小波变换课件

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2. Wavelet Transform
• 老课题 函数的表示方法
• 新方法 Fourier Haar wavelet transform
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(1) 1807: Joseph Fourier
• 傅立叶理论指出，一个信号可表示成一系列正 弦和余弦函数之和，叫做傅立叶展开式。
• 20世纪40年代Gabor开发了STFT (short time Fourier transform)
• STFT的时间-频率关系图
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(4) 1980: Morlet提出了CWT
• CWT (continuous wavelet transform) • 20世纪70年代，当时在法国石油公司工作的年
translation (b) and contraction (a). Wavelets
are especially useful for compressing image
data, since a wavelet transform has properties
which are in some ways superior to a
轻的地球物理学家Jean Morlet提出了小波变换 WT(wavelet transform)的概念。 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 20世纪80年代,从STFT开发了CWT：
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• Definition - Basis Functions: a set of linearly independent functions that can be used (e.g., as a weighted sum) to construct any given signal.
2002秋季学期网上课程 多媒体技术基础与应用
(Multimedia Fundamentals and Applications)
(Face to Face 2 of 4)
林福宗
智能技术与系统国家重点实验室
2002年10月9日
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小波变换与应用
• 一、小波变换 • 1.小波 • 2.小波变换 • 3. 离散小波变换
conventional Fourier transform.
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• An individual wavelet can be defined by
Then and Calderón's formula gives
A common type of wavelet is defined using Haar functions.
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(2) 1910: Alfred Haar发现Haar小波
• 哈尔(Alfred Haar)对在函数空间中寻找一个与傅 立叶类似的基非常感兴趣。
• 1909年他发现了小波，1910年被命名为Haar wavelets
• 他最早发现和使用了小波。
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(3) 1945: Gabor提出STFT
construct(exd) from a
function , sometimes
known as a "mother wavelet," which is
confined in a finite interval. "Da(au,bg) (hx)ter
wavelets"
are then formed by
• 用傅立叶表示一个信号时，只有频率分辨率而 没有时间分辨率，这就意味我们可以确定信号 中包含的所有频率，但不能确定具有这些频率 的信号出现在什么时候。
• 为了继承傅立叶分析的优点，同时又克服它的 缺点，人们一直在寻找新的方法。
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傅立叶变换的定义：A mathematical description of the relationship between functions of time and corresponding functions of frequency; a map for converting from one domain to the other. For example, if we have a signal that is a function of time--an impulse response-- then the Fourier Transform will convert that time domain data into frequency data, for example, a frequency response. ()
域。要深入理解小波理论需要用到比较多的数 学知识。本教学提纲企图从工程应用角度出发， 用比较直观的方法来介绍小波变换和它的应用， 为读者深入研究小波理论和应用提供一些背景 材料
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1. What is wavelet
• 一种函数 • 具有有限的持续时间、突变的频率和振幅 • 波形可以是不规则的，也可以是不对称的 • 在整个时间范围里的幅度平均值为零 • 比较正弦波
• 二、Haar小波变换 • 1.哈尔函数 • 2.求均值和差值 • 3. 哈尔变换的特性 • 4.一维哈尔小波变换
• 5. 二维哈尔小波变换
• 三、阅读和练习作业
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一、Wavelet Transform
小波分析是近十几年才发展起来并迅速应用到
图像处理和语音分析等众多领域的一种数学工 具。它是继110多年前的傅立叶(Joseph Fourier) 分析之后的一个重大突破，无论是对古老的自 然学科还是对新兴的高新技术应用学科都产生 了强烈冲击。 小波理论是应用数学的一个新领
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• 部分小波波形
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小波的定义
• Wavelets are a class of a functions used to
localize a given function in both space and
scaling. A family of wavelets can be
where:
a = scale variable －缩放因子
k = time shift