第八章 图论___习题课

B E
C F
ADECF
ADECF
(8)求右图的图 的强分图 单侧分图和弱分图 求右图的图G的强分图 单侧分图和弱分图. 求右图的图 的强分图,单侧分图和弱分图 3 4 6 找强分图:在回路中的结点构成 解:找强分图 在回路中的结点构成 找强分图 一个强分图,其余结点自己构成各自 一个强分图 其余结点自己构成各自 2 1 5 的强分图. 的强分图 强分图有:{1,2,3},{4},{5},{6}各自导出的子图 各自导出的子图. 强分图有 各自导出的子图 单侧分图:{1,2,3,4,5,6}导出的子图 导出的子图. 单侧分图 导出的子图 弱分图: G本身 弱分图 本身. 本身 P300(3)求右图的邻接矩阵 可达矩阵和距离矩阵 求右图的邻接矩阵,可达矩阵和距离矩阵 求右图的邻接矩阵 可达矩阵和距离矩阵. 解: 00000 v2 v1 10110 v5 10000 A= v3 v4 00100 00000
(7)a)一个完全图 6 的边涂上红色或者蓝色 证明对于任何 一个完全图K 的边涂上红色或者蓝色,证明对于任何 一个完全图 一种随意涂边的方法,总有一个完全图 总有一个完全图K 一种随意涂边的方法 总有一个完全图 3 的所有边被涂上 红色,或者涂上蓝色 或者涂上蓝色. 红色 或者涂上蓝色 证明:因为 中任何结点都有5条边与之关联 因为K 条边与之关联, 证明 因为 6中任何结点都有 条边与之关联 这5条边图 条边图 上红色或者蓝色, 那么必有要么3边是红色 要么3边是蓝 边是红色,要么 上红色或者蓝色 那么必有要么 边是红色 要么 边是蓝 如图所示.我们假设 色, 如图所示 我们假设 3条边涂上红色 而这 条 条边涂上红色 而这3条 条边涂上红色,而这 边的另一端的3个结点之 边的另一端的 个结点之 条边构成一个三角形, 间3条边构成一个三角形 条边构成一个三角形 下面考察这3条边涂的颜色 如果至少有一条边是涂红色, 条边涂的颜色, 下面考察这 条边涂的颜色 如果至少有一条边是涂红色 则与上边两条红色边构成一个红色的三角形.如果没有一 则与上边两条红色边构成一个红色的三角形 如果没有一 条涂红色,那么这个下面的三角形就是全是蓝色的边 那么这个下面的三角形就是全是蓝色的边. 条涂红色 那么这个下面的三角形就是全是蓝色的边 对于开始时3边都涂蓝色 类似证明结论成立. 边都涂蓝色,类似证明结论成立 对于开始时 边都涂蓝色 类似证明结论成立
b)是否有 个结点或 个结点的自补图 是否有3个结点或 个结点的自补图. 是否有 个结点或6个结点的自补图 不存在.因为 的边数分别是3和 解:不存在 因为 3与K6 的边数分别是 和15. 不存在 因为K
P287(3)证明如果图 是不连通的 则它的补图 － 是连通的 证明如果图G是不连通的 证明如果图 是不连通的,则它的补图 G 是连通的. － 证明:任取 任取u,v∈ 如果u与 不邻接 不邻接,则在 中有边(u,v) 证明 任取 ∈V(G), 如果 与v不邻接 则在 G中有边 － 是连通的. 邻接, 所以在G 中 u与v是连通的 如果在 中u与v邻接 则u与v 与 是连通的 如果在G中 与 邻接 与 的同一个连通分支, 是不连通的,所以 在G的同一个连通分支 由于 是不连通的 所以 必有另 的同一个连通分支 由于G是不连通的 所以G必有另 一个连通分支G(V1), 设w∈V1(G), 于是在 － 中必有边 一个连通分支 ∈ G － － (u,w),(w,v),于是在 G 中必有路 是连通的. 于是在 中必有路uwv, 所以 G 是连通的
10 1 1 ∞ D= 1 ∞ 0 ∞ ∞ 1 ∞1 0 ∞
∞∞∞∞ 0
距离矩阵D: 将各个A 中非0元素取最小的 元素取最小的; 距离矩阵 将各个 i中非 元素取最小的 主对角线为0; 主对角线为 主对角线以外的0变成 变成∞. 主对角线以外的 变成
P311(1)判定下面图是否能一笔画 判定下面图是否能一笔画. 判定下面图是否能一笔画
(3)用韦尔奇 鲍威尔法 对下面各图着色 求图的着色数 用韦尔奇.鲍威尔法 对下面各图着色. 求图的着色数. 用韦尔奇 鲍威尔法,对下面各图着色 (a)图课堂已作 图课堂已作. 图课堂已作 C• •D (b)结点按照度数降序排序 结点按照度数降序排序: 结点按照度数降序排序 B• B,F,A,C,E,G,D,H •E A• 可见此图是4色的 色的. 可见此图是 色的 H• •F G•
f
a b c d e f g h i j
(5)一个图与它的补图同构 称为自补图 一个图与它的补图同构,称为自补图 一个图与它的补图同构 称为自补图. c).一个图是自补图 其对应的完全图的边数是偶数 一个图是自补图,其对应的完全图的边数是偶数 一个图是自补图 其对应的完全图的边数是偶数. 证明:此命题显然成立 因为一个图与其补图同构,则它们 此命题显然成立,因为一个图与其补图同构 证明 此命题显然成立 因为一个图与其补图同构 则它们 的边数相等, 的边数相等 于是它们对应完全图的边数为它们边数的和 所以该完全图的边数是偶数. 所以该完全图的边数是偶数 a).给出 个结点的自补图 给出5个结点的自补图 给出 个结点的自补图.
b)证明 个人的人群中 或者有 个人相互认识 或者有 个 证明6个人的人群中 或者有3个人相互认识 或者有3个 证明 个人的人群中,或者有 个人相互认识,或者有 人彼此陌生. 人彼此陌生 证明:以 个人为结点画一个 个人为结点画一个K 证明 以6个人为结点画一个 6图,如果两个相互认识就把 如果两个相互认识就把 相应边涂上红色,如果彼此陌生就涂上蓝色 如果彼此陌生就涂上蓝色. 相应边涂上红色 如果彼此陌生就涂上蓝色 由a)的结论得 的结论得 必有三个人它们构成的三角形的三条边要么都涂上红色, 必有三个人它们构成的三角形的三条边要么都涂上红色 要么都涂上蓝色. 要么都涂上蓝色 P327(3)一棵树 有n2个结点度数为2,n3个结点度数为3,… 一棵树T有 个结点度数为 个结点度数为 一棵树 nk个结点度数为 问它有多少个度数为 的结点 个结点度数为k,问它有多少个度数为 的结点? 问它有多少个度数为1的结点 设有n 的结点, 个结点,e条边 解:设有 1个度数为 的结点 又令 有v个结点 条边 于是 设有 个度数为1的结点 又令T有 个结点 条边.于是 v= n1+n2+…+nk T的所有结点度数总和 n1+2n2+…+knk=2e 的所有结点度数总和= 的所有结点度数总和 因e=v-1 ∴ n1+2n2+…+knk=2(n1+n2+…+nk -1) ∴ n1= n3+2n4+…+(k-2)nk+2
(3) n取何值时 完全图 n是个欧拉图 取何值时,完全图 取何值时 完全图K 是个欧拉图. 因为K 个结点, 数是n-1, 要使 为 要使n-1为 解: 因为 n有n个结点 每个结点的度数是 个结点 每个结点的度数是 偶数, 必使n=3,5,7,…等奇数 等奇数. 偶数 必使 等奇数 (6)a)画一个有一条欧拉回路和一条汉密尔顿回路的图 画一个有一条欧拉回路和一条汉密尔顿回路的图. 画一个有一条欧拉回路和一条汉密尔顿回路的图 b画一个有一条欧拉回路但没有一条汉密尔顿回路的图 画一个有一条欧拉回路但没有一条汉密尔顿回路的图. 画一个有一条欧拉回路但没有一条汉密尔顿回路的图 c)画一个没有一条欧拉回路但有一条汉密尔顿回路的图 画一个没有一条欧拉回路但有一条汉密尔顿回路的图. 画一个没有一条欧拉回路但有一条汉密尔顿回路的图
(1)证明 若G是每一个面至少由 证明:若 是每一个面至少由 是每一个面至少由k(k≥3)条边围成的连通平 证明 条边围成的连通平 k (v − 2) 面图,则 这里v,e分别是 的结点数和边数. 面图 则, e ≤ k − 2 ,这里 分别是 的结点数和边数 这里 分别是G的结点数和边数 证明:设 中有 个面,因为 中有r个面 因为G中所有面的边界长总和为边数 证明 设G中有 个面 因为 中所有面的边界长总和为边数 e 所以r≤ 2,代入欧拉公式得 代入欧拉公式得: 的2倍. 所以 2e≥kr, 所以 倍 代入欧拉公式得 k k −2 k −2 k ( v − 2) v-e+2 e ≥2
13 12 2 11 18 19 1 14 3 17 16 a 15 20 29 28 10 4 23b 24 25 9 22 21 27 26 5 8 7 6 因为这两个图中,都只有两个奇数度的结点 有欧拉路, 所 因为这两个图中 都只有两个奇数度的结点, 有欧拉路 都只有两个奇数度的结点 以可以一笔画. 以可以一笔画 (2)构造一个欧拉图 使得结点数 v和边数 满足 构造一个欧拉图,使得结点数 和边数 满足: 和边数e满足 构造一个欧拉图 a)v,e奇偶性一样 奇偶性一样. b)v,e奇偶性相反 奇偶性相反. 奇偶性一样 奇偶性相反
00000 10110 A= 10000 A2 = 00100 00000
00000 10100 00000 A3 = 10000 00000
00000 10000 00000 A4 = 00000 00000
0 ∞∞∞∞
00000 00000 00000 00000 00000
P=A∨A(2)∨A(3)∨A(4)∨A(5) ∨ 00000 10110 P= 10000 10100 00000
k
v− k e≥2 v−2≥ k e e≤ k −2
(5)如果可能 把下面画成平面图,否则说明它包含一个与 如果可能, 把下面画成平面图 否则说明它包含一个与 如果可能 K5或K3,3在2度结点内同构子图 度结点内同构子图. 度结点内同构子图
(7)证明 对于 5中任何边 K5 -e 是平面图 证明a)对于 中任何边e, 是平面图. 证明 对于K b).对于 3,3中任何边 K3,3 -e 是平面图 对于K 中任何边e, 是平面图. 对于 1 2 P321(1)画出下面各图的对偶图 画出下面各图的对偶图. 画出下面各图的对偶图 4 3 5 6 1 2 4 3 5 6
第八章
习
题Biblioteka Baidu
课
P279(1)证明任何有向简单完全图中 所有结点的入度平方 证明任何有向简单完全图中,所有结点的入度平方 证明任何有向简单完全图中 之和等于所有结点出度平方之和. 设图有 个结点) 设图有n个结点 之和等于所有结点出度平方之和 (设图有 个结点 证明: 因有向简单完全图中每个结点v: 证明 因有向简单完全图中每个结点 degi(v) =dego(v) =n-1 ,所有结点的入度平方之和等于所有结点出度平方之和 所有结点的入度平方之和等于所有结点出度平方之和. 故,所有结点的入度平方之和等于所有结点出度平方之和. 或者∑(degi(v))2 -∑(dego(v))2 = ∑[(degi(v))2 -(dego(v))2] 或者 = ∑{[(degi(v))+(dego(v))] [(degi(v)) -(dego(v))]} = n2(n-1)∑{[(degi(v)) -(dego(v))]} = 2n(n-1) {∑degi(v) -∑dego(v)}=2n(n-1)0=0 所以∑(degi(v))2 =∑(dego(v))2 所以
(5)分析右图 求 分析右图,求 分析右图 A a)从A到F的所有通路 的所有通路. 从 到 的所有通路 D 通路:路中结点不同 路中结点不同. 通路 路中结点不同 ABCF ABEF ADEF ABECF ABCEF ADEBCF b)从A到F的所有迹 的所有迹. 从 到 的所有迹 迹:路中边不同 路中边不同. 路中边不同 ABCF ABEF ADEF ABECF ABCEF ADEBCF ADEBCEF c) A和F之间的距离 之间的距离. 和 之间的距离 距离:就是最短的路长 就是最短的路长. 距离 就是最短的路长 A和F之间的距离为 之间的距离为3. 和 之间的距离为
P317(3)证明在有 个结点 条边的连通平面简单图 中, 证明在有6个结点 条边的连通平面简单图G中 证明在有 个结点12条边的连通平面简单图 每个面由3条边围成 条边围成. 每个面由 条边围成 证明:因为 中所有面的边界长总和为边数的2倍 因为G中所有面的边界长总和为边数的 证明 因为 中所有面的边界长总和为边数的 倍. 即 ∑deg(r)=2×12=24, 由欧拉公式得 由欧拉公式得;r=2-v+e=2-6+12=8 × 而G中无环和平行边 24/8=3 所以每个面由3条边围成 中无环和平行边, 所以每个面由 条边围成. 中无环和平行边 条边围成
(2)画出右图的补图 画出右图的补图. 画出右图的补图
(4)证明下面两个图是同构的 证明下面两个图是同构的. 证明下面两个图是同构的
a b g f j e
a b c d f i g h e j
h c
i d
再验证边之间的对应关系. 再验证边之间的对应关系
a b c d e f g h i j
V1→ V1