统计学考题集及答案

练习 1. 采用简单随机重置抽样的方法，从 2000 件产品中抽查 200 件，其中合格品 190 件。要求：
（1） 计算合格品率及其抽样平均误差。 （2） 以 95.45%概率保证程度，对合格品率和合格品数目进行区间估计。 （3） 如果合格品率的极限误差为 2.31%，则其概率保证程度是多少？
解：已知 N = 2 000(件) n = 200 (件) F (Z ) = 95.45% ∆ = 2.31%
设：H0 ： X = 10 000
H1 ： X > 10 000 ( 单侧、Z 检验 )
α、= 0.01 F (Zα ) = 1 − 2 × 0.01 = 0.98 Zα = 2.33
Z = x − X = 10 150 − 10 000 = 3 σ n 500 100
Z = 3 > 2.33 = Zσ
1. 假设检验：总体平均数、总体成数—双侧和单侧； 练习 3．
某牌号的彩电规定无故障时间为 10000 小时，厂家采取改正措施，现在从新批量彩电中抽取 100 台，测
得平均无故障时间为 10150 小时，标准差为 500 小时，能否据此判断该彩电无故障时间有显著增加（
α = 0.01 ）？
解 ：已知： X0 = 10 000 (小时) n = 100 (件) x = 10150 (小时) σ (X) = 500 (小时) α = 0.01 （大样本）
633
= 0.076(
)
n∑ x2 − ( ∑ x )2
6 × 9823 − 2252 8313
a = ∑ y − b ∑ x = 13 − 0.076 × 225 = −0.68
n
n6
6
y c = −0.68 + 0.076x
（1 分）
(4 分 )
回归系数的含义：当销售额每增长 1 万元时，销售利润平均增长 0.076 万元。 2、某企业生产一批灯泡 10000 只，随机抽取 400 只作耐用时间试验，测算结果，平均使用时间为 2000
(1) 样本合格频率为： p = 190 = 95%
200
P (1 − P ) 0.95 (1 − 0.95 )
µp =
= n
= 1.54% 200
(2) F (Z ) = 0.9546% Z = 2 ∴ ∆ = Z ⋅ µ = 2 × 1.54% = 3.08% 产品合格率的估计区间： P ：( 95％ − 3.08％，95％ + 3.08％ ) = ( 91.92% , 98.08% ) 合格产品数估计区间： NP ：( 2 000 × 91.92％ 2 000 × 98.08％ ) = ( 1 838 , 1 961 ) (件)
(3) ∆ = Z ⋅ µ
∆ 2.31%
Z= =
= 1.5
F (Z ) = F ( 1.5 ) = 86.64%
µ 1.54%
练习 2．某电子产品的使用寿命在 3000 小时以下为次品，现在用简单随机抽样方法，从 5000 个产品中抽 取 100 个对其使用寿命进行测试，其结果如下：
电子产品使用寿命表
（1）求总体中赞成该项改革的户数比例的置信区间，置信水平为 95.45%（ Zα / 2 = 2 ）（6 分）
（2）如果小区管理者预计赞成的比例能达到 80%，应抽取多少户进行调查？（设边际误差 E=0.08）（6 分）
4、(1) n = 50 p = 32/50 =64%
2分
p (1− p)
0.64 × 0.36
元)，销售利润为 y(万元)。调查资料经初步整理和计算，结果如下：
∑x=225 ∑x2=9823 ∑y=13 ∑y2=36.7
∑xy=593
要求：(1)计算销售额与销售利润之间的相关系数；
(2)配合销售利润对销售额的直线回归方程。
（3）解释回归系数的含义
（本题 10 分）
r=
n∑ xy − ∑ x ⋅ ∑ y
（2）平均每人存款金额的区间范围为
x ± ∆x = x ±t
σ 2 = 3400 ± 2 n
5002 = 3400 ± 40.82 600
3．对一批成品按重复抽样方法抽取 200 件，其中废品 8 件，当概率为 0.9545 时，试推断该批产品合格率 及其可能范围。 3．解：样品合格率=（200—8）/200=96%
3．解：答由表资料计算得：
X＝150.3克，S 2＝0.76，µ x =
S2 = 0.087（克）
n
n=100>50 F（t）=0.9973 t＝3 所以， ∆ X ＝tµX ＝3×0.087＝0.26（克） 这批茶叶的平均重量为 150.3±0.26 克，因此，可以认为这批茶叶达到了规格重量要求。 4．对一批成品按不重复随机抽样方法抽选 200 件，其中废品 8 件，又知道抽样单位数是成品总量的 1/20， 当概率为 0.9545 时，可否认为这批产品的废品率不超过 5％？（t=1.96） 4．根据资料得：
2 p
=
p(1 −
p) =
0.95 × 0.05
=
4.75%
（1 分） （1 分）
p(1 − p) n 0.0475
µp =
( 1− ) =
x
n
N
400
（1 分）
（2 分）
x−∆ ≤ x≤ x+∆
x
x
2000 − 2 × 0.59 ≤ x ≤ 2000 + 2 × 0.59
1998.82( ) ≤ x ≤ 2001.1（8 时）
（1 分） （1 分）
⑵ 以 95.45%的概率，估计灯泡的合格率的范围：
p = 380 = 95% 400
σ
n∑ x2 − (∑ x)2 ⋅ n∑ y 2 − (∑ y)2
r=
6 × 593 − 225 × 13
633
=
= 0.97
6 × 9823 − 2252 × 6 × 36.7 − 132 8313 × 51.2
（3 分）
b = n∑ xy − ∑ x ⋅ ∑ y b =
6 × 593 − 225 × 13 =
使用寿命（小时）
产品个数
3 000 以下
2
3 000—4 000
30
4 000—5 000
50
5 000 以上
18
合计
100
根据以上资料，要求：
（1）按重置抽样和不重置抽样计算该产品平均寿命的抽样平均误差。
（2）按重置抽样和不重置抽样计算该产品次品率的抽样平均误差。
（3）以 95%的概率保证程度，对该产品的平均使用寿命和次品率进行区间估计 。
E= Ζα 2
= 2× n
= 13.58% 50
2分
置信区间为 64% ± 13.58% 即 (50.42%, 77.58%)
2分
( ) (2)n =
Ζα 2
2 p (1 − p) 22 × 0.8 × 0.2
=
= 100
5分
E2
( 0.08)2
应抽取 100 户进行调查。
1分
4、为研究产品销售额与销售利润之间的关系，某公司对所属 6 家企业进行了调查，设产品销售额为 x(万
n
N
5000
（3） F (Z ) = 95% Z = 1.96
∆ = 1.96 × 73.5 = 144(小时) X
∆ p = 1.96 ×1.4% = 2.7%
估计区间为：
X ：( 4 340 − 144，4 340 + 144 ) = ( 4 196 , 4 484 ) (小时)
P：( 2％ − 2.7％，2％ + 2.7％ ) 即 P : ( 0 , 4.7% )
人为女性。试以 95％的置信水平估计该城市下岗职工中女性所占比例的置信区间。（ zα = 1.96 ）（8 分） 2
65
2、解：已知 n
= 100
，
zα 2
= 1.96 ，
p
=
100
=
65%
根据公式得：
p ± Zα ⋅
2
p(1− p) = 65% ±1.96× n
65% × (1− 65%) 100
x
n
100
σ2
n
不重置抽样： µ = (1 − ) = 73.5 × 0.99 = 72.765
x
n
N
P (1− P) 0.02 (1− 0.02)
（2）重置抽样： µp =
= n
= 1.4% 100
不重置抽样： µp =
P(1 − P) (1 − n ) = 1.4% ×
100 1−
= 1.4% × 0.99 = 1.386%
p(1 − p) 0.96(1 − 0.96)
µp =
= n
= 0.0139 200
∆ p = tµ p = 1.96 × 0.0139 = 2.72%
该批产品合格率的可能范围是： p ± ∆ p = 96% ± 2.72% ，即在 93.28%—98.72%之间。
3．某进出口公司出口一种名茶，抽样检验结果如表所示。
4分
即 65％±9.35%=(55.65%，74.35%)，95％的置信水平下估计该城市下岗职工中女性所占比例的置信区
间为 55.65%～74.35%。
4、某小区居民共有居民 500 户，小区管理者准备采用一项新的供水设施，想了解居民是否赞成。采取重复
抽样方法随机抽取了 50 户，其中有 32 户赞成，18 户反对。
小时，标准差为 12 小时。其中合格品 380 件。
要求：（1）试以 95.45%（t=2）的概率估计该批灯泡的耐用时数范围。
（2）试以 95.45%（t=2）的概率估计该批灯泡的合格率范围。（本题 10 分）