a 1
<成立；当0,0<<b a 时，两边同除以a 可得a b 1>成立，∴“10<<ab ”是“b a 1<或a
b 1
>”的充会条件，反过来0<ab ，
由b a 1<或a
b 1
>得不到10<<ab .
（8）已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=＞＞与双曲线22
2:14
y C x -
=有公共的焦点，2C 的一条渐近线与以1C 的长轴为直径的圆相交于,A B 两点，若1C 恰好将线段AB 三等分，则 （A ）2132a =
（B ）213a = （C ）21
2
b = （D ）22b = 【答案】 C
【解析】由双曲线4
2
2
y x -＝1知渐近线方程为x y 2±=，又∵椭圆与双曲线有公共焦点，
∴椭圆方程可化为2
2x b ＋(
)
2
2
5y b +＝(
)
2
2
5b b +，联立直线x y 2±=与椭圆方程消y 得，
()2055222
2
++=
b b b x
，又∵1C 将线段AB 三等分，∴()
3220
552212
222
a b b b =++⨯+， 解之得2
1
2
=
b .
（9）有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本.若将其随机的并排摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率
（A ）
15 （B ）25 （C ）35 D 45
【答案】B
【解析】由古典概型的概率公式得52
215
5
2
22233232222=+-=A A A A A A A P .
（10）设a ，b ，c 为实数，)1)1
()(),)(()(2
2+++=+++=bx cx ax x g c bx x a x x f （.记集合S=()0,,()0,,x f x x R T x g x x R =∈==∈若S ，T 分别为集合元素S ，T 的元素个数，则下列结论不可能．．．
的是 （A ）S =1且T =0 （B ）1T =1S =且 （C ）S =2且T =2 （D ）S =2且T =3 【答案】D
【解析】当0===c b a 时，1=s 且 0||=T ；当0a ≠且2
40b ac -〈时，1=s 且1T =；当2
0,40a b ac ≠-〉且b=a+c(例如a=1 c=3,b=4)时， 2=s 且2T =.
非选择题部分（共100分）
二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分
（11）若函数2()f x x x a =-+为偶函数，则实数a = 。

【答案】0
【解析】∵)(x f 为偶函数，∴)()(x f x f =-， 即
,
||)(||22a x a x a x x a x x -=+⇒+---=+-∴
0=a .
（12）若某程序图如图所示，则该程序运行后输出的k 的值是 。

【答案】5 【解析】3=k 时，3
4=a ＝64，4
3=b ＝84，b a <；
4=k 时，44=a ＝256，44=b ＝256，b a =； 5=k 时，54=a ＝2564⨯，45=b ＝625，b a >.
（13）设二项式)0()(6
>-
a x
a x 的展开式中3x 的系数为A,常数项为B ，若B=4A ，则a 的值是 。

【答案】2 【解
析
】由
题意得
()k k k k
k k k x
C a x a x C T 23
66661
--+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛-=， ∴()262
C a A -=，()4
64
C a B -=，又∵A B 4=，
∴()464
C a -()26
2
4C a -=，解之得42
=a ，又∵0>a ，∴2=a .
（14）若平面向量α，β满足|α|≤1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为
1
2
，则α与β的夹角θ的取值范围是 。

【答案】 ]6
5
,6[ππ
【解析】由题意得：2
1
sin =
θβα，∵1α≤，1≤β，∴11sin 22θαβ=
≥，
又∵),0(πθ∈，∴5[,]65
ππ
θ∈.
（15）某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业
生得到甲公司面试的概率为2
3
，得到乙公司面试的概率为p ，且三个公司是否让其面试是相互独立的。

记X 为该毕业生得到面试得公司个数。

若1
(0)12
P X ==，则随机变量X 的数学期
望()E X = 【答案】
3
5 【解析】∵ ()12132102=⎪⎭⎫ ⎝
⎛-
==p X P ，∴2
1=p . ∴()31
22131213212
2
=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯==X P ，
()125
21312213222
2=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯==X P ，
()6
1
213232
=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯==X P ，
∴()3
5
61312523111210=⨯+⨯+⨯+⨯=X E .
（16）设,x y 为实数，若2
2
41,x y xy ++=则2x y +的最大值是 .。

【答案】
5
10
2 【解析】∵1422=++xy y x ，∴13)2(2
=-+xy y x ，即122
3
)2(2
=•-
+xy y x ，
∴2
232(2)()122x y x y ++-≤，解之得：5
8
)2(2≤+y x ，即255x y -≤+≤
（17）设12,F F 分别为椭圆2
213
x y +=的焦点，点,A B 在椭
圆上，若125F A F B =;则点A 的坐标是 . 【答案】()1,0
【解析】设直线A F 1的反向延长线与椭圆交于点B '，又∵B F A F 215=，由椭圆的对称性可得115F B A F '=，设()11,y x A ，()22,y x B '，
又∵11F A =
，
12'F B =+
，
12125()
x x ==解之得01=x ，∴点A 的坐标为(0,1)或（0，-1）. 三、解答题;本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

（18）（本题满分14分）在ABC 中，角..A B C 所对的边分别为a,b,c. 已知()sin sin sin ,A C p B p R +=∈且2
14
ac b =. （Ⅰ）当5
,14
p b =
=时，求,a c 的值； (Ⅱ)若角B 为锐角，求p 的取值范围；
（19）（本题满分14分）已知公差不为0的等差数列{}n a 的首项1a 为a(a R ∈),设数列的前n 项和为n S ，且
11a ，21a ，4
1
a 成等比数列 （1）求数列{}n a 的通项公式及n S （2）记1231111...n n A S S S S =++++，212221111...n
n B a a a a =++++，当2n ≥时，试比较n A 与n B 的大小.
（20）本题满分15分）如图，在三棱锥P-ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 的中点，PO ⊥平面ABC ，垂足O 落在线段AD 上，已知BC ＝8，PO ＝4，AO ＝3，OD ＝2
（Ⅰ）证明：AP ⊥BC ；
（Ⅱ）在线段AP 上是否存在点M ，使得二面角A-MC-B 为直二面角？若存在，求出AM 的长；若不存在，请说明理由。

（21）（21）（本题满分15分）已知抛物线1:C 2
x ＝y ，圆2:C 2
2
(4)1x y +-=的圆心为点
M 。

（Ⅰ）求点M 到抛物线1C 的准线的距离；
（Ⅱ）已知点P 是抛物线1C 上一点（异于原点），过点P 作圆2C 的两条切线，交抛物线1C 于A ，B 两点，若过M ，P 两点的直线l 垂足于AB ，求直线l 的方程.
（22）（本题满分14分）设函数()f x ＝2
()ln x a x -，a ∈R
（Ⅰ）若x ＝e 为()y f x =的极值点，求实数a ；
（Ⅱ）求实数a 的取值范围，使得对任意的x ∈（0,3e ]，恒有()f x ≤42
e 成立. 注：e 为自然对数的底数。

数学（理科）试题参考答案
一、选择题：本题考查基本知识和基本运算。

每小题5分，满分50分。

（1）B （2）A （3）D （4）D （5）B （6）C （7）A （8）C （9）B （10）D
二、填空题：本题考查基本知识和基本运算。

每小题4分，满分28分。

（11）0（12）5（13）2（14）[566,ππ
]
（15）53
（16
）（17）(0,±1)
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

（Ⅰ）解：由题设并利用正弦定理，得54
1
4
a c ac +=⎧⎨=⎩
解得1
41a c =⎧⎨=⎩或14
1
a c =⎧⎨=⎩ （Ⅱ）解：由余弦定理，
b 2=a 2+
c 2-2ac cosB
=(a+c)2-2ac cosB
=p 2b 2-221122cos ,b b B -即231
cos ,22
p B =
+ 因为0
cos 1,B 得23
(,2)2
p ∈，由题设知0p
，所以
22
p
（19）本题主要考查等差数列、等比数列、求和公式、不等式等基础知识，同事考查分类讨论思想。

满分14分。

（Ⅰ）解：设等差数列{a n }的公差为d,由2214
111(),a
a a =
⋅ 得2
111()(3)a d a a d +=+。

因为0d ≠,所以1n d a a ==
所以(1)
,2
n n an n a na S +==
， （Ⅱ）解：因为 所以
1211(),1
n S a n n =-+ 123111121...(1).1
n n A S S S S a n =
+++=-+ 因为11
22
,n n a a --=所以
21122211()11111212....(1).1212
n n
n n
B a a a a a a --=+++==-- 当n ≥2时，0122...1n n
n n n n
C C C C n =++++，即11
11,12
n n -
-+
所以，当a ＞0时，n n A B ；当a ＜0时，n n A B 。

（20）本题主要考查空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，空间向量的应用，同事
考查想象能力和运算求解能力。

满分15分。

方法以：
（Ⅰ）证明：如图，以
O 为原点，以射线OP 为z 轴的正半轴，建
立空间直角坐标系O-xyz
则O （0,0,0），A （0，-3,0），B （4,2,0），C （-4,2,0）
P （0,0,4）(0,3,4),(8,0,0),AP BC ==-由此可得0AP BC ⋅=所以
AP ⊥BC ，即AP ⊥BC.
（Ⅱ）解：设,1,(0,3,4),PM PA PM λλλ=≠=--
BM BP PM BP PA λ=+=+
(4,2,4)(0,3,4)λ=--+--
(4,23,44),λλ=----
(4,5,0),(8,0,0).AC BC =-=-
设平面
BMC
的法向量
1111(,,),n x y z =
平面APC 的法向量 1222(,,),n x y z =
由110,
0,
BM n BC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 得1111
4(23)(44)0,80,x y x x λλ--++-=⎧⎨-=⎩
即1110,
23,44x z y λ
λ=⎧⎪
⎨+=⎪-⎩
可取23(0,1,),44n λλ+=- 由210,0,AP n AC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即2222340,
450,y z x y +=⎧⎨-+=⎩得2222
5,43,4
x y z y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩可取2(5,4,3),n =-
由120n n ⋅=，得2343044λλ
+-⋅=-
解得2
5
λ=
，故AM=3 综上所述，存在点M 符合题意，AM=3。

方法二：
（Ⅰ）证明：由AB=AC,D 是BC 的中点，得AD ⊥BC, 又PO ⊥平面ABC,得PO ⊥BC 。

因为PO ∩BC=0，所以BC ⊥平面PAD
故BC ⊥PA.
（Ⅱ）解：如图，在平面PAD
内作BM ⊥PA 于M,连CM.
由（Ⅰ）中知AP ⊥BC,得AP ⊥平面BMC. 又AP ⊂平面APC,所以平面BMC ⊥平面APC 。

在Rt ⊿ADB 中，AB 2=AD 2+BD 2=41，得41
在Rt ⊿POD 中, PB 2=PO 2+OD 2, 在Rt ⊿PDB 中, PB 2=PD 2+BD 2, 所以PB 2=PO 2+OD 2+BD 2=36，得PB=6. 在Rt ⊿POA 中, PA 2=AO 2+OP 2=25,得PA=5
又2221
cos ,23
PA PB AB BPA PA PB +-∠=
=⋅ 从而2,PM PBCOS BPA =∠=所以3AM PA PM =-=
综上所述，存在点M 符合题意，AM=3.
（21）本题考查抛物线的几何性质，直线与抛物线，圆的位置关系等
基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力。

满分15分。

（Ⅰ）解：由题意可知，抛物线的准线方程为：1,4
y =-所以圆心M （0,4）
到抛物线的距离是
17,4
（Ⅱ）解：设P(x 0, x 02)，A （211,x x ）B （222,x x ），由题意得012
1,x x x ≠±≠设过点P 的圆C 2的切线方程为y-x 0=k(x- x 0) 即200()y x k x x -=-， ①
2002
11k
=+
即22222
0000(1)2(4)(4)10x k x x k x -+-+--=
设PA ，PB 的斜率为1212,()k k k k ≠，则12,k k 是上述方程的两根，所以
20012202(4)1x x k k x -+=-，2201220(4)1
1
x k k x --⋅=-
将①代入2y x =得22000x kx kx x -+-=，
由于0x 是此方程的根，故110220,,x k x x k x =-=-所以
222
001212120021202(4)2()21AB
x x x x k x x k k x x x x x --==+=+-=---200
4MP x k x -=
由MP ⊥AB,得2
2
0000
200
2(4)4
(
2)()11AB MP x x x k k x x x --⋅=-⋅=--，解得200
3
5x x =
即点P 的坐标为2323(,)55，所以直线l 的方程为31154y x =+。

（22）本题主要考查函数极限的概念、导数运算法则、导数运用，不等式等基础知识，
同时考查推理论证能力。

分类讨论等分析问题和解决问题的能力。

满分14分。

（Ⅰ）解：求导得f ’(x)=2(x-a)lnx+2()x a x -=(x a -)(2ln x+1-a
x
).
因为x=e 是f(x)的极值点，所以f ’(e)= ()30a e a e ⎛
⎫
--
= ⎪⎝⎭
，
解得a e = 或3a e =，经检验，符合题意，所以a e = 或3a e =。

（Ⅱ）解：①当01x ≤时，对于任意的实数a,恒有2'()14f x c ≤成立，
②当1
3x e ≤，由题意，首先有22(3)(3)ln(3)4f e e a e e =-≤，
解得33e a e ≤≤+ 由（Ⅰ）知'()()(2ln 1)a
f x x a x x
=-+-， ()2ln 1a
h x x x
=+-
，则(1)10h a =-，()2ln 0h a xa =，
且(3)2ln(3)12ln(3)13a
h e e e e
=+-
≥+-
=2(ln 30e -。

又()h x 在（0，+∞）内单调递增，所以函数()h x 在（0，+∞）
内有唯一零点，记此零点为0x ，则0
1
3x e ，0
1
x a 。

从而，当0(0,)x x ∈时，'()
0f x ；当0(,)x x a ∈时，'()f x a ；当(,)x a ∈+∞时，'()
0f x ，即()f x 在0(0,)
x 内单调递增，在0,()x a 内单调递减，在(,)a +∞内单调递增。

所以要使2
()4f x e ≤对](1,3x e
∈恒成立，只要
22
00022
()()ln 4,(1)
(3)(3)ln(3)4,(2)
f x x a x e f e e a e e ⎧=-≤⎪⎨=-≤⎪⎩
成立。

000
()2ln 10a
h x x x =+-
=，知
002ln a x x =+（3）
将（3）代入（1）得232
004ln 4x x e ≤，又0
1x ，注意到函
数23
ln x x 在[1,+∞)内单调递增，故01
x e ≤。

再由（3）以及函数2xlnx+x 在（1.+ +∞)内单调递增，可得13a e ≤。

由（2）解得，33
e a e -
≤≤+
所以33
e a e ≤≤
综上，a 的取值范围为33
e a e -
≤≤。