(完整版)整数小波变换作业
整数小波变换
整数小波变换
整数小波变换（Integer Wavelet Transform，IWT）是一种基于整数算法的小波变换方法。
它是将信号表示为一组整数序列的离散小波变换方法，适用于离散时间信号的分析和处理。
整数小波变换的基本思想是将原始信号进行分解，得到多个尺度和多个频带的小波系数。
整数小波变换的关键是如何实现离散小波变换，使得小波系数都为整数。
常用的方法是通过整数滤波器和整数下采样实现。
整数滤波器将原始信号进行平滑和细节提取，然后进行整数下采样，得到尺度更小的信号。
整数小波变换可以采用多级分解的方式，将信号分解到不同的尺度和频带上。
整数小波变换在图像和视频压缩、信号处理、模式识别等领域有广泛应用。
与浮点小波变换相比，整数小波变换具有计算速度快、实现简单、存储空间小等优点。
但是整数小波变换也存在一些问题，如精度损失、边界效应等。
总结起来，整数小波变换是一种将信号表示为整数序列的小波变换方法，具有计算速度快、实现简单等优点。
它在信号处理领域有广泛应用。
小波变换(wavelet transform)
其中，左上角的元素表示整个图像块的像素值的平均值，其余是该图像块的细节系数。 如果从矩阵中去掉表示图像的某些细节系数，事实证明重构的图像质量仍然可以接受。 具体做法是设置一个阈值，例如的细节系数δ≤5 就把它当作“0”看待，这样相比， Aδ 中“0”的数目增加了 18 个，也就是去掉了 18 个细节系数。这样做的好 处是可提高小波图像编码的效率。对矩阵进行逆变换，得到了重构的近似矩阵
7 50 42 31 39 18 10 63
57 16 24 33 25 48 56 1
使用灰度表示的图像如图 11.2 所示：
图 11.2 图像矩阵 A 的灰度图
一个图像块是一个二维的数据阵列， 可以先对阵列的每一行进行一维小波变换， 然后对 再行变换之后的阵列的每一列进行一维小波变换， 最后对经过变换之后的图像数据阵列进行 编码。 (1) 求均值与差值 利用一维的非规范化哈尔小波变换对图像矩阵的每一行进行变换， 即求均值与差值。 在 图像块矩阵 A 中，第一行的像素值为 R0: [64 2 3 61 60 6 7 57] 步骤 1：在 R0 行上取每一对像素的平均值，并将结果放到新一行 N0 的前 4 个位置， 其余的 4 个数是 R0 行每一对像素的差值的一半（细节系数） ： R0: [64 2 3 61 60 6 7 57] N0: [33 32 33 32 31 -29 27 -25] 步骤 2：对行 N0 的前 4 个数使用与第一步相同的方法，得到两个平均值和两个细节系 数，并放在新一行 N1 的前 4 个位置，其余的 4 个细节系数直接从行 N0 复制到 N1 的相应 位置上： N1: [32.5 32.5 0.5 0.5 31 -29 27 -25] 步骤 3：用与步骤 1 和 2 相同的方法，对剩余的一对平均值求平均值和差值， N2: [32.5 0 0.5 0.5 31 -29 27 -25] 3 0 0 1 V : V W W W2 其中，第一个元素是该行像素值的平均值，其余的是这行的细节系数。 (2) 计算图像矩阵 使用(1)中求均值和差值的方法，对矩阵的每一行进行计算，得到行变换后的矩阵：
整数小波变换
整数提升算法% integar wavelet transform%using 9-7 filter%signal symmetry extention mathod:(2,2) ...CBAABCDEFFED...%ss dd%sd ds%clear all;%fid=fopen('f:\data\aviris\aviris69.raw','rb');%status=fseek(fid,512*512*2*40,'bof');row=256;col=256;%orin=double(fread(fid,[row col],'uint16'));orin=ss;%%%%%%%%%%%%%%%%%% COEFFECIENT DEFINITION %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%a=-1.586134342;b=-0.05298011854;r=0.8829110762;d=0.4435068522;%k=1.149604398;%%%%%%%%%%%%%%%%%%%========================%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%initd1_1=zeros(row,col/2); %high frequency componentsd1=zeros(row,col/2);s1_1=zeros(row,col/2); %low frequency componentss1=zeros(row,col/2);sd_1=zeros(row/2,col/2); %high frequency componentssd=zeros(row/2,col/2);dd_1=zeros(row/2,col/2);dd=zeros(row/2,col/2);ds_1=zeros(row/2,col/2);ds=zeros(row/2,col/2);ss_1=zeros(row/2,col/2); %low frequency componentsss=zeros(row/2,col/2);%%%%%%%%%%%%%%%%%%==============================%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%border extension%LINE TRANSFORMd1_1(:,col/2)=orin(:,col-1)+round(a*(orin(:,col)+orin(:,col-1)));for j=1:(col/2-1)d1_1(:,j)=orin(:,2*j-1)+round(a*(orin(:,2*j)+orin(:,2*j+2)));ends1_1(:,1)=orin(:,2)+round(b*(d1_1(:,1)+d1_1(:,1)));for j=2:col/2s1_1(:,j)=orin(:,2*j)+round(b*(d1_1(:,j)+d1_1(:,j-1)));endd1(:,col/2)=d1_1(:,col/2)+round(r*(s1_1(:,col/2)+s1_1(:,col/2)));for j=1:(col/2-1)d1(:,j)=d1_1(:,j)+round(r*(s1_1(:,j)+s1_1(:,j+1)));ends1(:,1)=s1_1(:,1)+round(d*d1(:,1)*2);for j=2:col/2s1(:,j)=s1_1(:,j)+round(d*(d1(:,j)+d1(:,j-1)));end%s1=round(s1*k);%d1=round(d1/k);figure;imshow(uint8(s1'))figure;imshow(uint8(d1'))%col TRANSFORMsd_1(row/2,:)=s1(row-1,:)+round(a*(s1(row,:)+s1(row-1,:)));for i=1:(row/2-1)sd_1(i,:)=s1(2*i-1,:)+round(a*(s1(2*i,:)+s1(2*i+2,:)));endss_1(1,:)=s1(2,:)+round(b*(sd_1(1,:)+sd_1(1,:)));for i=2:row/2ss_1(i,:)=s1(2*i,:)+round(b*(sd_1(i,:)+sd_1(i-1,:)));endsd(row/2,:)=sd_1(row/2,:)+round(r*(ss_1(row/2,:)+ss_1(row/2,:))); for i=1:(row/2-1)sd(i,:)=sd_1(i,:)+round(r*(ss_1(i,:)+ss_1(i+1,:)));endss(1,:)=ss_1(1,:)+round(d*sd(1,:)*2);for i=2:row/2ss(i,:)=ss_1(i,:)+round(d*(sd(i,:)+sd(i-1,:)));end%ss=round(ss*k);%sd=round(sd/k);dd_1(row/2,:)=d1(row-1,:)+round(a*(d1(row,:)+d1(row-1,:)));for i=1:(row/2-1)dd_1(i,:)=d1(2*i-1,:)+round(a*(d1(2*i,:)+d1(2*i+2,:)));endds_1(1,:)=d1(2,:)+round(b*(dd_1(1,:)+dd_1(1,:)));for i=2:row/2ds_1(i,:)=d1(2*i,:)+round(b*(dd_1(i,:)+dd_1(i-1,:)));enddd(row/2,:)=dd_1(row/2,:)+round(r*(ds_1(row/2,:)+ds_1(row/2,:))); for i=1:(row/2-1)dd(i,:)=dd_1(i,:)+round(r*(ds_1(i,:)+ds_1(i+1,:)));endds(1,:)=ds_1(1,:)+round(d*dd(1,:)*2);for i=2:row/2ds(i,:)=ds_1(i,:)+round(d*(dd(i,:)+dd(i-1,:)));end%dd=round(dd*k);%ds=round(ds/k);Max1=max(max(ss))Min1=min(min(ss))b=255*(ss-Min1)/(Max1-Min1);figure;imshow(uint8(b'))Max2=max(max(sd))Min2=min(min(sd))Max3=max(max(dd))Min3=min(min(dd))Max4=max(max(ds))Min4=min(min(ds))b=255*(sd-Min2)/(Max2-Min2);figure;imshow(uint8(b'))b=255*(sd-Min3)/(Max3-Min3);figure;imshow(uint8(b'))b=255*(dd-Min4)/(Max4-Min4);figure;imshow(uint8(b'))%figure;imshow(uint8(sd'),[Min2,Max2])%figure;imshow(uint8(dd'),[Min3,Max3])%figure;imshow(uint8(ds'),[Min4,Max4])%fclose(fid);整数提升重构算法%%%%---------process of the reconstruction of the image-----------%%%% %using 9-7 filter%signal symmetry extention mathod:(2,2) ...CBAABCDEFFED...%ss dd%sd ds%initclear all;row=512;column=512;a=-1.586134342;b=-0.05298011854;r=0.8829110762;d=0.4435068522;load intwcoef;reconst=zeros(512,512);d2=zeros(512,256); %high frequency componentsd2_2=zeros(512,256);s2=zeros(512,256); %low frequency componentss2_2=zeros(512,256);sd_2=zeros(256,256); %high frequency components dd_2=zeros(256,256);ds_2=zeros(256,256);ss_2=zeros(256,256); %low frequency components for i=2:row/2ds_2(i,:)=ds(i,:)-round(d*(dd(i,:)+dd(i-1,:)));endds_2(1,:)=ds(1,:)-round(d*dd(1,:)*2);for i=1:(row/2-1)dd_2(i,:)=dd(i,:)-round(r*(ds_2(i,:)+ds_2(i+1,:)));enddd_2(row/2,:)=dd(row/2,:)-round(r*(ds_2(row/2,:)+ds_2(row/2,:)));for i=2:row/2d2_2(2*i,:)=ds_2(i,:)-round((dd_2(i,:)+dd_2(i-1,:))*b);endd2_2(2,:)=ds_2(1,:)-round((dd_2(1,:)+dd_2(1,:))*b);for i=1:(row/2-1)d2_2(2*i-1,:)=dd_2(i,:)-round((d2_2(2*i,:)+d2_2(2*i+2,:))*a);endd2_2(row-1,:)=dd_2(row/2,:)-round((d2_2(row,:)+d2_2(row-1,:))*a);ss_2(1,:)=ss(1,:)-round(d*sd(1,:)*2);for i=2:row/2ss_2(i,:)=ss(i,:)-round(d*(sd(i,:)+sd(i-1,:)));endsd_2(row/2,:)=sd(row/2,:)-round(r*(ss_2(row/2,:)+ss_2(row/2,:)));for i=1:(row/2-1)sd_2(i,:)=sd(i,:)-round(r*(ss_2(i,:)+ss_2(i+1,:)));ends2_2(2,:)=ss_2(1,:)-round((sd_2(1,:)+sd_2(1,:))*b);for i=2:row/2s2_2(2*i,:)=ss_2(i,:)-round((sd_2(i,:)+sd_2(i-1,:))*b);ends2_2(row-1,:)=sd_2(row/2,:)-round((s2_2(row,:)+s2_2(row-1,:))*a);for i=1:(row/2-1)s2_2(2*i-1,:)=sd_2(i,:)-round((s2_2(2*i,:)+s2_2(2*i+2,:))*a);endfigure;imshow(uint8(s2_2))figure;imshow(uint8(d2_2))%%%%---------------------------------------------------%%%%%s2(:,1)=s2_2(:,1)-round(d*d2_2(:,1)*2);for j=2:column/2s2(:,j)=s2_2(:,j)-round(d*(d2_2(:,j)+d2_2(:,j-1)));endd2(:,column/2)=d2_2(:,column/2)-round(r*(s2(:,column/2)+s2(:,column/2)));for j=1:(column/2-1)d2(:,j)=d2_2(:,j)-round(r*(s2(:,j)+s2(:,j+1)));endreconst(:,2)=s2(:,1)-round(b*(d2(:,1)+d2(:,1)));for j=2:column/2reconst(:,2*j)=s2(:,j)-round(b*(d2(:,j)+d2(:,j-1)));endreconst(:,column-1)=d2(:,column/2)+round(a*(reconst(:,column)+reconst(:,column-1))); for j=1:(column/2-1)reconst(:,2*j-1)=d2(:,j)-round(a*(reconst(:,2*j)+reconst(:,2*j+2)));endMax1=max(max(reconst))Min1=min(min(reconst))b=255*(reconst-Min1)/(Max1-Min1);figure;imshow(uint8(b'))%figure;imshow(uint8(reconst'))。
小波变换
正交小波的自对偶性：
当是正交小波时，我们有： ~ （自对偶性）
j ,k j ,k
证明：设是正交小波时， ~ 由f f , j ,k j ,k
j ,k
取f j0 , k 0 ~ j ,k , j ,k j ,k j ,k
0 0
b2 a2t *
t
小波变换的重构定理：
令是一个基小波，它定义了一个连续小波变换W ( f )(b, a ), 则：
－
da [W ( f )(b, a ) ( g )(b, a ) 2 db c f , g a －
__________ ______
对所有的f , g L2成立，并且对于f L2和f的连续点x R，有 1 f ( x) c
（振荡性）
对“容许性”条件的分析：
2.
为了“基小波” 能提供一个局部的时频窗口， 我们还得要求满足： ˆ ( ) L2 t (t ) L2 ,
连续小波变换的内积表示：
t b 用 b ,a (t ) a ( ), 则 a W ( f )(b, a ) f , b ,a
j 2
二进小波稳定性条件的另一种表述：
A f
2
Wj f
2
B f
2
f L2
定理：
令满足二进小波的稳定性条件，则满足： A ln 2
0
ˆ（）
2
2
d ,
ˆ（ ） d B ln 2 0
即：是一个基小波。
当A B时，有： ˆ（） C＝ d＝2A ln 2 －
(完整版)整数小波变换作业
小波变换：S 整数变换作业1. 题目：用整数小波的S 或2/6变换对256*256 Lena 灰度图像进行非标准方法的3级分解与重构。
2. 总体设计：本题目的意义在于通过实验体会整数小波变换，由于MA TLAB 自身对矩阵操作的方便性，以及其丰富的库函数（如可以用来直接显示图象），我决定用MATLAB 编程完成本次作业。
要说明的是，这里并不是直接利用MATLAB 中的wavelet 工具箱中的已有小波函数对图象进行整数小波分解，而是用下面的已知分解公式进行小波分解和重构。
分解公式：1,,21,21,,21,[]j k j k j kj k j k j k d s s s s d -+--=-=+ 重构公式：,21,1,,211,,2[]j k j k j k j k j k j k s s d s d s --+-=-=+ ，其中[ ]表示取整。
进行非标准小波分解，即交替进行3次行变换和3次列变换，程序对每次变换后的结果都保存为位图文件，运行后可以在程序所在路径下看到保存的6个分解位图文件和6个重构位图文件。
最后还会在一个图像中显示每次分解后的图像，以便于对比。
3. 实现方法：编写S 变换的分解和重构子程序，分别对图像数据进行一次行列分解和列行重构，程序返回该次变换后的行列矩阵，在主程序中可以连续三次调用行列变换，即完成对原始图像的3级分解和重构，这里的变换是完全可逆的，也就是能够完全恢复原图像数据。
通过对比3次重构后返回的数据与原图像数据后发现它们完全相同。
主要用的MA TLAB 工具函数有：imread( )---------读取图像数据，为uint8类型，需变为double 类型才能进行各种运算 imwrite()---------用于保存图像，这里用它来保存每一级变换后的图像image( )----------显示图像，需要给出色谱表colormap ，这里是灰度图，用colormap ＝gray （256）即可subplot( )--------用于分开绘图，即在一个窗口下绘制多个图像，在这里用于输出变换后的图像，以便对比。
完整版)小波变换图像去噪MATLAB实现
完整版)小波变换图像去噪MATLAB实现本论文旨在研究数字图像的滤波去噪问题，以提高图像质量。
数字图像处理(Digital Image Processing。
DIP)是指用计算机辅助技术对图像信号进行处理的过程。
DIP技术在医疗、艺术、军事、航天等图像处理领域都有着十分广泛的应用。
然而，图像的采集、获取、编码和传输的过程中，都存在不同程度被各种噪声所“污染”的现象。
如果图像被污染得比较严重，噪声会变成可见的颗粒形状，导致图像质量的严重下降。
因此，通过一些卓有成效的噪声处理技术后，尽可能地去除图像噪声，有利于进一步的对图像进行如特征提取、信号检测和图像压缩等处理。
小波变换处理应用于图像去噪外，在其他图像处理领域都有着十分广泛的应用。
小波定义为对给定函数局部化的新领域，小波可由一个定义在有限区域的函数Ψ(x)来构造，Ψ(x)称为母小波，或者叫做基本小波。
一组小波基函数，{Ψa,b(x)}，可以通过缩放和平移基本小波来生成。
当a=2j和b=ia的情况下，一维小波基函数序列定义为Ψi,j(x)=2-j2Ψ2-jx-1.函数f(x)以小波Ψ(x)为基的连续小波变换定义为函数f(x)和Ψa,b(x)的内积。
在频域上有Ψa,b(x)=ae-jωΨ(aω)。
因此，本论文以小波变换作为分析工具处理图像噪声，研究数字图像的滤波去噪问题，以提高图像质量。
当绝对值|a|减小时，小波函数在时域的宽度会减小，但在频域的宽度会增大，同时窗口中心会向|ω|增大的方向移动。
这说明连续小波的局部变化是不同的，高频时分辨率高，低频时分辨率低，这是小波变换相对于___变换的优势之一。
总的来说，小波变换具有更好的时频窗口特性。
噪声是指妨碍人或相关传感器理解或分析图像信息的各种因素。
噪声通常是不可预测的随机信号。
由于噪声在图像输入、采集、处理和输出的各个环节中都会影响，特别是在输入和采集中，噪声会影响整个图像处理过程，因此抑制噪声已成为图像处理中非常重要的一步。
小波分析30道题
1. 从Fourier 变换到小波变换的三个阶段： *）信号加窗；**）基加窗；***）小波基；⑴ Fourier 变换是一个强有力的数学工具，它具有重要的物理意义，即信号()f x 的Fourier 变换()()⎰+∞∞-ω-=ωx x f F x d e i表示信号的频谱。
正是Fourier 变换的这种重要的物理意义，决定了Fourier 变换在信号分析和信号处理中的独特地位，特别是作为平稳信号分析的最重要的工具。
但是，在实际应用中，所遇到的信号大多数并不是平稳的。
所以，随着应用范围的逐步扩大和理论分析的不断深入，Fourier 变换的局限性就渐渐展示出来了：首先，从理论上说，为了由Fourier 变换研究一个时域信号()f x 的频谱特性，必须获得信号在时域中的全部信息，以致于包括将来的信息；其次，Fourier 变换对信号的局部畸变没有标定和度量能力。
但是，在许多实际应用中，畸变正是我们所关心的信号在局部范围内的特征；再次，Fourier 变换不能反映信号在局部时间范围内和局部频带上的谱信息分析，或称为局部化时-频分析，而这正是许多实际应用最感兴趣的问题之一；最后，因为一个信号的频率与它的周期长度成反比，因而要给进行分析的一个灵活多变的时间和频率的“窗口”，使其在“中心频率(或称为平均频率、主频)”高的地方，时间窗自动变窄，而在“中心频率”低的地方，时间窗应自动变宽。
⑵ 时间加窗：Gabor 在1946年的论文中，为了提取信号的局部信息，这包括时间和频率两方面的局部信息，引入了一个时间局部化的“窗口函数”()g t b -，其中参数b 用于平行移动窗口，以便于覆盖整个时域。
Gabor 变换继承了Fourier 变换所具有的“信号频谱”这样的物理解释，同时，它克服了Fourier 变换只能反映信号的整体特征而对信号的局部特征没有任何分析能力的缺陷，大大地改进了Fourier 变换的分析能力，为信号处理提供了一种新的分析和处理工具，即信号的时-频分析。
连续小波变换作业
连续小波变换本次作业使用的原始信号是：fs：采样频率(在此设为2)n：采样点数（在此设为200）y(n)=cos(2*pi*0.036*t)+cos(2*pi*0.072*t);y(n)=cos(2*pi*0.24*t);1.原始信号及进行三种外推后的图像如图所示：图1 原始信号及进行三种外推图2．验证Morlet小波和Mexican-Hat 小波函数的边界效应的理论值由于时间问题，未能搞懂Christopher Torrence and Gilbert P. Compo, 1998, A Practical Guide to Wavelet Analysis, Bulletin of the American Meteorological Society, Vol.79, No.1, 61-78.，所以这个边界效应理论值未能验证。
3.试验边界外充零、周期性外推、镜像外推的优劣3.1原始数据作小波变换图2 Mexican Hat小波变换和Morlet小波的变换从图2可以看出：（1）Mexican Hat小波变换在相同的尺度下有更好的时间分辨率；（2）尺度的大小表示小波的宽窄，尺度大，表示小波比较宽，频率就较低；相反，尺度小则表示频率高；而且在经过小波变换后的边界影像范围随尺度的增大而变宽；3.2充零外推后的小波变换：图3 充零外推后的小波变换3.3周期延拓的小波变换：图4 周期延拓的小波变换3.4镜像外推的小波变换：图5 镜像外推的小波变换3.5综合3.2-3.4，可得以下结论：（1）充零外推后的小波变换与原始信号直接小波变换基本上没有什么区别，保证了原始信号的边界效应，但是时间的不连续性可能会导致信号的高频信号的丢失；（2）周期延拓后的小波变换同样会造成时间的不连续性，导致信号的边界效应很明显；（3）镜像外推后的小波变换可以保证时间上的连续，理论上可以应用于各种信号，但仍要与实际相结合使用。
电大一网一《数字与图像处理》2023春季学期数字与图像处理第1次平时作业-95分
B.错误
正确答案：A
题15：图像中虚假轮廓的出现就其本质而言是由于图像的空间分辨率过高造成。（）A.Biblioteka 确B.错误正确答案：B
题16：图像处理中所用的变换都是满足正交条件的变换。
A.正确
B.错误
正确答案：A
正确答案：B
题3：下列哪一个不是常用的小波变换。（）
A.Daubechies小波
B.Biorthogonal小波
C.Discrete小波
D.Symlets小波
正确答案：C
题4：下列哪一个不是K-L变换的特点。（）
A.非监督性变换
B.对样本要求高
C.去掉一些不重要或无关量
D.线性分析
正确答案：B
题5：下列哪项不属于数字化的过程。（）
B.黄（Y）
C.绿（G）
D.蓝（B）
正确答案：B
题9：下列哪些项是中值滤波的特性。（）
A.不变性
B.去噪声性能
C.频谱特性
D.灵活性
正确答案：ABC
题10：下列哪些是常用的在频域中实现图像平滑的滤波器。（）
A.理想低通滤波器
B.高通滤波器
C.巴特沃斯低通滤波器
D.高斯低通滤波器
正确答案：ACD
题11：下列哪些是K-L变换的特点和优点（）。
A.非监督性变换
B.一种线性分析
C.对样品要求不高
D.可以分解为几个独立分量
正确答案：ABCD
题12：下列哪项属于颜色模型。（）
A.RGB
B.CMY
C.YIQ
D.PNG
正确答案：ABC
题13：二值图像就是只有黑白两个灰度级。
A.正确
B.错误
课程作业-杭电研究生-小波变换-小波作业
小波分析与时域分析作业1、利用小波包变换和滤波方法实现图像去噪，给出实验仿真程序和实验结果，并对进行分析。
（1）比较不同小波包树结构对图像的影响吗，给出分析理由。
（2）分析小波包变换去噪与滤波方法去噪的特点。
仿真程序：load trees;subplot(2,2,1);image(X);colormap(map);title('原始图像');axis square;init=2055615866;randn('seed',init);X1=X+20*randn(size(X));subplot(2,2,2);image(X1);colormap(map);title('含噪图像');axis square;T=wpdec2(X1,1,'sym2');thr=8.342;NT=wpthcoef(T,0,'s',thr);X2=wprcoef(NT,1);subplot(2,2,3);image(X2);colormap(map);title(‘小波包去噪图像');axis square;K=medfilt2(X1,[4,4]);subplot(2,2,4);image(K);colormap(map);title('中值滤波去噪图像');axis square;实验结果：实验分析：（1）为了比较不同小波包树结构对图像的影响，这里取不同层的小波包树结构对含噪图像进行去噪，实验仿真如下：仿真程序：load trees;subplot(2,2,1);image(X);colormap(map);title('原始图像');axis square;init=2055615866;randn('seed',init);X1=X+20*randn(size(X));subplot(2,2,2);image(X1);colormap(map);title('含噪图像');axis square;T=wpdec2(X1,1,'sym2');thr=8.342;NT=wpthcoef(T,0,'s',thr); X2=wprcoef(NT,1);subplot(2,2,3);image(X2);colormap(map);title('小波包1层去噪图像'); axis square;K=wpdec2(X1,4,'sym2');thr=8.342;NT1=wpthcoef(K,0,'s',thr); X3=wprcoef(NT1,1);subplot(2,2,4);image(X3);colormap(map);title('小波包3层去噪图像'); axis square;实验结果：小波包分解每次对低频和高频都进一步进行处理，舍弃高频，相比于小波分解分得的频段更多。
实验七 小波变换
实验七小波变换一、实验目的1、了解小波变换及其变换系数的分布。
2、了解小波变换在图像去噪处理中的应用。
二、小波变换及去噪应用1、小波分解及系数分布信号分析是为了获得时间和频率之间的相互关系。
傅立叶变换提供了有关频率域的信息，但有关时间的局部化信息却基本丢失。
与傅立叶变换不同，小波变换是通过缩放母小波（Mother wavelet）的宽度来获得信号的频率特征，通过平移母小波来获得信号的时间信息。
对母小波的缩放和平移操作是为了计算小波系数，这些小波系数反映了小波和局部信号之间的相关程度。
常用的母小波有：Haar小波、dbN小波系、symN小波系等。
小波系数分布规律：●随着分层数的增加，小波系数的范围越来越大，说明越往后层次的小波系数越重要。
●除LL外，其他子带方差和能量明显减少，充分说明低频系数在图像编码中的重要性。
●对同一方向子带，按从高层到低层（从低频到高频）子带，有：HL3→HL2→HL1，LH3→LH2→LH1，HH3→HH2→HH1，大部分情况下其方差从大到小，有一定的变换规则。
2、小波在图像去噪中的应用工程应用中，有用信号通常表现为低频信号或是一些比较平稳的信号，而噪声信号通常表现为高频信号。
所以基于小波变换的去噪过程可以分为以下几步进行：(1) 小波分解。
选择一个小波并确定一个小波分解的层数N，然后对图像进行N 层小波分解。
(2) 小波分解高频系数的阈值量化。
对第1 层到第N 层的每一层高频系数，选择一个阈值进行阈值量化处理。
(3) 小波的重构。
根据小波分解的第N 层的低频系数和经过量化处理后的第1 层到第N 层的高频系数，进行的小波重构。
处理的方法一般有三种：(1) 强制去噪处理。
该方法把小波分解结构中的高频系数全部变为0，即把高频部分全部去除掉，然后再对信号进行重构处理。
这种方法比较简单，重构后的消噪信号也比较平滑，但容易丢失信号的有用成分。
(2) 默认阈值去噪处理。
该方法利用ddencmp 函数产生信号的默认阈值，然后利用wdencmp 函数进行消噪处理。
实验五 小波变换
实验五小波变换一、实验目的进一步理解小波变换二、实验内容1 小波的产生（以morlet为例）格式：[psi,x]=morlet(lb,ub,n)说明：该函数返回一个有效支撑为[lb,ub]，在有效支撑上有N个均匀分布点的morlet的小波输出参数为在x上的psi函数的值，该函数具有有效支撑为[-4,4]。
clear,close all;1b=-5;ub=5;n=1000;[psi,x]=mexihat(1b,ub,n);p;ot(x,psi);2一维连续小波变换load noissin;s=noissin(1:100);figure;plot(s)ls=length(s);w=cwt(s,[0.48,1.0,1.2,2:2:10],'db3');figure;subplot(4,2,1),plot(w(1,:));3.小波变换（DWT）A)对图像做二维小波分解[cA,cH,cV,cD]=dwt2(X,’wname’)%近似变量、水平细节分量、垂直细节分量、对角细节分量load woman;nbcol=size(map,1);%用名为morlet,db1,db2,db3分别进行处理cod_X=wcodemat(X,nbcol);cod_cA1=wcodemat(cA1,nbcol);cod_cH1=wcodemat(cH1,nbcol);cod_cV1=wcodemat(cV1,nbcol);cod_cD1=wcodemat(cD1,nbcol);dec2d=[cod_cA1,cod_cH1;cod_cV1,cod_cD1];subplot(1,2,1),imshow(cod_X,[]);title('原图');subplot(1,2,2),imshow(dec2d,[]);title('小波变换分解后图形')二维离散小波反变换load woman;sX=size(X);[cA1,cH1,cV1,cD1]=dwt2(X,'db4');%逆变换后的结果返回给A0subplot(1,2,1),imshow(X,[]);title('原图像');subplot(1,2,2),imshow(A0,[]);title('小波变换分解后重构图形')三、分析实验结果并得出结论.y=wcodemat(x,nb,opt,absol)2.y=wcodemat(x,nb,opt)3.y=wcodemat(x,nb)4.y=wcodemat(x)该函数是用来对矩阵X进行量化编码,它返回矩阵X的一个编码矩阵,在编码中,把矩阵X中元素绝对值最大的作为NB(NB是一个整数),绝对值最小的作为1,其他元素依其绝对值的大小在1与NB中排列.当OPT为'row'时,做行编码;当OPT为'col'时,做列编码,当OPT 为'mat'时,做全局编码,即把整个矩阵中的元素绝对值最大的元素作为NB,最小的作为1,其他元素依其绝对值的大小在整个矩阵中排列.当ABSOL为0时,该函数返回输入矩阵X的一个编码版本,为非0时,返回X的ABS(X).Y = WCODEMAT(X,NBCODES,OPT) is equivalent toY = WCODEMAT(X,NBCODES,OPT,1).Y = WCODEMAT(X,NBCODES) is equivalent toY = WCODEMAT(X,NBCODES,'mat',1).Y = WCODEMAT(X) is equivalent toY = WCODEMAT(X,16,'mat',1).。
第7章小波变换2
n
(7.4)
j ,k hn 2 k j 1,n
c j ,k f , j ,k
j ,k g n 2 k c j 1,n
n
n
f , hn j 1,2 k n hn f , j 1,2 k n
证明如下：
g n j 1,2 k n n
n
x 2 g n 2 x n (7.3) n
n
x 2 hn 2 x n
（7.4）
j ,k 2 j / 2(2 j x k )
n
k k
VJ span{ Jk } Ck Jk
k
Mallat算法
一维多分辨分析Mallat算法
目标：
求出 （7.2）式中的 d j ,k ; c jk 寻找一种快速算法而不是内积
思路： 用上一级的c j1,k ,d j 1,k 求下一级的c j,k , d j,k
f x
J M j J 1
d
kZ
j ,k
j ,k cJ M ,k J M ,k
kZ
（ 7.2)
将双尺度方程 x an 2 x n 和小波方程
x 1 an1 2x n 写成如下形式：
n n
n
x 2 g n 2 x n n
n
x 2 hn 2 x n
(7.3)
an 与 hn、gn 的关系为 其中，
hn an 2
g n 1
n
a n 1 2
没必要记
小波变换2
15.3 多分辨率分析小波变换：*(,)()()x t CWT a x t dt aττψ∞-∞-=⎰小波反变换: ()(,211,x t x t CWT a dad C a a ψψτττ∞∞-∞-∞-⎛⎫=⎪⎝⎭⎰⎰ 具有变尺度的性质，在不同尺度下对信号进行分析，称为信号的多尺度分析。
小波变换中尺度的变化，将引起时、频域分辨率的变化（时频矩形窗wt D aD a⨯），因此信号的多尺度分析实际上就是信号的多分辨率分析。
即多尺度分析----多分辨率分析 5.3.1 正交多分辨率分析的概念多分辨率分析-----由空间划分来看是多分辨率逼近，最终目的是力求：1）构造一个在频率上高度逼近2()L R 空间的正交基；2）将信号投影到由这些基函数组成的频谱由低到高的正交子空间中。
（或者说就是用某些基函数将信号按照频谱的低到高进行分解描述）。
在一个平方可积空间2()L R 中对于任一信号2()()x t L R ∈ ，可以考虑用分辨率2j -来逼近该信号的问题（2j a =二进尺度，这里j 对应a 简称尺度，02j k ττ=，/2002()()2(2)2j j j jt t k t k a ττψτ----==-） （5-20） 先来看频谱由低到高子空间（正交）的划分问题，再来考虑信号的逼近问题5.3.1.1 空间（正交）的划分问题将空间2()L R 逐级二分， 这样逐级二分的函数分为两类，(1) 令一类函数：(),,1,0,1,j V t j =⋅⋅⋅-⋅⋅⋅ 其频谱()j V ω只有在2j ωπ-<的有限区间内部不为零（低通特性），把具有这一性质函数的集合记作 {}j V 。
(2) 令一类函数：(),,1,0,1,j W t j =⋅⋅⋅-⋅⋅⋅其频谱()j W ω只有在122j j πωπ--+<<的有限区间内部不为零（表现为带通特性），把具有这一性质函数的集合记作{}j W 。
基于整数的小波变换无失真图象压缩
基于整数的小波变换无失真图象压缩
但志平;胡刚;田卫新;刘勇
【期刊名称】《软件导刊》
【年(卷),期】2007(000)004
【摘要】讨论了基于整数的小波变换的无失真压缩算法。
该算法构造了MSR作为双正交小波基的一个重要参数,并根据小波变换能量聚集的特点和变换以后数据之间的相关关系,将零树编码和算术编码相结合,实现无失真图像压缩。
实验表明。
方法不仅提高编码效率而且在保证图像质量的同时有效地提高了压缩比。
【总页数】2页(P74-75)
【作者】但志平;胡刚;田卫新;刘勇
【作者单位】三峡大学电气信息学院;三峡大学电气信息学院湖北宜昌443002;湖北宜昌443002
【正文语种】中文
【中图分类】TP391.41
【相关文献】
1.基于整数小波变换和子带比特平面编码的图象压缩算法 [J], 杨志高;李飞鹏;梅天灿;秦前清;朱秋萍
2.基于整数小波变换的准无失真图像压缩技术 [J], 田金文;柳斌;柳健
3.整数CDF(2,2)双正交小波变换结合SHHT的无失真图像压缩 [J], 解成俊;宋建中
4.无失真JPEG图象压缩方案与基于S变换的无失真图象压缩 [J], 许刚;廖斌
5.基于整数小波变换的准无失真图像压缩技术 [J], 杨静;田金文;张明义
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小波变换期末大作业
研究生“小波变换”课程期末大作业2010/06/17说明：下述四道题中可任选两道一、结合MATLAB中的数据文件leleccum (1－D)，研究小波去噪的原理和方法。
1．综述用小波去除噪声的原理。
包括：（1）去噪阈值的种类，各种阈值形成的原理，阈值风险函数；（2）阈值使用的方法；2．MATLAB 6.5中与1－D信号去噪相关的m 文件有14个，结合所给数据的去噪，讨论这些文件的应用；3．对上述数据实现去噪；参考文献：1．M Jansen, Noise Reduction by Wavelet Threshold, 2001.2. D L Donoho. De-noiseing by soft-thresholding. IEEE Tran on Info Theory 1995（见附件）请自己在EI 或IEEE全文库上给定相应的关键词，查找其他去噪相关文献。
二、研究利用小波变换检测信号中的奇异点及由模最大重建信号的原理与方法。
内容包括：1．信号中的突变点在小波变换中的行为；2．由模最大重建信号的原理与方法；3．下载ecg文件（见附件），用open_ecg打开该文件实现对该信号的峰值(R波)检测。
该信号的抽样频率为360Hz；4．令j=1~6, 试用各尺度下的模最大重建原信号；参考文献：1．S Mallat. Singularity Detection and Processing with Wavelet. IEEE Tran on IF, 1992（见附件）2．S Mallat. Signal Characterization from Multiscale Edges. 1990（见附件）请自己在EI 或IEEE全文库上给定相应的关键词，查找其他相关文献。
三、结合MATLAB W A VELET TOOLBOX 中有关小波包的文件（不包括两个2－D文件），研究：1．小波包最佳分解层（即尺度j）的选择原理；2．最佳小波包选择的原理；3．上述13个文件的功能及相关关系；4．利用MATLAB中的数据文件leleccum(1－D)，按最佳分解层及最佳小波包进行分解。
小波分析作业(含自编程序)
地球科学学院小波分析课程作业课程名称：小波分析指导老师：学生姓名：学号：几种时频分析方法1 短时傅里叶变换为了研究信号在局部时间范围内的瞬时频率特性，1946年，D.GABOR 引进了短时傅氏变换或窗口傅氏变换的概念，其基本原理是取一个称为(t)g 窗口的函数，使它在有限的区间范围外恒等于零或趋于零。
设任意信号(t)f ，并假设该信号在一个以时间τ为中心，且范围有限的窗口函数)-(t τg 内是稳定的，这样，窗口内函数)-(t)g(t τf 的傅氏变换就定义为短时傅氏变换，表示为dt e T t i STFT ωτωτ--)-f(t)g(t ),(⎰∞∞=STFT 是通过滑动时窗来计算其频谱，因而它的时间分辨率和频率分辨率受Heisenberg 测不准原理约束。
因此利用短窗口有较高的时间分辨率，但是频率分辨率差。
2 小波变换常见的小波变换有连续、二进制以及离散小波变换等。
在连续小波变换中，仅要求小波函数满足容许条件即可，这使得在选择小波函数时具有很大的自由度。
对任意地震信号函数)((t)2R L f ∈，其连续小波变换定义为 )f(t)dt a b -t (a 1(t)f(t)dt b)(a,-*-b a,⎰⎰∞∞∞∞==ϕψw T 式中，ａ为尺度因子，ｂ为平移参数，函数ψ（ｔ）称为母小波。
小波分析具有可调的时频窗口，被广泛地应用于地震信号处理中，但是也存在着一定的局限性，主要表现在难以选择小波基、固定的基函数、恒定的多分辨率，信号的能量—时间—频率分布也很难定量给出。
3 S 变换为了解决短时傅氏变换只能以一种分辨率进行时频分析及小波变换不能直接与频率对应的缺陷，1996年美国地球物理学家Stockwell 在前人的基础上提出了S 变换。
S 变换中，基本小波是由简谐波与高斯函数的乘积构成的，基本小波中的简谐波在时间域仅作伸缩变换，而高斯函数则进行伸缩和平移。
这一点与连续小波变换不同，在连续小波变换中，简谐波与高斯函数进行同样的伸缩和平移。
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小波变换：S 整数变换作业
1. 题目：用整数小波的S 或2/6变换对256*256 Lena 灰度图像进行非标准方法的3级分解与重构。
2. 总体设计：本题目的意义在于通过实验体会整数小波变换，由于MA TLAB 自身对矩阵操作的方便性，以及其丰富的库函数（如可以用来直接显示图象），我决定用MATLAB 编程完成本次作业。
要说明的是，这里并不是直接利用MATLAB 中的wavelet 工具箱中的已有小波函数对图象进行整数小波分解，而是用下面的已知分解公式进行小波分解和重构。
分解公式：1,,21,21,,21,[]
j k j k j k
j k j k j k d s s s s d -+--=-=+ 重构公式：,21,1,,211,,2[]
j k j k j k j k j k j k s s d s d s --+-=-=+ ，其中[ ]表示取整。
进行非标准小波分解，即交替进行3次行变换和3次列变换，程序对每次变换后的结果都保存为位图文件，运行后可以在程序所在路径下看到保存的6个分解位图文件和6个重构位图文件。
最后还会在一个图像中显示每次分解后的图像，以便于对比。
3. 实现方法：编写S 变换的分解和重构子程序，分别对图像数据进行一次行列分解和列行重构，程序返回该次变换后的行列矩阵，在主程序中可以连续三次调用行列变换，即完成对原始图像的3级分解和重构，这里的变换是完全可逆的，也就是能够完全恢复原图像数据。
通过对比3次重构后返回的数据与原图像数据后发现它们完全相同。
主要用的MA TLAB 工具函数有：
imread( )---------读取图像数据，为uint8类型，需变为double 类型才能进行各种运算 imwrite()---------用于保存图像，这里用它来保存每一级变换后的图像
image( )----------显示图像，需要给出色谱表colormap ，这里是灰度图，用colormap ＝gray （256）即可
subplot( )--------用于分开绘图，即在一个窗口下绘制多个图像，在这里用于输出变换后的图像，以便对比。
更详细的内容请参考函数文件SDecompose.m 和SRecompose.m ，分别是分解和重构图像的函数，main.m 是演示主程序。
命令行下输入main 运行后，按照提示输入要处理的图像文件名称即可（要求是256×256的灰度图像，否则结果可能会出错。
程序所在目录下的lena.bmp 和girl.bmp 就是256×256的灰度图像）可以直接按键盘‘d ’键，程序会默认使用lena.bmp 进行演示。
3级分解完成后，输出后面的3级分解效果图。
命令窗中会给出提示，按下任意键将继续进行图像3级重构，完成后会输出后面的3级重构图。
进行分解和重构同时已经将分解和重构得到的图像存盘，在当前工作目录下即可看到保存的12个位图文件，其中分解和重构图像各有6个。
若要查看清晰的变换图像，可以 打开它们查看。
4. 经验教训：本次作业用MATLAB 而不是VC 实现，虽然看上去简单许多，但是对于我
这种刚刚接触MATLAB的人来说，仍然是耗了不少时间，需要不断地查找帮助文件来查看函数的用法，开始时错误百出，就像初次使用C++编程一样。
在首次成功后发现原图像数据和重构数据总有误差，但是根据S整数变换的可逆性，应该可以完全重构原始数据，在排除了是程序变换运算错误后，发现读出图像数据类型是uint8后，估计是该类型运算出错，上网搜索后终于找到症结所在：由于MATLAB读出的图像数据保存的是uint8类型（单字节0～255），它不能直接参与运算，在变为double类型后才可以进行运算。
改造程序后，发现果然如此，此时原始数据和重构数据完全相同。
本次作业是一次挑战和尝试，通过它，学会的不仅仅是一些MATLAB函数和整数小波变换的方法，更重要的是它使我敢于挑战自己以前未接触过的东西，查找资料，编程和调试，最终解决问题。
生活和学习中正是有了这种不怕困难，敢于尝试，不折不挠的精神才能使我们不断进步。
5.运行结果截图：
3级分解效果图
3级重构效果图
（左）原始图像（256×256 灰度图）（右）重构图像（256×256 灰度图）
以上两幅经过S整数分解和重构后的图像，可以发现二者几乎没有差别，事实上它们完全一样（因为S整数变换是可逆的）。