空间向量与平行、垂直关系

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5、知人者智，自知者明。胜人者有力 ，自胜 者强。 20.12.1 320.12. 1308:5 9:3608: 59:36D ecembe r 13, 2020
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6、意志坚强的人能把世界放在手中像 泥块一 样任意 揉捏。 2020年 12月13 日星期 日上午 8时59 分36秒0 8:59:36 20.12.1 3
• 13、无论才能知识多么卓著，如果缺乏热情，则无异 纸上画饼充饥，无补于事。Sunday, December 13, 20201
3-Dec-2020.12.13
• 14、我只是自己不放过自己而已，现在我不会再逼自 己眷恋了。20.12.1308:59:3613 December 202008:59
应用举例：
例1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中, M, N分别是
C1C, B1C1 的中点, 求证:MN∥平面zA1BD.
解题思路：如图建立空间直
D1
C1
角坐标系，求出平面A1BD的 A1
B1
法向量 n (1,1,1) ，只需
证明 MN n ，即证 MN n 0
y
M(0, 2, 1 ), N(1, 2, 2 )
MN (1, 0, 1)
x
MN n 1 0 1 0
例2.正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别 是BB1、CD的中点，求证：平面AED⊥平面
A1FD1.
z
略解：如图建立空间直角坐标系
设棱长为2 则 E(2, 2, 1), A( 2, 0, 0 )
DE (2, 2, 1), AE (0, 2, 1)
• 10、你要做多大的事情，就该承受多大的压力。12/13/
2020 8:59:36 AM08:59:362020/12/13
• 11、自己要先看得起自己，别人才会看得起你。12/13/
谢 谢 大 家 2020 8:59 AM12/13/2020 8:59 AM20.12.1320.12.13
• 12、这一秒不放弃，下一秒就会有希望。13-Dec-2013 December 202020.12.13
平面ABCD, SA=AB=BC=1，AD= 1 ，试建
2
立适当的坐标系.
z
求平面SCD的一个法向量.
y
答案：(2, -1, 1)
y
x x
二、利用向量判断直线、平面位置关系的方法
1.线线平行： 两直线的方向向量共线，且一条直线上存
在另一条直线之外的点
2.线线垂直： 两直线的方向向量垂直，即内积为零.
略解：设平面ABC的法向量为 n ( , AC (0, 1, 1)及
x
y
z
y
0
0
x y
z
y
n AC 0
令 y = 1 得平面ABC
的一个法向量为 n (1, 1, 1)
变式训练
已知ABCD 是直角梯形,∠ABC=90°, SA⊥
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2、阅读一切好书如同和过去最杰出的 人谈话 。08:5 9:3608: 59:3608 :5912/ 13/2020 8:59:36 AM
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3、越是没有本领的就越加自命不凡。 20.12.1 308:59: 3608:5 9Dec-20 13-Dec-20
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4、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的 错儿。 08:59:3 608:59: 3608:5 9Sunda y, December 13, 2020
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7、最具挑战性的挑战莫过于提升自我 。。20 20年12 月上午 8时59 分20.12. 1308:5 9December 13, 2020
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8、业余生活要有意义，不要越轨。20 20年12 月13日 星期日 8时59 分36秒0 8:59:36 13 December 2020
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9、一个人即使已登上顶峰，也仍要自 强不息 。上午 8时59 分36秒 上午8时 59分08 :59:362 0.12.13
平面AED的法向量为 n1 (0, 1, 2)
y
平面A1FD1的法向量为n2 (0, 2, 1)x
n1 n2 0 2 2 0 n1 n2 平面AED平面A1FD1
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1、有时候读书是一种巧妙地避开思考 的方法 。20.1 2.1320. 12.13Sunday, December 13, 2020
3.线面平行： 直线的方向向量与平面的法向量垂直，且直 线上存在平面外的点.
4.线面垂直
直线的方向向量与平面内的两条相交直线的 方向向量都垂直（即与平面内的两个不共线 向量都垂直）
5.面面平行：
两个平面的法向量共线，且其中一个平 面中存在另一个平面之外的点.
6.面面垂直: 两个平面的法向量垂直，即法向量的内积为0
空间向量与平行、垂直关系
一、平面α的法向量的定义
设直线l为平面 的一条垂线，则直线 l 的任
意一条方向向量 a 都叫做平面 的法向量.
平面 的法向量 a 由平面上任意两个不共线
向量 PA, PB 来确定，即由 PA a, PB a 也即 PA a 0 , PB a 0 求得.
平面法向量的具体求法：
首先设平面 的法向量为 n ( x, y, z) ，在
平面内任取两个相交直线的方向向量
a (a1 ,a2 ,a3 ), b (b1 ,b2 ,b3 )
由 n a 0 和 n b 0 得两个三元一次方 程，再令 x, y, z 中的一个为某一特殊的值
即得平面 的一个法向量
例如已知A(1, 0, 1), B(0, 1, 1), C(1, 1, 0)， 求平面 ABC 的一个法向量