学习高等数学的目的作用内容及方法

学习高等数学的目的、作用、内容及

方法

一、为什么要学习高等数学?

高等数学是高等学校许多专业学生必修的重要基础理论课程。数学主要是研究现实世界中的"数量关系"与"空间形式"。世界上任何客观存在都有其"数"与"形"的属性特征，并且一切事物都发生变化，遵循量变到质变的规律。

凡是研究量的大小、量的变化、量与量之间关系以及这些关系的变化，就少不了数学。同样，客观世界存在有各种不同的空间形式。因此，宇宙之大，粒子之微，光速之快，实事之繁，…无处不用数学。

数学不但研究空间形式与数量关系，还研究现实世界中的任何形式和关系，只要这种形势和关系能抽象出来，用清晰准确的方式表达，即所谓化为数学模型。不但如此，数学还研究在逻辑上可能的形式。

"空间形式"必须理解为一切类似于空间形式的形式：射影空间、非欧几里得空间、拓扑空间、无穷维空间的空间、微分流形…

"数量关系"也要理解为一切类似于数量关系的关系：逻辑关系、语法关系…数学研究的是各种抽象的"数"和"形"的模式结构。

在今天的数学中，"数"和"形"的概念已发展到很高的境地。比如，非数之"数"的众多代数结构，像群、环、域等；无形之形的一些抽象空间，像线性空间、拓扑空间、流形等。

恩格斯说："要辩证而又唯物地了解自然，就必须掌握数学。"

英国著名哲学家培根说："数学是打开科学大门的钥匙"。

德国大数学家、天文家、物理学家高斯说："数学是科学的皇后，她常常屈尊去为天文学和其它自然科学效劳，但在所有的关系中，她都堪称第一。"

马克思还认为："一种科学，只有当它成功地运用数学时，才能达到真正完善的地步。"

亨普尔说：经验科学中多数更加深刻的定理都是借助数学概念陈述的。

拉奥说：一个国家的科学进步可以用它消耗的数学来衡量。

考特说：数学是人类智慧王冠上最灿烂的明珠。

戴维认为：被人们如此称颂的高科技技术，本质上是一种数学技术。

霍格说：如果一个学生要成为完全合格的、多方面武装的科学家，他在其发展初期就必定来到一座大门，并且必须通过这座大门，在这座大门上用每种人类语言刻着同一句话："这里使用数学语言。"

培根曾说："数学使人精细"

罗蒙诺索夫把数学称做："所有思想研究工作的主宰"

伽里略、惠更斯、牛顿都认为："科学工作中的演绎数学部分所起的作用比实验部分所起的作用要大"

第一个诺贝尔物理奖得主伦琴在回答"科学家需要什么样的修养"这一问题时，说："第一是数学，第二是数学，第三还是数学。"

被誉为"计算机之父"的冯·诺伊曼认为"数学处于人类智慧的中心领域"

数学史梗概：

第一阶段

数学萌芽时期(远古-公元前5世纪)：算术几何形成时期，但它们还未分开，彼此交织在一起，没有形成完整、严格的体系，缺乏逻辑性，基本上看不到命题证明、演绎、推理。

第二阶段

常量(初等)数学时期(公元前5世纪-17世纪中叶)：数学逐步形成了一门独立的、演绎的学科。算术、初等几何、初等代数、三角学都已成为独立的分支。

第三阶段

变量(高等)数学时期(17世纪中叶-19世纪中叶)：变量与函数的概念进入数学。解析几何、微积分、概率论、射影几何形成。

第四阶段

近代数学时期(19世纪中叶-二次大战)：非欧几里得几何、抽象代数、复变函数论、集合论、微分几何、微分方程论、积分方程论、点集拓扑、组合拓扑…。

第五阶段

现代数学时期(20世纪40年代以来)：(原子能的应用，电子计算机的发明，空间技术的兴起)广义函数论、整体微分几何、非标准分析、微分拓扑、代数拓扑、代数几何、同调代数、模糊数学、计算数学…。

著名数学家柯朗说："微积分学，或者数学分析，是人类思维的伟大成果之一。它处于自然科学和人文科学之间的地位，使它成为高等教育的一种特别有效的工具，…这门学科乃是一种憾人心灵的智力奋斗的结晶；这种奋斗已经经历了两千五百多年之久，它深深扎根于人类活动的许多领域，并且，只要人们认识自己和认识自然的努力一日不止，这种奋斗就将继续不已。"

恩格斯指出："在一切理论成就中，未必再有什么象17世纪下半叶微积分学的发明那样被看作人类精神的最高胜利了。"他还说："只有微积分学才能使自然科学有可能用数学来不仅仅表明状态，并且也表明过程、运动。"

微积分对于许多工程技术的重要性就像望远镜之于天文学，显微镜之于生物学一样。微积分是学好其它理工课程(如大学物理、理论力学、材料力学、电工基础等)的基础，也是学好专业课(如量子力学、流体力学、自动控制等)的工具。

二、高等数学主要要学些什么?

高等数学的内容有微积分学和向量代数、空间解析几何，但主要部分是微积分学。微积分学研究的对象是函数，而极限则是微积分学的基础，也是最主要的推理方法。

与微积分创立密切相关的科学技术问题，从数学角度归纳起来有四类：

1.已知变速运动的路程(为时间的函数)时，求瞬时速度和加速度；

2.求已知曲线的切线；

3.求给定函数的最大值与最小值；

4.求给定曲线长度；求平面曲线围成的面积；求已知曲面围成的体积；求物体的重心；已知变速运动物体的速度、加速度，求物体运动的路程与时间的关系等。

通过高等数学的学习，要使同学们获得以下方面的基本理论和基本运算技能，为学习后继课程和进一步获得数学知识奠定必要的数学基础：

1、函数、极限、连续；

2、一元函数微积分学；

3、向量代数和空间解析几何；

4、多元函数微积分学；

5、无穷级数；

6、常微分方程等。

三、怎样才能学好高等数学?

数学具有三个显著的特点：高度的抽象性、严谨的逻辑性、广泛的应用性。

高度的抽象性：卡克说："一般化和抽象是数学之最重要的功能。正是由于一般化和抽象，数学才能如此异乎寻常地有效。"

严谨的逻辑性：韦伊指出："严格性对于数学家，就如道德之对于人。"

广泛的应用性：爱因斯坦说："数学的领土相应地定义为那些能被数学术语表达的知识的总和。"

高等数学的教学与中学数学的教学相比，有以下三个显著的差别：

1、课堂大。100-200人合班上课，一般不可能提问，同学之间在学习基础、水平、理解能力上差别大，教师授课的基点只能放在中等水平，照顾大多数，不可能给跟不上的同学细讲、重复讲。

2、时间长。每一次课一般是连续讲授两节课。

3、进度快。由于高等数学的内容极为丰富，而学时又有限，因此，平均每次课要讲授教材8-10页。大学老师讲课主要是讲重点、难点、疑点，讲思路，举例也相对较少，不像中学上数学课那样，一个重要的定理教师要详细讲、反复讲，之后还有大量的例子。

预习