100以内的勾股数
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第3 / 4页 (2) （5，12，13） ,（ 7，24，25）, （ 9，40，41） … … 2n ＋ 1, 2n^2 ＋ 2n, 2n^2 ＋ 2n ＋ 1 (n是正整数) (3) (8，15，17), (12，35，37) … … 2^2*(n＋1),[2(n＋1)]^2－1，[2(n＋1)]^2＋1 (n是正整数) (4)m^2－n^2,2mn,m^2＋n^2 (m、n 均是正整数，m>n) 观察分析上述的勾股数，可看出它们具有下列二个特点： 1、直角三角形短直角边为奇数，另一条直角边与斜边是两个连续 自然数。
100以内的勾股数： i=3 j=4 k=5 i=5 j=12 k=13 i=6 j=8 k=10 i=7 j=24 k=25 i=8 j=15 k=17 i=9 j=12 k=15 i=9 j=40 k=41 i=10 j=24 k=26 i=11 j=60 k=61 i=12 j=16 k=20 i=12 j=35 k=37 i=13 j=84 k=85 i=14 j=48 k=50 i=15 j=20 k=25 i=15 j=36 k=39 i=16 j=30 k=34 i=16 j=63 k=65 i=18 j=24 k=30 i=18 j=80 k=82 i=20 j=21 k=29 i=20 j=48 k=52
i=48 j=55 k=73 i=48 j=64 k=80 i=51 j=68 k=85 i=54 j=72 k=90 i=57 j=76 k=95 i=60 j=63 k=87 i=65 j=72 k=97 勾股数的常用套路 所谓勾股数，一般是指能够构成直角三角形三条边的三个正整数( a,b,c)。 即 a^2+b^2=c^2,a,b,c∈N2 又由于，任何一个勾股数组(a,b,c)内的三个数同时乘以一个整数 n 得到的新数组(na,nb,nc)仍然是勾股数，所以一般我们想找的是 a,b ,c互质的勾股数组。 关于这样的数组，比较常用也比较实用的套路有 以下两种： 1、当 a 为大于 1 的奇数 2n+1时，b=2*n^2+2*n, c=2*n^2+2*n+1。 实际上就是把 a 的平方数拆成两个连续自然数，例 如： n=1时(a,b,c)=(3,4,5)
n=12时（a,b,c）= (12,35,37) or (12,16,20) ----- 4* （3,4,5）
=========ShangJingbo补充======= 还有诸如此类的勾股数，20、21、29； 119、120、169； 696、697、985； 4059、4060、5741； 23660、23661、33461； 137903 137904 195025 803760 803761 1136689 4684659 4684660 6625109常见的几种通式： (1) （3， 4， 5）, （6， 8，10） … … 3n,4n,5n (n是正整数)
第2 / 4页 n=2时(a,b,c)=(5,12,13) n=3时(a,b,c)=(7,24,25) ... ...
这是最经典的一个套路，而且由于两个连续自然数必然互质，所 以用这个套路得到的勾股数组全部都是互质的。
2、当 a 为大于 4 的偶数 2n时，b=n2-1, c=n2+1 也就是把 a 的一半的平方分别减 1 和加 1，例如： n=3时(a,b,c)=(6,8,10) n=4时(a,b,c)=(8,15,17) n=5时(a,b,c)=(10,24,26) n=6时(a,b,c)=(12,3)是三个偶数，所以 该勾股数组必然不是互质的；而 n 为偶数时由于 b、c 是两个连续奇数 必然互质，所以该勾股数组互质。 所以如果你只想得到互质的数组，这条可以改成，对于 a=4n (n>= 2), b=4*n^2-1, c=4*n^2+1，例如： n=2时(a,b,c)=(8,15,17) n=3时(a,b,c)=(12,35,37) n=4时(a,b,c)=(16,63,65) ... ... ========Edward补充======== 对于 N 为质因数比较多的和数时还可以参照其质因数进行 取相应 的勾股数补充，即 1 个 N 会有多对的勾股数,例如： n=9时（a,b,c）=（9,24,25）or (9,12,15) --------3* (3,4,5)
2、一个直角三角形的周长等于短直角边的平方与短边自身的和。 掌握上述二个特点，为解一类题提供了方便。 例：直角三角形的三条边的长度是正整数，其中一条短直角边的 长度是 13，求这个直角三角形的周长是多少？ 用特点 1 解：设这个直角三角形三边分别为 13、x、x+1，则有：1 69+x2=(x+1)2，解得 x=84，此三角形周长=13+84+85=182。 用特点 2 解：此直角三角形是以奇数为边构成的直角三角形，因 此周长=169+13=182 常用勾股数口诀记忆 3，4，5 ：三四五 5，12，13 ：5·12记一生 8，15，17 ：八月十五再一起 7，24，25 ：企鹅是二百五 勾股数须知 连续的勾股数只有 3，4，5
i=21 j=28 k=35 i=21 j=72 k=75 i=24 j=32 k=40 i=24 j=45 k=51 i=24 j=70 k=74 i=25 j=60 k=65 i=27 j=36 k=45 i=28 j=45 k=53 i=30 j=40 k=50 i=30 j=72 k=78 i=32 j=60 k=68 i=33 j=44 k=55 i=33 j=56 k=65 i=35 j=84 k=91 i=36 j=48 k=60 i=36 j=77 k=85 i=39 j=52 k=65 i=39 j=80 k=89 i=40 j=42 k=58 i=40 j=75 k=85 i=42 j=56 k=70 i=45 j=60 k=75
100以内的勾股数： i=3 j=4 k=5 i=5 j=12 k=13 i=6 j=8 k=10 i=7 j=24 k=25 i=8 j=15 k=17 i=9 j=12 k=15 i=9 j=40 k=41 i=10 j=24 k=26 i=11 j=60 k=61 i=12 j=16 k=20 i=12 j=35 k=37 i=13 j=84 k=85 i=14 j=48 k=50 i=15 j=20 k=25 i=15 j=36 k=39 i=16 j=30 k=34 i=16 j=63 k=65 i=18 j=24 k=30 i=18 j=80 k=82 i=20 j=21 k=29 i=20 j=48 k=52
i=48 j=55 k=73 i=48 j=64 k=80 i=51 j=68 k=85 i=54 j=72 k=90 i=57 j=76 k=95 i=60 j=63 k=87 i=65 j=72 k=97 勾股数的常用套路 所谓勾股数，一般是指能够构成直角三角形三条边的三个正整数( a,b,c)。 即 a^2+b^2=c^2,a,b,c∈N2 又由于，任何一个勾股数组(a,b,c)内的三个数同时乘以一个整数 n 得到的新数组(na,nb,nc)仍然是勾股数，所以一般我们想找的是 a,b ,c互质的勾股数组。 关于这样的数组，比较常用也比较实用的套路有 以下两种： 1、当 a 为大于 1 的奇数 2n+1时，b=2*n^2+2*n, c=2*n^2+2*n+1。 实际上就是把 a 的平方数拆成两个连续自然数，例 如： n=1时(a,b,c)=(3,4,5)
n=12时（a,b,c）= (12,35,37) or (12,16,20) ----- 4* （3,4,5）
=========ShangJingbo补充======= 还有诸如此类的勾股数，20、21、29； 119、120、169； 696、697、985； 4059、4060、5741； 23660、23661、33461； 137903 137904 195025 803760 803761 1136689 4684659 4684660 6625109常见的几种通式： (1) （3， 4， 5）, （6， 8，10） … … 3n,4n,5n (n是正整数)
第2 / 4页 n=2时(a,b,c)=(5,12,13) n=3时(a,b,c)=(7,24,25) ... ...
这是最经典的一个套路，而且由于两个连续自然数必然互质，所 以用这个套路得到的勾股数组全部都是互质的。
2、当 a 为大于 4 的偶数 2n时，b=n2-1, c=n2+1 也就是把 a 的一半的平方分别减 1 和加 1，例如： n=3时(a,b,c)=(6,8,10) n=4时(a,b,c)=(8,15,17) n=5时(a,b,c)=(10,24,26) n=6时(a,b,c)=(12,3)是三个偶数，所以 该勾股数组必然不是互质的；而 n 为偶数时由于 b、c 是两个连续奇数 必然互质，所以该勾股数组互质。 所以如果你只想得到互质的数组，这条可以改成，对于 a=4n (n>= 2), b=4*n^2-1, c=4*n^2+1，例如： n=2时(a,b,c)=(8,15,17) n=3时(a,b,c)=(12,35,37) n=4时(a,b,c)=(16,63,65) ... ... ========Edward补充======== 对于 N 为质因数比较多的和数时还可以参照其质因数进行 取相应 的勾股数补充，即 1 个 N 会有多对的勾股数,例如： n=9时（a,b,c）=（9,24,25）or (9,12,15) --------3* (3,4,5)
2、一个直角三角形的周长等于短直角边的平方与短边自身的和。 掌握上述二个特点，为解一类题提供了方便。 例：直角三角形的三条边的长度是正整数，其中一条短直角边的 长度是 13，求这个直角三角形的周长是多少？ 用特点 1 解：设这个直角三角形三边分别为 13、x、x+1，则有：1 69+x2=(x+1)2，解得 x=84，此三角形周长=13+84+85=182。 用特点 2 解：此直角三角形是以奇数为边构成的直角三角形，因 此周长=169+13=182 常用勾股数口诀记忆 3，4，5 ：三四五 5，12，13 ：5·12记一生 8，15，17 ：八月十五再一起 7，24，25 ：企鹅是二百五 勾股数须知 连续的勾股数只有 3，4，5
i=21 j=28 k=35 i=21 j=72 k=75 i=24 j=32 k=40 i=24 j=45 k=51 i=24 j=70 k=74 i=25 j=60 k=65 i=27 j=36 k=45 i=28 j=45 k=53 i=30 j=40 k=50 i=30 j=72 k=78 i=32 j=60 k=68 i=33 j=44 k=55 i=33 j=56 k=65 i=35 j=84 k=91 i=36 j=48 k=60 i=36 j=77 k=85 i=39 j=52 k=65 i=39 j=80 k=89 i=40 j=42 k=58 i=40 j=75 k=85 i=42 j=56 k=70 i=45 j=60 k=75