高中数学竞赛代数第02讲 集合的概念与运算 专项知识点和真题讲解

第二讲 集合的概念与运算

一 集合及其元素

例1（哈尔滨市1986年高中数学竞赛题） 设}.,,1|2||2{22Z b Z a b a b a G ∈∈=-+=已知x ,,G y G ∈∈

求证：;)1(G xy ∈.1)2(G x

∈ 分析：如果集合A ＝{a |a 具有性质p }，那么判断对象a 是否是集合A 的元素的基本方法就是检验a 是否具有性质p 。

证 (1) 设2,2d c y b a x +=+=d c b a ,,,(),Z ∈于是,1|2|22=-b a ,1|2|22=-d c )2)(2(d c b a xy ++=∴).(2)2(α+++=ad bd ac

|)(2)2(|22bc ad bd ac +-+ ,1|)2)(2(|2222=--=d c b a .G xy ∈∴

(2) 2222211b a b a b a x --=+=⎪⎩⎪⎨⎧-=-+-=--=).

12(2),12(22222时当时当b a b a b a b a 显然有,2G b a ∈- ,2G b a ∈+- .1G x

∈∴

例2 （1988年北京市高一数学竞赛题）

设P={不小于3的自然数}，在P 上定义函数f 如下：若n ∈P ，f(n)表示不是n 的约数的最小自然数，例如，(7)=2，f(12) =5等等．

现记f(n)的值域为集合M ，求证：19∈M ，88∉M ．

证明 设n=18 !，显然1，2，…，17，18都是18! 的约数，而19不是18! 的约数中最小的一个，故.19,19)!18(M f ∈∴=

下面证,88M ∉用反证法，

若88∈M ，即存在某个n ∈P ，使，f(k)=88=8×11．依f 的定义有,*88k

而1，2，…，86，87都是k 的约数，特别地，,|11,|8k k 从而,|88k

这与 k *8矛盾． .88M ∉∴

例3. 以某些整数为元素的集合P 具有下列性质：①P 中的元素有正数，有负数； ②P 中的元素有奇数,有偶数；③－1∉P ；④若x ，y ∈P ,则x ＋y ∈P 试判断实数0和2与集合P 的关系。

解：由④若x ，y ∈P ,则x ＋y ∈P 可知，若x ∈P ，则)( N k P kx ∈∈

（1） 由①可设x ，y ∈P ，且x ＞0，y ＜0，则－y x ＝|y |x (|y |∈N ) 故x y ,－y x ∈P ,由④,0＝(－y x )+x y ∈P 。

（2）2∉P 。若2∈P ，则P 中的负数全为偶数，不然的话，当－（12+k ）∈P （N k ∈）时，－1＝（－12-k ）＋k 2∈P ，与③矛盾。于是，由②知P 中必有正奇数。

设),( 12,2N n m P n m ∈∈--，我们取适当正整数q ，使12|2|->-⋅n m q ，则负奇数P n qm ∈-+-)12(2。前后矛盾。

例4. 设S 为满足下列条件的有理数的集合：①若a ∈S ，b ∈S ，则a +b ∈S ， S ab ∈；②对任一个有理数r ，三个关系r ∈S ，－r ∈S ，r ＝0有且仅有一个成立。证明：S 是由全体正有理数组成的集合。

证明：设任意的r ∈Q ，r ≠0,由②知r ∈S ，或－r ∈S 之一成立。再由①，若r ∈S ，则S r ∈2；若－r ∈S ，则S r r r ∈-⋅-=)()(2。总之，S r ∈2。

取r =1，则1∈S 。再由①，2=1+1∈S ，3=1+2∈S ，…，可知全体正整数都属于S 。

设S q p ∈,，由①S pq ∈，又由前证知

S q ∈21，所以2

1q pq q p ⋅=∈S 。因此，S 含有全体正有理数。

再由①知，0及全体负有理数不属于S 。即S 是由全体正有理数组成的集合。

例5．给定1978个集合，每个集合都含有40个元素，已知其中任意两个集合都恰有一个公共元，证明：存在一个元素，它属于全部集合。

分析：我们可以先去找一个属于很多个集合的元素，最好它就是我们要找的那一个。

证明：考虑给定的1978个集合中任意一个集合A ，它和其它1977个集合都相交，因此，存在a ∈A ，使得它至少属于其中50个集合，否则，集合A 中每个元素至多属于49个集合，而集合A 恰有40个元素，所以除A 外至多有1960个集合，不可能，因此设a 属于集合A 1,A 2,…,A 50下面证明它属于给定的1978个集合中任一个。

对于除了A 1,A 2,…,A 50的任一个集合B ，设B a ，则B 与A,A 1,A 2,…,A 50，每一个都有至少一个元素的交，它们都与a 不同，那么，B 就至少要有51个元素，不可能，因此a 属于每个集合。

说明：这种题目最怕把它想难了，想行太难了，就会觉得无从下手，做数学竞赛题就需要一方面在做题之前选好方向，另一方面就是大胆尝试去做。

例6．（2004年中国女子数学奥林匹克）

如果存在 1、2、...、n 的一个排列1a 、2a 、……、n a ，使得 k+k a （k=1, 2, ..., n ）都是完全平方数，就称n 为“好数”。试问：在集合 {11, 13, 15, 17, 19} 中，哪些是“好数”，哪些不是“好数”？说明理由。