第二讲：计算模型

q2 0 0 H q1 ；
q2 1 1 H q1 ； 我们可以画出对应的状态转换图，然后使用一些输入 输出对，来判断该图灵机的功能。
图灵可计算函数
可以在图灵机上构造实现的函数，称为图 灵可计算函数。以下函数都是图灵可计算 的，大家可以思考一下具体的构造过程。 自然数如何编码？ 零函数： 后继函数： 射影函数：
数字逻辑与集成电路
数字逻辑是数字电路逻辑设计的简称，其内容是应用数字 电路进行数字系统逻辑设计。电子数字计算机是由具有各 种逻辑功能的逻辑部件组成的，这些逻辑部件按其结构可 分为组合逻辑电路和时序逻辑电路。组合逻辑电路是由与 门、或门和非门等门电路组合形成的逻辑电路；时序逻辑 电路是由触发器和门电路组成的具有记忆能力的逻辑电路。 有了组合逻辑电路和时序逻辑电路，再进行合理的设计和 安排，就可以表示和实现布尔代数的基本运算。而布尔代 数只使用1（真）和0（假）两个数，这样，当二进
-m
＝ ∑
i＝n
ki×2i
其中，2称为二进制的基数，ki∈{0,1},m,n为正整数。
进一步，读者可从十进制数和二进制数的一般表示公 式得到启发，将这种表示推广到更一般的任意进制，不同 之处只是基数不一样。 二进制的运算规则比十进制的运算规则简单得多。只 要建立两种进制的数据之间的转换方法，那么，二进制将 具有更多的优势。计算机的理论基础是逻辑和代数。当二 进制与同样只使用“真”和“假”两个值的逻辑代数建立 了联系后，这就为计算机的逻辑设计提供了便利的工具。
计算模型的实现：存储程序式 计算机
图灵机的带子可以看成是计算机的存储设备，数据可 以存储在上面，也可以根据需要擦去。图灵机的命令相当 于一组事先设计、存储好了的程序，它们在控制器安排下， 决定读写头的每一步操作。这样一种数学机器，如果不考 虑它的实用性，就思想和原理而言，确实包含了存储程序 的重要思想。 图灵机诞生后不到十年，在以冯·诺依曼为代表的一批 科学家的努力下，现代存储程序式电子数字计算机的基本 结构与工作原理被确定下来。它主要由如下的五部分组成 （见P25图）：存储器，运算器，控制器，输入设备，输出 设备
制的加法、乘法等运算与布尔代数的运算建立了对应关系 后，就可以用逻辑部件来实现二进制数据的加法、乘法等 各种运算。 例 基本的“与”、“或”、“非”门电路。
“与”门电路一般有两个以上的输入和一个输出。图 (a)表示了一个“与”门电路，其输出P和输入A、B、C之 间的逻辑关系可用下面的式子表示： P＝A· C B·

图灵机的计算能力等价于递归函数的计算能 力 如何来证明递归可计算的函数，一定是图 灵可计算的？ 三个初始函数是图灵可计算的。 三个算子形成的复合函数也是图灵可计算 的。 如何来证明图灵可计算的函数，一定是递 归可计算的？

图灵机的优点
图灵机的计算能力与其他计算模型是等价 的。 图灵机的优点是模拟人类的纸和笔的功能， 比较符合人类对于“何为计算”的直观理 解。 图灵机简洁的构造和运行原理隐含了存储 程序的原始思想，深刻地揭示了现代通用 电子数字计算机最核心的内容。
“与”、“或”、“非”三种门电路示意图
P P P ↑ ↑ ↑ ┌──┻──┓ ┌──┻──┓ ┌──┻──┓ │ · │ │ ＋ │ │ ～ │ └┳─┳─┳┛ └┳─┳─┳┛ └──┳──┛ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ A B C A B C A
（a） （b） （c）
将布尔代数和前面谈到的二进制联系起来，我们可以 看出，“与”、“或”、“非”门电路的作用与集合运算 “交”、“并”、“补”是一致的。一旦门电路中仅使用 两个电平信号0和1，引入二进制及其运算规则，那么，用
电路设计中，用高电平信号表示1，低电平信号表示0， 那么，“与”门电路只有当输入A、B、C同时为1时，输出P 才为1，否则，P为0。 “或”门电路可以用图(b)表示。一般地说，“或” 门电路是一种具有逻辑加法功能的电路，它有两个以上的
一个输出，其输出P和输入A、B、C之间的逻辑关系可用下 面的式子表示： P＝A＋B＋C 在具体的电路设计中，如果我们用高电平信号表示1， 低电平信号表示0，那么，“或”门电路仅当输入A、B、C 中有一个为1时，输出P就为1，否则，P为0。 “非”门电路可以用图(c)表示。一般地说，“非” 门电路是一种具有逻辑取反功能的电路，它只有一个输入 和一个输出，其输出P和输入A之间的逻辑关系可用下面的 式子表示： P＝～A 在具体的电路设计中，如果我们用高电平信号表示1， 低电平信号表示0，那么，“非”门电路当输入A为0时，输 出P就为1，否则，当输入A为1时，输出P为0。
例如，十进制数与二进制数中的一些可作如下对应： 十进制 (0) (1) (2) (3) (4) (5) … … … (9) (10)
… … …
二进制 (0) (1) (10) (11) (100) (101) (1001) (1010)
一般地，任何一个二进制数S都可以表示为：
S＝knkn-1 … k0. … k-m ＝kn×2n＋kn-1×2n-1＋…＋k0×20＋…＋k-m×2-m
常用函数




加函数可以如下递归定义： f1(m,0)=m; f1(m,n+1)=s(m+n); 乘函数可以如下定义： f2(m,0)=z(m); f2(m,n+1)=f1(m,f2(m,n)); 减一函数可以如下定义： p(0)=0; p(n+1)=n; 常用的函数，都可以这样定义出来。
计算模型之二：图灵机
控制器的命令可表示为： （状态，符号）→（写符号，移动，状态）；
┬─┬─┬─┬─┬─┬─┬─┬─┬─┬─┬─┬── │０│０│０│１│１│１│０│１│１│１│ ┴─┴─┴─┴─┴─┴─┴─┴─┴─┴─┴─┴── ↑ ┌─┐ │ │ ┌┘ └┐ │控制器│ └───┘
输入：图灵机运行前，工作带上的内容就是输入。（输入 之前用一个空格隔开，连续遇到两个空格表示结束）


它由一个控制器和一条两端可无限延长的工作带组成： 工作带起着存储器的作用，它被划分为无穷多个可写可擦 的方格。 控制器则可以在带上左右移动，控制带有一个读写头，读 写头可以读出当前方格内的符号，然后根据预先设计的状 态转换指令，选择改写或抹去这一符号，然后选择往左移 一格，往右移一格或者不移动，并进入下一个状态。当状 态转换到停机状态，则停止运行。
计算模型

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所谓计算模型是刻划计算这一概念的一种抽 象的形式系统或数学系统，而算法是对计算 过程步骤（或状态的一种刻划），是计算方 法的一种能行实现方式。 由于观察计算的角度不同，产生了各种不同 的计算模型，比如递归函数，图灵机， lambda函数等。 有趣的是，这些计算模型的计算能力被证明 是等价的。
合就可以实现二进制的各种运算，而对复杂电路的计算， 如电路的化简就有可能通过布尔代数的方法进行。事实上 也正是如此。
计算与计算机



由此可见，真正构成计算机科学基本的、核心的 内容是围绕计算而展开的大量带有规律性的知识， 而不是具体的实现技术。 因为，在将来，我们完全可能发展一种能表示二 进制数及其运算的新技术，它比今天的微电子技 术精度更高、生产价格更便宜。如果真是那样， 这种技术就可能取代微电子技术在计算科学中的 地位。 因此，我们常说，从这个意义上讲，软件技术比 微电子技术对计算科学更重要一些。
计算模型之一：递归函数
递归函数论是由厄布朗、哥德尔、克林等发展起来的 计算理论。 三个初始函数：
(1) s(x)＝x＋1
(2) z(x)＝0
（后继函数）；
（零函数）； （射影函数）。
(3) Pj(n)(x1，x2，…，xn)＝xj
三个算子：复合算子，递归算子，取极小算子。 由初始函数通过有限次使用算子可以构造的函数，称 为递归函数。
输出：图灵机运行后进入结束状态，那么，图灵机就停机， 此时带上的内容就是计算的输出结果。
例 M的字母表A＝{0，1，b}，b表示空格。状态集Q＝ {q1，q2，q3}，其中，指定q1是开始状态，q3是终止状态。 M的程序（控制器的命令）如下： q1 0 1 R q1 ； q1 1 0 R q1 ； q1 b b R q2 ； q2 b b L q3 ；

二进制
也许是图灵机读写带上只出现两个符号启发了研究者，在 当时的技术条件下，从便于元器件的设计和制造考虑，计 算机的研制很自然地选择了二进制。后来的实践也证明了 这种选择具有极大的优点。 十进制数的表示 例如，1997.630这个数可以写成： 1997.630＝1×103＋9×102＋9×101＋7×100
＋6×10-1＋3×10-2＋0×10-3
一般地，任何一个十进制数S都可以表示为： S＝knkn-1 … k0.… k-m ＝kn×10n＋kn-1×10n-1＋…＋k0×100＋…＋k-m×10-m
-m
＝ ∑
i＝n
ki×10i
其中，10称为十进制的基,ki∈{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}， m，n为正整数。小数点的位置不言自明。 二进制和十进制一样，是一种数制，它用于表示数的 符号（数字）由于在书写中的位置不同而具有不同的值。 二进制表示数的符号只有两个，即0和1，其数值与十进制 中的0和1相同。此外，与十进制不同之处在于二进制数是 逢二进一。