平新乔《微观经济学十八讲》(课后习题 第3讲 价格变化对消费者的配置效应与福利效应)【圣才出品】
平新乔《微观经济学十八讲》课后习题(第5~8讲)【圣才出品】
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由于 E uw E uc E u ，所以农民会混合种植。
（3）假设小麦的种植份额为 ，那么混合种植的期望效用 EU 为：
000 1
1 2
ln 10000
15000
1
效用最大化的一阶条件为：
dEU d
1 2
28000 19000 28000 19000 1
解：（1）农民种小麦的预期效用 E uw 为：
E uw 0.5ln 28000 0.5ln10000 0.5ln 280 106
农民种谷子的预期效用 E uc 为：
E uc 0.5ln19000 0.5ln15000 0.5ln 285106
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1 2
10000 15000 10000 15000 1
0
解得： 4 。 9
此时的期望效用为：
EU
0.5 ln
4 9
28000
5 9
19000
0.5 ln
4 9
10000
5 9
15000
0.5ln 293.96
所以当农民用 4/9 的土地种小麦，5/9 的土地种谷子时，其期望效用达到最大，最大期
（1）假定农民一定要在两种如表 5-1 所示收入前景的谷物中进行选择的话，会种哪种
谷物？
表 5-1 小麦和谷子在不同天气状况下的收入
单位：元
（2）假定农民在他的土地上可以每种作物都播种一半的话，他还会选择这样做吗？请 解释你的结论。
平新乔课后习题详解(第1讲--偏好、效用与消费者的基本问题)
平新乔《微观经济学十八讲》第1讲 偏好、效用与消费者的基本问题跨考网独家整理最全经济学考研真题，经济学考研课后习题解析资料库，您可以在这里查阅历年经济学考研真题，经济学考研课后习题，经济学考研参考书等内容，更有跨考考研历年辅导的经济学学哥学姐的经济学考研经验，从前辈中获得的经验对初学者来说是宝贵的财富，这或许能帮你少走弯路，躲开一些陷阱。
以下内容为跨考网独家整理，如您还需更多考研资料，可选择经济学一对一在线咨询进行咨询。
1．根据下面的描述，画出消费者的无差异曲线。
对于（2）和（3）题，写出效用函数。
（1）王力喜欢喝汽水x ，但是厌恶吃冰棍y 。
（2）李楠既喜欢喝汽水x ，又喜欢吃冰棍y ，但她认为三杯汽水和两根冰棍是无差异的。
（3）萧峰有个习惯，他每喝一杯汽水x 就要吃两根冰棍y ，当然汽水和冰棍对他而言是多多益善。
（4）杨琳对于有无汽水x 喝毫不在意，但她喜欢吃冰棍y 。
答：（1）根据题意，对王力而言，冰棒是厌恶品，相应的无差异曲线如图1-1所示（图中箭头表示更高的效用方向）。
图1-1 喜欢喝汽水厌恶吃冰棍（2）根据题意，对李楠而言，汽水和冰棒是完全替代品，其效用函数为(),23u x y x y =+，相应的无差异曲线如图1-2所示。
图1-2 既喜欢喝汽水又喜欢吃冰棍（3）消费者对这两种商品的效用函数为(),min ,2y u x y x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，如图1-3所示。
图1-3 喝一杯汽水就要吃两根冰棍（4）如图1-4所示，其中x 为中性品。
图1-4 对于有无汽水喝毫不在意2．作图：如果一个人的效用函数为(){}1212,max ,u x x x x =（1）请画出三条无差异曲线。
（2）如果11p =，22p =，10y =。
请在图1-5上找出该消费者的最优消费组合。
答：（1）由效用函数画出的三条无差异曲线如图1-5所示。
图1-5 无差异曲线和最优点（2）效用函数确定了消费者的最优选择必定是落在便宜的商品上，即他会将所有收入都用于购买相对便宜的商品，最优点如图1-5中的A 点所示，在该点此人消费10个单位的1x ，0个单位的2x 。
平新乔《微观经济学十八讲》课后习题详解(一般均衡与福利经济学的两个基本定理)
第16讲 一般均衡与福利经济学的两个基本定理1．考虑一种两个消费者、两种物品的交易经济，消费者的效用函数与禀赋如下()()211212,u x x x x = ()118,4e = ()()()21212,ln 2ln u x x x x =+ ()23,6e =（1）描绘出帕累托有效集的特征（写出该集的特征函数式）； （2）发现瓦尔拉斯均衡。
解：（1）由消费者1的效用函数()()211212,u x x x x =，可得121122MU x x =，122122MU x x =，故消费者1的边际替代率为1211112212121212122MU x x x MRS MU x x x ===。
同理可得消费者2的边际替代率为22212212x MRS x =。
在帕累托有效集上的任一点，每个消费者消费两种物品的边际替代率都相同，即：121212MRS MRS = 从而有：122212112x x x x = ① 又因为212210x x =-，211121x x =-，把这两个式子代入①式中，就得到了帕累托有效集的特征函数：1122111110422x x x x -=- ② （2）由于瓦尔拉斯均衡点必然位于契约曲线上，所以在均衡点②式一定成立。
此外在均衡点处，预算线和无差异曲线相切（如图16-1所示），这就意味着边际替代率等于预算线的斜率，即：1112121211211418x p x MRS p x x -===- ③联立②、③两式，解得：1158/4x =，1258/11x =。
进而有21112126/4x x =-=，21221052/11x x =-=。
图16-1 均衡时边际替代率等于预算线的斜率2．证明：一个有n 种商品的经济，如果（1n -）个商品市场上已经实现了均衡，则第n 个市场必定出清。
证明：假设第k 种商品的价格为k p ，{}1,2,,k n ∈。
系统内存在I （I 为正整数）个消费者，第i 个消费者拥有第k 种物品的初始禀赋为ik e ，而第i 个消费者对第k 种商品的消费量为k i x ，根据瓦尔拉斯定律可知系统中的超额的市场价值为零，即：()10ni ik k k k i Ii Ip x e =∈∈-=∑∑∑当前1n -个商品市场已经实现均衡，即前1n -个商品市场的超额需求为零，这时有：()()()11n i i i ik k k n k k k i Ii Ii Ii Ii i nkki Ii Ii i k ki Ii Ip x e p x e p x e x e -=∈∈∈∈∈∈∈∈-+-=∑∑∑∑∑-=∑∑=∑∑由此就可以得出第n 个市场的超额需求也为零，即第n 个商品市场也实现了均衡。
平新乔课后习题详解(第2讲--间接效用函数与支出函数)
平新乔《微观经济学十八讲》第2讲 间接效用函数与支出函数1．设一个消费者的直接效用函数为12ln u q q α=+。
求该消费者的间接效用函数。
并且运用罗尔恒等式去计算其关于两种物品的需求函数。
并验证：这样得到的需求函数与从直接效用函数推得的需求函数是相同的。
解：（1）①当20y p α->时，消费者的效用最大化问题为：12122,112m ln ax q q s t q p p yq q q α..+=+构造拉格朗日函数：()121122ln L q q q y p p q αλ--=++L 对1q 、2q 和λ分别求偏导得：1110L p q q αλ∂=-=∂ ① 2210Lp q λ∂=-=∂ ② 11220q Ly p p q λ∂=--=∂ ③ 从①式和②式中消去λ后得：211p q p α*=④再把④式代入③式中得：222y p p q α*-=⑤ 从而解得马歇尔需求函数为：211p q p α*=222y p p q α*-=由⑤式可知：当20y p α->时，20q *>，消费者同时消费商品1和商品2。
将商品1和商品2的马歇尔需求函数代入效用函数中得到间接效用函数：()()2112122,,,ln p v p p y p q q y u p ααα**=+-=②当20y p α-≤时，消费者只消费商品1，为角点解的情况。
从而解得马歇尔需求函数为：11q y p *=20q *= 将商品1和商品2的马歇尔需求函数代入效用函数中得到间接效用函数：()()12121,,,ln v p p y u q p y q α**== （2）①当20y p α->时，此时的间接效用函数为：()()2112122,,,lnp v p p y p q q yu p ααα**=+-= 将间接效用函数分别对1p 、2p 和y 求偏导得：11v p p α∂=-∂ 2222v y p p p α∂=-∂ 21v y p ∂=∂ 由罗尔恒等式，得到：1112121v p p p v y p q p αα*∂∂=-==∂∂ 222222221y p v p p y p y q v p p αα*-∂∂-=-==∂∂②当20y p α-≤时，间接效用函数为()()12121,,,lnv p p y u q p yq α**==，将间接效用函数分别对1p 、2p 和y 求偏导得：11v p p α∂=-∂ 20v p ∂=∂ v y yα∂=∂ 由罗尔恒等式，得到：1111v p p y v y p yq αα*∂∂=-==∂∂ 2200v p v y y q α*∂∂=-==∂∂ （3）比较可知，通过效用最大化的方法和罗尔恒等式的方法得出的需求函数相同。
平新乔《微观经济学十八讲》课后习题详解(第2讲 间接效用函数与支出函数)
平新乔《微观经济学十八讲》第2讲 间接效用函数与支出函数跨考网独家整理最全经济学考研真题，经济学考研课后习题解析资料库，您可以在这里查阅历年经济学考研真题，经济学考研课后习题，经济学考研参考书等内容，更有跨考考研历年辅导的经济学学哥学姐的经济学考研经验，从前辈中获得的经验对初学者来说是宝贵的财富，这或许能帮你少走弯路，躲开一些陷阱。
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1．设一个消费者的直接效用函数为12ln u q q α=+。
求该消费者的间接效用函数。
并且运用罗尔恒等式去计算其关于两种物品的需求函数。
并验证：这样得到的需求函数与从直接效用函数推得的需求函数是相同的。
解：（1）①当20y p α->时，消费者的效用最大化问题为：12122,112m ln ax q q s t q p p yq q q α..+=+构造拉格朗日函数：()121122ln L q q q y p p q αλ--=++L 对1q 、2q 和λ分别求偏导得：1110L p q q αλ∂=-=∂ ① 2210Lp q λ∂=-=∂ ② 11220q Ly p p q λ∂=--=∂ ③ 从①式和②式中消去λ后得：211p q p α*=④再把④式代入③式中得：222y p p q α*-=⑤ 从而解得马歇尔需求函数为：211p q p α*=222y p p q α*-= 由⑤式可知：当20y p α->时，20q *>，消费者同时消费商品1和商品2。
将商品1和商品2的马歇尔需求函数代入效用函数中得到间接效用函数：()()2112122,,,ln p v p p y p q q y u p ααα**=+-=②当20y p α-≤时，消费者只消费商品1，为角点解的情况。
从而解得马歇尔需求函数为：11q y p *=20q *= 将商品1和商品2的马歇尔需求函数代入效用函数中得到间接效用函数：()()12121,,,lnv p p y u q p y q α**== （2）①当20y p α->时，此时的间接效用函数为：()()2112122,,,lnp v p p y p q q yu p ααα**=+-= 将间接效用函数分别对1p 、2p 和y 求偏导得：11v p p α∂=-∂ 2222v y p p p α∂=-∂ 21v y p ∂=∂ 由罗尔恒等式，得到：1112121v p p p v y p q p αα*∂∂=-==∂∂ 22222221y p v p p y p y q v p p αα*-∂∂-=-==∂∂②当20y p α-≤时，间接效用函数为()()12121,,,lnv p p y u q p yq α**==，将间接效用函数分别对1p 、2p 和y 求偏导得：11v p p α∂=-∂ 20v p ∂=∂ v y yα∂=∂ 由罗尔恒等式，得到：1111v p p y v y p y q αα*∂∂=-==∂∂ 2200v p v y yq α*∂∂=-==∂∂ （3）比较可知，通过效用最大化的方法和罗尔恒等式的方法得出的需求函数相同。
平新乔《微观经济学十八讲》(章节题库 第3讲 价格变化对消费者的配置效应与福利效应)【圣才出品】
（4）利用柯布—道格拉斯效用函数来证明：可分性对于单调变化不是不变的。
解：（1）可分的函数形式假定U xy 0 ，即 x 的边际效用不取决于 y 的消费量。严格来讲， 这个条件是不太可能满足的。但是，在诸如“食物”与“住房”这些消费总体的情况下，可
分性条件还是可能成立的。
（2）效用最大化要求： MU x / px MU y / py ，收入增加时，如果价格 px 、 py 都不变， 则 x 和 y 的消费都必须增加，从而使该效用最大化条件得以满足。
y
y
所示，在完全互补的两种商品中，不可能存在一种商品为劣等品。
（ 2 ） 不 会 。 假 定 完 全 互 替 的 效 用 函 数 形 式 为 u x1, x2 ax1 bx2 ， 预 算 线 方 程 为
p1x1 p2 x2 y 。
①当
a b
p1 p2
时，消费者会全部选择消费商品
x2
，则
x2
（4）对于柯布—道格拉斯效用函数 U x y 而言，其边际效用为： MUx x 1y ； 但是对于柯布—道格拉斯效用函数经过取自然对数后得到的效用函数 lnU ln x ln y 而 言，该函数是可分的，但是其边际效用为： MUx / x 。从而可知，可分性对于单调变化不是不变的。
0 知， x 与 y 的边际效用递减，因
此有 MU x > MU x ，
MU y
<
MU
y
，这与效用最大化的条件
MU MU
x y
Px Py
MU x MU y
矛盾。所以， x 不可能是低档物品。
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平新乔《微观经济学十八讲》课后习题详解(第1讲 偏好、效用与消费者的基本问题)-推荐下载
平新乔《微观经济学十八讲》第1讲 偏好、效用与消费者的基本问题跨考网独家整理最全经济学考研真题，经济学考研课后习题解析资料库，您可以在这里查阅历年经济学考研真题，经济学考研课后习题，经济学考研参考书等内容，更有跨考考研历年辅导的经济学学哥学姐的经济学考研经验，从前辈中获得的经验对初学者来说是宝贵的财富，这或许能帮你少走弯路，躲开一些陷阱。
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1．根据下面的描述，画出消费者的无差异曲线。
对于（2）和（3）题，写出效用函数。
（1）王力喜欢喝汽水，但是厌恶吃冰棍。
x y （2）李楠既喜欢喝汽水，又喜欢吃冰棍，但她认为三杯汽水和两根冰棍是无差异x y 的。
（3）萧峰有个习惯，他每喝一杯汽水就要吃两根冰棍，当然汽水和冰棍对他而言x y 是多多益善。
（4）杨琳对于有无汽水喝毫不在意，但她喜欢吃冰棍。
x y 答：（1）根据题意，对王力而言，冰棒是厌恶品，相应的无差异曲线如图1-1所示（图中箭头表示更高的效用方向）。
图1-1 喜欢喝汽水厌恶吃冰棍（2）根据题意，对李楠而言，汽水和冰棒是完全替代品，其效用函数为，相应的无差异曲线如图1-2所示。
(),23u x y x y =+图1-2 既喜欢喝汽水又喜欢吃冰棍（3）消费者对这两种商品的效用函数为，如图1-3所示。
(),min ,2y u x y x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭图1-3 喝一杯汽水就要吃两根冰棍（4）如图1-4所示，其中为中性品。
x图1-4 对于有无汽水喝毫不在意2．作图：如果一个人的效用函数为(){}1212,max ,u x x x x =（1）请画出三条无差异曲线。
（2）如果，，。
请在图1-5上找出该消费者的最优消费组合。
11p =22p =10y =答：（1）由效用函数画出的三条无差异曲线如图1-5所示。
图1-5 无差异曲线和最优点（2）效用函数确定了消费者的最优选择必定是落在便宜的商品上，即他会将所有收入都用于购买相对便宜的商品，最优点如图1-5中的点所示，在该点此人消费10个单位的A ，0个单位的。
平新乔18讲01-02
平新乔十八讲第一讲偏好与效用§1 消费集与偏好关系一、选择（五类选择问题）1、1个人从n个目标中选一（资源有限，择优）2、社会的选择：Match-exchangeA个人B个人X Y3、m个人X （选择冲突解决机制）凭价格低限排队（标准：配额）价格机制不起作用；或没有让价格机制发挥作用。
（人为的不正常排队）4、m个人在n个目标中选一：（社会选择）对目标排序，m个人偏好加总5、m个人同时从n个目标中选择：（股市）一般均衡价格机制是解决选择中冲突的一种机制，另外一种解决方法是实行配额，即凭证供应。
价格和配额都是对人们无穷欲望的一种限制。
除此之外，还有更高层次的途径，即修身、自觉，但那是通过道德约束与调节对欲望的自我节制。
而经济学假定人们的自觉程度不高，在人的最起码的道德低限（利己但不损人）这一假定下展开。
一般采取价格机制，有时也采取配额的手段，二者各有优劣。
二、消费集（选择集）1、购买三要素：欲望（x）、能力-钱（Y）、价格-付费（向量P=（P1，P2……Pn））。
对于每一个消费计划x : x=(x1，x2……x n ), x i代表对物品i的计划消费量。
所有的消费计划的集合记为消费集X=R n+。
收入（钱数）Y≥P·x, 预算集可表示为：（P,Y）。
欲望x：x∈消费集X；偏好关系（x1,x2……x m）∈X，即x R, x g的取舍关系。
2、消费集的性质：（1）、X 是R 的非空子集，即X ≠φ且X ∈R n +。
（2）、X 为闭集，即X 中所有的极限点都包含在X 之内。
（3）、X 为凸集，①经济含义：若x i ∈X, x g ∈X, 则∀λ∈［0，1］必有(1)i gx x X λλ+-∈。
即x i 与x g无限细分单位的线性组合仍包含在该消费集内，假定每一个消费计划中的商品是无限可分的。
但实际上，商品具有自然单位，非无限可分，这里存在理论与实际的差距。
②生活中还是有办法让x i 与x g 接近于无限可分的，如房子的消费额 x 1无限细分就表示分期付款，租用电脑，可按天、月等收费。
平新乔十八讲课后习题答案
1-6-1
第一讲 偏好、效用与消费者的基本问题
让我们首先来看一个例子，而在例子结束时，也就是我们回答此问题结束之际；
假设生产 a 单位的产出要固定用用上 a1 单位的 x1 与 a2 单位的 x2 ，那么此技术的生产函
越靠上的曲线所代表的效用水平就越高。
(3)
Y
y =−2 x3
Y
y = 2x
X
对于李楠而言汽水 x 与冰棍 y 是完全替代 的；三杯汽水 x 与两根冰棍 y 所带来的效用水
平是一样的，她的效用曲线拥有负的斜率；对
于一定量的汽水 x 而言，越多的冰棍 y 越好，
所以越靠上的曲线所代表的效用水平就越高；
她效用函数可用 u(x, y) = 3x + 2 y 表示。
ψ (x,λ) = x1 + λ(m − p1x1 − p2x2 )
∂ψ ∂x1
= 1 − λp1
=0
∂ψ ∂x2
= −λp2
=0
∂ψ ∂λ
=m−
p1x1 −
p2 x2
=0
由上式可得马歇尔需求函数： x1
=
m p1
； x2
=0
10
max = u(x)
x
s.t. m = p1x1 + p2x2
构造拉氏方程： ψ (x, λ) = Ax1α x12−α + λ(m − p1x1 − p2x2 )
∂ψ ∂x1
= 20(x1 +
x2 ) − λp1
=0
∂ψ ∂x2
=
20( x1
平新乔《微观经济学十八讲》课后习题详解(要素需求函数、成本函数、利润函数与供给函数)【圣才出品】
得到供给函数：
y
w1 ,
w2 ,
p
1 2
ln p2 ln 4w1w2
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2．已知成本函数为 C Q Q2 5Q 4 ，求竞争性厂商供给函数 S p 不利润函数 p 。
解：厂商关亍产量 Q 的利润函数为：
w1, w2 ,
p
p 2
ln p2 ln 4w1x1
p
（2）斱法一：根据霍太林引理：
y
w1 ,
w2
,
p
w1, w2
p
,
p
可知厂商的供给函数为：
y w1, w2 ,
p
w1, w2 ,
p4w1w2
斱法二：把 x1 和 x2 的表达式代入厂商的生产函数 f x1, x2 0.5ln x1 0.5ln x2 中，也可以
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答：在这一辩论中，我会支持绘图员一斱。理由如下： 假如可以按照维纳的意思作出一组短期平均成本线 SATCi ，其中 i 1，2，…，n ，使得 它们和 U 型的长期平均成本线 AC 分别相切亍点 xi ，而且切点是 SATCi 的最低点。如果 xi 丌 是 AC 线的最低点，那么过该点作 SATCi 的切线 li ，它应该是一条水平的直线。同时过 xi 点 作 AC 线的切线 Li ，由亍 xi 丌是 AC 线的最低点，所以 Li 必定丌是水平的。可是 SATCi 和 AC 相切亍点 xi 却意味着 li 和 Li 是同一直线，所以它们有相同的斜率，这样的结果相互矛盾。因 此，如果 xi 丌是 AC 线的最低点，那么它必然丌是 SATCi 的最低点。但是，如果 xi 是 AC 线 的最低点，那么它也是 SATCi 的最低点。
平新乔《微观经济学十八讲》课后习题详解(第3讲 价格变化对消费者的配置效应与福利效应习)
平新乔《微观经济学十八讲》第3讲 价格变化对消费者的配置效应与福利效应跨考网独家整理最全经济学考研真题，经济学考研课后习题解析资料库，您可以在这里查阅历年经济学考研真题，经济学考研课后习题，经济学考研参考书等内容，更有跨考考研历年辅导的经济学学哥学姐的经济学考研经验，从前辈中获得的经验对初学者来说是宝贵的财富，这或许能帮你少走弯路，躲开一些陷阱。
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1．证明：如果一个消费者只消费两种商品，假设是1x 与2x ，那么它们不可能都是劣等品。
证明：劣等品是指随着消费者收入的增加，其需求量减少的商品。
如果假设(),i x p m 是第i 种商品的马歇尔需求函数，那么商品i 是劣等品就意味着(),0i x p m m∂<∂。
对于消费两种商品的消费者，如下的预算约束恒成立：()()11212212,,,,p p p m p p x p x m m += ①①式两边关于收入m 求导，得到：()()11221212,,,,1x p p m x p p m p p mm∂∂+=∂∂ ②对于消费两种商品的消费者，等式②恒成立。
假设商品1和2都是劣等品，那么就有(),0i x p m m∂<∂，1i =或2，从而②式左边恒小于零，等式②不成立，这与假设矛盾！所以如果一个消费者只消费两种商品，那么它们不可能都是劣等品。
2．如果偏好是凹的，替代效应仍然为负吗？答：如果偏好是凹的，替代效应不一定为负，但肯定是非正的。
分析如下： 一种商品的替代效应是指价格变化引起商品需求量的总变化当中，仅仅因为该商品和其他商品之间的相对价格变化而引起的需求量的变化。
替代效应包括希克斯替代效应和斯拉茨基替代效应。
希克斯替代效应是指保持消费者的效用不变的情况下，价格变化引起的需求量的变化（如图3-1所示）；斯拉茨基替代效应是指保持消费者的购买能力不变的情况下，价格变化引起的需求量的变化（如图3-2所示）。
平新乔《微观经济学十八讲》课后习题和强化习题详解(1-3讲)【圣才出品】
lim
→0
1
x1 ln x1 1 x1
+ +
2 2
x2 x2
ln
x2
= exp
1 ln x1 +
2 ln x2
=
x1 1
x2 2
1 + 2 = 1
1
( ) （3）当 → − 时，对效用函数 u( x1, x2 ) = 1x1 + 2 x2 两边变换求极限有：
( ) ( ) lim u
3 / 62
4．设
u
(
x1,
x2
)
=
1 2
ln
x1
+
1 2
ln
x2
，这里
x1，x2
R+
。
（1）证明： x1 与 x2 的边际效用都递减。
（2）请给出一个效用函数形式，但该形式不具备边际效用递减的性质。
答：（1）将 u
关于
x1
和
x2
分别求二阶偏导数得
2u x12
=
−
1 2x12
y)
=
min
x,
y 2
，如图
1-3
所示。
图 1-3 喝一杯汽水就要吃两根冰棍 （4）如图 1-4 所示，其中 x 为中性品。
图 1-4 对于有无汽水喝毫不在意
2．作图：如果一个人的效用函数为 u ( x1, x2 ) = maxx1, x2
2 / 62
（1）请画出三条无差异曲线。 （2）如果 p1 = 1 ， p2 = 2 ， y = 10 。请在图 1-5 上找出该消费者的最优消费组合。 答：（1）由效用函数画出的三条无差异曲线如图 1-5 所示。
平新乔18讲03-04
第三讲 价格变化对消费者的配置效应与福利效应消费者的需求刻画的是在消费者面临一定的价格和收入条件下的的最优消费数量，因此需求函数的一般形式被表述为商品价格和收入的函数，即：),,(),,(21222111m p p x x m p p x x ==以此为基础，可以分别考察收入和价格变化对消费者均衡的影响。
一、收入变化与提供曲线和恩格尔曲线 （一）正常品和劣等品当价格不变时，如果消费者对一种商品的需求随着收入的增减同方向变化，这种商品就是正常品，反之就是劣等品。
或者说：当0>∆∆mx 时，正常品；当0<∆∆mx 时，劣等品。
（二）收入提供曲线和恩格尔曲线收入提供曲线是随着收入m 变化均衡点的变动轨迹。
提供曲线上的任一点表示在不同的收入水平上所需求的商品束。
收入提供曲线也叫做收入扩展线。
如果两种商品都是正常品，其斜率一定为正。
恩格尔曲线表示的是在所有商品的价格不变时，一种商品的需求如何随着收入水平的变动而变动。
用横轴表示1x ，纵轴表示m ，恩格尔曲线就是1x 的最优选择轨迹。
不同的商品具有不同的恩格尔曲线，比如食品和住房。
当两条曲线相交时，可以分析在不同的收入水平上消费者对不同商品的需求差异。
统计分析表明在比较低的收入水平上，消费者比较多的消费食品，而在比较高的收入水平上，消费者对住房的消费显著增加。
（三）不同偏好条件下的收入提供曲线和恩格尔曲线 1．完全替代当预算线的斜率小于无差异曲线时，收入提供曲线与横轴重合；如果预算线斜率大于无差异曲线的斜率，收入提供曲线与纵轴重合。
在第一种情况下，恩格尔曲线的函数关系是：11/p m x =；恩格尔曲线的斜率是：11/p x m =。
2．完全互补当互补比率为1：1时，收入提供曲线为经过原点的对角线。
由于在完全互补的情况下两种商品必须同时消费，因此对一种商品的需求取决于两种商品的价格。
所以，恩格尔函数可以表示为)/(211p p m x +=；恩格尔曲线的斜率是：211/p p x m +=。
平新乔微观经济学十八讲》答案
5.1. 当 ρ = 1 ，该效用函数为线性．
证明：当 ρ = 1 时，效用函数为
u(x1, x2 ) = α1x1 + α 2 x2 此时，函数 u 是线性的．
4
第一讲 偏好、效用……
5.2.
当ρ
→
0 时，该效用函数趋近于 u(x1 ,
x2 )
=
x α1 1
x α2 2
β1
证明：令
=
α1 α1 + α2
2 x12
因此 x1 的边际效用是递减的．同理， x2 的边际效用也是递减的．i
4.2. 请给出一个效用函数形式，使该形式不具备边际效用递减的性质．
答：可能的一个效用函数是 u(x1, x2 ) = x1 + x2 ．
5. 常见的常替代弹性效用函数形式为
请证明：
( )1
u(x1 , x2 ) = α1 x1ρ + α 2 x2 ρ ρ
述的偏好中，商品 1 与商品 2 是完全替代的．
4. 若某个消费者的效用函数为
u ( x1 ,
x2 )
=
1 2
ln
x1
+
1 2
ln
x2
其中， x1, x2 ∈ R+
4.1. 证明： x1 与 x2 的边际效用都递减．
证明： u(x1, x2 ) 对 x1 取二阶偏导：
∂2u = − 1 < 0
∂x12
不具有完备性．同理可以说明无差异关系也不具有完备性．
8.2. ≈ 满足反身性
说明：如果无差异关系不具有完备性，那么根据无差异关系的定义，则必存在一个消
费束严格偏好于它自身，也就是说，这个消费束同时既偏好于它本身又不偏好于它本
平新乔十八讲答案第三讲
10以需求函数 为例，试分析为什么在需求曲线缺乏弹性的部分经营不可能产生最大利润．
分析：该需求的弹性表达式为
，
需求曲线缺乏弹性时，有
．
经营的总收益为 ，
考虑企业的成本函数 ，其中 ， ，
企业的利润函数为 ．
最大利润产生在利润对价格一阶导等于零的地方：
．
9判断对错并简要说明理由：
和 是一个消费者消费的两种物品，我们说 是 的替代品，如果 ， 为 的价格．如果 是 的替代品，则 也是 的替代品．
答：按照替代品的定义，第一句正确．第二句错误．
用斯勒兹基恒等式来分析，记 为 对 的替代效应， 为收入，有
，
和 符号均为负，但每个式子中的收入效应是不确定的．因此 ，并不意味着 一定成立．
证明：征税前消费者的消费者剩余为
，
费者剩余为
．
政府征税所获收入为
．
因此， ．和
即消费者剩余的损失总是超过政府通过征税而获得的收入．
16设一个消费者只消费两类商品，他在 元， 元时购买了 ， ．现在， 下降至8元， 上升至6元．问该消费者的生活水平在价格变动后提高了还是降低了？为什么？
令 为调整收入以保持购买力条件下，对商品1的消费量． 为为保持购买力对收入进行调整后得到的收入．有：
，
．
其中，斯拉茨基替代效应 为
，
收入效应 为
．
4.2请根据计算，验证恩格尔加总规则．
解：由4.1知
， ， ， ．
因此
，
恩格尔加总规则成立．
5（单项选择）当价格是（3，1）时，某个消费者选择的消费束是 ．在新的价格 下，他选择的消费束是 ，若此消费者的行为满足显示偏好的弱公里，那么必定有：
平新乔《微观经济学十八讲》课后习题和强化习题详解(企业的性质、边界与产权)
第18讲企业的性质、边界与产权18.1 课后习题详解1．有三种类型的契约被用来区分一块农地的租佃者向地主支付租金的方式：（1）以货币（或固定数量的农产品）；（2）以收成的固定比率；（3）以“劳动租”，即同意在地主的另一块土地上工作的形式来付租金。
这些各自不同的契约规范会对佃农的生产决策产生什么影响？在实施每种契约时会发生何种交易费用？在不同的地方或在不同的历史阶段中，哪些经济因素会影响已确定的契约类型？答：（1）对于货币租来说，这种形式的租金是将市场的风险在地主与佃农之间进行分担，这使得佃农在做生产决策时不仅要考虑生产上可能出现的风险，比如天气状况变化对生产的影响等等，还必须考虑到市场上农产品价格变化对佃农利益的影响。
如果佃农是风险回避的，则这种加大佃农风险的承租方式会导致农民不愿意租土地进行经营。
这样会使土地的出租率下降，从而导致土地的租金下降，最终影响到地主的利益。
交易费用主要是地主为鼓励农民使用这种形式的契约而不得不放弃部分地租。
对于这种形式的契约，一般是在市场经济有了很大的发展以后才会发生，因此，必然出现在资本主义萌芽以后的社会。
在资本主义社会里，由于货币的普遍使用，因此使得土地的租金更多地采用了货币的形式，这对于农民来说意味着更大的风险，因此租金比以前的租金形式有所下调，并且出现了各种各样的金融工具来帮助农民来分散风险，例如金融衍生工具中的期货便具有这种功能。
（2）对于分成地租，更多是在劳动地租逐渐消亡以后才出现的，它是为了调动农民积极性而采取的一种租金形式。
在征收分成地租的情况下，农民要承担一定的生产风险，即如果收成不好，则农民的收入就会减少。
通常情况下，分成地租是通过将每年收成的一个固定的百分比给予地主，而将收入的剩余部分留给农民。
这种形式的契约有利于调动农民的积极性，当然同时也给农民带来了一定的风险。
在历史上，还出现过另外的一种固定地租的形式，即地主规定农民必须在每年上缴一定的收成，剩余的归农民，这种形式的租金是将全部的风险都留给了农民，其前提假设是农民是风险中性的。
微观经济学十八讲-第三讲
x2
假设消费者最初选择 A 点消费，当预
B•
算线由 AB 变动到 BC 时，最终他会选择 C
点消费；总效应为 AC；而替代效应为零（我
们可以经过 A 点做 AC 的平行线，发现消
费者并没有改变其选择；所以替代效应为
．
8 B
(b )
y
px = 2
px = 3
py
py
px < 2
8
py
．
B7Biblioteka 7（3，6）4
A．
5
6x
初始的预算线的斜率为-3，我们假设现在这个混蛋是
选择了 A 的消费束，然后，我们赋予不同的价格来看看
他的选择是否合理；
在（a）图中，我们假设有一条贯穿 A、B 两点的预
算线，当我们连接后发现斜率为-2；这时他的选择是不可
∂2e( p,u) ∂pi2
≤
0
综上所述，当偏好是凸向原点的，替代效应为负。
3-14-1 12/14/2005 3:11:37 AM
hi ( p,u)
第三讲 价格变化对消费者的配置效应与福利效应
e( p,u)
p1
p1
为了进一步确认，我们以 u(x) = x1x2 为消费者的追求目标，所得到的希克斯需求函数和支出函数
•
•
•
Q
为了充分地分析这类问题，我们先从偏好是凸向原点开始，根据支出函数的性质：
① e( p,u) 对价格 p 是非递减的;② e( p,u) 对价格 p 是一次齐次的；③ e( p,u) 是凹的;…
（瓦里安 微观经济学 高级教程 经济科学出版社 p111） 而对于希克斯需求函数的性质：
平新乔《微观经济学十八讲》章节题库含名校考研真题(第1~4讲)【圣才出品】
该偏好满足单调性吗？满足凸性吗？为什么？你能从生活中举出一个例子对应这种偏 好关系吗？
解：（1）该偏好满足严格凸性，理由如下： 无差异曲线 x1 x2 c 的图像如图 1-3 所示，可知其偏好满足严格凸性。
图 1-3 无差异曲线
将无差异曲线 u x1, x2
若灾区人民获得的是棉被，则其最优化问题为：
maxU
x1 , x2
x1, x2
s.t. m p g x2 p x1
①
x1 g
若灾区人民获得的是现金，则其最优化问题为：
maxU
x1 , x2
x1, x2
②
s.t. m c x2 p x1
由于最优化问题①和②的目标函数式相同，但是①的预算集（即 x1 和 x2 的取值范围）
x1
x2 c 转化为 x2 c
2
x1 ，则有：
dx2 dx1
1
1 cx1 2
0
，
d2 x2 d x12
1 2
cx1
3 2
0
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则满足这种性质的函数会严格凸向原点，故其偏好必定满足严格凸性。 （2）该偏好满足单调性，满足凸性，但不满足严格凸性。理由如下： 根据函数可大致画出其图像，如图 1-4 所示：
3．下列函数可以作为马歇尔需求函数吗？为什么？
xi
p1 2
pi w
p2 2
p3 2
，i
1, 2, 3
答：这个函数可以作为马歇尔需求函数，理由如下：
马歇尔需求函数需要满足下列性质：
（1）在 p, w 上具有零次齐次性：
《微观经济十八讲》第三章价格变化对消费者的配置效应与福利效应
d y
p i
但劣等品不一定是吉芬商品。
dxdiy()0,但 xi| xd i(y)||x ip(i)|
由自价格效应公式可知： x i ( ) 0 pi
净替代效应的对称性 由谢泼特引理可导出：
xih(p,u) e(p,u) xh j(p,u) pj pi pj pi
总替代和总互补
并 由 1 : u * v (p ,y ),可 知 :
e(p p,ju*)xh j(p,u*)xh j(p,v(p,y))
由 引 理 2 和 3 : x h j ( p , u * ) x j ( p , e ( p , u * ) ) x j ( p , y ) , 所 以
e(p,u*) pj
补偿性变化
Cv
•
• •
C v e (p 1 ,v (p 0 ,y )) y
§5.显示性偏好理论
➢ 假设1. px* y 若消费者是理性的，则在最 优选择上必定花掉手中的收入。
➢ 假设2. 偏好不变。若消费者是理性的，一定 会寻求某最优目标。
➢ 含义：( p t , x t ) 如果是一理性消费者的记录， 则可从中推知其收入 y t 。
自价格弹性
Si
pi xi ( p, y) y
一、弹性区域
➢ 1.弹性类型：充分弹性；缺乏弹性；单位弹 性。
➢ 2.弹性与销售收入之间的关系。 ➢ 3.厂商的定价策略。
➢ 4.需求等弹性的几何意义。
p
1
说明需求曲线上点 弹性的变化规律；
0 .5
•A
厂商的定价策略。
O
0 .5
1
q
§4.价格变化的福利效应与消费者的剩余
净替代效应为非正。
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（1）如果 m 24 ， p1 1 ， p2 1 ，现在 p1 上升为 2，求此消费者关于商品 1 的斯拉 茨基替代效应和收入效应。
（2）请根据计算，验证恩格尔加总规则。
解：（1）消费者的效用最大化问题为：
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图 3-1 希克斯替代
图 3-2 斯拉茨基替代
当消费者的偏好为凹的时候，替代效应非正，即替代效应或者为零，或者为负，见图
3-3（这里只考虑希克斯替代效应，斯拉茨基替代效应的分析也是类似的）：
图 3-3 凹偏好的替代效应 ①替代效应为零的情况 当商品 1 的价格上升引起预算线从 AB 转动到 AC 时，消费者对商品 1 的需求由 B 减少 到 C ，如果保持消费者的效用不变，仅仅考虑相对价格的变化对商品 1 的需求的影响，那 么由图中虚线 BH 的位置可以看出，商品 1 的需求不变，即价格变动的替代效应为零。 ②替代效应为负的情况 当商品 1 的价格上升引起预算线从 AC 转动到 AD 时，消费者的最优消费点为 A 点。如 果保持消费者的效用不变，仅仅考虑相对价格的变化对商品 1 的需求的影响，那么由图中 虚线 LN 的位置可以看出，现在消费者转而消费商品 2，即对商品 1 的消费下降为零，价格 变动的替代效应就是商品 1 的消费从 C 点的位置下降到 O 点的位置。
x1
p1 ,
p2 , m
2 24 16
3 2
40 3
从而消费者的替代效应为：
xs x p, m x p, m 224 16 2 24 8
x2
p1 x1 2 p2
④
把④式代入③式中得：
x1
p1 ,
p2
,m
2m 3 p1
⑤
把⑤式代入④式中得：
x2
p1 ,
p2
,m
m 3 p2
⑥
⑤式和⑥式就是商品 1 和商品 2 的马歇尔需求函数。把 m 24 、 p1 1 、 p2 1 代入⑤
式中，得到：
x1
p1 ,
p2 , m
2 24 31
16
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第 3 讲 价格变化对消费者的配置效应与福利效应
1．证明：如果一个消费者只消费两种商品，假设是 x1 与 x2 ，那么它们不可能都是劣等
品。
证明：劣等品是指随着消费者收入的增加，其需求量减少的商品。如果假设 xi p, m 是 第 i 种商品的马歇尔需求函数，那么商品 i 是劣等品就意味着 xi p, m 0 。
பைடு நூலகம்
max
x1 ,x2
x12
x2
s t p1x1 p2 x2 m
构造该问题的拉格朗日函数：
L x12 x2 m p1x1 p2 x2
拉格朗日函数对 q1 、 q2 和 分别求偏导得：
L x1
2 x1 x2
p1
0
①
L x2
x12
p2
0
②
L
m
p1 x1
p2 x2
0
③
从①式和②式中消去 后得：
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3．已知一个消费者对牛奶的需求函数为 x 10 y ，这里 x 为一周内牛奶的消费量， 10 p
y 120 元为收入， p 3 元/桶，现在假定牛奶价格从 3 元/桶降为 2 元/桶。问：
（1）该价格变化对该消费者的需求总效应是多少？（即其牛奶消费会变化多少？）
m
10
120 10
14 2
15.3
xs x p, m x p, m 15.3 14 1.3
（3）收入效应等于总效应减去替代效应，即： xn x xs 2 1.3 0.7
4．某个消费者的效用函数为 u x1, x2 x12 x2 。令 p1 ， p2 与 m 分别表示商品 1 的价格、
16
。所以总效应为：
x x p, m x p, m 16 14 2
（2）价格变化后，为了使消费者购买得起价格变化前的商品数量，需要把他的收入增 加 px 114 14 ，即他的收入要减少 14 元。这样在保持消费者的购买力不变的条件下，
消费者对该商品的需求为： 从而替代效应为：
x
p,
m
零，等式②不成立，这与假设矛盾！所以如果一个消费者只消费两种商品，那么它们不可能
都是劣等品。
2．如果偏好是凹的，替代效应仍然为负吗？ 答：如果偏好是凹的，替代效应不一定为负，但肯定是非正的。分析如下： 一种商品的替代效应是指价格变化引起商品需求量的总变化当中，仅仅因为该商品和其 他商品之间的相对价格变化而引起的需求量的变化。替代效应包括希克斯替代效应和斯拉茨 基替代效应。希克斯替代效应是指保持消费者的效用不变的情况下，价格变化引起的需求量 的变化（如图 3-1 所示）；斯拉茨基替代效应是指保持消费者的购买能力不变的情况下，价 格变化引起的需求量的变化（如图 3-2 所示）。
m 对于消费两种商品的消费者，如下的预算约束恒成立：
p1x1 p1, p2 , m p2 x2 p1, p2 , m m
①
①式两边关于收入 m 求导，得到：
p1
x1
p1, p2 , m
m
p2
x2
p1, p2 , m
m
1
②
对于消费两种商品的消费者，等式②恒成立。
假设商品 1 和 2 都是劣等品，那么就有 xi p, m 0 ， i 1 或 2，从而②式左边恒小于
（2）请算出价格变化的斯拉茨基替代效应。
（提示：如该消费者维持原消费水平，降价会使他省出多少钱？现在他用多少钱就相当
于原来的 120 元钱？）
（3）请算出价格变化的斯拉茨基收入效应。
解 ：（ 1 ）
p
3
（元/桶
）时，
x
p,
m
10
120 10 3
14
，
p2
（元/桶）时，
x
p，m
10
120 10
当商品 1 的价格变为 p1 2 时，商品 1 的需求为：
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x1
p1 ,
p2 , m
2 24 3 2
8
价格上涨后，为了保证消费者的购买力不变，应当把他的收入增加 p x 116 16 ，
这样在保持消费者的购买力不变的条件下，消费者对该商品的需求为：