基本不等式的教学反思之欧阳家百创编

《基本不等式》的教学反思

欧阳家百（2021.03.07）

一、教学目标

理解两个实数的平方和不小于它们之积的2倍的不等式的证明；理解两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的证明以及它的几何解释

二、教学重点、难点

教学重点：两个不等式的证明和区别

教学难点：理解“当且仅当a=b 时取等号”的数学内涵

三、教学过程

提问1:我们把“风车”造型抽象成图3.4-2.在正方形ABCD 中有4个全等的直角三角形.设直角三角形的长为a 、b ，那么正方形的边长为多少？面积为多少呢？

22a b +）

提问2：那4个直角三角形的面积和是多少呢？ （2ab ）

提问3：根据观察4个直角三角形的面积和正方形的面积，我

们可得容易得到一个不等式，222a b ab +≥。什么时候这两部分面积

相等呢？

（当直角三角形变成等腰直角三角形，即a b =时，正方形

EFGH 变成一个点，这时有222a b ab +=）

1、一般地，对于任意实数 a 、b ，我们有222a b ab +≥，当且仅

当a b =时，等号成立。

提问4：你能给出它的证明吗？

证明:

222)(2b a ab b a +=-+0)(2>-≠b a ，b a 时当0)(2=-=b a ，b a 时当 所以 222a b ab +≥

注意强调 （1） 当且仅当a b =时,222a b ab +=

(2)特别地,如果,0,0>>b a 用a 和b 代替a 、b ，可得ab b a 2≥+,

(0,0)2a b a b +≤>>,引导学生利用不等式的性质推导

提问5：观察图形

3.4-3,你能得到不等式0,0)2a b a b +≥>>的几何解释吗？

练习、已知：,0,0,0>>>c b a 求证：c b a c ab b ac a bc ++≥++

例3、若1>>b a ，b a P lg lg ?=，

)lg (lg 21b a Q +=，2lg b a R += 比较R P 、、Q 、的大小

例4、当1->x 时，求函数113)(2++-=x x x x f 的值域。

例5、若实数a 、b 满足,2=+b a 求b a 33+的最小值

练习：教材P100面练习1题、2题。

四：课堂小结：

比较两个重要不等式的联系和区别

五：布置作业。课本第116页A 组第1,2题。

上面是本节课的教案设计。下面我就这节课进行一些分析和反思。

我上的课是人教A 版必修5第三章第四节第一个课时的内容：基本不等式：2b

a a

b +≤。教学思路是：第一，情境引入。课

件上投影出北京召开的第24届国际数学家大会的会标，让学生观察会标，并提出问题：你能从会标中找到一些相等或不等关系吗？从而引人新课。第二，探索新知。（1）引导学生发现并归纳

出重要不等式：ab b a 222≥+，还要给出不等式的证明，用作差法证

明。强调注意等号成立的条件：a=b 时。（2）由重要不等式引出基本不等式：2b

a a

b +≤（a>0,b>0），强调a,b 均为正数。然后给

出基本不等式的证明，分析法，并说明基本不等式的几何意义。

（3）比较两个不等式的异同。第三，知识应用。这里我给出了一个例题及两个习题，并且将习题2进行变式。在讲解例题的时候，引导学生归纳出用基本不等式求两数的最值时应注意的三个条件：一正、二定、三相等，缺一不可。第四，归纳小结，布置作业。

以上是我对本节课的教学设计，是在查阅了一些资料和请教了一些老教师的意见后，根据我所教的班级是文科普通班来进行设计的，容量和难度都比较符合学生的实际情况。但是在上课的过程中，存在着以下几个问题：（1）在两个不等式的证明上讲得太过于简单，一带而过，也没有给学生总结出证明不等式的一般方法：作差法，分析法，综合法等。这样学生以后再碰到不等式

的证明时，可能还是会显得无从下手，特别是我们文科普通班。（2）习题的选择还应补充一个，是当等号不成立时，也取不到最值。（3）我的讲解语言还不够精炼，引导可能也不够明白，有时候看到学生两眼迷茫的看着我。

总之，这次的课对于我们这样的班级如此安排教学是比较合理的了，只是我自身的教学能力还需好好锻炼和加强。今后我会针对自己存在的问题，进行有针对性的学习和改进。