高等数学考试知识点

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大一高数会考哪些知识点

大一高数会考哪些知识点大一高等数学是大学数学的入门课程，对于理工科专业的学生来说尤为重要。

在大一高数的学习中，我们需要掌握一些基本的数学知识点，以便能够应对课程学习和考试。

下面将介绍大一高数会考哪些知识点。

一、函数与极限1. 函数的概念与性质：函数的定义、定义域、值域等基本概念以及函数的奇偶性、周期性等性质。

2. 极限与连续：极限的定义、极限的性质、无穷大与无穷小、函数连续的定义与性质。

3. 微分学基础：导数的概念、导数的计算公式、导数与函数的关系。

二、导数与应用1. 导数与函数的关系：导数的几何意义、导数的物理意义。

2. 高阶导数与隐函数求导：高阶导数的定义、隐函数求导的方法。

3. 导数的应用：切线和法线方程、函数的单调性、极值与最值的判断、函数的图形与曲线的绘制。

三、微分1. 微分的定义与计算：微分的概念、微分的计算方法。

2. 微分中值定理：拉格朗日中值定理、柯西中值定理。

四、积分与应用1. 不定积分：不定积分的定义、基本积分表、换元积分法、分部积分法。

2. 定积分：定积分的定义、定积分的计算方法、定积分的应用。

3. 微积分基本定理：微积分基本定理的概念、微积分基本定理的应用。

五、微分方程1. 微分方程的基本概念与解法：微分方程的分类、一阶线性微分方程的解法。

2. 高阶微分方程：二阶齐次线性微分方程的解法。

六、级数1. 数列与级数：数列的性质、级数的概念与性质、等比级数。

2. 正项级数：正项级数的审敛法。

以上是大一高数常见的知识点，也是在考试中经常会出现的内容。

对于每个知识点，我们需要掌握其概念、性质、计算方法和应用等方面的内容，并且要能够熟练运用。

在备考高数考试时，我们可以根据这些知识点进行有针对性的复习和练习，提高自己的理解能力和解题技巧。

总之，大一高数是我们进入大学数学学习的基础课程，对于后续学习和专业的发展都具有重要的影响。

通过系统学习和充分准备，我们可以更好地掌握大一高数的知识点，为以后的数学学习打下坚实的基础。

高数期末必考知识点总结大一

高数期末必考知识点总结大一高数期末必考知识点总结高等数学是大一学生必须学习的一门重要课程，它在培养学生的数学思维、分析问题和解决问题的能力方面起着重要的作用。

期末考试是对学生整个学期所学知识的总结和检验，因此掌握必考的知识点至关重要。

本文将对高数期末必考的知识点进行总结和梳理，以帮助大家更好地备考。

一、函数与极限1. 函数的基本概念和性质：定义域、值域、奇偶性等。

2. 极限的定义与性质：极限存在准则、无穷大与无穷小、夹逼定理等。

3. 重要极限的求解方法：基本初等函数的极限、无穷小的比较、洛必达法则等。

二、导数与微分1. 导数的定义与性质：导数的几何意义、导数的四则运算、高阶导数等。

2. 基本初等函数的导数：常数函数、幂函数、指数函数、对数函数等。

3. 隐函数与反函数的导数：隐函数求导、反函数的导数等。

4. 微分的定义与性质：微分的几何意义、微分中值定理等。

三、不定积分与定积分1. 不定积分的定义与基本性质：不定积分的线性性质、换元积分法等。

2. 基本初等函数的不定积分：幂函数的不定积分、三角函数的不定积分等。

3. 定积分的定义与性质：定积分的几何意义、定积分的性质等。

4. 定积分的计算方法：换元法、分部积分法、定积分的性质等。

四、微分方程1. 微分方程的基本概念：微分方程的定义、阶数、解的概念等。

2. 一阶微分方程：可分离变量的微分方程、齐次线性微分方程等。

3. 高阶线性微分方程：齐次线性微分方程、非齐次线性微分方程等。

4. 常微分方程的初值问题：初值问题的存在唯一性、解的连续性。

五、级数1. 数项级数的概念与性质：数项级数的定义、级数的收敛与发散、级数的性质等。

2. 常见级数的判别法：比较判别法、比值判别法、根值判别法等。

3. 幂级数：幂级数的收敛半径、收敛域的判定、幂级数的和函数等。

综上所述，高数期末必考的知识点主要包括函数与极限、导数与微分、不定积分与定积分、微分方程以及级数等。

在备考期末考试时，同学们要重点复习这些知识点，并通过大量的练习题来巩固和提高自己的理论水平和解题能力。

高等数学各项基础知识点总结

高等数学知识点总结第一章函数与极限一.函数的概念1.两个无穷小的比较设0)(lim ,0)(lim ==x g x f 且l x g x f =)()(lim （1）l =0，称f (x)是比g(x)高阶的无穷小，记以f (x)=0[)(x g ]，称g(x)是比f(x)低阶的无穷小。

（2）l ≠0，称f (x)与g(x)是同阶无穷小。

（3）l =1，称f (x)与g(x)是等价无穷小，记以f (x)~g(x)2.常见的等价无穷小当x →0时sin x ~x ，tan x ~x ，x arcsin ~x ，x arccos ~x，1−cos x ~2/2^x ，x e −1~x ，)1ln(x +~x ，1)1(-+αx ~xα二．求极限的方法1．两个准则准则1.单调有界数列极限一定存在准则2.（夹逼定理）设g (x )≤f (x )≤h (x )若A x h A x g ==)(lim ,)(lim ，则Ax f =)(lim 2．两个重要公式公式11sin lim 0=→xx x 公式2e x x x =+→/10)1(lim 3．用无穷小重要性质和等价无穷小代换4．用泰勒公式当x 0→时，有以下公式，可当做等价无穷小更深层次233521211...()2!3!!sin ...(1)()3!5!(21)!n xn n n n x x x e x o x n x x x x x o x n ++=++++++=-+++-++)(!2)1(...!4!21cos 2242n n n x o n x x x x +-+++-=)()1(...32)1ln(132n n n x o nx x x x x +-++-=++)(!))1()...(1(...!2)1(1)1(2n n x o x n n x x x +---++-++=+ααααααα)(12)1(...53arctan 1212153+++++-+-+-=n n n x o n x x x x x 5．洛必达法则定理1设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件：（1）0)(lim 0=→x f x x ，0)(lim 0=→x F x x ；（2）)(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域内可导，且0)(≠'x F ；（3）)()(lim 0x F x f x x ''→存在（或为无穷大），则这个定理说明：当)()(lim 0x F x f x x ''→存在时，)()(lim 0x F x f x x →也存在且等于)()(lim 0x F x f x x ''→；当)()(lim 0x F x f x x ''→为无穷大时，)()(lim 0x F x f x x →也是无穷大．这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的极限值的方法称为洛必达（H L 'ospital）法则.∞∞型未定式定理2设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件：（1）∞=→)(lim 0x f x x ，∞=→)(lim 0x F x x ；（2）)(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域内可导，且0)(≠'x F ；（3）)()(lim 0x F x f x x ''→存在（或为无穷大），则注：上述关于0x x →时未定式∞∞型的洛必达法则，对于∞→x 时未定式∞∞型同样适用．使用洛必达法则时必须注意以下几点：（1）洛必达法则只能适用于“00”和“∞∞”型的未定式，其它的未定式须先化简变形成“00”或“∞∞”型才能运用该法则；（2）只要条件具备，可以连续应用洛必达法则；（3）洛必达法则的条件是充分的，但不必要．因此，在该法则失效时并不能断定原极限不存在．6．利用导数定义求极限基本公式)()()(lim 0'000x f xx f x x f x =∆-∆+→∆(如果存在）7.利用定积分定义求极限基本格式1011lim ()()n n k k f f x dx n n →∞==∑⎰（如果存在）三．函数的间断点的分类)()(lim )()(lim 00x F x f x F x f x x x x ''=→→)()(lim )()(lim 00x F x f x F x f x x x x ''=→→函数的间断点分为两类：（1）第一类间断点设0x 是函数y =f (x )的间断点。

自考高数知识点总结

自考高数知识点总结一、数列与数学归纳法1、数列的概念、通项公式和通项公式的应用；2、等差数列与等比数列的性质；3、数学归纳法的基本思想及其应用。

二、函数与极限1、函数的概念及其基本性质；2、基本初等函数的概念和性质；3、极限的概念及其性质；4、函数的极限性质及计算；5、无穷小与无穷大；6、函数的连续性及其应用。

三、导数与微分1、导数的概念及其几何意义；2、导数的计算及应用；3、高阶导数及其运算；4、隐函数及参数方程的导数；5、微分的概念、性质及其应用。

四、微分中值定理及应用1、罗尔中值定理及其几何意义；2、拉格朗日中值定理及其物理意义；3、柯西中值定理及其应用。

五、不定积分1、不定积分的概念及性质；2、不定积分的方法及应用；3、含参数的积分和含参数的积分的应用；4、变限积分及其应用。

六、定积分1、定积分的概念及其性质；2、定积分的计算方法；3、定积分的应用；4、牛顿—莱布尼兹公式及其应用。

七、定积分的应用1、平面图形的面积；2、旋转体的体积；3、物理应用题。

八、常微分方程1、常微分方程的基本概念；2、常微分方程的解法；3、一阶线性微分方程；4、常系数齐次线性微分方程；5、常系数非齐次线性微分方程。

九、无穷级数1、级数概念及其性质；2、正项级数的审敛法及应用；3、级数的常用审敛法及其应用；4、幂级数的概念及收敛域的判定；5、幂级数的常用审敛法及其应用。

总结：自考高等数学知识点包括数列与数学归纳法、函数与极限、导数与微分、微分中值定理及应用、不定积分、定积分、定积分的应用、常微分方程、无穷级数等内容。

其中，数列与数学归纳法主要涉及数列的概念、通项公式、等差数列和等比数列的性质，以及数学归纳法的基本思想和应用；函数与极限包括函数的概念、基本性质、极限的概念、性质、计算方法以及函数的连续性及其应用；导数与微分主要包括导数的概念、性质、计算方法及应用，微分的概念、性质及应用；微分中值定理及应用主要涉及罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理及其应用；不定积分主要包括不定积分的概念、性质、计算方法及应用，以及含参数的积分和变限积分；定积分主要涉及定积分的概念、性质、计算方法及应用，牛顿—莱布尼兹公式及其应用，定积分的应用主要涉及平面图形的面积、旋转体的体积和物理应用题；常微分方程主要包括常微分方程的基本概念、解法、一阶线性微分方程、常系数齐次线性微分方程、常系数非齐次线性微分方程；无穷级数主要包括级数概念、性质、审敛法及应用，幂级数的收敛域的判定和常用审敛法及其应用。

高数基础知识总结,助你轻松掌握数学要点

高数基础知识总结，助你轻松掌握数学要点
一、函数与极限
1. 函数的概念及其性质，包括定义域、值域、单调性、奇偶性等。

2. 函数的极限，包括趋近于无穷大时的极限和趋近于某点的极限，以及极限的四则运算法则。

3. 无穷小量与阶的比较，包括无穷小量及其性质，以及阶的比较及其应用。

二、导数与微分
1. 导数的概念及其几何意义，包括导数的定义、几何意义、物理意义等。

2. 导数的运算法则，包括四则运算法则、复合函数求导法则等。

3. 微分概念及其运算，包括微分的定义、几何意义、运算性质等。

三、积分与级数
1. 定积分的概念及其性质，包括定积分的定义、几何意义、可积条件等。

2. 定积分的计算方法，包括直接法、换元法、分部积分法等。

3. 无穷级数的概念及其性质，包括无穷级数的定义、收敛性、绝对收敛与条件收敛等。

4. 无穷级数的求和运算，包括幂级数求和、交错级数求和等。

四、多元函数微积分
1. 多元函数的极限与连续性，包括极限的定义、性质，连续性的概念等。

2. 偏导数与全微分，包括偏导数的概念、全微分的概念及其计算方法等。

3. 二重积分，包括二重积分的概念、性质、计算方法等。

高考高数知识点总结

高考高数知识点总结高考对于每一个学生来说都是一次重要的考试，而其中的数学科目更是让很多学生头疼的难题。

高考数学中，高等数学是其中一个难点，涵盖的内容较广，涉及的知识点较多。

为了帮助同学们更好地备考高数，下面将对高考高数的知识点进行总结，希望对同学们有所帮助。

一、函数与极限1. 函数的定义域、值域、单调性以及图像的绘制方法。

2. 极限的定义及其性质，常用的极限运算法则。

3. 无穷大与无穷小的概念，无穷小量的比较与性质。

二、导数与微分1. 导数的定义及其几何意义，导数的性质与常用求导法则。

2. 高阶导数的概念，高阶导数与原函数的关系。

3. 微分的概念及其应用，微分的计算与应用。

三、不定积分与定积分1. 不定积分的定义与基本性质，常用的不定积分法则。

2. 定积分的概念及其性质，定积分的计算与应用。

3. 牛顿-莱布尼茨公式与定积分的几何应用。

四、微分方程1. 一阶微分方程的概念与解法，常见的一阶微分方程型。

2. 高阶微分方程的概念与解法，可降阶的高阶微分方程。

3. 变量分离与同解微分方程的解法。

五、向量及其运算1. 向量的定义及其表示方法，向量的加法与数乘。

2. 向量的线性相关性与线性无关性，向量的共线性与垂直性。

3. 平面向量的数量积与向量积，向量积的应用。

六、空间解析几何1. 空间点的位置与坐标，空间直线与平面的位置与方程。

2. 直线的方向向量与点向式方程，直线与平面的位置关系。

3. 空间中直线与直线、直线与平面的位置关系。

七、数列与数学归纳法1. 数列的概念及其相关术语，数列的通项公式与和的计算。

2. 数列的极限与无穷项级数收敛性判定。

3. 数学归纳法及其应用。

以上仅为高考高数知识点总结的一部分，每个知识点都需要彻底理解并进行大量的练习。

除了掌握这些知识点外，同学们还需要注重做题技巧的积累与应用，不断提高解题的速度与准确性。

在备考过程中，要保持积极的心态，相信自己的实力，相信付出一定会有回报。

祝愿所有参加高考的同学们取得优异的成绩！。

高等数学考试知识点

《高等数学》考试知识点一、函数、极限、连续考试内容：1．函数的概念及表示法；函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性；复合函数、反函数、分段函数和隐函数；基本初等函数的性质及其图形；初等函数简单应用问题的函数关系的建立；2．数列极限与函数极限的定义以及它们的性质；函数的左极限与右极限；3．无穷小和无穷大的概念及其关系；无穷小的性质及无穷小的比较；4．极限的四则运算；极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则两个重要极限0sin lim 1x x x→=，10lim(1)e x x x →+=； 5．函数连续的概念；函数间断点的类型；初等函数的连续性；闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理）；考试要求：1．理解函数的概念，掌握函数的表示方法；2．了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性；3．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念；4．掌握基本初等函数的性质及其图形；5．会建立简单应用问题中的函数关系式；6．理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系；7．掌握极限的性质及四则运算法则；8．掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法；9．理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限；10．理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型；11．了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质；二、一元函数微分学考试内容：1．导数和微分的概念；导数的几何意义和物理意义；函数的可导性与连续性之间的关系；平面曲线的切线和法线；基本初等函数的导数；2．导数和微分的四则运算；复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法；3．高阶导数的概念；某些简单函数的n阶导数；4．一阶微分形式的不变性；5．罗尔（Roll)定理；拉格朗日（Lagrange）中值定理；柯西（Cauchy）中值定理；泰勒（Taylor）定理；6．洛必达（L’Hospital）法则；7．函数的极值及其求法；函数单调性函数；图形的凹凸性、拐点及渐近线；函数最大值和最小值的求法及简单应用；8．弧微分、曲率的概念；曲率半径；考试要求：1．理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系；2．掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式．了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分；3．了解高阶导数的概念，会求简单函数的n阶导数；4．会求分段函数的一阶、二阶导数；5．会求隐函数和由参数方程所确定的函数的一阶、二阶导数，会求反函数的导数；6．理解并会用罗尔定理，拉格朗日中值定理和泰勒定理；7．了解并会用柯西中值定理；8．理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用；9．会用导数判断函数图形的凹凸性和拐点，会求函数图形的水平、铅直和斜渐近线；10．掌握用洛必达法则求未定式极限的方法；11．了解曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径；三、一元函数积分学考试内容：1．原函数和不定积分的概念；不定积分的基本性质；基本积分公式；2．定积分的概念和基本性质；定积分中值定理；3．变上限定积分定义的函数及其导数；牛顿一莱布尼茨（Newton-Leibniz）公式；4．不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法；有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分；5．广义积分的概念；6．定积分的应用；考试要求：1．理解原函数概念，理解不定积分和定积分的概念；2．掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分和定积分的性质及定积分中值定理，掌握换元积分法与分部积分法；3．会求有理函数、三角函数有理式及简单无理函数的积分；4．理解变上限定积分定义的函数，会求它的导数，掌握牛顿一莱布尼茨公式；5．了解广义积分的概念并会计算广义积分；6．掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、变力作功、引力、压力及函数的平均值等）；四、向量代数和空间解析几何考试内容：1．向量的概念；向量的线性运算；向量的数量积和向量积的概念及运算；向量的混合积；两向量垂直、平行的条件两向量的夹角；向量的坐标表达式及其运算；单位向量；方向数与方向余弦；2．曲面方程和空间曲线方程的概念；球面；母线平行于坐标轴的柱面；旋转轴为坐标轴的旋转曲面的方程；常用的二次曲面方程及其图形；空间曲线的参数方程和一般方程；空间曲线在坐标面上的投影曲线方程；3．平面方程、直线方程；平面与平面、平面与直线、直线与直线的平行、垂直的条件和夹角；点到平面和点到直线的距离；考试要求：1．理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示；2．掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积、混合积），了解两个向量垂直、平行的条件；3．掌握单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，以及用坐标表达式进行向量运算的方法；4．掌握平面方程和直线方程及其求法，会利用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交等）解决有关问题；5．理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其图形，会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程；6．了解空间曲线的参数方程和一般方程；7．了解空间曲线在坐标平面上的投影，并会求其方程；五、多元函数微分学考试内容：1．多元函数的概念；二元函数的几何意义；二元函数的极限和连续的概念；有界闭区域上多元连续函数的性质；2．多元函数偏导数和全微分的概念；全微分存在的必要条件和充分条件；多元复合函数、隐函数的求导法；二阶偏导数；3．方向导数和梯度的概念及其计算；4．空间曲线的切线和法平面；曲面的切平面和法线；5．多元函数极值和条件极值的概念；多元函数极值的必要条件；二元函数极值的充分条件；极值的求法；拉格朗日乘数法；多元函数的最大值、最小值及其简单应用；考试要求：1．理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义；2．了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质；3．理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性；4．理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法；5．掌握多元复合函数偏导数的求法；6．会求隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数；7．了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程；8．理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值并会解决一些简单的应用问题；六、多元函数积分学考试内容：1．二重积分、三重积分的概念及性质；二重积分与三重积分的计算和应用；2．两类曲线积分的概念、性质及计算；两类曲线积分的关系；3．格林（Green ）公式；平面曲线积分与路径无关的条件；已知全微分求原函数；4．两类曲面积分的概念、性质及计算；两类曲面积分的关系；5．高斯（Gauss ）公式；斯托克斯（Stokes)公式；6．散度、旋度的概念及计算；曲线积分和曲面积分的应用；考试要求：1．理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质，了解二重积分的中值定理；2．掌握二重积分（直角坐标、极坐标）的计算方法，会计算三重积分（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）；3．理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系；4．掌握计算两类曲线积分的方法；5．掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径元关的条件，会求全微分的原函数；6．了解两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的关系，掌握计算两类曲面积分的方法，了解高斯公式、斯托克斯公式，会用高斯公式计算曲面积分；7．了解散度与旋度的概念，并会计算；8．会用重积分、曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量（平面图形的面积、体积、曲面面积、弧长、质量、重心、转动惯量、引力、功及流量等）；七、无穷级数考试内容：1．常数项级数的收敛与发散的概念；收敛级数的和的概念；级数的基本性质与收敛的必要条件；几何级数与p 级数以及它们的收敛性；2．正项级数的比较审敛法、比值审敛法、根值审敛法；3．交错级数与莱布尼茨定理；4．任意项级数的绝对收敛与条件收敛；5．函数项级数的收敛域与和函数的概念；幂级数及其收敛半径、收敛区间（指开区间）和收敛域；幂级数的和函数；幂级数在其收敛区间内的基本性质；简单幂级数的和函数的求法；函数可展开为泰勒级数的充分必要条件；e ,sin ,cos ,ln(1),(1)x a x x x x ++的麦克劳林（Maclaurin ）展开式；6．函数的傅里叶（Fourier ）系数与傅里叶级数；狄利克雷（Dlrichlei ）定理；函数在[,]L L -上的傅里叶级数；函数在[0,]L 上的正弦级数和余弦级数；考试要求：1．理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件；2．掌握几何级数与p 级数的收敛与发散的条件；3．掌握正项级数的比较审敛法和比值审敛法，会用根值审敛法；4．掌握交错级数的莱布尼茨判别法；5．了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛的关系；6．了解函数项级数的收敛域及和函数的概念；7．掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法；8．了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质（和函数的连续性、逐项微分和逐项积分），会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些数项级数的和；9．掌握e ,sin ,cos ,ln(1),(1)x a x x x x ++的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数；10．了解傅里叶级数的概念和函数展开为傅里叶级数的狄利克雷定理，会将定义在[,]L L -上的函数展开为傅里叶级数，会将定义在[0,]L 上的函数展开为正弦级数与余弦级数，会写出傅里叶级数的和的表达式；八、常微分方程考试内容：1．常微分方程的概念；微分方程的解、阶、通解、初始条件和特解；2．变量可分离的方程；齐次方程；一阶线性方程；伯努利（Bernoulli ）方程；全微分方程；可用简单的变量代换求解的某些微分方程；可降阶的高阶微分方程；3．线性微分方程解的性质及解的结构定理；二阶常系数齐次线性微分方程；高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程；简单的二阶常系数非齐次线性微分方程；4．微分方程的简单应用问题；考试要求：1．了解微分方程及其解、阶、通解、初始条件和特解等概念；2．掌握变量可分离的方程及一阶线性方程的解法；3．会解齐次方程、伯努利方程和全微分方程，会用简单的变量代换解某些微分方程；4．会用降阶法解下列方程：()(),(,),(,)n y f x y f x y y f y y ''''''===；5．理解线性微分方程解的性质及解的结构定理；6．掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程；7．会求自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解和通解；8．会用微分方程解决一些简单的应用问题；参考书目：《高等数学》（第五版），同济大学出版社。

高等数学高数知识点总结

高数重点总结1、基本初等函数：反函数(y=arctanx)，对数函数(y=lnx)，幂函数(y=x)，指数函数(x a y =)，三角函数(y=sinx)，常数函数(y=c)2、分段函数不是初等函数。

3、无穷小：高阶+低阶=低阶例如：1lim lim020==+→→x xxx x x x 4、两个重要极限：()e x ex xxxx xx x =⎪⎭⎫⎝⎛+=+=∞→→→11lim 1lim )2(1sin lim )1(10 经验公式：当∞→→→)(,0)(,0x g x f x x ，[])()(lim )(0)(1lim x g x f x g x x x x ex f →=+→例如：()33lim 1031lim -⎪⎭⎫ ⎝⎛-→==-→e ex x x xx x5、可导必定连续，连续未必可导。

例如：||x y =连续但不可导。

6、导数的定义：()0000')()(lim)(')()(limx f x x x f x f x f xx f x x f x x x =--=∆-∆+→→∆7、复合函数求导：[][])(')(')(x g x g f dxx g df ∙= 例如：xx x x x x x y x x y ++=++=+=24122211', 8、隐函数求导：(1)直接求导法；(2)方程两边同时微分，再求出dy/dx例如：yxdx dy ydy xdx y x y yy x y x -=⇒+-=⇒=+=+22,),2('0'22,),1(122左右两边同时微分法左右两边同时求导解：法 9、由参数方程所确定的函数求导：若⎩⎨⎧==)()(t h x t g y ，则)(')('//t h t g dt dx dt dy dx dy ==，其二阶导数：()[])(')('/)('/)/(/22t h dt t h t g d dt dx dt dx dy d dx dx dy d dx y d === 10、微分的近似计算：)(')()(000x f x x f x x f ∙∆=-∆+ 例如：计算 ︒31sin11、函数间断点的类型：(1)第一类：可去间断点和跳跃间断点；例如：xxy sin =（x=0是函数可去间断点），)sgn(x y =（x=0是函数的跳跃间断点）(2)第二类：振荡间断点和无穷间断点；例如：⎪⎭⎫ ⎝⎛=x x f 1sin )(（x=0是函数的振荡间断点），xy 1=（x=0是函数的无穷间断点） 12、渐近线：水平渐近线：c x f y x ==∞→)(lim铅直渐近线：.)(lim 是铅直渐近线，则若，a x x f ax =∞=→ 斜渐近线：[]ax x f b xx f a b ax y x x -==+=∞→∞→)(lim ,)(lim,即求设斜渐近线为例如：求函数11223-+++=x x x x y 的渐近线13、驻点：令函数y=f(x)，若f'(x0)=0，称x0是驻点。

大学高等数学知识点

微分的应用：微分在近似计算、误差估计、求极值等方面有广泛应用。
导数与微分的关系：导数是函数在某一点的切线的斜率，而微分是在这一点附近对函数进行线性近似。
04
积分学
定积分的概念与性质
概念：定积分是积分的一种，是函数在区间上积分和的极限几何意义：定积分的值是曲线下方和x轴之间的面积
性质：定积分具有线性性质，即对于两个函数的和或差的积分，可以分别对每个函数进行积分后再求和或求差
类型：一阶、二阶和高阶差分方程
解法：递推法、迭代法和数学归纳法等
应用：在经济学、生物学、物理学等领域有广泛应用
07
无穷级数
无穷级数的概念与性质
概念：无穷级数是无穷多个数相加的结果，可以用来表示函数、数列等数学对象。
性质：无穷级数具有收敛性、可加性、可乘性和可微性等性质，这些性质在数学分析中有着广泛的应用。
计算方法：将三重积分拆分为三个方向的二重积分，再逐个计算
几何意义：表示三维空间中某种量的分布情况
应用领域：物理学、工程学、经济学等
06
微分方程与差分方程
常微分方程的基本概念
定义：常微分方程是描述一个或多个未知函数及其
导数之间关系的方程。
类型：根据未知函数的个数，常微分方程可以分为一阶、二阶和高阶方程。
函数的极限：函数在某点的极限表示当自变量趋近于该点时，函数值的趋近
值。
函数的连续性：函数在某点的连续性表示函数在该
点附近的变化趋势。
极限的概念与性质
极限的定义：描述函数在某一点处的变化趋势极限的性质：包括唯一性、有界性、局部保号性等极限的运算：包括四则运算法则、等价无穷小替换等极限的应用：在导数、积分等领域有广泛应用

高等数学知识点大全

高等数学知识点大全高考高等数学知识点篇一极限1、知识范围(1)数列极限的概念数列、数列极限的定义(2)数列极限的性质性、有界性、四则运算法则、夹通定理、单调有界数列极限存在定理(3)函数极限的概念函数在一点处极限的定义、左、右极限及其与极限的关系趋于无穷时函数的极限、函数极限的几何意义(4)函数极限的性质性、四则运算法则、夹通定理(5)无穷小量与无穷大量无穷小量与无穷大量的定义、无穷小量与无穷大量的关系、无穷小量的性质、无穷小量的阶(6)两个重要极限2、要求(1)理解极限的概念，会求函数在一点处的左极限与右极限，了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。

(2)了解极限的有关性质，掌握极限的四则运算法则。

(3)理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的性质、无穷小量与无穷大量的关系。

会进行无穷小量阶的比较(高阶、低阶、同阶和等价)。

会运用等价无穷小量代换求极限。

篇二高考数学解答题部分主要考查七大主干知识：第一，函数与导数。

主要考查集合运算、函数的有关概念定义域、值域、解析式、函数的极限、连续、导数。

第二，平面向量与三角函数、三角变换及其应用。

这一部分是高考的重点但不是难点，主要出一些基础题或中档题。

第三，数列及其应用。

这部分是高考的重点而且是难点，主要出一些综合题。

第四，不等式。

主要考查不等式的求解和证明，而且很少单独考查，主要是在解答题中比较大小。

是高考的重点和难点。

第五，概率和统计。

这部分和我们的生活联系比较大，属应用题。

第六，空间位置关系的定性与定量分析，主要是证明平行或垂直，求角和距离。

第七，解析几何。

是高考的难点，运算量大，一般含参数。

高考对数学基础知识的考查，既全面又突出重点，扎实的数学基础是成功解题的关键。

针对数学高考强调对基础知识与基本技能的考查我们一定要全面、系统地复习高中数学的基础知识，正确理解基本概念，正确掌握定理、原理、法则、公式、并形成记忆，形成技能。

以不变应万变。

对数学思想和方法的考查是对数学知识在更高层次上的抽象和概括的考查，考查时与数学知识相结合。

大一必考高数知识点

大一必考高数知识点在大一的学习生活中，高等数学是必修课程之一，对于学习理工科的同学来说，掌握好高数知识点非常重要。

下面将介绍一些大一必考的高数知识点，帮助同学们更好地应对高数考试。

一、函数与极限1. 函数的定义与性质：介绍函数的定义、定义域、值域等概念，以及奇函数和偶函数的性质。

2. 函数的极限：介绍函数极限的定义、左极限和右极限的概念，以及常见函数的极限计算方法。

3. 无穷大与无穷小：讲解无穷大和无穷小的定义，以及无穷小的判定方法。

二、导数与微分1. 导数的定义：介绍导数的定义，讨论导数存在的条件，并给出常见函数的导数计算方法。

2. 导数的应用：介绍导数在几何与物理问题中的应用，如切线与法线、相关变率、最值等。

3. 微分的概念：引入微分的概念，讨论微分与导数的关系，并解释微分的几何意义。

三、不定积分与定积分1. 不定积分的定义：介绍不定积分的定义，给出常见函数的不定积分计算方法，如幂函数、指数函数、三角函数等。

2. 定积分的概念：介绍定积分的定义，讨论定积分的性质，如线性性、区间可加性等。

3. 定积分的应用：介绍定积分在几何与物理问题中的应用，如曲线长度、平面面积、体积、质量等。

四、级数1. 数项级数：讲解数项级数的定义与判敛条件，介绍常见级数的性质，如正项级数、比较判别法、比值判别法等。

2. 幂级数：介绍幂级数的定义与收敛半径，讨论幂级数的收敛性以及幂函数展开。

五、微分方程1. 微分方程的基本概念：介绍常微分方程的分类，讲解微分方程的阶、线性与非线性等概念。

2. 一阶常微分方程：讨论一阶常微分方程的可分离变量、线性方程、齐次方程等特殊类型的解法。

总结：以上介绍了大一必考的高数知识点，包括函数与极限、导数与微分、不定积分与定积分、级数以及微分方程等内容。

希望同学们能够认真学习这些知识点，充分理解概念和原理，并进行大量的练习，以提高解题能力和应对考试的能力。

祝大家在高数考试中取得优异的成绩！。

高等数学知识点(全)

2、不定积分：在区间 I 上，函数 f (x) 的带有任意常数的原函数
称为 f (x) 在区间 I 上的不定积分。
3、基本积分表（P188，13 个公式）；
4、性质（线性性）。
（二）换元积分法 1、第一类换元法（凑微分）：
f [(x)](x)dx f (u)du u(x)
（五）不等式证明
1、利用微分中值定理；
2、利用函数单调性；
3、利用极值（最值）。
（六）方程根的讨论
第 10 页共 44 页
阿樊教育 1、连续函数的介值定理；
永不改变年轻时的梦想
2、 Rolle 定理；
3、函数的单调性；
4、极值、最值；
5、凹凸性。
（七）渐近线
1、铅直渐近线： lim f (x) ，则 x a 为一条铅直渐近线； xa
（二）微分
1）定义：y f (x0 x) f (x0 ) Ax o(x) ，其中 A 与 x 无关。
2）可微与可导的关系：可微可导，且
dy f (x0 )x f (x0 )dx
第三章微分中值定理与导数的应用（一）中值定理
1、 Rolle 定理：若函数 f (x) 满足： 1 ） f (x) C[a,b] ； 2 ） f (x) D(a,b) ； 3 ）
f ( x1 x2 ) 2
f (x1) f (x2 ) ， 2
则称 f (x) 在区间 I 上的图形是凹的；若
x1, x2 I ,
f ( x1 x2 ) 2
f (x1) f (x2 ) ，则称 f (x) 在区间 2
I

高数基础知识总结与重点概念整理

高数基础知识总结与重点概念整理
一、导数与微分
导数：描述函数在某一点附近的变化率，是函数值的极限。

可导性：函数在某点可导，当且仅当该点附近存在一个定义恰当的导数。

微分：一个近似值，表示函数在某点附近的小变化所引起的函数值的大致变化。

二、积分
不定积分：求一个函数的原函数（或反导数），即求函数的不定积分。

定积分：对一个区间上函数的值的总和的量度，即求函数的定积分。

微积分基本定理：定积分可化为不定积分的计算。

三、级数
数列：一个数字序列。

无穷级数：无穷多个数的和，即数列的和。

收敛性：无穷级数趋于一个有限的和的性质称为收敛性。

发散性：无穷级数不收敛的性质称为发散性。

四、多元函数
多元函数：定义在多个变量上的函数。

偏导数：多元函数对一个变量的导数。

方向导数：描述函数在某点处沿某一方向的变化率。

梯度：方向导数的最大值，表示函数在某点处沿梯度方向的增长最快的方向。

五、微分方程
微分方程：包含未知函数的导数或微分的方程。

初值问题：给定初始条件的微分方程问题。

通解与特解：满足微分方程的解称为通解，满足特定初始条件的解称为特解。

高等数学知识点汇总

一.函数的概念1．用变上、下限积分表示的函数（1）()dt t f y x∫=0，其中()t f 连续，则()x f dxdy=（2）()()()dt t f y x x∫=21ϕϕ，其中()x 1ϕ，()x 2ϕ可导，()t f 连续，则()[]()()[]()x x f x x f dxdy1122ϕϕϕϕ′−′=2．两个无穷小的比较设()0lim =x f ，()0lim =x g ，且()()l x g x f =lim （1）0=l ，称()x f 是比()x g 高阶的无穷小，记以()()[]x g x f 0=，称()x g 是比()x f 低阶的无穷小。

（2）0≠l ，称()x f 与()x g 是同阶无穷小。

（3）1=l ，称()x f 与()x g 是等价无穷小，记以()()x g x f ~ 3．常见的等价无穷小当0→x 时x x ~sin ，x x ~tan ，x x ~arcsin ，xx ~arctan 221~cos 1x x −，x e x ~1−，()x x ~1ln +，()xx αα~11 −+二．求极限的方法1．利用极限的四则运算和幂指数运算法则2．两个准则准则1．单调有界数列极限一定存在（1）若n n x x ≤+1（n 为正整数）又m x n ≥（n 为正整数），则A x n n =∞→lim 存在，且m A ≥（2）若n n x x ≥+1（n 为正整数）又M x n ≤（n 为正整数），则A x n n =∞→lim 存在，且MA ≤准则2．（夹逼定理）设()()()x h x f x g ≤≤若()A x g =lim ，()A x h =lim ，则()A x f =lim 3．两个重要公式公式1．1sin lim0=→xxx 公式2．e n nn =⎟⎠⎞⎜⎝⎛+∞→11lim ；e u uu =⎟⎠⎞⎜⎝⎛+∞→11lim ；()ev vv =+→101lim 4．用无穷小重要性质和等价无穷小代换 5．用泰勒公式当0→x 时，()n nxx n x x x e 0!!212+++++=Λ()()()1212530!121!5!3sin ++++−+++−=n n nx n x x x x x Λ()()()nnn x n xx x x 22420!21!4!21cos +−+−+−=Λ()()()n nn x n x x x x x 01321ln 132+−+−+−=++Λ()()1212153012153arctan +++++−+−+−=n n n x n xx x x x Λ()()()()[]()n n x x n n x x x 0!11!21112+−−−++−++=+αααααααΛΛ 6．洛必达法则法则1．（型）设（1）()0lim =x f ，()0lim =x g （2）x 变化过程中，()x f ′，()x g ′皆存在（3）()()A x g x f =′′lim （或∞）则()()A x g x f =lim（或∞）（注：如果()()x g x f ′′lim不存在且不是无穷大量情形，则不能得出()()x g x f lim不存在且不是无穷大量情形）法则2．（∞∞型）设（1）()∞=x f lim ，()∞=x g lim （2）x 变化过程中，()x f ′，()x g ′皆存在（3）()()A x g x f =′′lim （或∞）则()()A x g x f =lim（或∞）7．利用导数定义求极限基本公式：()()()0000limx f xx f x x f x ′=∆−∆+→∆ [如果存在]8．利用定积分定义求极限基本公式()∫∑=⎟⎠⎞⎜⎝⎛=∞→1011lim dx x f n k f n n k n [如果存在]三．函数的间断点的分类函数的间断点分为两类：（1）第一类间断点设0x 是函数()x f y =的间断点。

【专转本】高数知识点汇总

【专转本】高数知识点汇总
以下是高等数学的一些重要知识点的汇总：
1. 极限：
- 变量趋于无穷时的极限计算
- 函数的左极限和右极限
- 极限的性质，如极限的唯一性、四则运算法则、夹逼定理等- 无穷小量和无穷大量的概念
2. 偏导数与全微分：
- 多元函数对于一个变量的偏导数
- 多元函数的全微分和偏导数的关系
- 隐函数求导法则
- 高阶偏导数和混合偏导数
3. 微分法：
- 泰勒展开式和麦克劳林展开式的应用
- 最大值和最小值的存在性和求解方法
- 条件极值和拉格朗日乘子法
4. 不定积分：
- 不定积分的定义和性质
- 基本积分公式和常用积分公式
- 函数的换元积分法和分部积分法
- 无穷区间上的积分计算方法
5. 定积分：
- 定积分的定义和性质
- 牛顿-莱布尼茨公式和基本定理的应用
- 用定积分计算曲线的弧长、面积和体积
6. 微分方程：
- 一阶微分方程的解法，如可分离变量法、齐次方程和一阶线
性方程等
- 高阶微分方程的解法，如常系数线性齐次方程和非齐次方程
等
- 二阶线性非齐次方程的特解法和待定系数法
以上是高等数学中一些重要的知识点的汇总，但高等数学的内容非常广泛深入，上述只是其中的一部分，想要在高数考试中取得好的成绩，需要全面掌握这些知识点，并进行大量的练习。

大学全册高等数学知识点（全套）

第 1 1 页页共 30 30 页页大学全册高等数学知识点(全套)极限与连续一. 数列函数: 1. 类型类型: (1)数列: *()n a f n =; *1()n na f a += (2)初等函数: (3)分段函数: *0102()(),()x x f x F x x x f x £ì=í>î; *00()(),x x f x F x x x a ¹ì=í=î;* (4)复合(含f )函数: (),()y f u u x j == (5)隐式(方程): (,)0F x y = (6)参式(数一,二): ()()x x t y y t =ìí=î (7)变限积分函数: ()(,)xaF x f x t dt=ò (8)级数和函数(数一,三): (),n n n S x a x x ¥==ÎW å 2. 特征特征(几何): (1)单调性与有界性(判别); (()f x 单调000,()(()())x x x f x f x Þ"--定号) (2)奇偶性与周期性(应用). 3. 反函数与直接函数反函数与直接函数: 11()()()y f x x f y y f x --=Û=Þ=二. 极限性质: 1. 类型类型: *lim n n a ®¥; *lim ()x f x ®¥(含x ®±¥); *0lim ()x x x xf x ®(含0x x ±®) 2. 无穷小与无穷大无穷小与无穷大(注: 无穷量): 3. 未定型未定型: 000,,1,,0,0,0¥¥¥-¥×¥¥¥ 4. 性质性质: *有界性有界性, *保号性保号性, *归并性归并性第 2 2 页页共 30 30 页页三. 常用结论: 四. 必备公式: 1. 等价无穷小等价无穷小: 当()0u x ®时, 2. 泰勒公式泰勒公式: (1)2211()2!xe x x o x =+++; (2)221ln(1)()2x x x o x +=-+; (3)341sin ()3!x x x o x =-+; (4)24511cos 1()2!4!x x x o x =-++; (5)22(1)(1)1()2!x x x o x a a a a -+=+++. 五. 常规方法: 前提前提: (1)准确判断准确判断0,,1,0M a ¥¥¥(其它如:00,0,0,¥-¥×¥¥); (2)变量代换(如:1t x=) 1. 抓大弃小抓大弃小()¥¥, 2. 无穷小与有界量乘积无穷小与有界量乘积 (M a ×) (注:1sin 1,x x£®¥) 3. 1¥处理(其它如:000,¥) 4. 左右极限左右极限(包括x ®±¥): (1)1(0)x x ®; (2)()xe x ®¥; 1(0)xe x ®; (3)分段函数: x , []x , max ()f x 5. 无穷小等价替换无穷小等价替换(因式中的无穷小)(注: 非零因子) 6. 洛必达法则洛必达法则 (1)先”处理”,后法则(00最后方法); (注意对比注意对比: 1ln lim 1x x x x ®-与0ln lim 1x x x x ®-) (2)幂指型处理: ()()ln ()()v x v x u x u x e =(如: 1111111(1)x x xx xe e e e -++-=-) 第 3 3 页页共 30 30 页页 (3)含变限积分; (4)不能用与不便用 7. 泰勒公式泰勒公式(皮亚诺余项): 处理和式中的无穷小处理和式中的无穷小处理和式中的无穷小 8. 极限函数极限函数: ()lim (,)n f x F x n ®¥=(Þ分段函数) 六. 非常手段非常手段 1. 收敛准则收敛准则: (1)()lim ()n x a f n f x ®+¥=Þ (2)双边夹: *n n n b a c ££, *,?n n b c a ® (3)单边挤: 1()n n a f a += *21?a a ³ *?n a M £ *'()0?f x > 2. 导数定义导数定义(洛必达?): 0lim'()x ff x x®= 3. 积分和积分和: 10112lim [()()()]()n nf f f f x dx n n nn ®¥+++=ò, 4. 中值定理中值定理: lim[()()]lim '()x x f x a f x a f x ®+¥®+¥+-= 5. 级数和级数和(数一三): (1)1n n a ¥=å收敛lim 0nn a ®¥Þ=, (如2!lim nnn n n ®¥) (2)121lim()n n n n a a a a ¥®¥=+++=å, (3){}n a 与11()n n n a a ¥-=-å同敛散同敛散七. 常见应用: 1. 无穷小比较无穷小比较(等价,阶): *(),(0)?nf x kx x ® (1)(1)()(0)'(0)(0)0,(0)n n f f ffa -=====Û()()!!n nna a f x x x x n n a =+ (2)0()x xn f t dt kt dtòò 2. 渐近线渐近线(含斜): (1)()lim ,lim[()]x x f x a b f x ax x®¥®¥==-()f x ax b a Þ++第 4 4 页页共 30 30 页页 (2)()f x ax b a =++,(10x®) 3. 连续性连续性: (1)间断点判别(个数); (2)分段函数连续性(附:极限函数, '()f x 连续性) 八. [,]a b 上连续函数性质上连续函数性质 1. 连通性连通性: ([,])[,]f a b m M = (注:01l "<<, “平均”值:0()(1)()()f a f b f x l l +-=) 2. 介值定理介值定理: (附: 达布定理) (1)零点存在定理: ()()0f a f b <0()0f x Þ=(根的个数); (2)()0(())'0x a a f x f x dx =Þ=ò. 第二讲:导数及应用(一元)(含中值定理)一. 基本概念: 1. 差商与导数差商与导数: '()f x =0()()lim x f x x f x x®+-; 0'()f x =000()()lim x x f x f x x x ®-- (1)0()(0)'(0)lim x f x f f x ®-= (注:0()lim (x f x A f x ®=连续)(0)0,'(0)f f A Þ==) (2)左右导: ''00(),()f x f x -+; (3)可导与连续; (在0x =处, x 连续不可导; x x 可导) 2. 微分与导数微分与导数: ()()'()()'()f f x x f x f x x o x df f x dx =+-=+Þ= (1)可微Û可导; (2)比较,f df D 与"0"的大小比较(图示); 二. 求导准备: 1. 基本初等函数求导公式基本初等函数求导公式; (注: (())'f x ) 2. 法则法则: (1)四则运算; (2)复合法则; (3)反函数1'dx dy y = 三. 各类求导(方法步骤): 第 5 5 页页共 30 30 页页 1. 定义导定义导: (1)'()f a 与'()x a f x =; (2)分段函数左右导; (3)0()()lim h f x h f x h h®+-- (注: 00()(),x x F x f x x x a ¹ì=í=î, 求:0'(),'()f x f x 及'()f x 的连续性) 2. 初等导初等导(公式加法则): (1)[()]u f g x =, 求:0'()u x (图形题); (2)()()xa F x f t dt =òò, 求:'()F x (注: ((,))',((,))',(())'xbba a a f x t dt f x t dt f t dt òòòòòò) (3)0102(),()x x f x y x x f x <ì=í³î,求''00(),()f x f x -+及0'()f x (待定系数) 3. 隐式隐式((,)0f x y =)导: 22,dy d ydx dx (1)存在定理; (2)微分法(一阶微分的形式不变性). (3)对数求导法. 4. 参式导参式导(数一,二): ()()x x t y y t =ìí=î, 求:22,dy d ydx dx 5. 高阶导高阶导()()n f x 公式: 注: ()(0)n f 与泰勒展式: 2012()nnf x a a x a x a x =+++++()(0)!n nf a n Þ=四. 各类应用: 1. 斜率与切线斜率与切线(法线); (区别: ()y f x =上点0M 和过点0M 的切线) 2. 物理物理: (相对相对)变化率-速度; 3. 曲率曲率(数一二): 23"()(1'())f x f x r =+(曲率半径, 曲率中心, 曲率圆) 4. 边际与弹性边际与弹性(数三): (附: 需求, 收益, 成本, 利润)第 6 6 页页共 30 30 页页五. 单调性与极值(必求导) 1. 判别判别(驻点0'()0f x =): (1) '()0()f x f x ³Þ; '()0()f x f x £Þ; (2)分段函数的单调性分段函数的单调性 (3)'()0f x >Þ零点唯一; "()0f x >Þ驻点唯一(必为极值,最值). 2. 极值点极值点: (1)表格('()f x 变号); (由0002'()'()''()lim 0,lim 0,lim 00xx x x x x f x f x f x x x x x ®®®¹¹¹Þ=的特点) (2)二阶导(0'()0f x =) 注(1)f 与',"f f 的匹配('f 图形中包含的信息); (2)实例: 由'()()()()f x x f x g x l +=确定点“0x x =”的特点. (3)闭域上最值(应用例: 与定积分几何应用相结合, 求最优) 3. 不等式证明不等式证明(()0f x ³) (1)区别: *单变量与双变量单变量与双变量? *[,]x a b Î与[,),(,)x a x Î+¥Î-¥+¥? (2)类型: *'0,()0f f a ³³; *'0,()0f f b £³ (3)注意: 单调性Å端点值Å极值Å凹凸性. (如: max ()()f x M f x M £Û=) 4. 函数的零点个数函数的零点个数: 单调Å介值介值六. 凹凸与拐点(必求导!): 1. "y Þ表格; (0"()0f x =) 2. 应用应用: (1)泰勒估计泰勒估计; (2)'f 单调; (3)凹凸. 七. 罗尔定理与辅助函数: (注: 最值点必为驻点) 1. 结论结论: ()()'()()0F b F a F f x x =Þ==第 7 7 页页共 30 30 页页 2. 辅助函数构造实例辅助函数构造实例: (1)()f x Þ()()x a a F x f t dt=ò (2)'()()()'()0()()()f g f g F x f x g x x x x x +=Þ= (3)()'()()()'()0()()f x fg f g F x g x x x x x -=Þ= (4)'()()()0f f x l x x +=Þ()()()x dxF x e f x l ò=; 3. ()()0()n ff x x =Û有1n +个零点(1)()n fx -Û有2个零点个零点 4. 特例特例: 证明()()n f a x =的常规方法:令()()()n F x f x P x =-有1n +个零点(()n P x 待定) 5. 注: 含12,x x 时,分家!(柯西定理) 6. 附(达布定理): ()f x 在[,]a b 可导,['(),'()]c f a f b "Î,[,]a b x $Î,使:'()f c x = 八. 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理 1. 结论结论: ()()'()()f b f a f b a x -=-; (()(),'()0a b j j x j x <Þ$'>) 2. 估计估计: '()f f x x =九. 泰勒公式(连接,',"f f f 之间的桥梁) 1. 结论结论: 2300000011()()'()()"()()"'()()2!3!f x f x f x x x f x x x f x x x =+-+-+-; 2. 应用应用: 在已知()f a 或()f b 值时进行积分估计值时进行积分估计十. 积分中值定理(附:广义): [注:有定积分(不含变限)条件时使用] 第三讲: 一元积分学一. 基本概念: 1. 原函数原函数()F x : (1)'()()F x f x =; (2)()()f x dx dF x =; (3)()()f x dx F x c =+ò第 8 8 页页共 30 30 页页注(1)()()x aF x f t dt=ò(连续不一定可导); (2)()()()()xx aax t f t dt f t dt f x -ÞÞòò (()f x 连续) 2. 不定积分性质不定积分性质: (1)(())'()f x dx f x =ò; (())()d f x dx f x dx =ò (2)'()()f x dx f x c =+ò; ()()df x f x c=+ò二. 不定积分常规方法 1. 熟悉基本积分公式熟悉基本积分公式熟悉基本积分公式 2. 基本方法基本方法: 拆(线性性) 3. 凑微法凑微法(基础): 要求巧要求巧,简,活(221sin cos x x =+) 如: 211(),,ln ,2dx dx d ax b xdx dx d x a x =+==2dxd x x = 4. 变量代换变量代换: (1)常用(三角代换,根式代换,倒代换): 1sin ,,,1xx t ax b t t e t x =+==+= (2)作用与引伸(化简): 21x x t ±-= 5. 分部积分分部积分(巧用): (1)含需求导的被积函数(如ln ,arctan ,()xaxxf t dtò); (2)“反对幂三指”: ,ln ,n axnx e dxxxdxòò (3)特别: ()xf x dxò (*已知()f x 的原函数为()F x ; *已知已知'()()f x F x =) 6. 特例特例: (1)11sin cos sin cos a x b x dx a x b x ++ò; (2)(),()sin kx p x e dx p x axdxòò快速法; (3)()()n v x dx u x ò 三. 定积分: 1. 概念性质概念性质: (1)积分和式(可积的必要条件:有界, 充分条件:连续) 第 9 9 页页共 30 30 页页 (2)几何意义(面积,对称性,周期性,积分中值) (3)附: ()()b a f x dx M b a £-ò, ()()()bba af xg x dx Mg x dx £òò) (4)定积分与变限积分, 反常积分的区别联系与侧重反常积分的区别联系与侧重 2: 变限积分变限积分()()xa x f t dt F =ò的处理(重点) (1)f 可积ÞF 连续, f 连续ÞF 可导可导 (2)(())'xa f t dt ò()f x =; (()())'()xx aax t f t dt f t dt-=òò; ()()()xa f x dt x a f x =-ò (3)由函数()()xaF x f t dt=ò参与的求导, 极限, 极值, 积分(方程)问题问题 3. N L -公式: ()()()ba f x dx Fb F a =-ò(()F x 在[,]a b 上必须连续!) 注: (1)分段积分分段积分, 对称性(奇偶), 周期性周期性 (2)有理式, 三角式, 根式根式 (3)含()ba f t dt ò的方程. 4. 变量代换变量代换: ()(())'()ba f x dxf u t u t dt ba=òò (1)00()()()aaf x dx f a x dx x a t =-=-òòòò, (2)0()()()[()()]a a aa af x dx f x dx x t f x f x dx--=-=-=+-òòò (如:4411sin dx xpp -+ò) (3)2201sin nn n n I xdx I n p--==ò, (4)2200(sin )(cos )f x dxf x dx pp=òò; 200(sin )2(sin )f x dxf x dx pp=òò, (5)00(sin )(sin )2xf x dx f x dx p pp =òò, 5. 分部积分分部积分分部积分 (1)准备时“凑常数” (2)已知'()f x 或()xaf x =ò时, 求()baf x dx ò 6. 附: 三角函数系的正交性: 第 10 10 页页共 30 30 页页四. 反常积分: 1. 类型: (1)(),(),()aa f x dx f x dx f x dx +¥+¥-¥-¥òòò (()f x 连续) (2)()ba f x dx ò: (()f x 在,,()x a x b x c a c b ===<<处为无穷间断) 2. 敛散; 3. 计算: 积分法积分法ÅN L -公式Å极限(可换元与分部) 4. 特例: (1)11p dx x +¥ò; (2)101pdx xò 五. 应用: (柱体侧面积除外柱体侧面积除外) 1. 面积面积, (1)[()()];b a S f x g x dx=-ò (2)1()dcS f y dy -=ò; (3)21()2S r d b aq q =ò; (4)侧面积:22()1'()b aS f x f x dx p =+ò 2. 体积体积: (1)22[()()]b x a V f x g x dx p =-ò; (2)12[()]2()dby caV f y dyxf x dx p p-==òò (3)0x x V =与0y y V = 3. 弧长弧长: 22()()ds dx dy =+ (1)(),[,]y f x x a b =Î 21'()bas fx dx =+ò (2)12(),[,]()x x t t t t y y t =ìÎí=î 2122'()'()t t s x t y t dt =+ò (3)(),[,]r r q q a b =Î: 22()'()s r r d baq q q=+ò 4. 物理物理(数一,二)功,引力,水压力,质心, 5. 平均值平均值(中值定理): (1)1[,]()ba f ab f x dx b a =-ò; (2)0()[0)lim xx f t dt f x®+¥+¥=ò, (f 以T 为周期:0()Tf t dt f T=ò) 第 11 11 页页共 30 30 页页第四讲: 微分方程一. 基本概念基本概念 1. 常识常识: 通解, 初值问题与特解(注: 应用题中的隐含条件) 2. 变换方程变换方程: (1)令()'""x x t y Dy =Þ=(如欧拉方程) (2)令(,)(,)'u u x y y y x u y =Þ=Þ(如伯努利方程) 3. 建立方程建立方程(应用题)的能力的能力二. 一阶方程: 1. 形式形式: (1)'(,)y f x y =; (2)(,)(,)0M x y dx N x y dy +=; (3)()y a b = 2. 变量分离型变量分离型: '()()y f x g y = (1)解法: ()()()()dyf x dx G y F x Cg y =Þ=+òò (2)“偏”微分方程: (,)zf x y x ¶=¶; 3. 一阶线性一阶线性(重点): '()()y p x y q x += (1)解法(积分因子法): 0()01()[()()]()xx p x dxxx M x ey M x q x dx y M x ò=Þ=+ò (2)变化: '()()x p y x q y +=; (3)推广: 伯努利(数一) '()()y p x y q x y a+= 4. 齐次方程齐次方程: '()yy x=F (1)解法: '(),()y du dx u u xu ux u u x =Þ+=F =F -òò (2)特例: 111222a xb yc dy dx a x b y c ++=++第 12 12 页页共 30 30 页页 5. 全微分方程全微分方程(数一): (,)(,)0M x y dx N x y dy +=且N Mx y¶¶=¶¶ 6. 一阶差分方程一阶差分方程(数三): 1*0()()xx x x xn x xy ca y ay b p x y x Q x b+=ì-=Þí=î 三. 二阶降阶方程二阶降阶方程 1. "()y f x =: 12()y F x c x c =++ 2. "(,')y f x y =: 令'()"(,)dp y p x y f x p dx=Þ== 3. "(,')y f y y =: 令'()"(,)dp y p y y pf y p dy=Þ==四. 高阶线性方程: ()"()'()()a x y b x y c x y f x ++= 1. 通解结构通解结构: (1)齐次解: 01122()()()y x c y x c y x =+ (2)非齐次特解: 1122()()()*()y x c y x c y x y x =++ 2. 常系数方程常系数方程: "'()ay by cy f x ++= (1)特征方程与特征根: 20a b c l l ++= (2)非齐次特解形式确定: 待定系数; (附: ()axf x ke =的算子法) (3)由已知解反求方程. 3. 欧拉方程欧拉方程(数一): 2"'()ax y bxy cy f x ++=, 令2"(1),'tx e x y D D y xy Dy =Þ=-=五. 应用(注意初始条件): 1. 几何应用几何应用(斜率, 弧长, 曲率, 面积, 体积); 注: 切线和法线的截距切线和法线的截距 2. 积分等式变方程积分等式变方程(含变限积分); 可设可设 ()(),()0xa f x dx F x F a ==ò第 13 13 页页共 30 30 页页 3. 导数定义立方程导数定义立方程: 含双变量条件()f x y +=的方程的方程 4. 变化率变化率(速度) 5. 22dv d x F ma dt dt=== 6. 路径无关得方程路径无关得方程(数一): Q Px y ¶¶=¶¶ 7. 级数与方程级数与方程: (1)幂级数求和; (2)方程的幂级数解法:21201,(0),'(0)y a a x a x a y a y =+++== 8. 弹性问题弹性问题(数三) 第五讲: 多元微分与二重积分一. 二元微分学概念二元微分学概念 1. 极限极限, 连续, 单变量连续, 偏导, 全微分, 偏导连续(必要条件与充分条件), (1)000000(,),(,),(,)x y f f x x y y f f x x y f f x y y D =++D =+D =+ (2)lim ,lim ,limy x x y f f f f f xyD D D ==D D (3)22,lim()()x y f df f x f y df x y D -++ (判别可微性判别可微性) 注: (0,0)点处的偏导数与全微分的极限定义: 2. 特例特例: (1)22(0,0)(,)0,(0,0)xyx y f x y ì¹ï+=íï=î: (0,0)点处可导不连续; 第 14 14 页页共 30 30 页页 (2)22(0,0)(,)0,(0,0)xy f x y x y ì¹ï=+íï=î: (0,0)点处连续可导不可微; 二. 偏导数与全微分的计算: 1. 显函数一显函数一,二阶偏导: (,)z f x y = 注: (1)yx 型; (2)00(,)x x y z ; (3)含变限积分含变限积分 2. 复合函数的一复合函数的一,二阶偏导(重点): [(,),(,)]z f u x y v x y = 熟练掌握记号''"""12111222,,,,f f f f f 的准确使用的准确使用 3. 隐函数隐函数(由方程或方程组确定): (1)形式: *(,,)0F x y z =; *(,,)0(,,)0F x y zG x y z =ìí=î (存在定理) (2)微分法(熟练掌握一阶微分的形式不变性): 0x y z F dx F dy F dz ++= (要求要求: 二阶导) (3)注: 00(,)x y 与0z 的及时代入的及时代入 (4)会变换方程. 三. 二元极值(定义?); 1. 二元极值二元极值(显式或隐式): (1)必要条件(驻点); (2)充分条件(判别) 2. 条件极值条件极值(拉格朗日乘数法) (注: 应用) (1)目标函数与约束条件: (,)(,)0z f x y x y j =Å=, (或: 多条件) (2)求解步骤: (,,)(,)(,)L x y f x y x y l lj =+, 求驻点即可. 3. 有界闭域上最值有界闭域上最值(重点). (1)(,){(,)(,)0}z f x y M D x y x y j =ÅÎ=£ (2)实例: 距离问题距离问题第 15 15 页页共 30 30 页页四. 二重积分计算: 1. 概念与性质概念与性质(“积”前工作): (1)Dd s òò, (2)对称性(熟练掌握): *D 域轴对称; *f 奇偶对称; *字母轮换对称字母轮换对称; *重心重心坐标; (3)“分块”积分: *12D D D =; *(,)f x y 分片定义; *(,)f x y 奇偶奇偶 2. 计算计算(化二次积分): (1)直角坐标与极坐标选择(转换): 以“D ”为主; (2)交换积分次序(熟练掌握). 3. 极坐标使用极坐标使用(转换): 22()f x y + 附: 222:()()D x a y b R -+-£; 2222:1x yD a b+£; 双纽线222222()()x y a x y +=- :1D x y +£ 4. 特例特例: (1)单变量: ()f x 或()f y (2)利用重心求积分: 要求: 题型12()Dk x k y dxdy +òò, 且已知D 的面积D S 与重心(,)x y 5. 无界域上的反常二重积分无界域上的反常二重积分(数三) 五: 一类积分的应用(():;;;;f M d D L s WÞW W G S ò): 1. “尺寸”: (1)D Dd S s Ûòò; (2)曲面面积(除柱体侧面); 2. 质量质量, 重心(形心), 转动惯量; 3. 为三重积分为三重积分, 格林公式, 曲面投影作准备. 第六讲: 无穷级数(数一,三) 一. 级数概念级数概念第 16 16 页页共 30 30 页页 1. 定义定义: (1){}n a , (2)12n n S a a a =+++; (3)l im lim n n S ®¥ (如1(1)!n nn ¥=+å) 注: (1)lim nn a ®¥; (2)nq å(或1n a å); (3)“伸缩”级数:1()n n a a +-å收敛{}n a Û收敛. 2. 性质性质: (1)收敛的必要条件: lim 0n n a ®¥=; (2)加括号后发散, 则原级数必发散(交错级数的讨论); (3)221,0n n n n s s a s s s s +®®Þ®Þ®; 二. 正项级数正项级数 1. 正项级数正项级数: (1)定义: 0n a ³; (2)特征: n S ; (3)收敛n S M Û£(有界) 2. 标准级数标准级数: (1)1p n å, (2)ln kn n a å, (3)1ln kn n å 3. 审敛方法审敛方法: (注:222ab a b £+,ln ln baa b=) (1)比较法(原理):np ka n(估计), 如1()nf x dx ò; ()()P n Q n å (2)比值与根值: *1lim n n n u u+®¥ *lim nn n u ®¥ (应用: 幂级数收敛半径计算) 三. 交错级数(含一般项): 1(1)n n a +-å(0n a >) 1. “审”前考察: (1)0?n a > (2)0?n a ®; (3)绝对(条件)收敛? 注: 若1lim 1n n n a a r +®¥=>,则nu å发散发散 2. 标准级数标准级数: (1)11(1)n n +-å; (2)11(1)n pn +-å; (3)11(1)ln n pn +-å 3. 莱布尼兹审敛法莱布尼兹审敛法(收敛?) (1)前提: na å发散; (2)条件: ,0nn a a ®; (3)结论: 1(1)n n a +-å条件收敛. 第 17 17 页页共 30 30 页页 4. 补充方法补充方法: (1)加括号后发散, 则原级数必发散; (2)221,0n n n n s s a s s s s +®®Þ®Þ®. 5. 注意事项注意事项: 对比对比对比 na å; (1)nna -å; na å; 2n a å之间的敛散关系之间的敛散关系四. 幂级数: 1. 常见形式常见形式: (1)nn a x å, (2)0()n n a x x -å, (3)20()nn a x x -å 2. 阿贝尔定理阿贝尔定理: (1)结论: *x x =敛*0R x x Þ³-; *x x =散*0R x x Þ£- (2)注: 当*x x =条件收敛时*R x x Þ=- 3. 收敛半径收敛半径,区间,收敛域(求和前的准备) 注(1),nn n n a na x x n åå与n n a x å同收敛半径同收敛半径 (2)nn a x å与20()nn a x x -å之间的转换之间的转换 4. 幂级数展开法幂级数展开法: (1)前提: 熟记公式(双向,标明敛域) (2)分解: ()()()f x g x h x =+(注:中心移动) (特别: 021,x x ax bx c=++) (3)考察导函数: ()'()g x f x 0()()(0)xf xg x dx fÞ=+ò (4)考察原函数: 0()()xg xf x dxò()'()f x g x Þ= 5. 幂级数求和法幂级数求和法(注: *先求收敛域, *变量替换变量替换): (1)(),S x =+åå (2)'()S x =,(注意首项变化) (3)()()'S x =å, (4)()"()"S x S x Þ的微分方程的微分方程第 18 18 页页共 30 30 页页 (5)应用:()(1)n n n n a a x S x a SÞ=Þ=ååå. 6. 方程的幂级数解法方程的幂级数解法方程的幂级数解法 7. 经济应用经济应用(数三): (1)复利: (1)nA p +; (2)现值: (1)nA p -+ 五. 傅里叶级数(数一): (2T p =) 1. 傅氏级数傅氏级数(三角级数): 01()cos sin 2n n n a S x a nx b nx ¥==++å 2. Dirichlet 充分条件(收敛定理): (1)由()()f x S x Þ(和函数) (2)1()[()()]2S x f x f x =-++ 3. 系数公式系数公式: 01()cos 1(),,1,2,3,1()sin n n a f x nxdxa f x dx nb f x nxdx ppp pp p p pp ---ì=ïï==íï=ïîòòò 4. 题型题型: (注: ()(),?f x S x x =Î) (1)2T p =且(),(,]f x x p p =Î-(分段表示) (2)(,]x p p Î-或[0,2]x p Î (3)[0,]x p Î正弦或余弦正弦或余弦 *(4)[0,]x p Î(T p =) *5. 2T l = 6. 附产品附产品: ()f x Þ01()cos sin 2n n n a S x a nx b nx ¥==++å 第七讲: 向量,偏导应用与方向导(数一) 一. 向量基本运算向量基本运算第 19 19 页页共 30 30 页页 1. 12k a kb +; (平行b a l Û=) 2. a ; (单位向量(方向余弦) 1(cos ,cos ,cos )aaaa b g =) 3. a b ×; (投影:()a a b b a ×=; 垂直垂直:0a b a b ^Û×=; 夹角夹角:(,)a b ab a b ×=) 4. a b ´; (法向:,n a b a b=´^; 面积面积:S a b =´) 二. 平面与直线平面与直线 1.平面平面P (1)特征(基本量): 0000(,,)(,,)M x y z n A B C Å= (2)方程(点法式): 000:()()()00A x x B y y C z z Ax By Cz D p -+-+-=Þ+++= (3)其它: *截距式截距式1x y za b c++=; *三点式三点式三点式 2.直线直线L (1)特征(基本量): 0000(,,)(,,)M x y z s m n p Å= (2)方程(点向式): 000:x x y y z z L m n p ---== (3)一般方程(交面式): 1111222200A x B y C z D A x B y C z D +++=ìí+++=î (4)其它: *二点式二点式; *参数式参数式;(附: 线段AB 的参数表示:121121121()(),[0,1]()x a a a t y b b b t t z c c c t=+-ìï=+-Îíï=+-î) 3. 实用方法实用方法: (1)平面束方程: 11112222:()0A x B y C z D A x B y C z D p l +++++++=第 20 20 页页共 30 30 页页 (2)距离公式: 如点如点0(,)M x y 到平面的距离000222Ax By Cz Dd A B C+++=++ (3)对称问题; (4)投影问题. 三. 曲面与空间曲线(准备) 1. 曲面曲面曲面 (1)形式S : (,,)0F x y z = 或(,)z f x y =; (注: 柱面(,)0f x y =) (2)法向(,,)(cos ,cos ,cos )x y z n F F F a b g =Þ (或(,1)x y n z z =--) 2. 曲线曲线曲线 (1)形式():()()x x t y y t z z t =ìïG =íï=î, 或(,,)0(,,)0F x y z G x y z =ìí=î; (2)切向: {'(),'(),'()}s x t y t z t = (或12s n n =´) 3. 应用应用应用 (1)交线, 投影柱面与投影曲线; (2)旋转面计算: 参式曲线绕坐标轴旋转参式曲线绕坐标轴旋转; (3)锥面计算. 四. 常用二次曲面常用二次曲面 1. 圆柱面圆柱面: 222x y R += 2. 球面球面: 2222x y z R ++= 变形: 2222x y R z +=-, 222()z R x y =-+, 3. 锥面锥面: 22z x y =+ 变形: 222x y z +=, 22z a x y =-+ 4. 抛物面抛物面: 22z x y =+, 第 21 21 页页共 30 30 页页变形: 22x y z +=, 22()z a x y =-+ 5. 双曲面双曲面: 2221x y z +=± 6. 马鞍面马鞍面: 22z x y =-, 或z xy = 五. 偏导几何应用偏导几何应用 1. 曲面曲面曲面 (1)法向: (,,)0(,,)x y z F x y z n F F F =Þ=, 注: (,)(,1)x y z f x y n f f =Þ=- (2)切平面与法线: 2. 曲线曲线曲线 (1)切向: (),(),()(',',')x x t y y t z z t s x y z ===Þ= (2)切线与法平面切线与法平面 3. 综合综合: :G 00F G =ìí=î , 12s n n=´ 六. 方向导与梯度(重点) 1. 方向导方向导(l 方向斜率): (1)定义(条件): (,,)(cos ,cos ,cos )l m n p a b g =Þ (2)计算(充分条件:可微): cos cos cos x y z uu u u la b g ¶=++¶ 附: 0(,),{cos ,sin }z f x y l q q==cos sin x y z f f lq q ¶Þ=+¶ (3)附: 2222cos 2sin cos sin xx xy yy f f f f lq q q q¶=++¶ 2. 梯度梯度(取得最大斜率值的方向) G : (1)计算: (2)结论结论()b 取l G =为最大变化率方向; 第 22 22 页页共 30 30 页页 ()c 0()G M 为最大方向导数值. 第八讲: 三重积分与线面积分(数一)一. 三重积分(fdV Wòòò) 1. W 域的特征(不涉及复杂空间域): (1)对称性(重点): 含: 关于坐标面; 关于变量; 关于重心关于重心 (2)投影法: 22212{(,)}(,)(,)xyD x y x y R z x y z z x y =+£Å££ (3)截面法: 222(){(,)()}D z x y x y R z a z b =+£Å££ (4)其它: 长方体长方体, 四面体四面体, 椭球椭球椭球 2. f 的特征: (1)单变量()f z , (2)22()f x y +, (3)222()f x y z ++, (4)f ax by cz d =+++ 3. 选择最适合方法选择最适合方法: (1)“积”前: *dvWòòò; *利用对称性(重点) (2)截面法(旋转体): ()baD z I dzfdxdy=òòò(细腰或中空, ()f z , 22()f x y +) (3)投影法(直柱体): 21(,)(,)xyz x y z x y D I dxdyfdz=òòò (4)球坐标(球或锥体): 220sin ()RI ddf d paqj jr r=×××òòò, (5)重心法(f ax by cz d =+++): ()I ax by cz d V W =+++ 4. 应用问题应用问题: (1)同第一类积分: 质量质量, 质心, 转动惯量, 引力引力 (2)Gauss 公式公式二. 第一类线积分(Lfds ò) 1. “积”前准备: 第 23 23 页页共 30 30 页页 (1)Lds L =ò; (2)对称性; (3)代入“L ”表达式表达式 2. 计算公式计算公式: 22()[,]((),())'()'()()b a L x x t t a b fds f x t y t x t y t dt y y t =ìÎÞ=+í=îòò 3. 补充说明补充说明: (1)重心法: ()()Lax by c ds ax by c L ++=++ò; (2)与第二类互换: LLA ds A drt ×=×òò 4. 应用范围应用范围应用范围 (1)第一类积分第一类积分 (2)柱体侧面积柱体侧面积 (),Lz x y ds ò三. 第一类面积分(fdS åòò) 1. “积”前工作(重点): (1)dS S=S òò; (代入代入:(,,)0F x y z S =) (2)对称性(如: 字母轮换, 重心) (3)分片分片 2. 计算公式计算公式: (1)22(,),(,)(,,(,))1xyxy x yD z z x y x y D I f x y z x y z z dxdy =ÎÞ=++òò (2)与第二类互换: A ndSA d S S S×=×òòòò四: 第二类曲线积分(1): (,)(,)LP x y dx Q x y dy +ò (其中其中L 有向) 1. 直接计算直接计算: ()()x x t y y t =ìí=î,2112:['()'()]t t t t t I Px t Qy t dt®Þ=+ò 常见(1)水平线与垂直线; (2)221x y += 2. Green 公式: 第 24 24 页页共 30 30 页页 (1)()LDQ P Pdx Qdy dxdy xy¶¶+=-¶¶òòò; (2)()L A B ®ò: *P Q y y ¶¶=Þ¶¶换路径; *P Q y y ¶¶¹Þ¶¶围路径围路径 (3)Lò(x y Q P =但D 内有奇点) *LL =òò(变形) 3. 推广推广(路径无关性):P Qy y ¶¶=¶¶ (1)Pdx Qdy du +=(微分方程)()BA L AB u ®Û=ò(道路变形原理) (2)(,)(,)LP x y dx Q x y dy +ò与路径无关(f 待定): 微分方程微分方程. 4. 应用应用应用功(环流量):IF dr G=×ò (G 有向t ,(,,)F P Q R =,(,,)d r ds dx dy dz t ==) 五. 第二类曲面积分: 1. 定义定义: Pdydz Qdzdx RdxdyS ++òò, 或(,,)R x y z dxdySòò (其中其中S 含侧) 2. 计算计算: (1)定向投影(单项): (,,)R x y z dxdySòò, 其中:(,)z z x y S =(特别:水平面); 注: 垂直侧面, 双层分隔双层分隔 (2)合一投影(多项,单层): (,,1)x y n z z =-- (3)化第一类(S 不投影): (cos ,cos ,cos )n a b g = 3. Gauss 公式及其应用: (1)散度计算: P Q R div A x y z¶¶¶=++¶¶¶ (2)Gauss 公式: S 封闭外侧, W 内无奇点内无奇点 (3)注: *补充“盖”平面:0SS +òòòò; *封闭曲面变形Sòò(含奇点) 4. 通量与积分通量与积分: 第 25 25 页页共 30 30 页页A d S åF =×òò (S 有向n ,(),,A P QR =,(,,)d S ndS dydz dzdx dxdy ==) 六: 第二类曲线积分(2): (,,)(,,)(,,)P x y z dx Q x y z dy R x y z dz G++ò 1. 参数式曲线参数式曲线G : 直接计算(代入) 注(1)当0rot A =时, 可任选路径; (2)功(环流量):IF drG=×ò 2. Stokes 公式: (要求: G 为交面式(有向), 所张曲面所张曲面å含侧) (1)旋度计算: (,,)(,,)R A P Q R x y z¶¶¶=Ñ´=´¶¶¶ (2)交面式(一般含平面)封闭曲线: 00F G =ìÞí=î同侧法向{,,}x y z n F FF =或{,,}x y zG G G ; (3)Stokes 公式(选择): ()A drA ndSG å×=Ñ´×òòò (a )化为Pdydz Qdzdx RdxdyS++òò; (b )化为(,,)R x y z dxdySòò; (c )化为fdS åòò高数重点知识总结1、基本初等函数：反函数(y=arctanx)，对数函数(y=lnx)，幂函数(y=x)，指数函数(xay=)，三角函数(y=sinx)，常数函数(y=c) 2、分段函数不是初等函数。