建筑力学 第4章内力和内力图

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内力和内力图
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例题 4-2
F m E FE FAy FAx A a a a a D C FC m
F
作一截面m-m将三杆截断，取左
FB 部分为分离体，受力分析如图。
由平衡方程 B ∑ Fx = 0,
FCD + FAx + FFE + FCE cos 45° = 0
FFE
E
FAy
A a C
FCE FCD
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1
第 4 章 内力和内力图
§4-1 平面桁架的内力 §4-2 轴力和轴力图 §4-3 扭矩和扭矩图 §4-4 剪力和弯矩·剪力图和弯矩图
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外力：物体或系统所承受的其它物体对它的作用力 （包括约束力）。 内力：物体或系统内部，因外力作用而产生的各物 体之间或各部分之间的相互作用力。 内力必然成对存在，它们是大小相等、指向 相反的力，或大小相等、转向相反的力偶。 为了求得物体内部各部分之间的相互作用 力，需将物体假想地截开，取其一部分来研究； 对于系统，也须截取某一部分来研究。
E FE a a
FB B
C D FC
∑ Fx = 0， FAx + FE = 0 ∑ F y = 0, FB + FAy − FC = 0 ∑ M A (F ) = 0,
− FC × a − FE × a + FB × 3a = 0
联立求解得 FAx= －2 kN，FAy= 2 kN，FB = 2 kN
A
联立求解得 FAx= －2 kN, FB = 2 kN
− FC × a − FE × a + FB × 3a = 0
FAy= 2 kN
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例题 4-1
FAF A FAx FAy FAC
FAy A FAx
F a a
E FE a a
FB B
C D FC
取节点A，受力分析如图, 设所有杆件均 为拉杆。由平衡方程
C D FC
取节点K，受力分析如图。由平衡方程
∑F ∑F
解得
x
= 0,
= 0,
FFE − FFA cos 45° = 0
y
− FFC − FFA cos 45° = 0
FFE = −2 kN ，FFC = 2 kN
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例题 4-1
FCF
C
FCE FCD FC
FAy A FAx
F a a
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例题 4-3
30 kN A B 3 30 kN A
作轴力图。 解：要作ABCD杆的 20 kN 20 kN 轴力图，则需分别将 C D AB、BC、CD杆的轴
1 1 20kN
2 20 kN
x
D 20kN
3
B 2 FN1
C
力求出来。分别作截 面1-1、2-2、3-3，如 左图所示。
D
1-1截面处将杆截开并取右段为分离体，并设 其轴力为正。则 ∑Fx= 0，-FN1 - 20 = 0 FN1 = -20 kN 负号表示轴力的实际指向与所设指向相反， 即为压力。
1
意义：简化计算,
问题：能否去掉零杆?
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注意： (1) 荷载改变后，“零杆”可以变为非零杆。因此， 为了保证结构的几何形状在任何荷载作用下 都不会改变，零杆不能从桁架中除去。 (2) 实际上，零杆的内力也不是零，只是较小而 已。在桁架计算中先已作了若干假设，在此 情况下，零杆的内力才是零。
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例题 4-1
FDE
D
FAy A FAx
FDB
F a a
E FE a a
FB B
C D FC
FDC
取节点D，受力分析如图。由平衡方 程
∑ F x = 0, ∑ F = 0,
y
FDB − FDC = 0
FDE = 0
解得
FDB = 2 kN , FDE = 0
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例题 4-1
FBE
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例：埃菲尔铁塔
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3. 分析桁架内力的目的： (1) 截面形状和尺寸设计； (2) 材料选取； (3) 强度校核。
P
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4.1.2 模型的建立 1. 屋架结构的简化
节点 上弦杆
下弦杆 斜杆 跨度
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2. 桁架简化的几个假设 (1) 各杆在节点处用光滑的铰链连接； (2) 桁架中各杆的轴线都是直线，并通过铰的中心； (3) 所有外力（主动力及支座约束力）都作用在节点 上，对于平面桁架，各力的作用线都在桁架的平 面内。 根据上述假设，桁架的各个杆件都是二力杆。 我们能比较合理的地选用材料，充分发挥材料的作 用，在同样跨度和荷载情况下，桁架比梁更能节省 材料，减轻自重。
E FE a a
FB B
FCA
C D FC
取节点C，受力分析如图。由平衡方程
∑F ∑F
x
= 0, − FCA + FCD + FCE cos 45° = 0
= 0, − FC + FCF + FCE cos 45° = 0
y
解得 FCE = 2 2 kN , FCD = 2 kN
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由图示任意横截面m- m左边一段杆的平衡条 件可知，受扭杆件横截面上的内力是一个作用于 横截面平面内的力偶。这一力偶之矩称为扭矩， 常用符号T表示。
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由
∑Mx（F）= 0 T – Me = 0
即
T=Me
取(c)图列方程可得相同的计算结果。
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A
a
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§4-2 轴力和轴力图
A F1 B F1
(a)
C F2 D F2
(b)
如上图中轴向受力的杆件常称为拉伸或压缩杆 件，简称拉压杆。
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A F A F FN
m
B F
m m FN B F
拉压杆横截面上的内力，由截面一边分离体 的平衡条件可知，是与横截面垂直的力，此力称 为轴力。用符号FN表示。
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A F A F FN
m
B F
m FN B F
习惯上，把对应于伸长变形的轴力规定为正值 （即分离体上的轴力其指向离开截面），对应于压 缩变形的轴力为负值（轴力的指向对着截面）。 当杆件轴向受力较复杂时，则常要作轴力图， 将轴力随横截面位置变化的情况表示出来。
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FB
B
FAy A FAx
F a a
E FE a a
FB B
FBD
C D FC
取节点B，受力分析如图。由平衡方程 ∑ Fx = 0, − FBD − FBE cos 45° = 0
∑ F y = 0,
解得
FB + FBE cos 45 ° = 0
FBD = −2 2 kN FBE = −2 2 kN
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§4-1 平面桁架的内力
4.1.1 桁架的概念 1. 什么是桁架 桁架是由一些直杆组成 的几何形状不变的结构。 所有杆件的轴线都在 同一平面内的桁架称为 平面桁架。 2. 工程实例
P
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例：地面卫星接收系统
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例：海洋石油钻井平台
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F A a a C FC E FE a D a B
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例题 4-1
解：先取整体为研究对象,受力如图所示。由平衡方程
F a a E FE a a
FAy A FAx
FB B
∑F = 0， F ∑ F = 0, F
x
Ax
+ FE = 0
+ FAy − FC = 0
y
B
C D FC
∑ M ( F ) = 0,
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4. 小 结 (1) 节点法 (a)一般先研究整体，求支座约束力； (b) 逐个取各节点为研究对象； (c) 求杆件内力； (d) 所选节点的未知力数目不大于2，由此开始计算。 (2) 截面法 (a)一般先研究整体，求支座约束力； (b) 根据待求内力杆件，恰当选择截面； (c) 分割桁架，取其一进行研究，求杆件内力； (d) 所截杆件的未知力数目一般不大于3。
3
C 20kN C
FN3
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例题 4-3
作轴力图，以沿杆件轴线的x坐标表
示横截面的位置，以与杆件轴线垂直的纵坐标表示 横截面上的轴力FN。
30 kN. 20 kN 20 kN C D
A
B
FN/kN 30
O 20
x
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例题 4-3
当然此题也可以先求A处的支座反力，再从左边 开始将杆截开，并取左段为分离体进行分析。
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3. 平面简单桁架的构成
节点
杆件
在平面问题中，为保证桁架几何形状不变，可 以由基本三角形ABC为基础，这时是3个节点，以后 每增加一个节点，相应增加两根不在一条直线上的 杆件，依次类推，最后将整个结构简支，这样构成 的桁架称为平面简单桁架。
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节点
杆件
平面简单桁架杆件数m与节点数n之间的关系为 ： m=3+2(n-3)=2n-3 平衡方程数：2n 未知力数目：m+3
在支座约束力共有3个未知量而且布置恰当的 情况下，平面简单桁架是静定的。
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4.1.3 平面简单桁架的内力计算 1. 节点法
例题 4-1
如图平面简单桁架，已知铅垂力FC=4 kN， 水平力FE=2 kN。求各杆内力。
a
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思考题4-3 试计算图示桁架中1、2杆的内力。
G
F1
D
H
F2
a 2 E a 1 A B C F
a
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思考题4-3参考答案：
G
F1
D
Ⅱ H
F2
a 2 Ⅱ a E 1 B C F
I—I截面： ∑MF (F)=0 FS1=F1/2- 2F2
Ⅰ
Ⅰ
Ⅱ—Ⅱ截面： ∑MD (F)=0 FS2= F2 - F1 /4
D
FAx
FC
∑ Fy = 0, FAy − FC + FCE cos 45° = 0 ∑ M (F ) = 0, − FFE × a − FAy × a = 0
C
联立求解得
FCE = 2 2 kN , FCD = 2 kN , F FE = − 2 kN
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3. 零力杆件
1 2 F1= F2= 0 (a) 3 F3= 0 (b) F2= 0 (c) 2 F 2 1
30 kN. 20 kN
20 kN C D
A
B
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思考题 4-4 试作图示杆的轴力图。
20 kN A
40 kN B 0.5m 0.5m C
30 kN D 1m
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思考题4-4参考答案：
20 kN A 0.5m FN /kN 20 10 O 20 x 40 kN B 0.5m C 1m 30 kN D
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思考题4-2 试用截面法计算图示桁架中指定杆件的内力。
F a F 1 F a A B 3 2 4 a
a
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思考题4-2参考答案：
F 2 I F II 1 3 4 a II I a F
F1= F F2= - 2F F3= 2.828F F4= - 3F
a A B
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例题 4-3
3 30 kN A 2 20 kN 1 1 20kN D 20kN D 20kN 30 kN B 20 kN C D B 2 FN2
于2-2截面处将杆截开并 取右段为分离体，设轴力为 正值。则 ∑Fx= 0，-FN2 + 20 - 20 = 0 FN2 = 0 ∑Fx= 0， -FN3 + 30 + 20 - 20 = 0 FN3 = 30 kN 轴力与实际指向相同。
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§4-3 扭矩和扭矩图
A l
B
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如上图所示，杆件在横向平面内的外力偶作 用下发生扭转变形。其侧面上原有的直线ab变为 螺旋线ab′, 诸横截面绕杆的轴线相对转动，例 如B截面相对于A截面转过一角度∠bO'b′。 为了分析横截面上的内力，取m--m截面。
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2. 截面法
例题 4-2
F A a a C FC E FE a D a B
如图平面桁架，已 知铅垂力FC = 4 kN，水 平力FE = 2 kN。求FE， CE，CD杆内力。
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例题 4-2
解： 先取整体为研究对象,受力如图所示。由平衡方程
FAy A FAx
F a a
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扭矩的正负号由右手螺旋法则规定： 使卷曲右手的四指其转向与扭矩T的转向相同， 若大拇指的指向离开横截面，则扭矩为正；反之为 负。
扭矩图：表示扭矩随横截面位置变化的图线。
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一传动轴的计算简图如图所示，作 用于其上的外力偶矩之大小分别是：MA=2 kN·m , MB=3.5kN·m , MC =1 kN·m , MD = 0.5 kN·m , 转向如 图。试作该传动轴之扭矩图。
∑F ∑F
x
y
= 0，FAx + FAC + FAF cos 45° = 0
= 0, FAy + FAF cos 45° = 0
解得 FAF = −2 2 kN, FAC = 4 kN
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例题 4-1
F FFA FFC FFE
FAy A FAx
F a a
E FE a a
FB B