小波变换

常用的基本小波
8. Shannon小波
t
sin t 1/ 2 sin 2 t 1/ 2 t 1/ 2
ˆ e
i / 2
1, 2 0, 其它
t
在时域，Shannon小波是无限次可微的，具有无穷阶消失矩，不 是紧支的，具有渐近衰减性但较缓慢；在频域，Shannon小波是 频率带限函数，具有好的局部化特性。
第七章 小波变换
常用的基本小波
6. Marr小波 （也叫墨西哥草帽小波）
(t )
2 3
(1 t )e
2
t2 / 2
2 2 4 2 2 / 2 ˆ ( ) e 3
t
ˆ ( )
这是高斯函数的二阶导数，在信号与图象的边缘提取中具有重要的应用。 主要应用于屋脊型边界和Dirac边缘的提取。 特性： 指数级衰减，非紧支撑；具有非常好的时间频率局部化； 关于0轴对称。
第七章 小波变换
常用的基本小波
3、双正交小波（biorNr.Nd）小波系 双正交B样条小波 （7-5）小波滤波器:
4q 3 p0 2 8 q2 2 2 4 q2 5 q2 1 p1 8 q2 2 4 q2 1 p2 16q2 4 2 4 q2 q2 p 3 2 8 q2 q0 1 2q2 1 q1 2
第七章 小波变换
5. 高斯小波
常用的基本小波
2 1 tet / 2 2
t
ˆ i e
2
/2
(t )
ˆ ( )
这是高斯函数的一阶导数，在信号与图象的边缘提取中具有重要的应用。 主要应用于阶梯型边界的提取。 特性： 指数级衰减，非紧支撑；具有非常好的时间频率局部化； 关于0轴反对称。
第七章 小波变换
CWT计算主要有如下五个步骤：
第一步： 取一个小波， 将其与原始信号的开始一节进行比 较。 第二步： 计算数值C， C表示小波与所取一节信号的相似程 度，计算结果取决于所选小波的形状， 如图7-16所示。
第三步：向右移动小波，重复第一步和第二步，直至覆盖整
个信号，如图7-17所示。
bior2.2, bior4.4
h
1 1 1 3 1 1 , , , , 2 8 2 4 2 8
1 3 , 3 , 5 , 5 , 5 , 3 , 3 h 2 16 4 16 2 16 4 16
常用于图形学中。其中尺度函数是一 个三次B样条。
pn 2 hn , qn 2hn
第七章 小波变换
常用的基本小波
1. Haar小波
1 (t ) 1 0
1
0 t 1/ 2 1/ 2 t 1 其它
ˆ ( ) i
4

e i / 2 sin 2 / 4
(t )
…
0
1 2
1
1

这是一种最简单的正交小波，即


(t ) ( x n)dx 0n
第七章 小波变换
• 图1.1
第七章 小波变换
从图1.1(a)中我们看不出任何频域的性质， 但从信号的功率谱图(图1.1(b))中，我们可以明显 地看出该信号是由频率为50 Hz和300 Hz的正弦信 号和频率分布广泛的白噪声信号组成的，也可以 明显地看出信号的频率特性。
第七章 小波变换
7 小波变换简介
相关程度。
第七章 小波变换
1. 连续小波变换（CWT）
像傅立叶分析一样，小波分析就是把一个信号分解为将母
小波经过缩放和平移之后的一系列小波，因此小波是小波变换
的基函数。小波变换可以理解为用经过缩放和平移的一系列小 波函数代替傅立叶变换的正弦波和余弦波进行傅立叶变换的结 果。 图7-13表示了正弦波和小波的区别，由此可以看出，正弦波 从负无穷一直延续到正无穷，正弦波是平滑而且是可预测的， 而小波是一类在有限区间内快速衰减到0的函数，其平均值为0，
7.1 小波变换的理论基础 信号分析是为了获得时间和频率之间的相互关系。傅立叶 变换提供了有关频率域的信息，但有关时间的局部化信息却基 本丢失。与傅立叶变换不同，小波变换是通过缩放母小波 （Mother wavelet）的宽度来获得信号的频率特征， 通过平移母 小波来获得信号的时间信息。对母小波的缩放和平移操作是为 了计算小波系数，这些小波系数反映了小波和局部信号之间的
小波趋于不规则、不对称。
第七章 小波变换
…
…
(a)
(b)
图7-13 正弦波和小波 （a） 正弦波曲线； (b) 小波曲线
第七章 小波变换 从小波和正弦波的形状可以看出，变化剧烈的信号，用不 规则的小波进行分析比用平滑的正弦波更好，即用小波更能描 述信号的局部特征。 连续小波变换（Continuous Wavelet Transform， CWT）用
第七章 小波变换
ff＝1000*(0：511)/1024；%计算变换 后不同点所对应的频率值 subplot(322)；plot(ff，p(1：512))；%画出 信号的频谱图 Ylabel(功率谱密度)； Xlabel(频率)； title(信号功率谱图)； 程序输出结果如图1.1所示。
图7-14 小波的缩放操作
第七章 小波变换
(2) 平移。简单地讲，平移就是小波的延迟或超前。在数学
上， 函数f(t)延迟k的表达式为f(t-k)，如图7-15所示。
(t)
(t－k)
O
t
O
t
(a)
(b)
图7-15 小波的平移操作 (a) 小波函数ψ(t)； (b) 位移后的小波函数ψ(t-k)
第七章 小波变换
例1-1 在某工程实际应用中，有一信号的主要频 率成分是由50 Hz和300 Hz的正弦信号组成，该信 号被一白噪声污染，现对该信号进行采样，采样 频率为1000 Hz。通过傅里叶变换对其频率成分 进行分析。 解 该问题实质上是利用傅里叶变换对信号进行 频域分析，其MATLAB程序如下： t＝0：0.001：1.3； %时间间隔为0.001 说明采样频 率为1000 Hz x＝sin(2*pi*50*t)＋sin(2*pi*300*t)；%产生 主要频率为50 Hz和300 Hz的信号
下式表示：
C ( scale, position)


f (t ) ( scale, position t )dt ,
(7-79)
式（7-79）表示小波变换是信号f(x)与被缩放和平移的小波函 数ψ()之积在信号存在的整个期间里求和的结果。CWT的变换结果 的函数。
是许多小波系数C，这些系数是缩放因子（scale）和平移（positon）
第七章 小波变换
常用的基本小波
9. Battle-Lemarie样条小波
ˆ ( ) 1 ˆ ˆ g ( ) ( ) 2 2 2
第七章 小波变换
基本小波函数ψ()的缩放和平移操作含义如下：
(1) 缩放。简单地讲， 缩放就是压缩或伸展基本小波， 缩 放系数越小， 则小波越窄，如图7-14所示。
f (t) O f (t) O f (t) O t f (t)＝ (4t)；scale＝0 .2 5 t f (t)＝ (2t)；scale＝0 .5 t f (t)＝ (t)；scale＝1
第七章 小波变换
常用的基本小波
7. Meyer小波 它的小波函数与尺度函数都是在频域中进行定义的。具体定义如下：
sin v 3 1 2 4 2 2 3 3 1 i 3 4 8 ˆ 2 2 e 2 cos v 1 3 3 2 4 2 , 8 0 3 3 v t t 4 35 84t 70t 2 20t 3 t 0,1
第七章 小波变换
f＝x＋3.5*randn(1，length(t))；%在信号中加 入白噪声 subplot(321)；plot(f)； %画出原始信号的波 形图 Ylabel(幅值)； Xlabel(时间)； title(原始信号)； y＝fft(f，1024)； %对原始信号进行离散 傅里叶变换，参加DFT的采样点个数为1024 p＝y.*conj(y)/1024； %计算功率谱密度
第七章 小波变换
5)SymletsA（symN）小波系
• Symlets函数系是由Daubechies提出的近 似对称的小波函数，它是对db函数的一 种改进。Symlets函数系通常表示为symN （N=2，3，…，8）的形式。
第七章 小波变换
4. Morlet小波
常用的基本小波
(t ) e
2 2 1 2 3 ˆ 2 1 cos v 3 1 2 4 2 3 3 2 2 4 0 3

t
ˆ ( )
第七章 小波变换
~
第七章 小波变换
• Biorthogonal函数系的主要特征体现在具有线性 相位性，它主要应用在信号与图像的重构中。 通常的用法是采用一个函数进行分解，用另外 一个小波函数进行重构。Biorthogonal函数系通 常表示为biorNr.Nd的形式： • Nr=1 Nd=1，3，5 • Nr=2 Nd=2，4，6，8 • Nr=3 Nd=1，3，5，7，9 • Nr=4 Nd=4 • Nr=5 Nd=5 • Nr=6 Nd=8 • 其中，r表示重构，d表示分解。
t 2 / 2 i0t
e
ˆ ( ) 2 e( 0 )
2
/2
Morlet小波不存在尺度函数; 快速衰减但非紧支撑. Morlet小波是Gabor 小波的特例。
g t

2
1
1/ 4
t2 2 2
1, 5
Gabor 小波 Morlet小波
e
t g t eit
第七章 小波变换
4)Coiflet（coifN）小波系
• coiflet函数也是由Daubechies构造的一个 小波函数，它具有coifN（N=1，2，3，4， 5）这一系列，coiflet具有比dbN更好的对 称性。从支撑长度的角度看，coifN具有 和db3N及sym3N相同的支撑长度；从消 失矩的数目来看，coifN具有和db2N及 sym2N相同的消失矩数目。
1,2,
第七章 小波变换
2. Daubechies（dbN）小波系
常用的基本ຫໍສະໝຸດ Baidu波
D4尺度函数与小波
1.4
2
1.2
1.5
1 0.8 0.6 0.4
0 1 0.5
0.2
-0.5
0 -0.2 -0.4
-1 -1.5 -2
0
1
2
3
4
5
-1
0
1
2
3
D6尺度函数与小波
第七章 小波变换
• 该小波是Daubechies从两尺度方程系数出 发设计出来的离散正交小波。一般简写 为dbN，N是小波的阶数。小波和尺度函 数吁中的支撑区为2N-1。的消失矩为N。 除N＝1外(Haar小波)，dbN不具对称性 〔即非线性相位〕；dbN没有显式表达式 (除N＝1外)。但的传递函数的模的平方 有显式表达式。
第四步： 伸展小波， 重复第一步至第三步， 如图7-18所示。
第七章 小波变换
原始信号
小波信号 C＝0 .0 10 2
图7-16 计算系数值C
第七章 小波变换
原始信号 小波信号
图7-17 计算平移后系数值C
第七章 小波变换
原始信号 小波信号
C＝0 .2 24 7
图7-18 计算尺度后系数值C
第七章 小波变换 第五步：对于所有缩放，重复第一步至第四步。 小波的缩放因子与信号频率之间的关系是：缩放因子scale 越小，表示小波越窄，度量的是信号的细节变化，表示信号频 率越高；缩放因子scale越大， 表示小波越宽，度量的是信号的 粗糙程度，表示信号频率越低。